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[ Baccalauréat S Asie 18 juin 2008 \
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
4 points
A -Vrai ou faux ?
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la démonstration
consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.
Rappel des notations :
• P 1 ∩ P 2 désigne l’ensemble des points communs aux plans P 1 et P 2 .
• L ’écriture P 1 ∩ P 2 = ; signifie que les plans P 1 et P 2 n’ont aucun point commun.
1. Si P 1 , P 2 et P 3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :
P 1 ∩ P 2 6= ; et P 2 ∩ P 3 6= ;,
alors on peut conclure que P 1 et P 3 vérifient : P 1 ∩ P 3 6= ;.
2. Si P 1 , P 2 et P 3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :
P1 ∩ P2 ∩ P3 = ;
alors on peut conclure que P 1 , P 2 et P 3 sont tels que : P 1 ∩ P 2 = ; et P 2 ∩ P 3 = ;.
3. Si P 1 , P 2 et P 3 sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :
P 1 ∩ P 2 6= ; et P 1 ∩ P 3 = ;,
alors on peut conclure que P 2 et P 3 vérifient : P 2 ∩ P 3 6= ;.
4. Si P 1 et P 2 sont deux plans distincts et D une droite de l’espace vérifiant :
P 1 ∩ D 6= ; et P 1 ∩ P 2 = ;,
alors on peut conclure que P 2 ∩ D 6= ;
B - Intersection de trois plans donnés
Dans un repère orthonorrnal de l’espace on considère les trois plans suivants :
• P 1 d’équation x + y − z = 0
• P 2 d’équation 2x + y + z − 3 = 0,
• P 3 d’équation x + 2y − 4z + 3 = 0.
1. Justifier que les plans P 1 et P 2 sont sécants puis déterminer une représentation
paramétrique de leur droite d’intersection, notée ∆.
2. En déduire la nature de l’intersection P 1 ∩ P 2 ∩ P 3 .
E XERCICE 2
Réservé aux candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
5 points
On considère plusieurs sacs de billes S1 , S2 , . . . , Sn , . . . tels que :
– le premier, S1 , contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
– chacun des suivants, S2 , S3 , . . . , Sn , . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.
Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs,
effectués de la manière suivante :
Baccalauréat S
–
–
–
–
on tire au hasard une bille dans S1 ;
on place la bille tirée de S1 dans S2 , puis on tire au hasard une bille dans S2 ;
on place la bille tirée de S2 dans S3 , puis on tire au hasard une bille dans S3 ;
etc.
Pour tout entier n > 1, on note E n l’évènement : « la bille tirée dans Sn est verte » et on note
p (E n ) sa probabilité.
1. Mise en évidence d’une relation de récurrence
a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de p (E 1 ) , p E 1 (E 2 ) , p E 1 (E 2 ).
En déduire la valeur de p (E 2 ).
b. à l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p (E n+1 ) en fonction de p (E n ).
2. Étude d’une suite
On considère la suite (un ) définie par :

