Chapitre 5 Condensateurs et diélectriques ∫ î

Chapitre 5
Condensateurs et diélectriques
Questions :
#1) Oui, pour assurer que le champ électrique est nul dans le matériau conducteur
constituant les armatures du condensateur.
Sphère de Gauss dans le
matériau conducteur
∆V
Q1
En utilisant le théorème de Gauss tout en sachant que le champ électrique est nul
dans un matériau conducteur :
Φ=
∫
0
E i dA = 0 =
Q = Q1 + Q2 = 0
Q
ε0
⇒
Q1 = −Q2
#3) Comportement de l’énergie potentielle :
1
1 Q2 1
U = Q ∆V =
= C ∆V 2
2
2 C 2
a) Si la pile reste branchée, la différence de potentielle reste constante tout en
augmentant la charge lorsque le diélectrique est inséré :
1
U ր= Q ր ∆V → U augmente
2
1
b) Si la pile est préalablement débranchée, la différence de potentielle diminue
tout en gardant la charge constante lorsque le diélectrique est inséré :
1
U ց= Q ∆V ց → U baisse
2
#4) Aux bornes d’un condensateur, on double la différence de potentiel ∆V :
a) La capacité demeure constante car la quantité de charges Q va doubler aussi :
C=
Q (×2 )
∆V (×2 )
b) La charge va doublée puisque la capacité est une valeur constante.
c) L’énergie emmagasinée va quadrupler :
1
U = C ∆V 2
2
Si la différence de potentiel double, l’énergie est multipliée par 4
#5) Deux condensateurs qu’on peut brancher en série ou en parallèle.
a) Quel branchement permettra d’emmagasiner le plus de charges possible. C’est
le branchement qui permet d’obtenir la plus grande capacité équivalente, donc,
en parallèle :
Céq = C1 + C2
b) Quel branchement permettra d’emmagasiner le plus d’énergie potentielle.
C’est le branchement qui permet d’obtenir la plus grande différence de
potentiel aux bornes des condensateurs, donc, en parallèle (chaque
condensateur possédera la même différence de potentiel que la pile) :
1
U = C ∆V 2
2
#9) Augmenter la capacité tout en évitant les claquages.
#10) Un matériau liquide se maîtrise moins facilement. De plus, l’eau a des propriétés
conductrices. Les charges pourront voyager d’une plaque à l’autre dans l’eau. Le
condensateur va se vider.
2
#14) Analyse dimensionnelle :
F C 1
= ⋅
m V m
F
C2
=
m N m2
V=
avec
J
C
et
J =Nm
Exercices :
#1)
Condensateur plan:
A = π ( 0, 06m )
2
d = 2 ×10−3 m
a) La capacité :
C=
ε0 A
d
= 50,1 pF
b) La charge pour une différence de potentiel de 12V :
Q = C ∆V = 601 pC
#2) Condensateur coaxial (voir l’exemple 5.5) :
a = 0,5mm
b = 5mm
∆V = 24V
L = 2,5m
a) La capacité linéique :
C=
2πε 0 L
ln b
a
( )
→
2πε 0
C
=
= 24, 2 pF
m
L ln b
a
( )
b) La quantité de charges :
C
⋅ L = 24, 2 pF
× 2,5m = 60, 4 pF
m
L
Q = C ∆V = 60, 4 pF × 24V = 1, 45nC
C=
3
#3) Condensateur plan :
C = 240 pF
Q = 40nC
d = 0, 2mm
a) L’aire des plaques :
A=
Cd
ε0
= 5, 42 × 10−3 m2 = 54, 2cm 2
b) La différence de potentiel :
∆V =
Q
= 167V
C
c) La champ électrique :
∆V = E d
⇒
E = 8,35 ×105 V
m
#6) Condensateur coaxial (voir exemple 5.5) :
r1 = 1mm
r2
∆V = 27V
λ=
Q
= 4 nC
m
L
C
Q 1
λ
=
⋅ =
= 148 pF
m
L ∆V L ∆V
voir # 2 :
2πε 0
C
=
L ln  r2 
 r 
 1
⇒
r2 = 1, 46mm
#8) Condensateur plan:
C = 24 pF
A = 0, 06m 2
E
= 3 MV
disruptif
m
4
a) Différence de potentiel pour provoquer le claquage:
•
•
On calcule la distance entre les plaques
ε A
C= 0
→ d = 2, 21cm
d
On calcule la différence de potentiel avec le champ disruptif :
∆V = E d = 66 400V
b) La quantité de charges accumulée :
Q = C ∆V = 1,59 µ C
#11) Deux condensateurs :
C1 = 4 µ F
C2 = 6 µ F
∆V = 20V
•
Premier branchement : C1 sur ∆V
Q1 = C1 ∆V1 = C1 ∆V = 80 µ C
•
Second branchement : les deux condensateurs en parallèle, sans la pile,
avec le 2ième condensateur vide initialement :
•
Deux équations, deux inconnues :
∆V1' = ∆V2'
→
Q = 80 µ C = Q1' + Q2'
→
Q1' Q2'
=
C1 C2
Q1' = 80 µ C − Q2'
(1)
(2)
5
L’équation (2) dans (1) :
Q1' Q2'
=
C1 C2
80 µC − Q2' Q2'
=
C1
C2
80 µC Q2' Q2'
=
+
C1
C2 C1
⇒
Q2' = 48, 0 µC
•
Ou plus simplement, avec les proportions :
4
Q1' = Q = 48, 0µ C
10
6
Q2' = Q = 32, 0µ C
10
•
Pour les potentiels :
Q1' Q1'
'
'
∆V1 = ∆V2 =
=
= 8, 00V
C1 C1
et Q1' = 32, 0µ C
#13) Condensateur sphérique à 2 armatures (voir exemple 5.4):
R1 = 3cm
R2 = 11cm
∆V = 5V
a) La capacité :
C=
R1 R2
= 4,59 pF
k ( R2 − R1 )
b) Le nombre d’électrons :
•
•
La charge : Q = C ∆V = 23 pC
Le nombre d’électrons :
1C
→ 6, 24 ×1018 e
1, 44 × 108 électrons
23 pC →
?e
6
#14) Deux condensateurs:
C1 = 0,1µ F
C2 = 0, 25µ F
∆V = 12V
a) En série:
−1
 1
1 
Céq =  +  = 71, 4nF
 C1 C2 
Q1 = Q2 = Q = Céq ∆V = 0,857 µ C
∆V1 =
Q1
= 8,57V
C1
∆V2 = ∆V − ∆V1 = 3, 43V
b) En parallèle:
7
Céq = C1 + C2 = 0,35µ F
∆V1 = ∆V2 = ∆V = 12, 0V
Q1 = C1 ∆V1 = 1, 20 µ C
Q2 = C2 ∆V2 = 3, 00µ C
#15) Trois condensateurs de la figure 5.25 a) :
−1
 1
1 
+  = 12, 4µ F
Céq = 10 µ F + 
 4 µ F C1 
−1
 1
1 
+  = 2, 4 µ F

