Aide à la résolution de circuits électriques Le circuit électrique

ECAM
Aide à la résolution de circuits électriques
Le circuit électrique
Un circuit électrique est un graphe dont :
Chaque nœud représente un potentiel
Chaque arc est porteur d’un courant
Il s’en suit que chaque arc est compris entre deux potentiels il existe une différence de
potentiel aux bornes de l’arc.
6V
1A
3V
1A
1A
0V
Voici un exemple où l’on voit un courant d’un ampère
circuler entre trois potentiels.
Un nœud n’est pas une source ou un puits de courant, il
représente seulement un potentiel. Il est donc logique
que seuls les graphes bouclés sont susceptibles de
permettre la circulation d’un courant.
C’est la raison pour laquelle on parle de « circuit
électrique » pour désigner les cas pratiques.
Cependant, un graphe qui ne montre que des courants et
des potentiels ne présente pas l’ensemble des informations du circuit car il y a en plus des
contraintes. Les contraintes viennent de la nature des composants mais aussi des grandeurs
physiques manipulées.
Contraintes liées aux grandeurs électriques
Bien souvent dans les graphes, les nœuds sont porteurs de grandeurs extensives, qui sont liées
à une position dans l’espace.
Parmi ces grandeurs, on rencontre les tensions électriques qui sont l’expression de l’énergie
potentielle, du travail qu’il faudrait fournir à une charge électrique unitaire pour l’amener
d’un point situé à l’infini vers la position du nœud. Le cours d’électricité montre que cette
valeur dépend d’une constante d’intégration que l’on peut choisir arbitrairement. C’est
pourquoi, on se choisit un potentiel de référence à 0V parmi les nœuds du graphe. Ce qui va
compter par la suite, ce sont les différences de potentiel.
A tout instant, chaque nœud n’a qu’un et un seul potentiel. Dès lors, tout chemin dans le
graphe qui part de ce nœud et y revient, revient au potentiel de son point de départ.
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Ce qui va donner lieu à la première loi fondamentale des circuits électriques :
Loi des mailles = la différence de potentiel aux extrémités d’une
maille (boucle dans le graphe) est toujours zéro.
Autrement dit, la somme des différences de potentiels le long d’une maille est nulle.
De leur côté, les arcs de bien des graphes sont liés à des grandeurs intensives, soumises à un
principe de conservation.
La grandeur conservée est ici la charge électrique dont le courant est la dérivée par rapport au
temps.
Comme les nœuds du graphe n’absorbent pas et ne créent pas de charge, toute charge entrante
doit instantanément sortir par un autre chemin. C’est la seconde loi des circuits électriques :
Loi des nœuds = la somme des courants incidents à un nœud
est toujours zéro.
Ces deux lois sont inhérentes au système de représentation, le graphe que nous avons choisi,
et qui correspond aussi à ce que nous enseigne la théorie de l’électricité pour les phénomènes
électriques vus à l’échelle que nous voulons étudier.
Contraintes liées aux composants
La nature des composants d’un circuit électrique est exprimée par une équation de contrainte
qui relie entre elles ses grandeurs électriques :
-
la différence de potentiel à ses bornes,
le courant qui le traverse.
On appelle cette équation « l’équation d’état » du composant et le terme « variables d’état »
désigne son courant et la différence de potentiel à ses bornes. Or c’est une erreur courante à
l’examen que de mélanger le U et le I de branches qui n’ont rien à voir avec le composant !
On peut exprimer la contrainte de plusieurs manières :
Par un symbole spécifique dans le circuit,
Par une équation mathématique U=f(I) ou I=f(U),
Par une courbe dans un diagramme (U,I) ou (I,U).
Voici un tableau des contraintes élémentaires :
On y constate qu’un fil est équivalent à une résistance nulle.
On remarquera aussi les sens opposés de U et I autour de la résistance. En effet, ce
composant est passif et consomme l’énergie fournie par les sources du circuit. Le produit UI,
qui est l’expression de la puissance consommée, est ainsi négatif.
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Ua
Ub
L’équipotentielle représente
un conducteur dans le
circuit : par exemple un fil.
Ua = Ub
3A
La source de courant impose
un courant dans la branche
quelque soit la tension à ses
bornes.
I = 3A
20V
Ua
Ub
Ub = Ua + 20V
La source de tension impose
une différence de potentiel
entre ses bornes quelque soit
le courant qu’elle devra faire
passer.
