6. Formule pour les idempotents Soit k un corps gauche tel que |G

6. Formule pour les idempotents
Soit k un corps gauche tel que |G| ∈ k × et dimC(k) k < ∞, et supposons que le nombre de
kG-modules simples à gauche est égale au nombre c de classes de conjugaison dans G. Dans ce cas
il y a deux bases naturelles pour le centre de kG comme C(k) module. D’un côté, si C1 , . . . , Cc sont
les classes de conjugaison de G alors les [Ci ] aussi font une base. De l’autre côté, soient V1 , . . . , Vc
les kG-modules simples. Par le théorème de Wedderburn il existent des uniques éléments e1 , . . . , ec
dans le centre de kG, caractérisés par la propriété que ei Vj = 0, i 6= j et ei agit comme l’identité sur
Vi . Ces ei forment aussi une base. Alors on peut uniquement exprimer les ei comme combinaison
C(k)-linéaire de [Cj ]’s, et vice versa. On voudrait savoir ces coefficients.
Par exemple, soit V = k le kG-module trivial (gv = v, for all g ∈ G, v ∈ V ), alors l’élément
associé est
1 X
[g],
e=
|G|
g∈G
MG
en effet, pour chaque kG-module M on a eM =
est la somme des sous kG-modules triviaux
de M .
On dira d’un corps k qu’il est G-déployé si |G| ∈ k × et pour chaque kG-module simple V on a
EndkG (V ) = k · 1. Dans ce cas,
X
|G| =
dimk (Vi )2 .
i
Par exemple, chaque corps algébriquement clos k tel que |G| ∈ k × est G-déployé, par le lemme de
Schur.
Proposition 6.1. Soit k un corps gauche tel que |G| ∈ k × et dimC k < ∞ (où C := C(k)) et
supposons que le nombre de kG-modules simples à gauche est égale au nombre c de classes de
conjugaison dans G. Soient les Vj , ej comme plus haut.
Soit K ⊇ C une extension de corps de C.
(i) Alors le nombre de classes de conjugaison dans G est aussi égal au nombre de KG-modules
simples à gauche. Et les e1 , . . . , ec forment aussi un système central d’idempotents orthogonal
complet pour pour KG.
(ii) Soient U1 , . . . , Uc des KG-modules simples, où ei agit comme l’identité sur Ui et trivialement
sur les autres Uj ’s. Alors Vi ⊗C K considéré comme KG-module est une somme de modules, chacun
isomorphe à Ui (alors Uj , j 6= i, n’apparaı̂t pas).
(iii) Si k est un corps, alors Ui ' Vi ⊗k K si et seulement si EndkG (Vi ) ⊗k K reste un corps
gauche, ce qui est le cas si EndkG (Vi ) ' k. En particulier, si k est G-déployé alors aussi K est
G-déployé.
Preuve. (i) Le centre de kG est inclu dans le centre de KG, alors on peut considérer les ei
aussi comme un système central d’idempotents orthogonal complet pour KG, ainsi on obtient
une décomposition d’anneaux
KG = KGe1 ⊕ . . . ⊕ KGec .
Chaque composant KGei a au moins un module simple, donc KG a au moins c modules simples
non-isomorphes. Si s est le nombre de KG-modules simples on alors s ≥ c. Par contre, par cor. 5.1
on a toujours c ≥ s, donc s = c.
32
33
(ii) L’idempotent ei agit comme l’identité sur Vi , alors Vi = ei Vi et chaque composant CG-simple
est isomorphe à Ui .
(iii) On a que EndKG (Vi ⊗k K) ' EndkG (Vi ) ⊗k K, et par le lemme de Schur, Vi ⊗k K est KGsimple si et seulement si EndKG (Vi ⊗k K) est un corps gauche. En particulier, si EndkG (Vi ) ' k,
alors EndkG (Vi ) ⊗k K ' k ⊗k K ' K.
Pour trouver une expression des ei en termes des [Cj ] la proposition permet de remplacer k par
son centre C, et puis C par une extension de C qui est G-déployé. Parce que ni les ei ni les [Cj ]
changent par ces changements de corps gauche. Donc dans les sous-sections suivantes, nous allons
nous concentrer principalement sur les corps G-déployés.
