Electrodynamique quantique en cavité 1 Formalisme de l`atome

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 4 (30 janvier 2017)
Electrodynamique quantique en cavité
On considère le dispositif représenté sur la figure 1, dans lequel un jet d’atomes entre dans une
cavité de volume V, résonnante pour un mode ℓ ≡ (~k, ~ε) donné du champ électromagnétique.
On utilise un modèle atomique à deux états internes “g” (fondamental) et “e” (excité), séparés
~ˆ = D|eihg|
~
par l’énergie ~ωA = Ee − Eg , de moment dipolaire électrique D
+ h.c. et on traite
le mouvement de l’atome classiquement. On suppose que la pulsation de résonance de la cavité,
~ · ~ε, supposé réel et positif.
ω = ck, est proche de la pulsation atomique ωA et on pose d = iD
miroir
Jet
atomique
Préparation
du niveau
atomique
Figure 1 – Interaction d’un
jet atomique avec une cavité
quasi-résonante.
Détection
du niveau
atomique
miroir
1
Formalisme de l’atome habillé par la lumière
1. Donner une base naturelle de l’espace des états du système {atome, mode de cavité}.
2. Ecrire le hamiltonien total du système (Ĥ) en séparant les contributions de l’atome isolé
(ĤA ), du champ électromagnétique dans la cavité (ĤC ) et du couplage atome-cavité (V̂AC ),
pris à l’approximation dipolaire électrique. On explicitera le terme de couplage V̂AC à l’aide
de l’opérateur |eihg| et de l’opérateur d’annihilation d’un photon dans le mode cavité, â.
3. Quels sont les états propres de Ĥ0 = ĤA + ĤC ? Tracer le diagramme des énergies propres
de Ĥ0 en fonction de ωA à ω fixé et pour δ = ω − ωA ≪ ωA .
4. On ne conserve de V̂AC que les termes résonants, i.e. les termes en |gihe| ↠et |eihg| â, et
~ = 0.
on suppose que l’atome est en R
(a) Déterminer les expressions de V̂AC |g, 0i, V̂AC |g, n + 1i et V̂AC |e, ni.
(b) En déduire les énergies et les états propres du système {atome, p
mode de cavité}. Les
représenter sur le graphe tracé à la question 3. On posera EC = ~ω/2ε0 V, ainsi que
~Ω0 = 2dEC ,
2
√
Ωn = Ω0 n + 1,
cos 2θn = p
δ
δ2
+
Ω2n
et
sin 2θn = p
Ωn
δ2
+ Ω2n
.
Clivage de Rabi dû au vide
On place l’atome dans son état fondamental |gi au centre de la cavité vide de photons et on
sonde le système à l’aide d’un faisceau laser dont on balaye la pulsation ωs autour de ω et ωA .
1
Pour l’application numérique, on utilisera les paramètres de l’expérience décrite par Thomson et
al. [Phys. Rev. Lett. 68, 1132 (1992)] : Atome de césium (λ = 0, 85µm ; |d| = 3qa0 où a0 =
0, 53Å est le rayon de Bohr et q = 1, 6 10−19 C est la charge élémentaire) ; Cavité de volume
V = 2 × 10−3 mm3 (distance entre les miroirs de 1mm ; rayon du mode de 50µm).
1. Pour un désaccord atome-cavité δ donné, quelles sont les pulsations ωs correspondant à
une absorption résonnante ?
2. Que se passe-t-il lorsque ω = ωA ? Calculer numériquement Ω0 . Commenter.
3
Evolution temporelle : Brouillage et résurgences
L’atome est préparé dans l’état excité |ei avant d’entrer dans la cavité où il passe un temps T .
1. On suppose d’abord que le champ dans la cavité est préparé dans l’état nombre |ni. Quelle
est la probabilité Pg (T ) de trouver l’atome
p dans l’état fondamental |gi en sortie de cavité ?
e n = δ 2 + Ω2 .
On pourra introduire la quantité Ω
n
2. On suppose à présent que la cavité est à résonance (δ = 0) et préparée dans l’état cohérent
2
|αi avec α ≫ 1. On posera πα (n) = |hn|αi|2 = e|α| |α|2n /n!.
(a) Montrer que la probabilité de trouver l’atome dans l’état fondamental |gi en sortie de
cavité est
1 1X
Pg (T ) = −
πα (n) cos(Ωn T ).
2 2
n6=0
p
2
(b) Montrer qu’aux temps courts, T ≪ TR = 4π
p |α| + 1/Ω0 , la fonction Pg (T ) est une
2
fonction oscillante de période T
posc = 2π/ |α| + 1 Ω0 , modulée par une enveloppe
2
8(1 + 1/|α| )/Ω0 . Afin de simplifier les calculs, on
décroissante de largeur TB =
approximera la distribution du nombre de photons dans l’état |αi par la gaussienne
1
(n − |α|2 )2
π(n) ≃ p
exp −
,
2|α|2
2π|α|2
n − |α|2
, et on remplaon linéarisera Ωn au voisinage de n = |α|2 , Ωn ≃ Ω|α|2 + Ω0 p
2 |α|2 + 1
cera la somme discrète par une intégrale.
(c) Commenter en comparant ces calculs à la fonction Pg (T ) exacte tracée sur la figure 2.
Voir aussi l’expérience de Brune et al. [Phys. Rev. Lett. 76, 1800 (1996)].
1.0
Pf (t)
0.5
0
W0 t
0
50
100
150
2
Figure 2 – Calcul exact de la
fonction Pg (T ) pour un champ
cohérent à |α|2 = 25 photons.