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[Baccalauréat S Asie 18 juin 2008 \
EXERCICE 1 4 points
Commun à tous les candidats
A -Vrai ou faux ?
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse la démonstration
consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.
Rappel des notations :
•P1∩P2désigne l’ensemble des points communs aux plans P1et P2.
•L ’écriture P1∩P2= ; signifie que les plans P1et P2n’ont aucun point commun.
1. Si P1,P2et P3sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :
P1∩P26= ; et P2∩P36= ;,
alors on peut conclure que P1et P3vérifient : P1∩P36= ;.
2. Si P1,P2et P3sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :
P1∩P2∩P3= ;
alors on peut conclure que P1,P2et P3sont tels que : P1∩P2= ; et P2∩P3= ;.
3. Si P1,P2et P3sont trois plans distincts de l’espace vérifiant :
P1∩P26= ; et P1∩P3= ;,
alors on peut conclure que P2et P3vérifient : P2∩P36= ;.
4. Si P1et P2sont deux plans distincts et Dune droite de l’espace vérifiant :
P1∩D6= ; et P1∩P2= ;,
alors on peut conclure que P2∩D6= ;
B - Intersection de trois plans donnés
Dans un repère orthonorrnal de l’espace on considère les trois plans suivants :
•P1d’équation x+y−z=0
•P2d’équation 2x+y+z−3=0,
•P3d’équation x+2y−4z+3=0.
1. Justifier que les plans P1et P2sont sécants puis déterminer une représentation
paramétrique de leur droite d’intersection, notée ∆.
2. En déduire la nature de l’intersection P1∩P2∩P3.
EXERCICE 2 5 points
Réservé aux candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, ..., Sn, .. .tels que :
– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;
– chacun des suivants, S2, S3, . . ., Sn, .. .contient 2 billes jaunes et 2 vertes.
Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs,
effectués de la manière suivante :

Baccalauréat S
– on tire au hasard une bille dans S1;
– on place la bille tirée de S1dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2;
– on place la bille tirée de S2dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3;
– etc.
Pour tout entier n>1, on note Enl’évènement : « la bille tirée dans Snest verte » et on note
p(En)sa probabilité.
1. Mise en évidence d’une relation de récurrence
a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de p(E1),pE1(E2),pE1(E2).
En déduire la valeur de p(E2).
b. à l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p(En+1)en fonction de p(En).
2. Étude d’une suite
On considère la suite (un)définie par :
u1=2
5
un+1=1
5un+2 5pour tout n>1.
a. Démontrer que la suite (un)est majorée par 1.
b. Démontrer que (un)est croissante.
c. Justifier que la suite (un)est convergente et préciser sa limite.
3. Évolution des probabilités p(En)
a. À l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p(En).
b. Pour quelles valeurs de l’entier na-t-on : 0,49999 6p(En)60,5 ?
EXERCICE 2 5 points
Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Soit aet bdeux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers aet
bl’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthonormal, dont les coordonnées
(x;y) sont des entiers vérifiant les conditions : 0 6x6aet 0 6y6b. On note Ra,bce
réseau.
Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers xet yà des
propriétés géométriques des points correspondants du réseau.
A - Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d’un gra-
phique qui sera dûment complété sur la feuille annexe no1 à rendre avec la copie.
Représenter graphiquement les points M(x;y) du réseau R8,8 vérifiant :
1. x≡2 (modulo 3) et y≡1 (modulo 3), sur le graphique 1 de la feuille annexe
2. x+y≡1 (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ;
3. x≡y(modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.
B - Résolution d’une équation
On considère l’équation (E) : 7x−4y=1, où les inconnues xet ysont des entiers relatifs.
1. Déterminer un couple d’entiers relatifs ¡x0;y0¢solution de l’équation (E).
2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
3. Démontrer que l’équation (E) admet une unique solution (x;y) pour laquelle le
point M(x;y) correspondant appartient au réseau R4,7.
C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.
Si aet bsont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [OA] du réseau
Ra,b, avec O(0 ; 0) et A(a;b).
Asie 218 juin 2008

