Familles de vecteurs - cours

PCSI1COURS - Familles finies de vecteurs d’un espace vectoriel 2016-2017
Remarque : sauf précision contraire, 𝐸désigne un espace vectoriel sur le corps 𝕂(𝕂=ℝou ℂ).
I. Familles liées/libres dans un espace vectoriel
Rappels : si ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . ,⃗𝑣𝑛) = (⃗𝑣𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛est une famille de 𝑛vecteurs de 𝐸, on note
𝐴=Vect(ℱ) = Vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . ,⃗𝑣𝑛) = {𝑎1⃗𝑣1+𝑎2⃗𝑣2+. . . +𝑎𝑛⃗𝑣𝑛∣(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛)∈𝕂𝑛}
l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de la famille ℱ:𝐴est l’ensemble des
vecteurs que l’on peut écrire 𝑎1⃗𝑣1+𝑎2⃗𝑣2+. . . +𝑎𝑛⃗𝑣𝑛, où 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛désignent des scalaires (dans
𝕂). On a prouvé que 𝐴est un sous-espace vectoriel de l’espace 𝐸(par conséquent, 𝐴est donc
lui-même un 𝕂-ev) : c’est même le plus petit sev de 𝐸qui contient la famille ℱ.
De façon claire, on a toujours l’inclusion : Vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛−1)⊂Vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛−1, ⃗𝑣𝑛).
Mais, de plus, si le vecteur ⃗𝑣𝑛est une combinaison linéaire des autres vecteurs ⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛−1(i.e)
s’il existe des scalaires 𝛼1, . . . , 𝛼𝑛−1dans 𝕂tels que ⃗𝑣𝑛=𝛼1⃗𝑣1+𝛼2⃗𝑣2+. . . +𝛼𝑛−1⃗𝑣𝑛−1, alors on a
l’égalité : Vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛−1, ⃗𝑣𝑛) = Vect(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛−1).
En résumé : si ⃗𝑣 ∈Vect(ℱ), alors Vect(ℱ, ⃗𝑣) = Vect(ℱ).
Il y a même équivalence, car ⃗𝑣 ∈Vect(ℱ, ⃗𝑣): donc
(⃗𝑣 ∈Vect(ℱ)) ⇔(Vect(ℱ, ⃗𝑣) = Vect(ℱ)) .
ou encore
(⃗𝑣 ∈Vect(⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛)) ⇔(Vect(⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛, ⃗𝑣) = Vect(⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛)) .
Rappels : si ⃗𝑐 est une combinaison linéaire de (⃗𝑣1, . . . ,⃗𝑣𝑛),
∙Vect (⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛,⃗𝑎) = Vect (⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛,⃗𝑎 −⃗𝑐).
∙Vect (⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛,⃗𝑐) = Vect ⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛,⃗ 0=Vect (⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑛).
∙par convention, on a posé : Vect(∅) = {⃗ 0}.
1˚) Familles liées de vecteurs de 𝐸(dépendance linéaire)
Définition :
une famille ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛)de 𝑛vecteurs (𝑛⩾2) de l’espace 𝐸est dite liée si au moins un des
vecteurs de cette famille peut s’écrire comme une combinaison linéaire des 𝑛−1autres vecteurs.
Convention : une famille ℱ= (⃗𝑣1)de UN vecteur de 𝐸est liée si et seulement si ⃗𝑣1est le vecteur
nul (i.e) ssi ⃗𝑣1=⃗ 0𝐸.
Quelques exemples :
– Toute famille ℱcontenant le vecteur nul ⃗ 0 = ⃗ 0𝐸est nécessairement liée. En effet, si on a
ℱ= (⃗ 0, ⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . ,⃗𝑣𝑛), alors on peut écrire ⃗ 0=0.⃗𝑣1+⋅ ⋅ ⋅ + 0.⃗𝑣𝑛! Le cas ℱ= (⃗ 0) est trivial.
– Toute famille ℱcontenant deux vecteurs colinéaires (voire égaux) est nécessairement liée. En
effet, si ℱ= (⃗𝑎,⃗ 𝑏, ⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . ,⃗𝑣𝑛), où ⃗ 𝑏=𝜆.⃗𝑎, alors on peut écrire ⃗ 𝑏=𝜆.⃗𝑎 + 0.⃗𝑣1+⋅ ⋅ ⋅ + 0.⃗𝑣𝑛.