U = RI
La résistance, ici de 10 ohms,
impose un rapport constant
entre U et I
U
I
10Ω
Voici la représentation de ces composants dans un diagramme (U,I) où l’on constate que la
caractéristique d’un fil se confond avec l’axe des courants :
U
U=RI
U = constante
I = constante
U = 0V
I
3
ECAM
Réalisation et résolution de circuits
Pendant la phase d’analyse :
Les réseaux et appareillages électriques sont des entités physiques peu adaptés pour
leur analyse. On passe d’abord par un intermédiaire de représentation du système.
La modélisation d’un réseau électrique est un graphe qui représente ce réseau en
mettant en avant ses caractéristiques électriques.
La résolution du modèle consiste à retrouver le circuit électrique, c'est-à-dire les
tensions et les courants compatibles avec les contraintes du modèle.
Pendant la phase de conception :
On part du circuit pour imaginer un ensemble de contraintes dont la résolution donne
le circuit de départ.
On appelle cette étape la réalisation du circuit. Elle mène à un modèle, un plan.
L’étape suivante est la construction du système physique en respectant les données du
plan.
modélisation
résolution
Système
réel
plan
construction
circuit
réalisation
L’objet des exercices de 1BA est la résolution de modèles de réseaux électriques. On parlera
plus facilement de résolution de circuits électriques.
Mise en série, mise en parallèle.
La différence entre grandeur intensive et extensive apparaît lors des compositions
élémentaires dont voici les tableaux.
Le courant est une grandeur intensive soumis à une loi de conservation. On peut additionner
deux courants en un point
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ECAM
redondance
1A
1A
1A
1A
addition
2A
1A
Impossibilité
contradiction
1A
2A
Les tensions sont des grandeurs extensives. Elles dépendent de leur position dans l’espace (et
donc dans le réseau) et ne peuvent s’additionner en un point.
redondance
1V
1V
1V
addition
1V
1V
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2V
ECAM
contradiction
Impossibilité
1V
2V
Les schémas ci-dessus introduisent deux notions supplémentaires :
•
•
la mise en série : divers composants sont traversés par un même courant, elle se
réalise en N-1 points pour N composants.
la mise en parallèle : divers composants partagent une même différence de
potentiel et se réalise en 2 points.
La mise en série ou parallèle de résistances donne lieu à une résistance équivalente.
2
résistances
en série
N
résistances
en série
U2
U1
I
R1
= R1I + R2I
= (R1+ R2)I
Rs = R1 + R2
R2
R1
R2
R3 …
U = U1 + U 2
Rn
N
Rs = ∑ Ri
i =1
Rs
R1
2
résistances
en parallèle
I = I1 + I 2
U
U U
=
+
Rp R1 R 2
1
1
1
=
+
Rp R1 R 2
R1R 2
Rp =
R1 + R 2
I1
U
R2
I2
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R1
R2
R3
N
résistances
en parallèle
Rp
…
Rn
N
1
1
=∑
Rp i =1 Ri
Voici la mise en série de R1 avec R2 exprimée dans un diagramme (U,I) :
U
Rsérie
R2
U=U1+U2
R1
U2
U1
I
L’addition selon l’axe des tensions des droites R1 et R2 donne la droite Rsérie. Chacune des
droites passe par l’origine. Le résultat est une résistance plus élevée que la plus grande des
résistances mises en série.
Voici la mise en parallèle de R1 avec R2 exprimée dans un diagramme (U,I) :
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U
R1
I1
R2
Rparallèle
I2
I=I1+I2
I
L’addition des droites R1 et R2 selon l’axe du courant donne la droite Rparallèle. Chacune
des droites passe par l’origine car U=RI. Le résultat est une résistance plus petite que la plus
petite des résistances mises en parallèle.
On appliquera le même principe pour des composants à contraintes non-linéaires en utilisant
la voie graphique, sinon par le biais des équations d’état, en isolant U ou I selon le montage.
La notion de graphe ne connaît que des nœuds reliés par des arcs. On appelle un « chemin »
dans le graphe, une suite continue d’arcs successifs. Un chemin est « bouclé » s’il repasse à
un moment par un même nœud.
•
Toute mise en série dans le circuit électrique est un chemin sans boucle ; mais on peut
mettre plusieurs boucles en série.