6.1. Caractères. Soit k un corps et V le kG-module associé à la représentation ρ : G −
→ GL(V ).
On définit le caractère χV : G −
→ k par
χV (σ) := tr(ρ(σ)),
où trρ(g) est la trace de l’application k-linéaire ρ(g) : V −
→ V. C’est une fonction centrale sur G,
c’est à dire une fonction constante sur chaque classe de conjugaison :
χV (xgx−1 ) = tr ρ(x)ρ(g)ρ(x)−1 = tr(ρ(g)) = χV (g), où g, x ∈ G,
parce que la trace d’une application ne dépend pas du choix de base et donc ne change pas par une
conjugaison.
Les propriétés suivants sont laissées comme exercice. Soient V et W deux kG-modules. Si V et
W sont isomorphes, alors les caractères sont égaux : χV = χW . On a χV ⊕W = χV + χW , pour la
somme directe; χV ⊗W = χV χW , pour le produit tensoriel. Et χV ∗ (g) = χV (g −1 ), pour le module
dual V ∗ = Homk (V, k). Si V1 , V2 , . . . , Vs sont les facteurs simples dans une suite de Jordan-Hölder
P
de V , alors χV = i χVi . Si k ⊆ K est une extension de corps, alors V ⊗k K est un KG-module.
Soit χV ⊗k K : G −
→ K son caractère, alors pour chaque g ∈ G on a χV (g) = χV ⊗k K (g), pour chaque
g ∈ G.
Si le caractéristique de k est positif, disons p > 0, il est possible que χV est la fonction zéro. Par
exemple, si V est la somme de p copies d’un autre kG-module W , alors
χV = pχW = 0 ∈ k,
donc son caractère sera identiquement 0.
Lemme 6.1. Soit k un corps. Soient V et W deux kG-modules de dimension finie. Alors
Homk (W, V ) est aussi un kG-module, où g · f est définie par
(g · f )(w) := gf (g −1 w).
Alors
χHomk (W,V ) (g) = χV (g)χW (g −1 ).
Preuve. Soit e1 , . . . , en une base de W et f1 , . . . , fm une base de V . Alors une base de Hom(W, V )
est {ηi,j ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}, où
ηi,j (ek ) := δik fj ,
34
où nous avons utilisé le Kronecker-δ. On a des matrices ρW (g) et ρV (g) pour chaque g ∈ G tel que
X
X
gej =
ρW (g)ij ei ; et gfj =
ρV (g)ij fi .
i
i
Donc
!
(g · ηij )(ek ) = gη(g −1 ek ) = gηij
X
ρW (g −1 )rk er
r
=
X
=
X
ρW (g
−1
)rk gηij (er )
r
ρW (g −1 )rk δir gfj
r
= ρW (g −1 )ik
X
ρV (g)sj fs
s
=
X
ρW (g
−1
)ik ρV (g)sj fs .
s
À l’autre côté,
X
crs ηr,s (ek ) =
r,s
X
crs δr,k fs =
X
r,s
cks fs ,
s
donc
g · ηij =
X
ρW (g −1 )ir ρV (g)sj ηrs .
r,s
Alors
χHom(W,V ) (g) =
X
i,j
ρW (g −1 )ii ρV (g)jj =
X
j
ρV (g)jj
X
ρW (g −1 )ii = χV (g)χW (g −1 ).
i
Lemme 6.2. Soit G un groupe fini et k un corps.
(i) Supposons V un kG-module simple tel que k ' EndkG (V ). Alors
1 X
χV (g)χV (g −1 ) = 1.
|G| g
En particulier, il existe un g ∈ G, tel que χV (g) 6= 0.
(ii) Supposons V et W sont deux kG-modules simples, nonisomophes. Alors
1 X
χV (g)χW (g −1 ) = 0.
|G| g
Preuve. Considérons Endk (V ) comme kG-module, par (g · η)(v) := gη(g −1 v). Alors Endk (V )G =
EndkG (V ) = k · 1V , par l’hypothèse, et donc l’image de la projection sur les invariants η 7→ e · η,
1 P
1 P
−1
où e = |G|
g∈G [g], est de dimension 1, donc sa trace est 1. Cette trace est |G|
g χV (g)χV (g ,
par lemme 6.1). La preuve de (ii) est similaire en utilisant que HomkG (V, W ) = 0, par le lemme de
Schur.