ATTENTION : la réciproque est fausse en général. Autrement dit : une famille dont les vecteurs
ne sont pas deux à deux colinéaires peut être liée. Par exemple, dans 𝐸=ℝ3, en posant
ℱ= (⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐)avec ⃗𝑎 = (1,2,3),⃗ 𝑏= (4,5,6),⃗𝑐 = (7,8,9), la famille ℱest liée car ⃗ 𝑏=1
2⃗𝑎 +1 2⃗𝑐
MAIS pourtant, les vecteurs de ℱne sont pas deux à deux colinéaires .
– Dans le ℝ-espace vectoriel 𝐸=𝒜(ℝ,ℝ)des applications définies sur ℝet à valeurs dans ℝ, on
définit les fonctions 𝑓= cos2,𝑔= sin2,ℎ=˜ 1(fonction constante égale à 1).
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La famille ℱ= (𝑓, 𝑔, ℎ)est liée car ℎ=𝑓+𝑔.
Autre exemple : la famille ℱ′= (exp,1
exp ,ch,sh)est liée car sh =1 2.exp −1 2.1 exp + 0.ch.
Ainsi, 𝐴=Vect(exp,1
exp ,ch,sh) = Vect(exp,1 exp ,ch). Mais on a aussi (exp,1 exp ,ch)liée car
ch =1
2.exp +1 2.1 exp . Donc 𝐴=Vect exp,1
exp,ch,sh=Vect exp,1 exp.
En remarquant que exp = ch +sh et 1
exp =ch −sh, on aurait pu également prouver que
𝐴=Vect (ch,sh) = Vect(exp,1
exp ).
Les questions sont : est-ce qu’on peut continuer à diminuer le nombre de vecteurs dans la famille
qui engendre un sous-espace vectoriel, comment déterminer les vecteurs que l’on peut "effacer",
la manière de procéder est-elle unique, obtient-on toujours "à la fin" la même famille ? le même
nombre de vecteurs ?
2˚) Familles libres de vecteurs de 𝐸(indépendance linéaire)
Définition :
une famille ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛)=(⃗𝑣𝑖)1⩽𝑖⩽𝑛de 𝑛vecteurs (𝑛⩾1) de l’espace 𝐸est dite libre si elle
n’est pas liée. Ceci signifie donc qu’aucun des vecteurs de la famille ℱne peut s’écrire comme une
combinaison linéaires des (𝑛−1) AUTRES vecteurs de ℱ.
Vocabulaire : dire que la famille ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . ,⃗𝑣𝑛)est libre revient à dire que les vecteurs
⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . ,⃗𝑣𝑛sont linéairement indépendants.
Remarque : une famille ℱ= (⃗𝑣1)de UN vecteur est libre ssi ⃗𝑣1∕=⃗ 0.
La définition de la liberté d’une famille n’est pas très exploitable sous cette forme (vérifier que
chacun des vecteurs ne peut pas s’écrire comme combinaison des autres ? ? ? pas pratique !).
On possède une caractérisation plus simple à exprimer :
Caractérisation de la liberté d’une famille :
on a l’équivalence entre les deux propositions suivantes
(1) la famille ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛)est libre
(2) la seule manière d’obtenir le vecteur nul ⃗ 0avec une combinaison linéaire des vecteurs ⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛
est la combinaison triviale 0⃗𝑣1+. . . + 0⃗𝑣𝑛(i.e) la combinaison obtenue en prenant TOUS les
coefficients scalaires égaux à 0. Ceci peut encore s’écrire :
« avec (𝜆1, . . . , 𝜆𝑛)∈𝕂𝑛: SI 𝜆1⃗𝑣1+. . . +𝜆𝑛⃗𝑣𝑛=⃗ 0, ALORS 𝜆1=. . . =𝜆𝑛= 0 » .
Preuve :
(⇒)Si ℱest libre : supposons que, pour des scalaires 𝜆1, . . . , 𝜆𝑛∈𝕂, on ait 𝜆1⃗𝑣1+. . . +𝜆𝑛⃗𝑣𝑛=⃗ 0.
