Laurent2004

Filtrations à temps discret négatif.
par Stéphane LAURENT
THÈSE
présentée pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’Université Louis Pasteur, Strasbourg I
Spécialité MATHÉMATIQUES
Soutenue le Mercredi 30 Juin 2004 à 9h00 devant la Commission d’Examen :
Michel ÉMERY Directeur de thèse,
Jacques FRANCHI Rapporteur Interne,
Christophe LEURIDAN Membre du jury,
Pierre VALLOIS Rapporteur Externe,
Marc YOR Rapporteur Externe
IRMA - UMR 7501 CNRS/ULP
7 rue René Descartes - 67084 Strasbourg Cedex, FRANCE

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Je remercie spécialement Michel Émery sans qui je n’aurais pu réaliser cette thèse. Sans
son aide, ses conseils, son influence, son exigence, sans ses soins, je n’aurais pas toujours su
me débarrasser de la quincaillerie avec laquelle mes mathématiques étaient écrites parfois.
Je pense que celui de mes professeurs qui aura eu l’influence la plus manifeste sur moi
lorsque j’ai choisi de m’orienter vers la théorie des probabilités est Pierre Vallois ; je le remercie
donc particulièrement pour cela et aussi parce qu’il a accepté de participer au jury de ma
thèse. J’ai beaucoup d’estime pour Jacques Franchi, Christophe Leuridan et Marc Yor, que je
remercie aussi d’avoir accepté de faire partie du jury.
Je remercie Michel Coornaert que j’ai beaucoup côtoyé durant ma thèse ; il sera toujours
indissociable de mes souvenirs de ces années et le travail que nous avons partagé m’aura donné
de hautes leçons en matière d’enseignement des mathématiques.
Il y a beaucoup de présences avec lesquelles on vit. Pour leur présence durant ces années,
je remercie Anthony Phan, David Kurtz, Céline, Ève, L. Bagot, Myriam Ounaies, Corine, le
Séb. Et enfin, je remercie mes parents.

TABLE DES MATIÈRES
partie I Introduction. 7
1. Introduction I et préliminaires. .......................... 8
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Introduction II et définitions. ............................ 16
2.1 Vocabulaire sur les σ- algèbres et les filtrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Vocabulaire sur les σ- algèbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Filtrations de type produit et de type produit local. . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Filtrations conditionnellement homogènes : définitions. . . . . . . . . . . 17
2.2 Questions. L’exemple de Vinokurov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Le cas conditionnellement non-atomique : l’erreur de Wiener. . . . . . . . . . . 19
2.4 Contenu des parties II, III, IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Partie II : Critère de Vershik de premier niveau et exemples. . . . . . . . 20
2.4.2 Partie III : Critère de I-jonction en arbre et contre-exemples. . . . . . . 20
2.4.3 Partie IV : Critères de second niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
partie II Filtrations de type produit local. Critère de Vershik de premier
niveau. Exemples des mots gommés et des mots découpés. 21
3. Critère de Vershik de premier niveau. ...................... 23
3.1 Innovations et critère de Vershik de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Ensembles substantiels de σ- algèbres et Cloc(F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Critère de Vershik de premier niveau : équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Preuve de la proposition 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Remarques sur le critère de Vershik de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Cas d’une chaîne de Markov constructive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 Cas d’une filtration de type produit local générale. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Changement d’innovation. .............................. 34
4.1 σ- algèbres isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Mesures boréliennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Innovations de σ- algèbres : existence et description. . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Changement d’innovations de filtration et automorphismes d’arbre. . . . . . . . 42

Table des matières 4
5. L’exemple des mots gommés. ............................ 48
5.1 Préliminaire : notations sur les mots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 Le processus des mots gommés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Cas uniforme sur un alphabet fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1 Lemme de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.3 Construction de (eηn)n60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Cas d’autres alphabets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1 Cas de la mesure de Lebesgue sur [0,1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 Cas d’un alphabet essentiellement séparable. . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.3 Cas d’un alphabet non séparable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6. L’exemple des mots découpés. ........................... 61
6.1 Découpage rn-adique. Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Le processus des mots découpés rn-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3 Construction de (eηn)n60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.4 Les mots découpés dans [Ver]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7. Conclusion de cette partie. ............................. 68
partie III Couplage des filtrations de type produit local : couplage de Doeblin
et I-jonction en arbre. Le contre-exemple des mots découpés et des mots rongés. 69
8. Préliminaires : filtrations isomorphes et immersions des filtrations. . . . . 71
8.1 Filtrations isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.1 Copie d’une v.a. dans un espace métrique standard. . . . . . . . . . . . 71
8.1.2 Filtrations isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2 Immersion, immersibilité, coïmmersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.1 Définition et caractérisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2.2 Lemmes utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2.3 Coïmmersion de deux filtrations : caractérisations. . . . . . . . . . . . . 77
8.2.4 Critère de Vershik de premier niveau pour une martingale. . . . . . . . . 78
9. Couplage de Doeblin. ................................. 80
9.1 Notre premier couplage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.2 Cas des chaînes de Markov constructives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 Une condition suffisante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.I-jonction en arbre. .................................. 85
10.1 Coïmmersions en arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 I-jonction en arbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.Le contre-exemple des mots découpés. ...................... 91
11.1 Coïmmersions en arbre de deux processus de mots découpés. . . . . . . . . . . . 91
11.2 Le mécanisme de découpage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3 Mots découpés non standard : lemme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.4 Mots découpés non standard : preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Table des matières 5
11.5 Quelques remarques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.Le contre-exemple des mots rongés. ........................ 102
12.1 Préliminaire : endomorphisme d’un espace de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . 102
12.2 Contenu de ce chapitre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12.3 La transformation [T, T −1]et la chaîne de Markov [T, T −1]. . . . . . . . . . . . 104
12.4 Les processus des mots décalés et des mots rongés. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.Conclusion de cette partie. ............................. 108
partie IV Critères de Vershik de second niveau. 109
14.I-confort. ......................................... 111
14.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2 Choix des variables aléatoires “test”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
14.3 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
14.4 Exemple : couplage classique des chaînes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . 116
15.Filtrations I-confortables et filtrations standard. ................ 119
15.1 Cas rn-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
15.2 Cas conditionnellement homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
15.3 Filtrations standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.4 Cas des filtrations conditionnellement séparables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.5 À propos de la séparabilité conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
16.Paramétrisations I. .................................. 130
16.1 Généralités sur les paramétrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
16.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
16.1.2 Paramétrisations et séparabilité conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . 131
16.1.3 Grossissement paramétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
16.1.4 Paramétrisations des chaînes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16.2 Conditions de Doeblin et paramétrisation génératrice. . . . . . . . . . . . . . . 133
16.2.1 Préliminaires : familles de mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
16.2.2 Conditions de Doeblin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
16.2.3 Un exemple de Hanson et Rosenblatt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
16.2.4 Cas markovien homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.3 Application au I-confort des chaînes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.3.1 I-confort des chaînes de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.3.2 Couplage à partir d’un temps d’arrêt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
17.Paramétrisations II. .................................. 144
17.1 Préliminaire : concaténation des paramétrisations. . . . . . . . . . . . . . . . . 144
17.1.1 Paramétrisations isomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.1.2 Concaténation : cas local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.1.3 Concaténation : cas global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
17.2 Critère de Vershik paramétrique de premier niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . 149
17.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149