TP n 16 : Méthodes numériques d’intégration o

Lycée Victor Hugo MPSI-PCSI 2016-2017
TP no16 : Méthodes numériques d’intégration
Conseils Importants :
— De nombreuses questions du TP se traitent par écrit. Consignez bien
vos conclusions.
— Lisez attentivement l’introduction avant de passer aux questions.
I Méthode des rectangles / Méthode des trapèzes
On souhaite effectuer une approximation de l’intégrale d’une fonction fsur un segment
[a, b].
Pour cela, on approche la partie du plan située entre Cfet l’axe des abscisses par des
figures géométriques simples (dont l’aire sera alors concrètement calculable).
Commençons par subdiviser de façon régulière le segment [a, b]en nsous-segments
comme l’indique le schéma suivant :
où l’on a : a0=a,an=bet pour tout k∈[|0, n|]:ak=a0+k(b−a
n)
Méthode des rectangles à gauche
1

Lycée Victor Hugo MPSI-PCSI 2016-2017
Sur chaque segment [ak, ak+1], on "assimile" l’aire algébrique sous Cfà celle du rec-
tangle kde hauteur f(ak)qui vaut donc : f(ak).(b−a
n)
Finalement, la somme de toutes les aires des parties hachurées, notée Rn(f), permet
d’approcher l’aire algébrique située sous Cfsur [a, b].
i.e. une approximation de Zb
af(x)dxest donnée par Rn(f) = b−a
n
n−1
X
k=0
f(ak)
et
Méthode des trapèzes
Sur chaque segment [ak, ak+1], on "assimile" l’aire algébrique sous Cfà celle du trapèze
kde bases f(ak)et f(ak+1)qui vaut donc : (f(ak) + f(ak+1)).(b−a
2n)
Enfin, la somme de toutes les aires des parties hachurées, notée Tn(f), permet d’ap-
procher l’aire algébrique située sous Cfsur [a, b].
i.e. une approximation de Zb
af(x)dxest donnée par Tn(f) = b−a
2n
n−1
X
k=0f(ak) + f(ak+1)
2

Lycée Victor Hugo MPSI-PCSI 2016-2017
II Objectif du TP
L’objet de ce TP est de programmer le calcul de valeurs approchées d’intégrales par
la méthode des rectangles ( à gauche) et par la méthode des trapèzes.
Ces méthodes seront traduites en Python par deux fonctions int_rect et int_trap
dont l’en-tête sera
d e f int_rect (f , a , b , n ):
... (code de la méthode des rectangles)
d e f int_trap (f , a , b , n ):
... (code de la méthode des trapèzes)
Leurs quatre arguments auront la signification suivante :
—freprésente la fonction que l’on veut intégrer,
—aest la borne gauche de l’intervalle d’intégration (de type float),
—best la borne droite de l’intervalle d’intégration (de type float),
—nest le nombre de pas de la méthode, c’est-à-dire le nombre de sous-segments du
segment [a, b]utilisés lors du calcul (de type int).
Pour "représenter" la fonction fà intégrer, plusieurs approches sont envisageables. Le
langage Python autorise qu’un argument d’une fonction (ici int_rect ou int_trap)soit
lui-même une fonction. Nous considérerons donc que l’argument fest une fonction.
Exemple Si on veut évaluer Z1
0
x2dxpar la méthode des rectangles à 100 pas, on com-
mencera par définir la fonction carré qui modélise x7→ x2:
d e f carr é( x):
y = x **2
return y
Notons que carré est bien une fonction et que l’on peut l’appliquer en une valeur :
In : carr é
Out : < function _ _main__ . carr é >
In : carr é ( -12)
Out : 144
On pourra ensuite appeler la fonction de calcul approché d’intégrale int_rect en lui
passant la fonction carré en argument :
In : int_rect ( c arr é , 0 , 1, 100)
Out: 0.32835000000000003
On obtiendra ainsi une valeur approchée de Z1
0
x2dx.
3