Montrons que, nécessairement, 𝜆1=. . . =𝜆𝑛= 0. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’un
de ces coefficients soit non nul : quitte à changer l’ordre et à renuméroter, on peut, par souci
de simplification d’écriture, supposer qu’il s’agit de 𝜆𝑛∕= 0. De l’égalité précédente, et grâce
à𝜆𝑛∕= 0, on peut en tirer ⃗𝑣𝑛=−𝜆1
𝜆𝑛⃗𝑣1−𝜆2 𝜆𝑛⃗𝑣2−. . . −𝜆𝑛−1 𝜆𝑛⃗𝑣𝑛−1, ce qui signifie que la famille
(⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛)est liée, ce qui est absurde (puisqu’on a supposé ℱest libre). CQFD.
(⇐)Supposons que la seule combinaison nulle des (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛)soit la combinaison triviale.
Par l’absurde : si ℱétait liée, alors au moins un des vecteurs ⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . ,⃗𝑣𝑛peut s’écrire comme
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une combinaison linéaire des (𝑛−1) autres. Donc, il existe 𝑖0∈ {1, . . . , 𝑛}tel que ⃗𝑣𝑖0soit une
combinaison linéaire des (𝑛−1) autres, ce qui signifie qu’il existe (𝑛−1) scalaires 𝛼𝑖dans 𝕂
tels que : ⃗𝑣𝑖0=
𝑛
𝑖=1,𝑖∕=𝑖0
𝛼𝑖.⃗𝑣𝑖, d’où l’écriture 1.⃗𝑣𝑖0−
𝑛
𝑖=1,𝑖∕=𝑖0
𝛼𝑖.⃗𝑣𝑖=⃗ 0, d’où l’absurdité, car c’est
une combinaison non triviale (le coefficient de ⃗𝑣𝑖0est 1∕= 0) des vecteurs ⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛qui est
égale à ⃗ 0(ça contredit l’hypothèse). Donc ℱest libre.
Remarque : les preuves précédentes nécessitent d’avoir 𝑛⩾2, mais le résultat est évident
lorsque 𝑛= 1 car :
(ℱ= (⃗𝑣1)est libre ) ⇔(⃗𝑣1∕=⃗ 0)⇔( SI 𝜆.⃗𝑣1=⃗ 0ALORS 𝜆= 0 ).
Méthode pour prouver qu’une famille ℱ= (⃗𝑣1, ⃗𝑣2, . . . , ⃗𝑣𝑛)est libre ou liée : on commence
par supposer qu’on a l’écriture 𝜆1⃗𝑣1+. . . +𝜆𝑛⃗𝑣𝑛=⃗ 0avec (𝜆1, . . . , 𝜆𝑛)∈𝕂𝑛. Si, après examen,
ceci entraine que, NECESSAIREMENT, 𝜆1=. . . =𝜆𝑛= 0, alors ℱest libre. Si, au contraire, on
trouve une solution autre que celle-ci, plus précisément si on arrive à exhiber des scalaires 𝜆1, . . . , 𝜆𝑛
NON TOUS NULS (i.e au moins un des 𝜆𝑖non nul) et vérifiant l’égalité initiale, alors on peut en
déduire que ℱest une famille liée.
Exemples :
1. Soit ℱ= (⃗𝑢, ⃗𝑣), une famille de deux vecteurs de 𝐸:(⃗𝑢, ⃗𝑣)est liée ssi un des deux vecteurs est
une combinaison linéaire de l’autre, autrement dit ssi ⃗𝑢 et ⃗𝑣 sont colinéaires. D’où :
(ℱ= (⃗𝑢, ⃗𝑣)est liée)⇔(⃗𝑢 et ⃗𝑣 sont colinéaires)
(ℱ= (⃗𝑢, ⃗𝑣)est libre )⇔(⃗𝑢 et ⃗𝑣 ne sont pas colinéaires)
Attention : ce résultat ne se généralise pas à plus de deux vecteurs. On a déjà vu l’exemple d’une
famille de trois vecteurs de ℝ3qui sont non-colinéaires deux à deux, mais qui est néanmoins
est liée (l’exemple était pris avec trois vecteurs coplanaires dans ℝ3).