 4 µ F C1 
⇒ C1 = 6, 00µ F
#17) Quatre condensateurs de 10µF à agencer:
a) Pour avoir une capacité équivalente de 4µF
b) Pour avoir une capacité équivalente de 2,5µF, il suffit de mettre les 4
condensateurs en série.
8
#18) Le circuit de la figure 5.26 avec tous les condensateurs ayant une capacité de 1µF:
Finalement :
#19) Deux condensateurs :
C1 = 2 µ F
C2 = 4 µ F
∆V = 18V
•
Premier branchement : les 2 condensateurs en série avec la pile
1
4
2
3
9
Les plaques 1 et 3 sont chargées positivement, les deux autres
négativement.
−1
 1
1 
Céq =  +  = 1,33µ F
 C1 C2 
Q1 = Q2 = Q = Céq ∆V = 24 µ C
∆V1 =
Q1
= 12V
C1
∆V2 = ∆V − ∆V1 = 6V
•
Deuxième branchement :
1
3
2
4
Les plaques 1 et 3 étant chargées du même signe, la quantité de charges
s’additionne.
Q′ = 48µ C = Q1′ + Q2′
∆V ′ = ∆V1′ = ∆V2′ =
Q′
Q′
=
= 8, 00V
Céq 6 µ F
Q1′ = C1 ∆V1′ = 16, 0 µ C
Q2′ = C2 ∆V2′ = 32, 0 µ C
#20) Deux condensateurs :
C1 = 2µ F
C2 = 6 µ F
∆V = 60V
10
•
Premier branchement : les 2 condensateurs en parallèle avec la pile
1
3
2
4
Les plaques 1 et 3 sont chargées positivement, les deux autres
négativement.
Céq = C1 + C2 = 8µ F
∆V = ∆V1 = ∆V2 = 60V
Q = Céq ∆V = 480µ C
Q1 = C1 ∆V1 = 120µ C
Q2 = C2 ∆V2 = 360 µ C
•
Deuxième branchement :
1
4
2
3
Les plaques 1 et 4 étant chargées du signe opposé, une quantité de
charges s’annule.
11
Q′ = Q2 − Q1 = 240µ C = Q1′ + Q2′
Q′
Q′
∆V ′ = ∆V1′ = ∆V2′ =
=
= 30, 0V
Céq 8µ F
Q1′ = C1 ∆V1′ = 60, 0 µ C
Q2′ = C2 ∆V2′ = 180µ C
#22) Trois condensateurs : 17 valeurs possibles
C1 = 1µ F
C2 = 2 µ F
C3 = 4µ F
i.
ii.
Branchés de façon individuelle : 3 valeurs
Deux condensateurs en série : 3 valeurs
−1
 1
1 
 +  = 0, 667 µ F
 C1 C2 
−1
 1
1 
 +  = 0,800µ F
 C1 C3 
−1
 1
1 
 +  = 1,33µ F
 C2 C3 
iii.
Les trois condensateurs en série : 1 valeur
−1
 1
1
1 
+  = 0,571µ F
 +
 C1 C2 C3 
iv.
Deux condensateurs en parallèle : 3 valeurs
C1 + C2 = 3, 00 µ F
C1 + C3 = 5, 00 µ F
C2 + C3 = 6, 00 µ F
v.
Les trois condensateurs en parallèle : 1 valeur
C1 + C2 + C3 = 7, 00 µ F
12
vi.
Deux condensateurs en série avec un parallèle : 3 valeurs
−1
 1
1 
 +  + C3 = 4, 67 µ F
 C1 C2 
−1
 1
1 
 +  + C2 = 2,80µ F
 C1 C3 
−1
 1
1 
 +  + C1 = 2,33µ F
 C2 C3 
vii.
Deux condensateurs en parallèle avec un en série : 3 valeurs
−1
 1
1 
+  = 1, 71µ F