35
6.2. Formule pour les idempotents. Soit G un groupe fini et soient C1 = C(x1 ), C2 = C(x2 ),
. . . , Cc = C(xc ) les classes de conjugaison, avec des représentants xi fixés. On denote son centralisateur CG (xi ) = {g ∈ G; gxi = xi g} par Gi et on pose ni := |Ci | pour le nombre d’éléments dans
la classe de conjugaison Ci .
Supposons maintenant que k est un corps G-déployé. Soient V1 , . . . , Vc les kG-modules simples,
χi : G −
→ k les caractères simples associés. On pose di := dim Vi pour les degrés simples.
Le théorème suivant exprime la base des [Ci ] dans la bases des ei , et vice versa, dans le cas où
k est un corps G-déployé.
Théorème 6.1. Soit G un groupe fini et k un corps G-déployé.
(i) Ni les degrés simples di ni les cardinalités ni des classes de conjugaison de G ne sont divisible
par la caractéristique du corps, c’est à dire que
di ∈ k × et ni ∈ k × .
(ii) Pour chaque 1 ≤ i ≤ c on a
c
X
1
1
[Ci ] =
χj (xi ) · ej ;
ni
dj
j=1
(iii) et
c
c
X
χi (x−1
1
1
1 X
j )
· [Cj ] =
ei =
χi (x−1
j ) [Cj ].
di
|Gj |
nj
|G|
j=1
j=1
Preuve. (i) On a ni |Gi | = |G| ∈ k × . Donc aussi ni ∈ k × .
Les [Ci ] sont des éléments du centre de kG, donc par le lemme de Schur (et l’hypothèse que k
soit G-déployé) ces éléments agissent comme la multiplication par un scalaire aij ∈ k sur Vj , et il
suit que la trace est dj aij . Par définition des ei on a au moins :
[Ci ] =
c
X
aij ej .
j=1
Puis, on calcule la trace de ρj ([Ci ] en deux façons, comme
trρj ([Ci ]) = dj aij
X
X
= tr
ρj (x) =
trρj (x) =
x∈Ci
x∈Ci
X
χj (x) = ni χj (xi ).
x∈C(xi )
D’où
dj aij = ni χj (xi ) ∈ k.
Par lemme 6.2, pour chaque j il existe un xi tel que χj (xi ) 6= 0. Il suit que pour chaque j le degré
simple dj ∈ k × . Ainsi (i) est montré.
Et (ii) suit aussi :
c
X
1
1
[Ci ] =
χj (xi ) · ej .
ni
dj
j=1
36
(iii) Posons maintenant pour chaque 1 ≤ i ≤ c :
di X
Ei :=
χi (g −1 )[g].
|G|
g∈G
On vérifie facilement que c’est un élément central de kG, donc Ei agit par un scalaire, disons aj ,
sur le kG-module simple Vj de caractère simple χj . On calcule
di X
dim Vj · aj = trρj (Ei ) =
χi (g)χj (g −1 ).
|G|
g∈G
Donc si i 6= j on obtient par lemme 6.2 dim Vj · aj = dj · aj = 0 dans k, d’où aj = 0 ∈ k. Par contre,
si i = j on obtient di · ai = di , donc ai = 1 ∈ k.
Les Ei et ei agissent de la même manière sur chaque module simple, donc Ei = ei . Et on obtient
c
c
X
χi (x−1
1 X
1 X
1
1
j )
−1
−1
ei =
χi (g )[g] =
χi (xj )[Cj ] =
· [Cj ]
di
|G|
|G|
|Gj |
nj
j=1
g∈G
j=1
parce que |G| = nj |Gj |.
Le théorème nous dit que la matrice
(χi (xj ))1≤i,j≤c
est une matrice changement de base avec la matrice inverse
χj (x−1
i )
.
|Gi |
D’où le résultat suivant, qui nous sera très utile plus tard.
Corollaire 6.1. (i) On a
c
X
χi (xr )χj (x−1 )
r
r=1
|Gr |

1
=
0
si i = j,
sinon.