2. La famille (sin,cos) est libre dans l’espace 𝒜(ℝ,ℝ). En effet, si on a 𝜆1sin +𝜆2cos = ˜ 0: ceci
signifie que, pour tout réel 𝑥∈ℝ, on a 𝜆1sin(𝑥) + 𝜆2cos(𝑥)=0.
En prenant successivement 𝑥= 0 et 𝑥=𝜋
2, on en tire les égalités (𝜆1×0) + (𝜆2×1) = 0 et
(𝜆1×1) + (𝜆2×0) = 0, ce qui entraîne 𝜆2= 0 et 𝜆1= 0 ! D’où le résultat.
3. Dans l’espace 𝐸=ℝ2, prenons la famille ℱ= (⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐)où ⃗𝑎 = (1,2),⃗ 𝑏= (3,4),⃗𝑐 = (5,6). Sup-
posons 𝜆1⃗𝑎+𝜆2⃗ 𝑏+𝜆3⃗𝑐 =⃗ 0 = (0,0), (i.e) (𝜆1+3𝜆2+5𝜆3,2𝜆1+4𝜆2+6𝜆3) = (0,0), d’où le système
𝜆1+ 3𝜆2+ 5𝜆3= 0
2𝜆1+ 4𝜆2+ 6𝜆3= 0 . Par la méthode du pivot de Gauss (𝐿2←𝐿2−2𝐿1), ce sys-
tème est équivalent à : 𝜆1+ 3𝜆2+ 5𝜆3= 0
−2𝜆2−4𝜆3= 0 : c’est un système linéaire homogène (car
𝜆1=𝜆2=𝜆3= 0 est une solution évidente), qui, sous cette forme, est un système échelonné,
clairement de rang 𝑟= 2, mais à 𝑛= 3 inconnues, donc qui possède 𝑛−𝑟= 3 −2=1para-
mètre libre (ici 𝜆3par exemple), donc possède une infinité de solutions, obtenues par exemple
à l’aide du paramétrage 𝜆1=𝜆3
𝜆2=−2𝜆3
. Par conséquent, puisque ce système est équivalent
à l’écriture 𝜆1⃗𝑎 +𝜆2⃗ 𝑏+𝜆3⃗𝑐 =⃗ 0 = (0,0), on peut en déduire qu’il y a d’autres solutions que la
solution triviale : par exemple, en prenant 𝜆3= 1, on obtient la combinaison ⃗𝑎 −2⃗ 𝑏+⃗𝑐 =⃗ 0, ce
qui prouve que la famille ℱ= (⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐)est liée.
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On peut généraliser et affirmer que, dans ℝ2, toute famille de trois vecteurs est nécessairement
liée ! En effet, l’écriture de la combinaison nulle avec ces trois vecteurs aboutit à un système
linéaire et homogène de 2équations linéaires, à 3inconnues 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, la matrice 𝑀du système
étant alors élément de ℳ2,3(ℝ). Le rang 𝑟de cette matrice est au plus 2(car elle possède 2
lignes) : de plus, il y a au moins une solution puisque le système est homogène, puis une infinité
car il y a 3−𝑟⩾1paramètre(s) libre(s) !
MIEUX : ceci peut se généraliser à des espaces du type 𝕂𝑛! Plus précisément :
« Dans 𝕂𝑛, toute famille contenant (𝑛+ 1) vecteurs est nécessairement liée ».
Preuve : l’écriture de la combinaison nulle de ces (𝑛+1) vecteurs est équivalente à la résolution
d’un système linéaire homogène de 𝑛équations (obtenues par les 𝑛composantes des vecteurs
de 𝐸=𝕂𝑛), à (𝑛+ 1) inconnues (𝜆1, . . . , 𝜆𝑛+1, éléments de 𝕂). Le rang 𝑟d’un tel système
est au plus 𝑛, mais, possèdant 𝑛+ 1 inconnues et une solution évidente, il a une infinité de
solutions paramétrées à l’aide de 𝑛+ 1 −𝑟⩾1paramètre(s) libre(s) La famille est donc liée,
car il existe une autre solution que 𝜆1=. . . =𝜆𝑛+1 = 0.
