6. Formule pour les idempotents Soit k un corps gauche tel que |G

6. Formule pour les idempotents
Soit kun corps gauche tel que |G| ∈ k×et dimC(k)k < ∞, et supposons que le nombre de
kG-modules simples `a gauche est ´egale au nombre cde classes de conjugaison dans G. Dans ce cas
il y a deux bases naturelles pour le centre de kG comme C(k) module. D’un cˆot´e, si C1, . . . , Ccsont
les classes de conjugaison de Galors les [Ci] aussi font une base. De l’autre cˆot´e, soient V1, . . . , Vc
les kG-modules simples. Par le th´eor`eme de Wedderburn il existent des uniques ´el´ements e1, . . . , ec
dans le centre de kG, caract´eris´es par la propri´et´e que eiVj= 0, i6=jet eiagit comme l’identit´e sur
Vi. Ces eiforment aussi une base. Alors on peut uniquement exprimer les eicomme combinaison
C(k)-lin´eaire de [Cj]’s, et vice versa. On voudrait savoir ces coefficients.
Par exemple, soit V=kle kG-module trivial (gv =v, for all g∈G,v∈V), alors l’´el´ement
associ´e est
e=1
|G|X
g∈G
[g],
en effet, pour chaque kG-module Mon a eM =MGest la somme des sous kG-modules triviaux
de M.
On dira d’un corps kqu’il est G-d´eploy´e si |G| ∈ k×et pour chaque kG-module simple Von a
EndkG(V) = k·1. Dans ce cas,
|G|=X
i
dimk(Vi)2.
Par exemple, chaque corps alg´ebriquement clos ktel que |G| ∈ k×est G-d´eploy´e, par le lemme de
Schur.
Proposition 6.1. Soit kun corps gauche tel que |G| ∈ k×et dimCk < ∞(o`u C:= C(k)) et
supposons que le nombre de kG-modules simples `a gauche est ´egale au nombre cde classes de
conjugaison dans G. Soient les Vj,ejcomme plus haut.
Soit K⊇Cune extension de corps de C.
(i) Alors le nombre de classes de conjugaison dans Gest aussi ´egal au nombre de KG-modules
simples `a gauche. Et les e1, . . . , ecforment aussi un syst`eme central d’idempotents orthogonal
complet pour pour KG.
(ii) Soient U1, . . . , Ucdes KG-modules simples, o`u eiagit comme l’identit´e sur Uiet trivialement
sur les autres Uj’s. Alors Vi⊗CKconsid´er´e comme KG-module est une somme de modules, chacun
isomorphe `a Ui(alors Uj,j6=i, n’apparaˆıt pas).
(iii) Si kest un corps, alors Ui'Vi⊗kKsi et seulement si EndkG(Vi)⊗kKreste un corps
gauche, ce qui est le cas si EndkG(Vi)'k. En particulier, si kest G-d´eploy´e alors aussi Kest
G-d´eploy´e.
Preuve. (i) Le centre de kG est inclu dans le centre de KG, alors on peut consid´erer les ei
aussi comme un syst`eme central d’idempotents orthogonal complet pour KG, ainsi on obtient
une d´ecomposition d’anneaux
KG =KGe1⊕. . . ⊕KGec.
Chaque composant KGeia au moins un module simple, donc KG a au moins cmodules simples
non-isomorphes. Si sest le nombre de KG-modules simples on alors s≥c. Par contre, par cor. 5.1
on a toujours c≥s, donc s=c.
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(ii) L’idempotent eiagit comme l’identit´e sur Vi, alors Vi=eiViet chaque composant CG-simple
est isomorphe `a Ui.
(iii) On a que EndKG(Vi⊗kK)'EndkG(Vi)⊗kK, et par le lemme de Schur, Vi⊗kKest KG-
simple si et seulement si EndKG(Vi⊗kK) est un corps gauche. En particulier, si EndkG(Vi)'k,
alors EndkG(Vi)⊗kK'k⊗kK'K.
Pour trouver une expression des eien termes des [Cj] la proposition permet de remplacer kpar
son centre C, et puis Cpar une extension de Cqui est G-d´eploy´e. Parce que ni les eini les [Cj]
changent par ces changements de corps gauche. Donc dans les sous-sections suivantes, nous allons
nous concentrer principalement sur les corps G-d´eploy´es.
