WEISS Nicolas 2007

INSTITUT DE RECHERCHE MATH´ EMATIQUE AVANC´ EE
Universit´e Louis Pasteur et CNRS (UMR 7501)
7, rue Ren´e Descartes
67084 Strasbourg Cedex
Cohomologie de GL2(Z[i, 1
2])
`a coefficients dans F2
par
Nicolas Weiss
Classification AMS : 11F75, 20J06, 55T10, 55N25
Mots cl´es : Conjecture de Lichtenbaum et Quillen, R´eseaux gaussiens,
Sous-groupe d’Iwahori, Cohomologie ´equivariante, Cohomologie des groupes
lin´eaires, Cohomologie des groupes arithm´etiques

Remerciements
Mes remerciements s’adressent en premier lieu `a Hans-Werner Henn, sous
la direction duquel j’ai pu r´ealiser le pr´esent travail. Hans-Werner n’a pas ´et´e
uniquement mon directeur de th`ese : c’est aussi lui qui m’a fait d´ecouvrir la
topologie alg´ebrique en Magist`ere et la cohomologie des groupes en DEA. Il
a su me donner goˆut `a ces disciplines et m’´epauler dans leur apprentissage
et la quˆete de H∗(BGL2(Z[i, 1
2]); F2).
Je suis reconnaissant envers Jean Lannes, Jean-Louis Loday, Guido Mislin
et Philippe Nuss pour le temps pr´ecieux qu’ils ont consacr´e `a la lecture de
mon travail.
Plus g´en´eralement, je souhaite remercier tous ceux qui m’ont soutenu
de pr`es ou de loin, consciemment ou `a leur insu : ils sont doctorants ou
anciens doctorants de l’ULP (un merci particulier `a mes coll`egues de bureau
successifs), math´ematiciens, musiciens, famille ou amis.
En d´efinitive, je d´edie ces quelques pages de ma vie `a celle avec laquelle
j’´ecrirai toutes les autres.

Table des mati`eres
Introduction i
1 Motivation du calcul de H∗(BGL2(Z[i, 1
2]); F2) ......... i
2 Enonc´e du r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
3 M´ethode de r´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3.1 R´eduction du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
3.2 Le bon espace pour calculer H∗(BPSL2(Z[i]); F2) . . . . iii
3.3 Cohomologie de BPSL2(Z[i])............... iii
3.4 Cohomologie du sous-groupe d’Iwahori de PSL2(Z[i]) . iii
3.5 Cohomologies de B(P)SL2(Z[i, 1
2]) et BGL2(Z[i, 1 2]) . . iv
1 Le bon espace Zpour calculer H∗(BPSL2(Z[i]);F2) - R´eseaux 1
1.1 R´eseaux et formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Les espaces Hnet Ln................... 1
1.1.2 Vecteurs minimaux d’un r´eseau L............ 4
1.1.3 L’espace Zn........................ 4
1.2 R´etraction............................. 5
1.2.1 R´etraction de Lnsur L1
n................. 5
1.2.2 R´etraction de L1
nsur W1 n................. 6
1.2.3 R´etraction de Lnsur W1
n................. 6
1.2.4 R´etraction de Hnsur Zn................. 7
1.3 D´etermination de GL2(Z[i])\Z .................. 7
1.3.1 Caract´erisation des r´eseaux bien arrondis
et inventaire de leurs vecteurs minimaux . . . . . . . . 7
1.3.2 R´eseaux bien arrondis `a rotation pr`es . . . . . . . . . . 10
1.4 Calculs explicites de r´etractions . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Calcul explicite du r´etracte d’un r´eseau . . . . . . . . . 13
1.4.2 R´etracte du sous-r´eseau LI................ 16
1.4.3 R´etracte du sous-r´eseau LII ............... 18
1.4.4 R´etracte du sous-r´eseau LIII ............... 19

2 Cohomologie de (P)SL2(Z[i]) et (P)GL2(Z[i]) 23
2.1 Principeducalcul......................... 23
2.2 Analyse de Z........................... 24
2.2.1 Domaine fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Reconstruction de l’espace Z.............. 27
2.2.3 Structure cellulaire sur Z................ 28
2.2.4 Sous-groupes d’isotropie pour l’action de Γ . . . . . . . 29
2.2.5 Repr´esentation graphique locale de Z.......... 40
2.3 Analyse de la suite spectrale E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Cohomologie du sous-groupe d’Iwahori Γ0de PSL2(Z[i]) 49
3.1 Le sous-groupe Γ0......................... 49
3.2 Cohomologie de BΓ0-strat´egie ................. 51
3.3 R´eseaux et calcul de H∗
Γ0(Z;F2) ................. 51
3.4 R´eduction au calcul de H1(BΓ0;F2) ............... 53
3.4.1 Quotient Γ0\Z et sous-groupes d’isotropie . . . . . . . 53
3.4.2 La suite spectrale E0................... 55
3.5 Calcul de H1(BΓ0;F2) et H∗(BΓ0;F2) .............. 60
3.5.1 Actions cellulaires et sans inversion de groupes sur les
CW -complexes simplement connexes . . . . . . . . . . 60
3.5.2 Pr´esentation de Γ0.................... 65
3.5.3 Calcul de H1(BΓ0;F2) .................. 70
3.5.4 Cohomologie de BΓ0................... 71
4 Cohomologies `a coefficients dans F2de BPSL2(Z[i, 1
2]),
BSL2(Z[i, 1
2]) et BGL2(Z[i, 1 2]) 73
4.1 Cohomologie de BPSL2(Z[i, 1
2]) ................. 73
4.1.1 Situation.......................... 73
4.1.2 Etude de (i, j)∗...................... 74
4.1.3 Cohomologie de BPSL2(Z[i, 1
2]) ............. 84
4.2 Cohomologie de BSL2(Z[i, 1
2]) .................. 85
4.3 Cohomologie de BGL2(Z[i, 1
2]) .................. 87
4.3.1 Restriction de H∗(BGL2(F5); F2) vers H∗(BD2(F5); F2) . 88
4.3.2 Analyse de l’homomorphisme π∗
D............ 89
4.3.3 Description de Res ◦π∗................. 91
4.3.4 Description explicite de E∗,∗
2............... 93
4.4 Cohomologie de BGL2(Z[i, 1
2]) - R´esultats . . . . . . . . . . . . 94
Appendice 97
Bibliographie 101