ENCORE MIEUX : puisqu’une surfamille d’une famille liée est liée (voir ci-dessous), on a
« dans 𝕂𝑛, toute famille contenant au moins (𝑛+ 1) vecteurs est nécessairement liée » .
ATTENTION : il n’y a pas de réciproque ! Une famille liée dans 𝕂𝑛peut éventuellement contenir
MOINS de 𝑛+1 vecteurs. Par exemple, dans ℝ3, avec ⃗𝑎 = (1,0,−1),⃗ 𝑏= (2,0,−2),⃗𝑐 = (1,2,3),
les familles (⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐)et (⃗𝑎,⃗ 𝑏)sont liées car ⃗𝑎 et ⃗ 𝑏sont colinéaires. Mais la famille (⃗𝑎,⃗𝑐)est libre
car ⃗𝑎 et ⃗𝑐 ne sont pas colinéaires. Par contre, il est certain qu’une famille (⃗𝑎,⃗ 𝑏,⃗𝑐, ⃗ 𝑑)de QUATRE
vecteurs quelconques de ℝ3est nécessairement liée !
TOUJOURS MIEUX : pour vérifier si une famille de 𝑝vecteurs (⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑝)de 𝕂𝑛est libre ou
liée, on écrit le système correspondant à 𝜆1⃗𝑣1+⋅ ⋅ ⋅+𝜆𝑝⃗𝑣𝑝=⃗ 0, c’est un système de 𝑛équations à
𝑝inconnues, de matrice 𝑀∈ ℳ𝑛,𝑝(𝕂). Le système étant homogène, il a une solution évidente
(la triviale 𝜆1=⋅ ⋅ ⋅ =𝜆𝑝= 0) : par conséquent, t il a une solution unique SSI il n’y a pas de
paramètre libre SSI son rang 𝑟est égal à 𝑝(car l’ensemble des solutions d’un tel système se
paramètre à l’aide de 𝑝−𝑟paramètres libres, voir cours sur les matrices du début d’année).
Donc, avec la matrice 𝑀=Mat𝒞(⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑝)dont les colonnes sont ces 𝑝vecteurs de 𝕂𝑛,
une famille de 𝑝vecteurs de 𝕂𝑛est libre SSI le rang de la matrice 𝑀est 𝑝
4. Dans le 𝕂-espace vectoriel 𝕂[𝑋]des polynômes à coefficients dans 𝕂, toute famille finie de 𝑛
polynômes non nuls de degrés strictement distincts deux à deux est nécessairement libre.
Preuve : on peut renuméroter cette famille de 𝑛polynômes non nuls par degrés croissants, (i.e)
ℱ= (𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃𝑛)où 0⩽deg(𝑃1)<deg(𝑃2)<⋅ ⋅ ⋅ <deg(𝑃𝑛).
Ecrite comme ceci, on dit que la famille ℱest une famille de polynômes de degrés échelonnés
(on dit aussi famille étagée en degrés).
Supposons que
𝑛
𝑖=1
𝛼𝑖𝑃𝑖=˜ 0, où (𝛼1, . . . , 𝛼𝑛)∈𝕂𝑛. On veut prouver que tous les 𝛼𝑖sont néces-
sairement tous nuls (ce qui entrainera bien que ℱest une famille libre).
Raisonnons par l’absurde : supposons qu’au moins un des 𝛼𝑖soit non nul, et considérons alors le
plus grand indice 𝑖0tel que 𝛼𝑖0∕= 0 (i.e 𝑖0= max{𝑖∣𝛼𝑖∕= 0}). On aurait alors (𝑖>𝑖0)⇒(𝛼𝑖= 0),
et l’égalité
𝑛
𝑖=1
𝛼𝑖𝑃𝑖=˜ 0peut se ré-écrire
𝑖0
𝑖=1
𝛼𝑖𝑃𝑖=˜ 0(i.e) 𝛼1𝑃1+. . . 𝛼𝑖0𝑃𝑖0=˜ 0.
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Mais, les degrés étant échelonnés, et 𝛼𝑖0∕= 0, on a deg 𝑖0
𝑖=1
𝛼𝑖𝑃𝑖=deg(𝑃𝑖0)⩾0, ce qui est
absurde car
𝑖0
𝑖=1
𝛼𝑖𝑃𝑖=˜ 0donc deg 𝑖0
𝑖=1
𝛼𝑖𝑃𝑖=deg(˜ 0) = −∞ ! CQFD !