2


 u1
=
5


 un+1 = 1 un + 2 pour tout n > 1.
5
5
a. Démontrer que la suite (un ) est majorée par 1.
b. Démontrer que (un ) est croissante.
c. Justifier que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.
3. Évolution des probabilités p (E n )
a. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p (E n ).
b. Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on : 0,49999 6 p (E n ) 6 0, 5 ?
E XERCICE 2
Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
5 points
Soit a et b deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers a et
b l’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthonormal, dont les coordonnées
(x ; y) sont des entiers vérifiant les conditions : 0 6 x 6 a et 0 6 y 6 b. On note R a,b ce
réseau.
Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers x et y à des
propriétés géométriques des points correspondants du réseau.
A - Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d’un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe no 1 à rendre avec la copie.
Représenter graphiquement les points M(x ; y) du réseau R8,8 vérifiant :
1. x ≡ 2 (modulo 3) et y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 1 de la feuille annexe
2. x + y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ;
3. x ≡ y
(modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.
B - Résolution d’une équation
On considère l’équation (E) : 7x − 4y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs.
¡
¢
1. Déterminer un couple d’entiers relatifs x0 ; y 0 solution de l’équation (E).
2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
3. Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution (x ; y) pour laquelle le
point M(x ; y) correspondant appartient au réseau R4,7 .
C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.
Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau
R a, b , avec O(0 ; 0) et A(a ; b).
Asie
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18 juin 2008
Baccalauréat S
1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :
0 6 x 6 a ; 0 6 y 6 b ; a y = bx.
2. Démontrer que si a et b sont premiers entre eux, alors les points O et A sont les seuls
points du segment [OA] appartenant au réseau R a, b .
3. Démontrer que si a et b ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient
au moins un autre point du réseau.
(On pourra considérer le pgcd d des nombres a et b et poser a = d a ′ et b = db ′ .)
E XERCICE 3
Commun à tous les candidats
4 points
³ →
− →
−´
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct O, u , v . On prendra pour
°→
°
°− °
le dessin : ° u ° = 4 cm.
M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M ′ le point d’affixe z ′ telle que
1
z′ = − .
z
où z désigne le conjugué du nombre complexe z.
A - Quelques propriétés
1. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de
z et z ′ puis une relation entre les arguments de z et z ′ .
2. Démontrer que les points O, M et M ′ sont alignés.
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l’égalité :
1
z ′ + 1 = (z − 1).
z
B - Construction de l’image d’un point
On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1.
On note C l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : |z − 1| = 1.
1. Quelle est la nature de l’ensemble C ?
2. Soit M un point de C d’affixe z, distinct du point O.
¯
¯ ¯ ¯
a. Démontrer que ¯ z ′ + 1¯ = ¯ z ′ ¯. Interpréter géométriquement cette égalité.
¯
¯ ¯ ¯
b. Est-il vrai que si z ′ vérifie l’égalité : ¯ z ′ + 1¯ = ¯ z ′ ¯, alors z vérifie l’égalité :
|z − 1| = 1 ?
3. Tracer l’ensemble C sur une figure. Si M est un point de C , décrire et réaliser la
construction du point M ′ .
E XERCICE 4
Commun à tous les candidats
7 points
A - Restitution organisée de connaissances
ex
= +∞.
x→+∞ x
On suppose connu le résultat suivant : lim
Démontrer que : lim xe−x = 0.
x→+∞
B - Étude d’une fonction
Asie
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18 juin 2008
Baccalauréat S
On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = (x + 1)e−x .
³ →
− →
−´
On note (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé O, ı ,  du plan.
On prendra 4 cm pour unité graphique.
1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la
qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.
Étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble
de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet
possible.
2. Tracer la courbe (C ). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
C - Étude d’une famille de fonctions
Pour tout entier relatif k, on note f k la fonction définie sur R par :
f k (x) = (x + 1)ek x .
On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormal du plan.
On remarque que le cas k = −1 a été traité dans la partie B, car on a f −1 = f et C −1 = C .
1.
a. Quelle est la nature de la fonction f 0 ?
b. Déterminer les points d’intersection des courbes C 0 et C 1 .
Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe C k .
2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression : (x + 1) (ex − 1).
En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes C k et
C k+1 .
3. Calculer f k′ (x) pour tout réel x et pour tout entier k non nul.
En déduire le sens de variation de la fonction f k suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas : k > 0 et k < 0.)
4. Le graphique suivant représente quatre courbes E , F , H , et K , correspondant à
quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2.
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
Asie
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Baccalauréat S
K
H
1
E
F
K
1
H
E
F
D - Calcul d’une aire plane
Soit λ un réel stritement positif. La fonction f est celle définie dans la partie B.
Zλ
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ce nombre : A (λ) =
f (t ) dt .
0
2. Déterminer lim A (λ). Interpréter graphiquement le résultat.
λ→+∞
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18 juin 2008
Baccalauréat S
Annexe 1 - exercice 3 (spécialité mathématique) - à rendre avec la copie
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
−1
1
2
3
4 5 6 7
Graphique 1
8
9
10
1
2
3
4 5 6 7
Graphique 2
8
9
10
1
2
3
4 5 6 7
Graphique 3
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
−1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
−1
Asie
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18 juin 2008