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THÈSE
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par :
Université Toulouse III Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)
Discipline ou spécialité :
Mathématiques appliquées
Présentée et soutenue par
Alice GAERTIG-STAHL
le : vendredi 09 novembre 2012
Titre :
Modèles probabilistes de feux de forêt sur des graphes infinis
École doctorale :
Mathématiques Informatique Télécommunications (MITT)
Unité de recherche :
UMR 5219
Directeur de thèse :
Xavier BRESSAUD
Rapporteurs :
Jean BERTOIN
Ellen SAADA
Membres du jury :
Patrick CATTIAUX
Nicolas FOURNIER
Pierre TARRÈS

Table des matières
Remerciements vii
Introduction ix
1 Le modèle de feux de forêt 1
1.1 Définition du modèle de feux de forêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Définition ............................. 1
1.1.2 Existence des processus de feux de forêt . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Unicité des processus de feux de forêt . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Résultats sur Z.............................. 8
1.2.1 Comportement asymptotique des composantes connexes . . . 8
1.2.2 Mesure invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2.1 Existence de mesures invariantes . . . . . . . . . . . 11
1.2.2.2 Unicité de la mesure invariante . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Processus limite lorsque λtend vers 0.............. 12
1.3 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Existence de mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Vers un processus limite lorsque λtend vers 0......... 16
2 Les outils probabilistes 23
2.1 Percolation ................................ 23
2.1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Percolation sur Zd........................ 27
2.1.3 Percolation sur un arbre binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Processus de branchements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Arbres de Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Processus de branchement à espace d’états continu . . . . . . 37
2.2.2.1 Définition........................ 37
2.2.2.2 Étude de la probabilité d’extinction . . . . . . . . . . 39
2.2.2.3 Étude de la taille totale du processus (Zk)k≥0. . . . 40
2.2.2.4 Comportement des CSBP dans le cas explosif . . . . 41
2.3 Loisstables ................................ 45
2.3.1 Définitions............................. 46
2.3.2 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.3 Étude de la somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . 48
i

ii TABLE DES MATIÈRES
2.4 Autour de la taille des composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.1 Étude de la loi de la taille des composantes connexes . . . . . 50
2.4.2 Lien avec les lois stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.3 Loi de la somme de la taille des composantes connexes . . . . 54
3 Mesure invariante 59
3.1 Notations ................................. 59
3.2 Tools introduced by Dürre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 CCSBcondition.......................... 60
3.2.2 Blurprocess............................ 62
3.3 Existence of stationary measures on Zd,d≥2............. 63
3.3.1 A candidate distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1.1 Definition of “finite volume" forest-fire processes . . . 63
3.3.1.2 Construction of the candidate measure . . . . . . . . 65
3.3.2 Proof of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2.1 Proof of Theorem 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2.2 Proof of Lemma 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.2.3 Proof of Lemma 3.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Modèle de croissance 75
4.1 Notations ................................. 76
4.2 Modèleàtaillefixée............................ 79
4.2.1 Définition de l’ensemble Bn(0) .................. 79
4.2.2 Étude de ce que l’on rajoute à un site voisin de Bn(0) ..... 81
4.2.3 Étude de ce que l’on rajoute à l’ensemble Bn(0) ........ 86
4.3 Modèlelimite ............................... 90
4.3.1 Étude de la taille Nn
0....................... 91
4.3.2 Renormalisations en temps et en espace . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.3 Limite de la probabilité d’extinction de la forêt At....... 94
4.3.4 Vers un processus limite de la forêt . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.4.1 Convergence des lois fini-dimensionnelles . . . . . . . 95
4.3.4.2 Taille totale du processus . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.5 Étude du processus limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.5.1 Probabilité d’extinction du processus (Zk)k≥0. . . . 117
4.3.5.2 Population totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3.5.3 Comportement des variables aléatoires Zk......119
4.3.6 Taille de l’ensemble Bn(tn)....................123
5 Vers un processus limite 127
5.1 Étude de la croissance de C(t)......................128
5.2 Étude du premier feu touchant C(t)...................134
5.2.1 Notations .............................134
5.2.2 Instant du premier feu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2.3 Taille de C(t)lorsqu’elle est touchée par la foudre . . . . . . . 137
5.2.3.1 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

TABLE DES MATIÈRES iii
5.2.3.2 Deuxième approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Notations 141

iv TABLE DES MATIÈRES