(ii) Aussi

1
i
χr (xj ) =
0
|Gi |
c
X
χr (x−1 )
si i = j,
r=1
sinon,
et alors
c
X
r=1

|G |
i
−1
χr (xi )χr (xj ) =
0
si i = j,
sinon.
7. Caractères et produit scalaire
Si V est un CG-module et Vi un CG-module simple, il suffit de connaı̂tre leurs caractères pour
calculer la multiplicité de Vi dans V . On montrera comment, dans cette section.
Fixons un corps k et un groupe fini G. Une fonction centrale (ou fonction de classe) sur G
est une fonction f : G −
→ k qui est constante sur chaque classe de conjugaison, c.-à-d., pour
chaque x, y ∈ G, f (xy) = f (yx). On peut identifier l’espace linéaire des fonctions centrales avec le
P
centre C(kG) de kG, par f 7→ x∈G f (x)[x]. Il faut faire attention: pour avoir un isomorphisme
37
d’anneau il faut adopter la multiplication par convolution, et pas la multiplication naturelle entre
deux fonctions.
Supposons k est G-déployé, alors notre idempotent
c
X
di
ei =
χi (x−1
j ) [Cj ],
|G|
j=1
est associé à la fonction centrale
x 7→
di ∗
di
χi (x−1 ) =
χ (x),
|G|
|G| i
où χi ∗ est le caractère de Vi∗ = Homk (Vi , k) (qui est aussi un kG-module simple). Donc les
caractères simples forment une base des fonctions centrales en particulier chaque fonction centrale
s’écrit uniquement comme une combinaison k-linéaire des caractères simples.
Lemme 7.1. Supposons que k est G-déployé et que χ1 , . . . , χc sont les caractères simples. Alors
{χ1 , . . . , χc } est une k-base pour l’espace des fonctions centrales sur G.
Preuve. Cela suit des remarques que nous venons de donner. Pour une autre preuve, voir la
prop. 7.1(v).
Si |G| ∈ k × , l’espace des fonctions centrales sur G est un espace vectoriel sur k qui admet une
forme k-bilinéaire symétrique non-dégénérée (, ). La dernière condition veut dire, que pour chaque
fonction centrale non-zéro f il existe une fonction centrale f 0 telle que (f, f 0 ) 6= 0.
Lemme 7.2. Si |G| ∈ k × , on a une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée sur l’espace des
fonctions centrales sur G définie par :
1 X
(f1 , f2 ) :=
f1 (g)f2 (g −1 ) ∈ k.
|G|
g∈G
Preuve. La symétrie et la bilinéarité sont évidentes. Supposons f 6= 0 et (f, f2 ) = 0 pour chaque
fonction centrale f2 . Il existe donc au moins un x ∈ G tel que f (x) 6= 0. En particulier, prenons
pour f2 la fonction caractéristique δC de la classe de conjugaison C = C(x−1 ) qui contient l’inverse
x−1 de x. Alors
X
1 X
1
|C|
0 = (f, δC ) =
f (g)δC (g −1 ) =
f (g) =
f (x) 6= 0,
|G|
|G|
|G|
−1
g∈G
g∈G,g
∈C
parce que |C| divise |G| et |G| =
6 0 dans k. On a obtenu une contradiction, donc la forme k-bilinéaire
(, ) est non-dégénérée.
Remarque. Que la forme (, ) soit non-dégénérée veut dire que si f1 6= 0 alors l’application linéaire
C(kG) −
→ k : f2 7→ (f1 , f2 ) n’est pas identiquement zéro, donc l’application vers l’espace dual
C(kG) −
→ C(kG)∗ : f1 −
→ (f1 , −−)
est injective et donc bijective. Le produit scalaire est donc un façon systématique d’identifier
C(kG)∗ et C(kG).
38
Proposition 7.1. Soit |G| ∈ k × . Soient V et W deux kG-modules simples non-isomorphes, de
caractères χV et χW .
(i) Alors
(χV , χW ) = 0.
(ii) On a
(χV , χV ) = dimk EndkG (V ),
comme éléments de k.
(iii) Soit U un kG-module de caractère χU et nV la multiplicité de V dans U . Alors
(χU , χV ) = nV dimk EndkG (V ) ∈ k.
(iv) Supposons que la caractéristique du corps est zéro. Alors deux kG-modules sont isomorphes
si et seulement si leurs caractères sont identiques.