•
On parle de mise en parallèle de chemins quand ils partagent les mêmes nœuds de
départ et d’arrivée. Ceci implique l’existence d’au moins une boucle dans le graphe.
Exemple entre les nœuds i et j :
•
A
B
i
j
•
C
•
•
•
A et B sont en série : ils se
touchent en un point et ne font
pas de boucle.
B et C ne sont pas en série : ils ne
forment pas un chemin entre i et j
B et C ne sont pas en parallèle :
ils n’ont qu’un seul nœud j en
commun.
Les chemins AB et C sont en
•
parallèle car ils rejoignent chacun i à j.
Le chemin ABC est une maille entre i et i.
Les chemins AB et C ne sont donc pas en série : ils forment une boucle.
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ECAM
Réalisation des circuits élémentaires
Pour faire circuler un courant, il faut une source qui alimente un réseau consommateur.
Voyons comment exprimer une contrainte élémentaire :
-
avec une source de courant,
avec une source de tension.
Supposons que nous voulions exprimer la contrainte imposée par un point arbitraire dans le
plan (I,U). Ce point est à l’intersection de deux droites :
-
U = constante et I = constante (BC ∩ AC),
U = constante et R = constante (BC ∩ OC),
I = constante et R = constante (AC ∩ OC).
U
U = constante
B
U=RI
R = constante
C
(i,u)
I = constante
U = 0V
I
A
O
On peut réaliser les circuits suivants pour exprimer le point C :
u
Le point C est défini
par un courant i qui
circule dans la boucle
sous une tension u
BC ∩ AC
i
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ECAM
u
BC ∩ OC
Le courant qui circule
sous la tension u dans
le circuit est limité par
la résistance.
L’équation de
contrainte vaut alors :
u=Ri
i
R
i
AC ∩ OC
R
u
La tension aux bornes
de la résistance est
imposée par le courant
i.
L’équation de
contrainte vaut :
u=Ri
On remarquera dans le premier cas que la source de courant freine la source de tension car si
on regarde le sens des flèches :
-
la source de tension pousse le courant dans le même sens que la tension (P > 0)
la source de courant pousse le courant dans le sens contraire de la tension (P < 0).
On aurait pu tout aussi bien réaliser le contraire (freiner le courant par la source de tension).
Modèles de source de Thévenin et de Norton.
Ces trois schémas de réalisation définissent un couple (i,u) interne au circuit ; ce qui est la
plupart du temps sans intérêt. On préfèrerait avoir une source qui fournit un couple (i,u) au
circuit extérieur. Il faut alors connaître ce circuit extérieur : imaginons une résistance r
comprise entre zéro et l’infini.
Dans un premier cas, nous allons utiliser une source U > u.
La droite r = constante vient couper le segment AC au point D = (i,u).
La tension U se répartit sur deux composants parcourus par le courant i :
-
le segment AD est la tension reprise par la résistance r,
le segment DC est la tension reprise par la résistance R de la source.
Nous obtenons alors un modèle de source composé d’une source de tension u et d’une
résistance interne à la source R qui lui est en série.
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ECAM
U
U = (R + r) i
(R + r) = constante
B
U = constante = U thévenin
C
r
(i,u)
D
i = constante
U = 0V
O
I
A
u = DC
R
u = AD
Modèle dit de Thévenin : partie
gauche du circuit.
i = OA
U = AC
r
Voici une réalisation du couple (i,u) dans la résistance r extérieure au modèle de source de
Thévenin.
Dans un second cas, nous utilisons une source I > i.
On peut en effet pratiquer le même raisonnement avec une résistance r qui couperait le
segment EG en D = (i,u).
-
le segment ED représente le courant dans la résistance r,
le segment DG représente le courant dans la résistance R.
Les deux résistances sont soumises à la même tension : elles sont donc en parallèle et leur
résistance équivalente est la droite OG.
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ECAM
U
r
u = (R // r) I
(R // r) = constante
u = constante
E
G
(i,u) D
I = constante = I norton
U = 0V
I
O
F
i = ED
Modèle de source de Norton :
partie gauche du circuit.
I = OF
R
i’ = DG
r
u = FG
Puisque les deux circuits (en bleu clair sur les figures) fournissent le même couple (i,u) à un
quelconque circuit extérieur, ils sont équivalents entre eux vus de l’extérieur.