Baccalauréat S
1. Démontrer que les points du segment [OA] sont caractérisés par les conditions :
06x6a; 0 6y6b;ay =bx.
2. Démontrer que si aet bsont premiers entre eux, alors les points O et Asont les seuls
points du segment [OA] appartenant au réseau Ra,b.
3. Démontrer que si aet bne sont pas premiers entre eux, alors le segment [OA] contient
au moins un autre point du réseau.
(On pourra considérer le pgcd ddes nombres aet bet poser a=da′et b=db′.)
EXERCICE 3 4 points
Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ³O, −→ u,−→ v´. On prendra pour
le dessin : °
°
°
−→
u°
°
°=4 cm.
Mest un point d’affixe znon nul. On désigne par M′le point d’affixe z′telle que
z′= − 1
z.
où zdésigne le conjugué du nombre complexe z.
A - Quelques propriétés
1. Soit zun nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de
zet z′puis une relation entre les arguments de zet z′.
2. Démontrer que les points O, Met M′sont alignés.
3. Démontrer que pour tout nombre complexe znon nul on a l’égalité :
z′+1=1
z(z−1).
B - Construction de l’image d’un point
On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1.
On note Cl’ensemble des points Mdu plan dont l’affixe zvérifie : |z−1| = 1.
1. Quelle est la nature de l’ensemble C?
2. Soit Mun point de Cd’affixe z, distinct du point O.
a. Démontrer que ¯
¯z′+1¯ ¯=¯ ¯z′¯ ¯. Interpréter géométriquement cette égalité.
b. Est-il vrai que si z′vérifie l’égalité : ¯
¯z′+1¯
¯=¯
¯z′¯
¯, alors zvérifie l’égalité :
|z−1| = 1 ?
3. Tracer l’ensemble Csur une figure. Si Mest un point de C, décrire et réaliser la
construction du point M′.
EXERCICE 4 7 points
Commun à tous les candidats
A - Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le résultat suivant : lim
x→+∞
ex
x= +∞.
Démontrer que : lim
x→+∞ xe−x=0.
B - Étude d’une fonction
Asie 318 juin 2008

Baccalauréat S
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar :
f(x)=(x+1)e−x.
On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé ³O, −→ ı,−→ ´du plan.
On prendra 4 cm pour unité graphique.
1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plu-
sieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la
qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.
Étudier les variations de la fonction fet les limites aux bornes de son ensemble
de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet
possible.
2. Tracer la courbe (C). On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
C - Étude d’une famille de fonctions
Pour tout entier relatif k, on note fkla fonction définie sur Rpar :
fk(x)=(x+1)ekx .
On note Ckla courbe représentative de la fonction fkdans un repère orthonormal du plan.
On remarque que le cas k= −1 a été traité dans la partie B, car on a f−1=fet C−1=C.
1. a. Quelle est la nature de la fonction f0?
b. Déterminer les points d’intersection des courbes C0et C1.
Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe Ck.
2. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression : (x+1)(ex−1).
En déduire, pour kentier relatif donné, les positions relatives des courbes Cket
Ck+1.
3. Calculer f′
k(x) pour tout réel xet pour tout entier knon nul.
En déduire le sens de variation de la fonction fksuivant les valeurs de k. (On distin-
guera les cas : k>0 et k<0.)
4. Le graphique suivant représente quatre courbes E,F,H, et K, correspondant à
quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2.
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
Asie 418 juin 2008

Baccalauréat S
E
E
F
F
H
H
K
K
1
1
D - Calcul d’une aire plane
Soit λun réel stritement positif. La fonction fest celle définie dans la partie B.
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ce nombre : A(λ)=Zλ
0f(t)dt.
2. Déterminer lim
λ→+∞
A(λ). Interpréter graphiquement le résultat.
Asie 518 juin 2008