Electrodynamique quantique en cavité 1 Formalisme de l`atome

ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2014
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected]ytechnique.fr)
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY562.html
OPTIQUE QUANTIQUE (PHY562)
Petite Classe 4 (30 janvier 2017)
Electrodynamique quantique en cavité
On considère le dispositif représenté sur la figure 1, dans lequel un jet d’atomes entre dans une
cavité de volume V, résonnante pour un mode ℓ≡(~ k, ~ε)donné du champ électromagnétique.
On utilise un modèle atomique à deux états internes “g” (fondamental) et “e” (excité), séparés
par l’énergie ~ωA=Ee−Eg, de moment dipolaire électrique ˆ
~
D=~ D|eihg|+h.c.et on traite
le mouvement de l’atome classiquement. On suppose que la pulsation de résonance de la cavité,
ω=ck, est proche de la pulsation atomique ωAet on pose d=i~ D·~ε, supposé réel et positif.
Jet
atomique
Préparation
du niveau
atomique
Détection
du niveau
atomique
miroir
miroir
Figure 1 – Interaction d’un
jet atomique avec une cavité
quasi-résonante.
1 Formalisme de l’atome habillé par la lumière
1. Donner une base naturelle de l’espace des états du système {atome, mode de cavité}.
2. Ecrire le hamiltonien total du système ( ˆ H) en séparant les contributions de l’atome isolé
(ˆ HA), du champ électromagnétique dans la cavité ( ˆ HC) et du couplage atome-cavité ( ˆ VAC),
pris à l’approximation dipolaire électrique. On explicitera le terme de couplage ˆ VAC à l’aide
de l’opérateur |eihg|et de l’opérateur d’annihilation d’un photon dans le mode cavité, ˆa.
3. Quels sont les états propres de ˆ H0=ˆ HA+ˆ HC? Tracer le diagramme des énergies propres
de ˆ H0en fonction de ωAàωfixé et pour δ=ω−ωA≪ωA.
4. On ne conserve de ˆ VAC que les termes résonants, i.e. les termes en |gihe|ˆa†et |eihg|ˆa, et
on suppose que l’atome est en ~ R= 0.
(a) Déterminer les expressions de ˆ VAC|g,0i,ˆ VAC |g, n + 1iet ˆ VAC|e, ni.
(b) En déduire les énergies et les états propres du système {atome, mode de cavité}. Les
représenter sur le graphe tracé à la question 3. On posera EC=p~ω/2ε0V, ainsi que
~Ω0= 2dEC,Ωn= Ω0√n+ 1,cos 2θn=δ
pδ2+ Ω2
n
et sin 2θn=Ωn
pδ2+ Ω2
n
.
2 Clivage de Rabi dû au vide
On place l’atome dans son état fondamental |giau centre de la cavité vide de photons et on
sonde le système à l’aide d’un faisceau laser dont on balaye la pulsation ωsautour de ωet ωA.
1

Pour l’application numérique, on utilisera les paramètres de l’expérience décrite par Thomson et
al. [Phys. Rev. Lett. 68, 1132 (1992)] : Atome de césium (λ= 0,85µm ; |d|= 3qa0où a0=
0,53Å est le rayon de Bohr et q= 1,6 10−19 C est la charge élémentaire) ; Cavité de volume
V= 2 ×10−3mm3(distance entre les miroirs de 1mm ; rayon du mode de 50µm).
1. Pour un désaccord atome-cavité δdonné, quelles sont les pulsations ωscorrespondant à
une absorption résonnante ?
2. Que se passe-t-il lorsque ω=ωA? Calculer numériquement Ω0. Commenter.
3 Evolution temporelle : Brouillage et résurgences
L’atome est préparé dans l’état excité |eiavant d’entrer dans la cavité où il passe un temps T.
1. On suppose d’abord que le champ dans la cavité est préparé dans l’état nombre |ni. Quelle
est la probabilité Pg(T)de trouver l’atome dans l’état fondamental |gien sortie de cavité ?
On pourra introduire la quantité e Ωn=pδ2+ Ω2
n.
2. On suppose à présent que la cavité est à résonance (δ= 0) et préparée dans l’état cohérent
|αiavec α≫1. On posera πα(n) = |hn|αi|2=e|α|2|α|2n/n!.
(a) Montrer que la probabilité de trouver l’atome dans l’état fondamental |gien sortie de
cavité est
Pg(T) = 1
2−1 2X
n6=0
πα(n) cos(ΩnT).
(b) Montrer qu’aux temps courts, T≪TR= 4πp|α|2+ 1/Ω0, la fonction Pg(T)est une
fonction oscillante de période Tosc = 2π/p|α|2+ 1 Ω0, modulée par une enveloppe
décroissante de largeur TB=p8(1 + 1/|α|2)/Ω0. Afin de simplifier les calculs, on
approximera la distribution du nombre de photons dans l’état |αipar la gaussienne
π(n)≃1
p2π|α|2exp −(n− |α|2)2
2|α|2,
on linéarisera Ωnau voisinage de n=|α|2,Ωn≃Ω|α|2+ Ω0
n− |α|2
2p|α|2+ 1, et on rempla-
cera la somme discrète par une intégrale.
(c) Commenter en comparant ces calculs à la fonction Pg(T)exacte tracée sur la figure 2.
Voir aussi l’expérience de Brune et al. [Phys. Rev. Lett. 76, 1800 (1996)].
050 100 150
0
0.5
1.0 Pf (t)
W0 t
Figure 2 – Calcul exact de la
fonction Pg(T)pour un champ
cohérent à |α|2= 25 photons.
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