(v) Si k est G-déployé, alors les caractères simples font une base orthonormale pour (, ) des
fonctions centrales.
(vi) Si k est G-déployé de la caractéristique zéro, alors U est simple si et seulement si
(χU , χU ) = 1.
Preuve. Voir la preuve du lemme 6.2 pour (i) et (ii). Pour (iii) on utilise que χV1 ⊕V2 = χV1 + χV2
et la bilininéairité de (, ).
(iv) Si |G| ∈ k × nous connaisons un module à isomorphisme près si on connais les multiplicités
des modules simples. Ces multiplicités sont calculable par (iii) par un calcul de caractères si
la caractéristique du corps est 0, donc deux kG-modules sont isomorphes si et seulement si ses
caractères sont identiques.
(v) Par (i) et (ii) et l’hypothèse que dimk EndkG (V ) = 1, si V simple, il suit que les caractères
simple est un système orthonormale pour (, ). Parce que c est la dimension du centre de kG, c’est
aussi une base pour les fonctions centrales.
Pour les nombres complexes le produit scalaire est plus facile à calculer.
Lemme 7.3. Soit k = C le corps des nombres complexes et χ le caractère d’une représentation
complexe ρ du groupe fini G. Alors χ(g −1 ) = χ(g), pour g ∈ G.
Preuve. Supposons l’ordre de g est N . Il existe une base pour laquelle la matrice de g associée à la
représentation ρ est une matrice diagonale diag(d1 , . . . , dn ), et chaque di est de la forme e2πir/N ∈ C.
−1
L’inverse de eiα est eiα (α ∈ R). Donc g −1 = diag(d−1
1 , . . . , dn ) et a la trace
X
X
X
χ(g −1 ) =
d−1
di =
di = χ(g).
i =
i
i
i
Lemme 7.4. Pour une fonction centrale complexes f et un caractère χ sur le groupe fini on a
1 X
(f, χ) =
f (g)χ(g).
|G|
g∈G
39
Preuve. Il suffit de supposer que f2 est un caractère χ. Mais d’après le lemme on a χ(g −1 ) = χ(g −1 )
et la proposition suit tout de suite.
Remarque. Pour les nombres complexes on introduit habituellement un produit scalaire hermitienne
<, > sur l’espace de fonctions complexes centrales sur G par
1 X
< f1 , f2 >:=
f1 (g)f2 (g).
|G|
g∈G
En particulier, <, > est linéaire dans la première variable, < f1 , f2 >= < f2 , f1 > et < f, f >∈ R≥0 ,
< f, f >= 0 si et seulement si f = 0.
Si f2 est une combinaison R-linéaire des caractères simple, alors
< f1 , f2 >= (f1 , f2 ).
Pour les applications sur des caractères complexes <, > ou (, ) donne le même résultat.
8. Tableau de caractères et relations d’orthogonalité
Si k est G-déployé le nombre de caractères est égal au nombre des classes de conjugaisons. Donc
on peut donner les valeurs sur les classes de conjugaisons des caractères simples sous forme d’un
tableau carré. Souvent on ajoute de l’information sur les classes de conjugaison, par exemple un
représentant ou l’ordre. La donnée du tableau pour un groupe donne beaucoup d’information sur
le groupe.
Exemple 8.1. Considérons encore une fois CQ. Nous connaissons les classes de conjugaison et aussi
les caractères des CQ-modules simples. En forme de tableau:
{1} {−1} {±i} {±j} {±k}
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
1
1
1
1
2
1
1
1
1
−2
1
−1
−1
1
0
1
−1
1
−1
0
1
1
−1
−1
0
Les e1 , . . . , e5 que nous avons donnés déjà sont exactement les idempotents central complets
orthogonaux. Cela explique la décomposition de CQ donnée déjà.
Les idempotents e6 et e7 ne sont pas centraux.
Remarquons que les colonnes sont orthogonales. Ce n’est pas un accident.