6.1. Caract`eres. Soit kun corps et Vle kG-module associ´e `a la repr´esentation ρ:G−→ GL(V).
On d´efinit le caract`ere χV:G−→ kpar
χV(σ) := tr(ρ(σ)),
o`u trρ(g) est la trace de l’application k-lin´eaire ρ(g) : V−→ V. C’est une fonction centrale sur G,
c’est `a dire une fonction constante sur chaque classe de conjugaison :
χV(xgx−1) = tr ρ(x)ρ(g)ρ(x)−1= tr(ρ(g)) = χV(g),o`u g, x ∈G,
parce que la trace d’une application ne d´epend pas du choix de base et donc ne change pas par une
conjugaison.
Les propri´et´es suivants sont laiss´ees comme exercice. Soient Vet Wdeux kG-modules. Si Vet
Wsont isomorphes, alors les caract`eres sont ´egaux : χV=χW. On a χV⊕W=χV+χW, pour la
somme directe; χV⊗W=χVχW,pour le produit tensoriel. Et χV∗(g) = χV(g−1), pour le module
dual V∗= Homk(V, k).Si V1, V2, . . . , Vssont les facteurs simples dans une suite de Jordan-H¨older
de V, alors χV=PiχVi.Si k⊆Kest une extension de corps, alors V⊗kKest un KG-module.
Soit χV⊗kK:G−→ Kson caract`ere, alors pour chaque g∈Gon a χV(g) = χV⊗kK(g), pour chaque
g∈G.
Si le caract´eristique de kest positif, disons p > 0, il est possible que χVest la fonction z´ero. Par
exemple, si Vest la somme de pcopies d’un autre kG-module W, alors
χV=pχW= 0 ∈k,
donc son caract`ere sera identiquement 0.
Lemme 6.1. Soit kun corps. Soient Vet Wdeux kG-modules de dimension finie. Alors
Homk(W, V )est aussi un kG-module, o`u g·fest d´efinie par
(g·f)(w) := gf(g−1w).
Alors
χHomk(W,V )(g) = χV(g)χW(g−1).
Preuve. Soit e1, . . . , enune base de Wet f1, . . . , fmune base de V. Alors une base de Hom(W, V )
est {ηi,j; 1 ≤i≤n, 1≤j≤m}, o`u
ηi,j(ek) := δikfj,

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o`u nous avons utilis´e le Kronecker-δ. On a des matrices ρW(g) et ρV(g) pour chaque g∈Gtel que
gej=X
i
ρW(g)ijei; et gfj=X
i
ρV(g)ijfi.
Donc
(g·ηij)(ek) = gη(g−1ek) = gηij X
r
ρW(g−1)rker!
=X
r
ρW(g−1)rkgηij (er)
=X
r
ρW(g−1)rkδirgfj
=ρW(g−1)ik X
s
ρV(g)sjfs
=X
s
ρW(g−1)ikρV(g)sj fs.
`
A l’autre cˆot´e,
X
r,s
crsηr,s(ek) = X
r,s
crsδr,kfs=X
s
cksfs,
donc
g·ηij =X
r,s
ρW(g−1)irρV(g)sj ηrs.
Alors
χHom(W,V )(g) = X
i,j
ρW(g−1)iiρV(g)jj =X
j
ρV(g)jj X
i
ρW(g−1)ii =χV(g)χW(g−1).
Lemme 6.2. Soit Gun groupe fini et kun corps.
(i) Supposons Vun kG-module simple tel que k'EndkG(V). Alors
1
|G|X
g
χV(g)χV(g−1) = 1.
En particulier, il existe un g∈G, tel que χV(g)6= 0.
(ii) Supposons Vet Wsont deux kG-modules simples, nonisomophes. Alors
1
|G|X
g
χV(g)χW(g−1) = 0.
Preuve. Consid´erons Endk(V) comme kG-module, par (g·η)(v) := gη(g−1v). Alors Endk(V)G=
EndkG(V) = k·1V, par l’hypoth`ese, et donc l’image de la projection sur les invariants η7→ e·η,
o`u e=1
|G|Pg∈G[g],est de dimension 1, donc sa trace est 1. Cette trace est 1 |G|PgχV(g)χV(g−1,
par lemme 6.1). La preuve de (ii) est similaire en utilisant que HomkG(V, W ) = 0, par le lemme de
Schur. 

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6.2. Formule pour les idempotents. Soit Gun groupe fini et soient C1=C(x1), C2=C(x2),
. . . , Cc=C(xc) les classes de conjugaison, avec des repr´esentants xifix´es. On denote son central-
isateur CG(xi) = {g∈G;gxi=xig}par Giet on pose ni:= |Ci|pour le nombre d’´el´ements dans
la classe de conjugaison Ci.