Il reste à établir sous quelle relation les deux modèles de source peuvent être
interchangeables. Pour cela, nous superposons les deux graphiques qui précèdent. Il n’est pas
nécessaire de recopier l’ensemble des points de construction pour comprendre que D est
systématiquement à l’intersection des droites AC et EG et dépend de la charge r qui est
variable.
Il s’ensuit que les points fixes de la construction forment le rectangle OBHF.
-
le nouveau point H nous donne l’équation d’équivalence des modèles U = RI,
la nouvelle droite BF (en rouge), appelée la « droite de charge », est le lieu des
points D en fonction de la résistance extérieure r,
B est la tension à vide de la source de Thévenin,
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ECAM
-
F est le courant de court-circuit de la source de Norton.
U
B
U thévenin = constante
U=RI
R = résistance interne aux modèles
H
C
r
D
E
(i,u)
G
I norton = constante
U = 0V
O
A
I
F
Il est important de noter que cette équivalence tient à la linéarité des résistances ! Les
constructions graphiques ne tiendraient autrement plus du tout. Par contre, les sources de
courant et de tension peuvent varier, notamment au cours du temps. Les constructions
graphiques étant alors justes en valeur instantanée.
L’équivalence entre ces deux modèles de source est à l’origine de la première méthode de
résolution de circuit : la méthode par conversion de sources.
R
U
-R
U
R
R
I
R
RI
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ECAM
Une autre conclusion induite par ces graphiques est la manière de se protéger contre un U ou
un I trop important.
-
-
pour se protéger contre une tension trop élevée, il faut placer une résistance en
série avec ce qu’on veut protéger : idéalement, placer un isolant sur le chemin du
courant.
Pour se protéger contre un courant trop élevé, il faut placer une résistance en
parallèle avec ce qu’on veut protéger : idéalement, placer un conducteur pour
dévier le courant.
Résolution de circuits par conversions de sources.
La stratégie suivie est de simplifier progressivement les parties inutiles du circuit, celles à
propos desquelles on ne doit rien connaître de manière interne (et qui ne demandent qu’à être
vues de l’extérieur). Tous ces éléments sont intégrés progressivement dans un modèle de
source qui alimente la partie étudiée du circuit. Seuls les composants linéaires peuvent être
absorbés.
La simplification du circuit fait appel à trois mécanismes :
-
les résistances sont intégrées à la résistance du modèle de source selon les règles
de mise en série ou parallèle,
les sources sont additionnées selon les règles,
on passe d’un modèle de source à l’autre selon les besoins.
En pratique :
-
-
on part d’une source du circuit, une source libre de questions à résoudre (on ne
demande pas la puissance qu’elle dissipe, ni son courant si c’est une source de
tension, ni sa tension si c’est une source de courant).
on absorbe une résistance en série dans la résistance interne d’un modèle de
Thévenin,
on absorbe une résistance en parallèle dans la résistance interne d’un modèle de
Norton,
on peut remplacer une résistance dont on connaît la tension ou le courant par une
source de même nature,
on supprime les sources redondantes,
on additionne les tensions des sources de tension qui sont en série,
on additionne les courants des sources de courant qui sont en parallèle,
on n’absorbe jamais un composant dont on veut connaître une valeur interne.
on n’absorbe jamais un composant non linéaire.
Exemple : on demande le courant qui traverse la source de tension de 6Volts.
Une question se pose quant à savoir si les deux résistances sont en parallèle ou en série (ou
aucun des deux). Le critère est le suivant : vu de l’extérieur, quelle grandeur électrique ontelles en commun ? Il est évident que les deux résistances sont parcourues par un même
courant.
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ECAM
La somme des tensions à leurs bornes est commutative avec la source de 3V. Du point de vue
de la branche étudiée, nous savons que la somme des 3 tensions est de 6V. L’ordre de ces
tensions est indifférent (3V+2V+1V = 1V+3V+2V = …) Les résistances sont en série (bien
que dessinées parallèlement).
5Ω
3V
I?
6V
-
3A
10Ω
15Ω
3V
I?
6V
-
3A
on ne peut pas faire disparaître
la source de 6V dans le modèle
de source puisqu’on demande le
courant qui la traverse.