8.1. Relations d’orthogonalité. Soit k un corps G-déployé. Par le cor. 6.1 on a des relations
d’othogonalité entre les lignes du tableau de caractères

c
−1
X
χi (xr )χj (xr ) 1 si i = j,
=
0 sinon.
|Gr |
r=1
Et aussi une relation d’orthogonalité entre les colonnes

c
|G | si i = j,
X
i
χr (xi )χr (x−1
)
=
j
0
sinon.
r=1
40
Pour le cas spécial où xi = {1G } (”la première colonne”) et le caractéristique du corps est 0 nous
retrouvons la formule
c
c
X
X
χr (1)2 =
(dim Vi )2 = |G|.
r=1
r=1
Exemple 8.2. Nous allons construire le tableau de caractères de G = S4 sur le corps k = F5 de cinq
éléments. Des représentants des classes de conjugaison sont
(1), (12), (12)(34), (123), (1234),
ayant respectivement
1, 6, 3, 8, 6
éléments. Donc il y a au maximum 5 F5 S4 -modules simples.
Le caractère trivial χ1 est associé au F5 S4 -module trivial de dimension 1; ces valeurs sont donc
1, 1, 1, 1, 1.
Le deuxième caractère simple χ2 est associé à la représentation signe, donc ses valeurs sont respectivement
1, −1, 1, 1, −1.
Puis nous considérons la représentation sur F5 qui associe à une permutation sa matrice de permutation. C’est une représentation de dimension 4 de caractère χ
4, 2, 0, 1, 0
comme on voit facilement.
On calcule
1
(4 + 2 · 6 + 0 + 1 · 8 + 0) = 1;
24
1
(χ, χ2 ) = (4 − 2 · 6 + 0 + 1 · 8 + 0) = 0.
24
Cela signifie que la représentation triviale apparaı̂t une (modulo 5) fois dans V et la représentation
signe zéro (modulo 5) fois. La dimension de V est 4, donc la représentation triviale apparaı̂t qu’une
fois, et l’application signe pas du tout. Donc V = k ⊕ V 0 , pour un F5 S4 -module V 0 de dimension 3
et de caractère χ0 = χ − χ1
3, 1, −1, 0, −1.
(χ, χ1 ) =
Si χ0 n’est pas simple ou si dimk EndkG 6= 1 on aurait (χ0 , χ0 ) = 2, 3 ∈ F5 , mais
1 2
(3 + 12 · 6 + (−1)2 · 3 + 0 + (−1)2 · 6) = 1;
24
donc V 0 est simple et EndkG V 0 = k.
On peut prendre le produit tensoriel de V 0 et la représentation signe, et on obtient un autre
F5 S4 -module de dimension 3 de caractère
(χ0 , χ0 ) =
3, −1, −1, 0, 1;
qui est aussi simple par le même calcul.
Nous connaissons maintenant quatre caractères simples et pour chacun on a EndkG V = k. Mais
2
1 + 12 + 32 + 32 = 20 < 24, donc il faut exister un (unique) autre kG-module simple, disons V5 . On
41
a 5 classes de conjugaison donc nécessairement k est le centre de H5 := EndkG V5 . Donc si H5 6= k,
alors H5 n’est pas commutatif, mais...
Lemme 8.1 (Wedderburn). Chaque corps gauche fini est commutatif.
Preuve. Voir [6, p.431], cette preuve est comprehensible.
Donc F5 est S4 -déployé. On a la formule 12 + 12 + 32 + 32 + χ5 (1))2 = 24, donc χ5 (1) = 2.
Les autres valeurs du caractère χ5 s’obtiennent en utilisant les relations d’orthogonalité entre les
colonnes.
L’orthogonalité des deux premières colonnes:
0 = 1 · 1 + 1 · (−1) + 3 · (−1) + 3 · 1 + 2 · χ5 ((12)),
donc χ5 ((12)) = 0. Et ainsi on calcule le caractère
2, 0, 2, −1, 0
Nous présentons les résultats en forme d’un tableau. En dessus chaque (représentant de) classe
de conjugaison on a écrit l’ordre du stabilisateur.
F5 S 4
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
24
4
8
3
4
1 (12) (12)(34) (123) (1234)
1
1
3
3
2
1
−1
−1
1
0
1
1
−1
−1
2
1
1
0
0
−1
1
−1
1
−1
0
42
Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 6128, succursale
Centre-ville, Montréal (Québec), Canada H3C 3J7
E-mail address: [email protected]