Supposons maintenant que kest un corps G-d´eploy´e. Soient V1, . . . , Vcles kG-modules simples,
χi:G−→ kles caract`eres simples associ´es. On pose di:= dim Vipour les degr´es simples.
Le th´eor`eme suivant exprime la base des [Ci] dans la bases des ei, et vice versa, dans le cas o`u
kest un corps G-d´eploy´e.
Th´eor`eme 6.1. Soit Gun groupe fini et kun corps G-d´eploy´e.
(i) Ni les degr´es simples dini les cardinalit´es nides classes de conjugaison de Gne sont divisible
par la caract´eristique du corps, c’est `a dire que
di∈k×et ni∈k×.
(ii) Pour chaque 1≤i≤con a
1
ni
[Ci] =
c
X
j=1
χj(xi)·1
dj
ej;
(iii) et
1
di
ei=
c
X
j=1
χi(x−1
j)
|Gj|·1 nj
[Cj] = 1
|G|
c
X
j=1
χi(x−1
j) [Cj].
Preuve. (i) On a ni|Gi|=|G| ∈ k×. Donc aussi ni∈k×.
Les [Ci] sont des ´el´ements du centre de kG, donc par le lemme de Schur (et l’hypoth`ese que k
soit G-d´eploy´e) ces ´el´ements agissent comme la multiplication par un scalaire aij ∈ksur Vj, et il
suit que la trace est djaij. Par d´efinition des eion a au moins :
[Ci] =
c
X
j=1
aijej.
Puis, on calcule la trace de ρj([Ci] en deux fa¸cons, comme
trρj([Ci]) = djaij
= tr X
x∈Ci
ρj(x) = X
x∈Ci
trρj(x) = X
x∈C(xi)
χj(x) = niχj(xi).
D’o`u
djaij =niχj(xi)∈k.
Par lemme 6.2, pour chaque jil existe un xitel que χj(xi)6= 0. Il suit que pour chaque jle degr´e
simple dj∈k×. Ainsi (i) est montr´e.
Et (ii) suit aussi :
1
ni
[Ci] =
c
X
j=1
χj(xi)·1
dj
ej.

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(iii) Posons maintenant pour chaque 1 ≤i≤c:
Ei:= di
|G|X
g∈G
χi(g−1)[g].
On v´erifie facilement que c’est un ´el´ement central de kG, donc Eiagit par un scalaire, disons aj,
sur le kG-module simple Vjde caract`ere simple χj. On calcule
dim Vj·aj= trρj(Ei) = di
|G|X
g∈G
χi(g)χj(g−1).
Donc si i6=jon obtient par lemme 6.2 dim Vj·aj=dj·aj= 0 dans k, d’o`u aj= 0 ∈k. Par contre,
si i=jon obtient di·ai=di, donc ai= 1 ∈k.
Les Eiet eiagissent de la mˆeme mani`ere sur chaque module simple, donc Ei=ei. Et on obtient
1
di
ei=1
|G|X
g∈G
χi(g−1)[g] = 1
|G|
c
X
j=1
χi(x−1
j)[Cj] =
c
X
j=1
χi(x−1
j)
|Gj|·1 nj
[Cj]
parce que |G|=nj|Gj|.
Le th´eor`eme nous dit que la matrice
(χi(xj))1≤i,j≤c
est une matrice changement de base avec la matrice inverse
χj(x−1
i)
|Gi|.
D’o`u le r´esultat suivant, qui nous sera tr`es utile plus tard.
Corollaire 6.1. (i) On a
c
X
r=1
χi(xr)χj(x−1
r)
|Gr|=
1si i=j,
0sinon.
(ii) Aussi
c
X
r=1
χr(x−1
i)
|Gi|χr(xj) = 
1si i=j,
0sinon,
et alors
c
X
r=1
χr(xi)χr(x−1
j) = 
|Gi|si i=j,
0sinon.
7. Caract` eres et produit scalaire
Si Vest un CG-module et Viun CG-module simple, il suffit de connaˆıtre leurs caract`eres pour
calculer la multiplicit´e de Vidans V. On montrera comment, dans cette section.
Fixons un corps ket un groupe fini G. Une fonction centrale (ou fonction de classe) sur G
est une fonction f:G−→ kqui est constante sur chaque classe de conjugaison, c.-`a-d., pour
chaque x, y ∈G,f(xy) = f(yx).On peut identifier l’espace lin´eaire des fonctions centrales avec le
centre C(kG) de kG, par f7→ Px∈Gf(x)[x]. Il faut faire attention: pour avoir un isomorphisme