Condensateurs

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Condensateurs
I Définitions
A) Condensateur
1) Définition
C’est un ensemble de deux conducteurs en influence totale (c'est-à-dire que
toute ligne de champ d’un des conducteurs aboutit sur l’autre)
2) Réalisation

Théorique :
La surface extérieure
n’appartient pas au
condensateur

Pratique :
e
On a des effets de bord :
On peut les minimiser en prenant e  d (d : distance caractéristique de la
plaque), ou faire un anneau de garde :
isolant
Cela permet en quelque sorte de prolonger le condensateur, et ainsi les effets
de bord ne se feront sentir qu’à un endroit où ce n’est plus gênant.
B) Capacité
1) Définition
Q2
Q1
Qext
Pour la surface en pointillés rouge, on a   0 . Donc Q1  Q2  0
Et Q1  C(V1  V2 ) ; C : capacité du condensateur.
(Même démonstration que dans le chapitre précédent en remplaçant V2 par
V )
2) Propriétés
-
Unité : Farad.
C’est une caractéristique géométrique.
La valeur de C est positive.
II Condensation des charges
A) Intérêt du condensateur
1) Avec un conducteur seul dans l’espace
On part du conducteur non chargé.
On apporte une première charge.
La deuxième : plus dur car repoussée par la première.
La troisième : encore plus dur…
E
Quand le condensateur est chargé, on a V  E , Q  40 RE
Avec R  1cm , E  1kV , on obtient Q  109 C , ce qui est très faible.
2) Avec un condensateur
E
C’est moins difficile de le charger, lorsque les plaques sont proches.
rr
On a Q  C (V1  V2 )  CE  40 1 2 E (montré après)
r2  r1
Donc Q augmente beaucoup plus lorsque r2  r1 est assez petit.
B) Augmentation de C.
On peut augmenter C en :
- Diminuant l’écart entre les conducteurs
- Augmentant la surface
- Mettant un milieu diélectrique (  0   0 r   0 )
III Association de condensateurs
A) Parallèle
A
1
2
B
On a QA1  QA2  C A (V1  V2 ) , QB1  QB2  CB (V1  V2 )
Donc QA1  QB1  (QA2  QB2 )  (C A  CB )(V1  V2 )
Q1

Q2 
C (V1V2 )
Donc l’association en parallèle de deux condensateurs équivaut à un condensateur
unique de capacité la somme des deux autres.
B) Série
A1 A2 B1 B2
A
B
On a QA1  QA2  C A (VA1  VA2 ) , QB1  QB2  CB (VB1  VB2 )
Donc comme V A2  VB1 ,
QA1
CA

 QA QB 
  2  2   VA1  VB2  V1  V2
CB
 C A CB 
QB1
Dans l’espace entouré, sous l’hypothèse que la charge totale est nulle, et en
supposant aussi que la charge est portée essentiellement par les deux armatures, on a
alors QA2  QB1 , et donc :
 1
1 
  V1  V2
Q1 

 C A CB 
1
1
1
Soit 
.

C C A CB
Remarque : C  inf( CA , CB )
IV Condensateurs usuels
A) Condensateur plan
e
e
2
0
1
- On fait en sorte de pouvoir négliger les effets de bord (anneau de garde…)
- Ainsi, V ne dépend que de z.

Le champ E est uniforme :



E  V  E z u z .
 
dE z
0.
Comme   E  0 , on a
dz
  
D’où E  1 u z
0


2
- On a  E  dl  V1  V2
1

Donc 1 e  V1  V2
0
 S
Soit Q1  0 (V1  V2 )
e
Donc C 
 0S
e
B) Condensateur sphérique
R2
R1
Par symétrie sphérique, V ne dépend que de r.


Q1 
Donc E  E (r )ur 
ur (en utilisant le théorème de Gauss)
40 r 2

2 
On a  E  dl  V1  V2
1
Q1  1 1 
dr
    V1  V2
 V1  V2 , soit
2
r
40  R1 R2 
RR
Donc C  40 1 2
R2  R1
Remarque :
4R 2
S
Si e  R2  R1 , on a C   0
  0 et on retrouve un condensateur plan
e
e
Donc
Q1
40

2
1
C) Condensateur cylindrique
h
R2
R1
On fait aussi en sorte de pouvoir négliger les effets de bords.
Par symétrie de révolution et invariance par translation verticale, V ne dépend que
de r (des coordonnées cylindriques)


Q1 
Donc E  E (r )ur 
ur
2 .h 0 r

2 
On a  E  dl  V1  V2
1
Donc
Q1
2h 0
Donc C 

2
1
dr
20 h
 V1  V2 , soit Q1 
(V  V )
R2 1 2
r
ln
R1
20 h
ln RR12
Si R2  R1  e avec
ln
e
 1 , on a
R1