Lycée Victor Hugo MPSI-PCSI 2016-2017
III Programmation des deux méthodes et premier
exemple
Dans un circuit RC série, de résistance R=20 Ohm, lors de la décharge d’un condensa-
teur, l’intensité du courant vérifie : i(t)=0.5*exp(-2t). On cherche à déterminer l’énergie
dissipée par effet Joule dans le résistor entre les dates 0 et 1 seconde.
On rappelle que la puissance dissipée par effet Joule dans un résistor s’écrit P(t) = R.i2(t)
Question 1 H
Quelle est l’expression de la puissance dissipée P(t) en fonction du temps ?
Script 2 H
On commencera par définir la fonction elec qui modélise t7→ 5.exp(−4t).
Programmez la fonction int_rect en s’inspirant de l’exemple vu précédemment avec
la fonction carré.
Pour l’évaluation de Z1
0
5.exp(−4t) dt
(dont la valeur exacte est 1.2271054513890822), on obtient par exemple :
In : int_rect ( elec , 0, 1 , 100)
Out : 1.25 181117 011417 36
(vos résultats pourront différer légèrement au niveau des derniers chiffres)
Script 3 H
Programmez maintenant la fonction int_trap.
Exemple d’utilisation :
In : int_trap ( elec , 0, 1 , 100)
Out: 1.227269061086391
Toujours sur l’exemple de Z1
0
(5.exp(−4t)) dt, on fait varier le nombre de pas ndes
deux méthodes numériques d’intégration.
Question 4 H
Qu’observe-t-on de commun aux deux méthodes à mesure que l’on fait augmenter ce
nombre ? Comment l’expliquer ?
Question 5 H
Qu’est-ce qui distingue le comportement des deux méthodes ? Comment l’expliquer ?
IV Une deuxième intégrale : cinématique
En cinématique, lorsqu’un mouvement rectiligne est à accélération aconstante, la
vitesse vérifie : v(t)=a.t+v0
Sachant que a=0.5 m/s2et v0= 1m/s , nous cherchons à déterminer la distance parcourue
par le point matériel entre les dates 1s et 3s.
Nous allons donc devoir calculer des valeurs approchées de l’intégrale
J=Z3
1x
2+ 1dx.
4

Lycée Victor Hugo MPSI-PCSI 2016-2017
Question 6 H
Déterminez la valeur exacte de cette intégrale représentant la distance parcourue (de
préférence à l’aide d’une représentation graphique et d’un calcul d’aire direct, sinon à l’aide
d’une primitive).
Script 7 H
Définissez une fonction Python méca qui représente informatiquement la fonction x7→ x
2+ 1.
Question 8 H
Sur cette intégrale, la méthode des trapèzes doit donner en théorie la valeur exacte de
J: justifier cette affirmation.
Vérifier les trois exemples suivants :
In []: int_trap ( m éca , 1, 3, 100)
Out []: 4.0
In []: int_trap ( m éca , 1, 3, 1000)
Out []: 3 .9999 9999 99999 694
In []: int_trap ( m éca , 1, 3, 10000)
Out[]: 3.999999999999894
Ils sont très surprenants : pourquoi ? Proposez une explication précise.
Question 9 H
Déterminez des valeurs approchées de Jà l’aide de la méthode des rectangles . Observez
ce qui se passe quand on fait augmenter le nombre de pas. Commentez.
V Une troisième intégrale : le parachutiste
Un parachutiste à bord d’un hélicoptère en vol stationnaire à l’altitude 4500 mètres,
saute sans vitesse initiale par rapport au sol. La première phase sans parachute dure 10
secondes.
Question 10 H
Quelle est la distance parcourue lors de cette première phase supposée sans frottements
et quelle est la vitesse à la fin de cette première phase ? On prendra g=10 m/s2.
Lors de la seconde phase où le parachute est ouvert des frottements sont modélisés
par une force f=-kv
Question 11 H
Sachant que l’on remet le chronomètre à zéro quand le parachute s’ouvre, déterminez
si l’expression v(t) = 80.exp(−t/2) + 20, de la vitesse dans cette seconde phase est
correcte. On donne m= 70kg et k= 35N.s.m−1? Justifiez.
Nous cherchons à présent à déterminer la distance parcourue par le parachutiste pen-
dant les 60 premières secondes de la seconde phase.
5