 C1 + C2 C3 
−1
 1
1 
+  = 1, 43µ F

 C1 + C3 C2 
−1
 1
1 
+  = 0,857 µ F

 C2 + C3 C1 
#23) Capacité d’un condensateur, si:
U = 100 MeV = 1, 602 ×10−11 J
∆V = 12V
1
U = C ∆V 2
2
⇒
C = 0, 223 pF
#24) Deux condensateurs:
C1 = C2 = 50 µ F
∆V = 20V
a) En parallèle :
1
1
U = Céq ∆V 2 = ( C1 + C2 ) ∆V 2 = 20, 0mJ
2
2
b) En série :
−1
1
1 1 
2
U = Céq ∆V 2 = 
 ∆V = 5, 00mJ
2
2  C1 + C2 
13
#25) Condensateur plan:
A = 40cm 2 = 4 × 10−3 m 2
d = 2,5 × 10−3 m
∆V = 24V
a) La capacité :
C=
ε0 A
d
= 14, 2 pF
b) L’énergie potentielle :
1
U = C ∆V 2 = 4, 08nJ
2
c) Le module du champ
∆V = Ed
→
E = 9, 60 ×103 V
m
d) Densité d’énergie volumique :
u =U
Volume qu ' occupe E
=U
Ad
→
u = 4, 08 ×10−4 J
m3
#28) Deux condensateurs :
C1 = 3µ F
C2 = 5 µ F
∆V = 20V
a) En parallèle :
14
∆V1 = ∆V2 = 20V
1
U1 = C1 ∆V12 = 0, 600mJ
2
1
U 2 = C2 ∆V22 = 1, 00mJ
2
b) En série :
Q1 = Q2 = Q = Céq ∆V = 1,88µ F ⋅ 20V = 37,5µ C
1 Q12
U1 =
= 0, 234mJ
2 C1
1 Q22
U2 =
= 0,141mJ
2 C2
#31) Configuration de la figure 5.27
Q = Céq ∆V
∆V = 20V
Ici :
−1




