Dipôle LC : Oscillations électriques libres non amorties Série physique n°8

Dipôle LC : Oscillations électriques libres non amorties
Série physique n°8
Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari
Cherchari
Exercice 1:
Un circuit électrique LC est constitué par
- Un condensateur, de capacité C.
- Une bobine d’inductance L et de résistance négligeable.
- Un interrupteur K.(figure – 1-)
On charge le condensateur ( K ouvert) puis à la date t=0s, on ferme
l’interrupteur K.
1-
a- Établir l’équation différentielle régissant les variations de
la tension uC aux bornes du condensateur.
b- Montrer que uC(t)=Ucmaxsin(0t + uc) est une solution de
l’équation différentielle à condition que
2
01
LC
. Déduire
l’expression de la période propre T0 des oscillations.
c- Déduire l’expression de l’intensité i(t) du courant
électrique en fonction de Ucmax, C,0 et uc.
2. Montrer que
C Cmax
CC
i u U
LL
2 2 2
.
3. A l’aide d’un dispositif informatisé on a pu tracer la
courbe représentant l’évolution, au cours du temps, de i2
en fonction de uc2 (figure 2) et la courbe qui représente
l’évolution de i2 en fonction du temps (figure 3).
a. En exploitant le graphe
 de la figure 2, prélever Imax et Ucmax.
 de la figure 3, trouver la valeur de la pulsation
propre 0 et la phase initiale de la tension uc.
b- Calculer C et L. déduire la valeur de l’énergie électrique
emmagasinée initialement dans le condensateur.
Exercice 2 :
Avec un générateur de tension idéal, de f.e.m. E= 6V constante et un
condensateur de capacité C=15 µF et une bobine d’inductance L et
de résistance négligeable, on réalise le circuit de la figure1
A- L’interrupteur K est dans la position (1) :
Calculer :
a- La charge Q0B acquise par l’armature(B) du condensateur.
Déduire la charge maximale portée par le condensateur.
b- L’énergie électrostatique Ecmax emmagasinée par le condensateur
après sa charge.
B- L’interrupteur K est basculé dans la position (2) :
Le condensateur se décharge dans une bobine idéale
d’inductance L.
1°/ a- Etablir l’équation différentielle des oscillations électriques à laquelle obéit la charge q de l’armature A du
condensateur .
b- Montrer que l’énergie totale E du circuit est conservée. Donner sa valeur.
1
2
E
L
C
Fig 1
A
B
i
C
K
i
A
B
q
Fig1

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2°/ Le graphe donnant les variations de la tension uC en fonction du temps est donné par la figure 2.
a- Exprimer, en fonction du temps, la tension uC .
b- Déduire l’expression de l’intensité instantanée i(t).
Calculer la valeur de l’inductance L.
c- Sur la figure 2, représenter le graphe de l’intensité
en fonction du temps.( Echelle : 10 mA  1div )
4°/ On note q la charge électrique emmagasinée par le
condensateur à une date t quelconque.
a- Exprimer q2 en fonction de l’énergie totale E, L, C
et i.
b- On donne le graphe de q2 en fonction de i2 (fig 3).
Retrouver graphiquement et en le justifiant :
 La valeur de l’énergie totale E.
 L’amplitude de l’intensité Imax.
La valeur de l’inductance L.
Exercice 3 :
On considère le circuit électrique schématisé dans la figure ci-contre,
comportant :un générateur de tension continue (G), de f.é.m U0 et de
résistance interne négligeable ;un condensateur (c) de capacité C et
d’armatures A et B ;une bobine (B) d’inductance L et de résistance
négligeable ;deux interrupteurs K1 et K2 .
1. K2 étant ouvert, on ferme K1. Après une brève durée, le condensateur
porte une charge maximale Q0 et emmagasine une énergie
électrostatique E0.
a- Donner l’expression de Q0 en fonction de U0 et C.
b- Donner l’expression de E0 en fonction de Q0 et C.
2. Le condensateur étant chargé ; à t = 0 on ouvre K1 et on ferme K2. A t quelconque, l’armature A du
condensateur porte une charge q.
a- Exprimer l’énergie électromagnétique E en fonction de L, C, q et i.
b- Montrer, sans faire aucun calcul que cette énergie se conserve et elle est égale à
C2
Q2
0
.
c- Déduire l’équation différentielle des oscillations électriques.
d- Déterminer l’expression de la période propre T0 en fonction de L et C.
e- Donner l’expression de la charge q en fonction du temps.
3. Montrer que l’expression de cette énergie EL en fonction du temps s’écrit :
 t
T
4
cos1
2
E
E0
0
L
4. Une étude expérimentale a permis de tracer les courbes (1) et (2) (ci-dessous) traduisant respectivement
les variations de l’énergie magnétique EL en fonction de i et en fonction du temps.
a- En exploitant la courbe (1), déduire les valeurs de L et de E0.
b- En exploitant la courbe (2), déduire la valeur de T0.
Sensibilité verticale : 2V.div-1
Sensibilité horizontale : 5 ms.div-1
0
uC(V)
t(ms)
Fig 2
(c)
(B)
(G)
K1
K2
2
UG
UC
Qmax
E
Fig 3
511,21
0
i2(10-6 A2)
q2(10-9C2)
4,05
51
89

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5. Déterminer alors C, Q0 et U0.
Exercice 4 :
Le circuit électrique, représenté par la figure 1, est formé par :
- Un condensateur, de capacité C, et initialement chargé.
- Une bobine d’inductance L et de résistance négligeable.
- Un interrupteur K.
2- A t=0, on ferme l’interrupteur K. On désigne par q la charge portée par
l’armature A du condensateur à t quelconque.
d- Etablir l’équation différentielle régissant les variations de la charge q
du condensateur.
e- Montrer que le circuit est le siège d’oscillations électriques
sinusoïdales. Donner l’expression de la période T0 de
ces oscillations en fonction de L et C.
3- a- Exprimer l’énergie électromagnétique E de
l’oscillateur en fonction de q, L, C et l’intensité i du
courant.
b-Montrer que cette énergie est constante.
4- La courbe représentant les variations, au cours du
temps, de la tension uL aux bornes de la bobine est
représentée sur la figure 2.
a- Exploiter le graphe de la figure 2 pour donner
l’expression de uL en fonction du temps.
b- Déduire l’expression de la tension uC aux bornes du
condensateur en fonction du temps.
c- Quel est le signe de la charge électrique initiale q0A
de l’armature A ? Justifier la réponse.
d- Sachant que E=12,5.10-6 J, calculer C et L.
EL (10-3J)
i(A)
0,1
0,2
1
2
Courbe (1)
Courbe (2)
1
2
EL(10-3)J
t (10-4s)
2
C
L
K
i
A
B
q
Fig1
uL(V)
t(ms)
1 V
0,1 ms
Ech
Fig 2
90