On doit donc résoudre le reste
du circuit (les branches de
gauche et de droite qui sont en
parallèle)
des branches en parallèle
peuvent se ramener à des
modèles de source de courant
qu’on pourra ensuite additionner
on commence par regrouper les
résistances en série dans la
branche de gauche
15Ω
3V
I?
6V
I?
6V
c’est le moment de transformer
la branche de gauche en modèle
de source de courant
-
on peut maintenant additionner
les sources de courant
3A
15Ω
0.2A
-
3A
15
ECAM
I?
15Ω
6V
-
3.2A
I?
0.4A
6V
I = -2.8 A
on peut transformer la résistance
en une source de courant
puisqu’on connaît la tension à
ses bornes (6V)
le courant dans une résistance
est par convention dans le sens
inverse de la tension : il sera
donc dirigé vers le bas
-
on peut à nouveau additionner
les sources de courant
-
nous sommes face à un cas
élémentaire : le courant qui
circule dans la boucle est de
2.8Ampères dans le sens positif.
Le I demandé est donc négatif
car la référence est dans le sens
opposé à la solution.
3.2A
6V
-
2.8A
La source de 6V consomme donc une puissance (P = UI) de 16.8Watts et freine le courant
dans le circuit.
Exemple : on demande deux courants dans le circuit suivant. La source de tension de droite
n’est plus constante, elle dépend du temps : U (t ) = 18(1 − e − t / τ ) .
10Ω
I1
-
I2
10V
60Ω
U(t)
2A
-
20Ω
16
on constate que deux branches
deviennent tabou à cause des
courants demandés.
Le reste du circuit se ramène à peu
de choses : 2 résistances en
parallèle qu’on peut réunir
ECAM
10Ω
I1
-
I2
10V
15Ω
U(t)
2A
-
10Ω
I1
-
10V
U(t)
-
10Ω
10V
I1
-
u1
U(t)
-
I1
u1
il n’est plus possible de simplifier
davantage le circuit sauf à absorber
dans un modèle de source un des
deux courants recherché : on va
travailler en 2 passes.
Commençons par la recherche de
I1
on constate que U(t) est commun
aux 3 branches de droite du circuit
du point de vue de I1, on peut
enlever les branches du milieu qui
sont redondantes avec U(t)
le courant I2 disparaît car le seul
courant qui reste visible est I1
il y a une tension u1 sur la
résistance qui est nécessaire pour
appliquer une loi des mailles (ici
équivalente à l’addition des deux
sources de tension)
on retombe alors sur un cas
élémentaire
u1 est de sens contraire à la source
u1 = 10V-U(t)
I1 = u1/10Ω
18(1 − e − t / τ ) + u1 − 10 = 0 ⇒
U(t)-10V
u1 = 10 − 18(1 − e − t / τ )
u1 = −8 + 18e −t / τ
i1 = −0.8 + 1.8e− t / τ
10Ω
I2
10V
15Ω
2A
U(t)
-
17
revenons pour la recherche de i2
au dernier circuit dans lequel i2
n’était pas absorbé.
Les deux résistances ne sont ni en
série, ni en parallèle (à cause de la
source de 10V)
Nous devons effectuer une
conversion de source pour tout
mettre en parallèle
ECAM
I2
10Ω
15Ω
2A
-
nous pouvons additionner les
sources de courant et faire la mise
en parallèle des deux résistances
-
on peut finir de plusieurs
manières : par exemple par une
conversion de source à gauche
-
il ne reste plus qu’à additionner les
sources de tension qui sont en série
pour obtenir un circuit élémentaire
-
appliquons l’équation d’état des
résistances pour celle de 6Ω :
-
i2 =
U(t)
1A
I2
3A
6Ω
U(t)
I2
18V
6Ω
U(t)
I2
18V-U(t)
6Ω
18 − 18(1 − e − t / τ )
= 3e − t / τ A
6
La puissance fournie par la source U(t) est négative puisque i2 est de sens opposé à U(t).
P (t ) = −U (t ) * i 2(t )
= −18(1 − e −t /τ ) *3e −t /τ
= −54(e −t /τ − e −2t /τ )W
Chacune des sous-questions demande en général un calcul séparé dans lequel on peut parfois
récupérer des éléments de solution pour la suite mais il faut bien faire attention aux
hypothèses que respecte le circuit : est-ce que nous voyons bien tout de l’extérieur ?
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