1
1

 = 3, 64 µ F
Céq =
+
−1 
 5µ F
 1
1  

12µ F + 
+
 

 2µ F 4µ F  

→
Q = 72, 7 µ C
a) L’énergie potentielle dans le condensateur de 5µ F :
1 Q2
1 ( 72, 7 µ C )
=
=
= 529µ J
2 C5 µ F 2
5µ F
2
U5µF
15
b) L’énergie potentielle dans le condensateur de 4µ F :
∆V5 µ F =
Q5 µF
C5 µ F
= 14,5V
→
∆V12 µ F = 5,5V
avec
 1
1 
Cé′q = 
+
 = 1,33µ F
 2µ F 4µ F 
−1
Q2 µ F = Q 4 µ F
= Cé′q ⋅ ∆V12 µ F
Q2 µ F = Q4 µ F = 7, 27 µ C
U 4µF =
⇒
2
1 Q4 µ F
= 6, 61µ J
2 C4 µ F
#33) D’après la figure 5.28, le champ électrique sera de E0 dans l’espace vide occupant
la longueur d − l et sera nul dans le matériau conducteur de longueur l.
a) La capacité est donnée par :
C=
ε A
Q
Q
σ A
=
=
= 0
∆V E0 ( d − l ) σ
d −l
(d − l ) ( )
ε0
b) Inchangée
#36) Figure 5.29 :
1
1
U 5 µ F = 200mJ = C ∆V 2 = 5µ F ⋅ ∆V 2
2
2
→
∆V = 283V
a) L’énergie emmagasinée dans le condensateur de 4µ F :
1
1
2
U 4 µ F = C ∆V 2 = 4 µ F ⋅ ( 283V ) = 160mJ
2
2
b) L’énergie emmagasinée dans celui de 3µ F :
∆V3µ F + ∆V6 µ F = ∆V = 283V
Q3 µ F
C3µ F
+
Q6 µ F
C6 µ F
= 283V
Q
Q
+
= 283V
3µ F 6 µ F
U3µ F =
mais Q3 µ F = Q6 µ F = Q
→
Q = 566 µ C
1 Q2
= 53,3mJ
2 C3µ F
16
#39) Condensateur plan :
d = 1mm
u = 1,8 ×10−4 J
m3
1
1  ∆V 
u = ε0 E2 = ε0 

2
2  d 
2
⇒
∆V = 6,38V
#42) Figure 5.31 :
κ1
κ2
Q
Q
Q
Q
=
=
=
d (E + E )
∆V ∆V1 + ∆V2 E1 d + E2 d
2
2
2
2 1
Q
2Q
2σ A
=
=
=
σ d 1
d  E0 + E0  E d  1 + 1 

0
 κ + 1κ 
2  κ1
κ2 
κ2 
 κ1
ε0  1
2
C=
2ε0 A
d  1 + 1 
κ2 
 κ1
⇒ C=
=
2 ε 0 A κ1 κ 2
d ( κ1 + κ 2 )
avec
C0 =
ε0 A
d
2 C0 κ 1 κ 2
( κ1 + κ 2 )
#44) Condensateur plan :
C0 = 0,1µ F
∆V = 12V
κ =4
Si la pile est maintenue branchée, la différence de potentiel demeure la même et
la charge augmentera lors de l’insertion du diélectrique.
Q0 = C0 ∆V = 1, 2 µ C
17
Avec diélectrique :
Q = κ Q0 = 4,8µC
C = κ C0 = 0, 4 µ F
⇒ ∆Q = Q − Q0 = 3, 60 µC
#45) Condensateur plan:
C = 50 pF
d = 0,1mm
κ = 6 (Tableau 5.1)
a) Aire des plaques :
C0 =
ε0 A
d
=
C
κ
⇒
A = 0,941×10−4 m 2 = 0, 941 cm 2
b) Différence de potentiel disruptif :
∆V = E d = 150 × 106 V
m
⋅ d = 15000V
#46) Condensateur plan avec diélectrique :
a) Augmentation de la capacité de 50% :
C = C0 + 0, 5 C0 = 1, 5 C0 = κ C0
⇒
κ = 1,50
b) Diminution de la différence de potentiel de 25% :
∆V = ∆V0 − 0, 25 ∆V0 = 0, 75 ∆V0 =
c) Charge double :
Q = 2Q0 = κ Q0
⇒
∆V0
κ
⇒
κ = 1, 33
κ = 2, 00
18
Problèmes :
#4) Deux condensateurs plans :
C1 = C2 = C
d = 0, 4mm
−4
A = 16cm = 16 × 10 m
2
2
C=
ε0 A
d
= 35, 4 pF
∆V = 12V
κ =5
a) En série :
Q1 = Q2 = Q = Céq ∆V =
C
∆V = 213 pC
2
∆V1 = ∆V2 = 6, 00V
b) Avec un diélectrique dans le premier condensateur :
−1
−1
 1
 1
1
1
Q1′ = Q2′ = Q′ = Céq′ ∆V = 
+  ⋅∆V = 
+  ⋅∆V = 354 pC
κ C C 
 5C C 
Q′
∆V1′ = 1 = 2, 00V
→
∆V2′ = 10, 0V
C1′
#7) Condensateur plan, pile débranchée :
C avec d et A
Q = cste
Q
A
x
B
-Q
19
B
B
B
A
A
A
Wext = ∆U = ∫ F i dx = ∫ F dx cos θ = ∫ F dx
On dérive :
dU = F dx
dU
=F
dx
F=
avec U =
1 Q2
2 C
et C =
ε0 A
x
→
U=
1 Q2 x
2 ε0 A
dU 1 Q 2
=
= cste
dx 2 ε 0 A
20