R2
e e
 ln 1   
R1
 R1  R1
Donc ici encore C   0
2 .R1h  0 S

e
e
V Compléments
A) Condensateur plan–conique
z
R

R
isolant
1) Méthode 1
 Potentiel :
Déjà, par symétrie de révolution, V ne dépend pas de  (on se place en
coordonnées sphériques)
On admet que V ne dépend pas non plus de r, c'est-à-dire que les
équipotentielles sont des cônes de révolution.
Ceci est assez naturel, puisque c’est déjà vrai pour un angle de  et un
angle de 2 , et on voit mal comment les équipotentielles pourraient varier
autrement. Cette hypothèse sera validée par le résultat, montré dans la méthode 2,
sans faire cette hypothèse.
 Champ :



1 dV 
On a E  V  
u  E u
r d


1
(  1 dépend de r)
E (r , 2 ) 
0
On prend un tube de champ s’appuyant sur un cerceau partant du plan,
centré en 0, et finissant à l’angle  (    ) :

r
dr
(On prend le début de la surface légèrement en dessous du plan, pour
contenir des charges)
On a, d’après le théorème de Gauss :
 (r )  2 .r.dr
 E (r ,  )  2 .r sin  .dr  1
0
(Le flux est nul partout sauf en haut)
  1 (r )
Donc E (r ,  ) 
 0 sin 

 Circulation de E :

2 
E

d
l
 V1  V2

1
Soit

2
1
E r.d  V1  V2
 1 (r )  r 2 d
 V1  V2
1 sin 
 0 

lntan 2 2
  1 (r )  r
ln(tan 2 )
Donc V1  V2 

0
Soit  1 (r ) 
  0 (V1  V2 ) 1

ln(tan 2 )
r
R
On a ainsi Q1    1 (r )  2 .rdr 
0
  0 (V1  V2 )
 2 .R
ln(tan 2 )
 20 R
ln(tan 2 )
( C  0 car   2 )
Donc C 
2) Méthode 2
On note V1 le potentiel du plan, V2 celui du cône.
Alors :

  2V  0


V  V1 si   2
V  V si   
2

Ici, toujours par symétrie, V est indépendant de  (mais on n’admet plus
que V ne dépend pas de r)
On cherche une solution par séparation des variables :
V (r ,  )   (r )  ( )
On trouve alors une solution vérifiant   cte , qui est la seule possible
d’après Dirichlet.
B) Résistance de fuite d’un condensateur sphérique
Au lieu d’avoir du vide entre les deux conducteurs, on met un milieu diélectrique.
Ainsi, on a une meilleure capacité.
1) Diélectrique parfait
2
Diélectrique LHI
1
r
 1   1 , libre   1 , lié
 2   2 , libre   2 , lié

Définition de C :
Q
On pose C  1,libre
V1  V2
 Expression de C :
  
  
  E  libre ,   E  0
 0 r
Donc on a la même chose que dans le vide en remplaçant  0 par  0 r
On n’a donc pas à tenir compte de la polarisation pour calculer la capacité C
du condensateur (mais il faut mettre  0 r ).
2) Résistance de fuite
A part le vide, tout matériau est, même légèrement, conducteur. On a donc
quand même une petite conductivité  :
2
r
1

A l’instant initial, Q1  Q10 , Q2  Q10
On peut modéliser le milieu par une résistance :
ou
On cherche la résistance r, appelée résistance de fuite.
 Stratégie :


On va utiliser la loi d’Ohm (locale) : j  E
 Champ électrique :

- E n’est pas un champ électrostatique.


- On a E  E (r , t )ur
- D’après le théorème de Gauss,
Q
E  4 .r 2  1 (les charges dans le diélectrique sont prises en compte par
 0 r
r )

Donc E 
Q1

u r (correspond à l’approximation des régimes quasi
40 r r
permanents : ARPQ)
 Tension :
 Q (t )
2 
V1  V2   E  dl  1
1
40 r
2
 1 1  Q1 (t )
   
C
 R1 R2 

Intensité :
 
 
 
Q (t )
I   j  dS   E  dS    E  dS   1
 0 r
 Résistance :
On a V1  V2  rI


Donc r  0 r , ou r.C  0 r

 .C
Ce résultat s’applique à n’importe quel condensateur.
3) Décharge du condensateur
Q1
U  V1  V2
-Q1
I
dQ1
dI
, et Q1  C(V1  V2 )  RCI . Donc I   RC
dt
dt
dQ
Ou Q1   RC 1 , donc Q1  Q10 et / RC ; le condensateur se décharge avec
dt
On a I 
une constante de temps  
 0 r
.

C) Condensateur diédrique
h

a
b
1) Equipotentielles
Par symétrie, le plan médiateur est un plan équipotentiel.
Puis par dichotomie, tout plan équi-  est une équipotentielle.
Donc V  V ( )
2) Champ



1 dV 
1
On a E  V  
u   f ( )u
r d
r
Théorème de Gauss :
r

On n’a du flux qu’à travers le couvercle :
 dS
  E (r , )dS  1
0

Donc E ( r ,  )  1
0
r
Donc f ( )  1 ( cte )
0
3) Capacité
On a
dV   1r

d
0
 1
 1r
 , soit  1  0 (V1  V2 )
 r
0
b 1
h b
Puis Q1    1dS   0 (V1  V2 )hdr  0 ln (V1  V2 )
a  r

a



Donc V1  V2 
C
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