A connaître : dans 𝕂[𝑋],
(deg(𝑃1)<deg(𝑃2)<⋅ ⋅ ⋅ <deg(𝑃𝑛)) ⇒(𝑃1, 𝑃2, . . . , 𝑃𝑛)est une famille libre .
Applications :
– Dans 𝕂[𝑋], pour tout 𝑛⩾0, la famille ℱ= (1, 𝑋, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛)=(𝑋𝑖)0⩽𝑖⩽𝑛est une famille
libre (car de degrés échelonnés)
– Dans 𝕂[𝑋], la famille ℱ= (𝑋+ 1, 𝑋3−5, 𝑋4−𝑋+ 1,−5𝑋10 + 8𝑋+ 8) est libre (car de
degrés échelonnés : 1<3<4<10).
– Attention : il n’y a pas de réciproque, (i.e) il existe des familles libres dans 𝕂[𝑋]qui ne soient
pas constituées de polynômes de dégrés tous distincts deux à deux. Par exemple, dans ℝ[𝑋],
la famille ℱ= (𝑋+ 1, 𝑋 −1) est libre car, si 𝛼1(𝑋+ 1) + 𝛼2(𝑋−1) = ˜ 0, alors pour tout réel
𝑥, on a 𝛼1(𝑥+ 1) + 𝛼2(𝑥−1) = 0. En prenant successivement 𝑥= 1 puis 𝑥=−1dans cette
égalité de fonctions, on en tire : 2𝛼1+ 0𝛼2= 0 et 0𝛼1−2𝛼2= 0, puis 𝛼1=𝛼2= 0. D’où la
liberté de la famille ℱ= (𝑋+ 1, 𝑋 −1) (pourtant constituée de deux polynômes de même
degré !). De même, on peut prouver que la famille ((𝑋−1)2,(𝑋−1)(𝑋−2),(𝑋−2)2)de
trois polynômes de même degré (deux) est libre !
– Dans ℝℝ, la famille de fonctions ℱ= (𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, . . . , 𝑓𝑛)est libre, où les 𝛼𝑖sont des réels deux
à deux distincts (par exemple 𝛼0< 𝛼1<⋅ ⋅ ⋅ < 𝛼𝑛) et, pour tout 𝑥∈ℝ,𝑓𝑖(𝑥) = 𝑒𝛼𝑖𝑥.
Proposition :
1. Toute sous-famille d’une famille libre de vecteurs de 𝐸est encore une famille libre .
2. Toute sur -famille d’une famille liée de vecteurs de 𝐸est encore une famille liée .
Il faut comprendre : si ℱest une famille libre, alors la famille ℱ′obtenue en enlevant un ou plusieurs
vecteurs de ℱest encore une famille libre (ℱ′⊂ ℱ).
De même : si ℱest une famille liée, alors la famille ℱ′′ obtenue en ajoutant àℱun ou plusieurs
vecteurs de 𝐸reste une famille liée (ℱ ⊂ ℱ′′).
Preuve :
1. Si ℱ= (⃗𝑣1, . . . ,⃗𝑣𝑛)est une famille libre, et ℱ′, une sous-famille de ℱ. Quitte à changer l’ordre
et à renuméroter, on peut supposer que ℱ′s’écrit ℱ′= (⃗𝑣1, . . . ,⃗𝑣𝑝)avec 𝑝⩽𝑛. Prouvons que
(⃗𝑣1, . . . ,⃗𝑣𝑝)est libre. Pour cela : si on suppose que 𝜆1⃗𝑣1+. . . +𝜆𝑝⃗𝑣𝑝=⃗ 0, alors on peut écrire
𝜆1⃗𝑣1+. . . +𝜆𝑝⃗𝑣𝑝+ 0⃗𝑣𝑝+1 + 0.⃗𝑣𝑝+2 +⋅ ⋅ ⋅ + 0⃗𝑣𝑛=⃗ 0. Mais la famille (⃗𝑣1, . . . ,⃗𝑣𝑛)étant supposée
libre, on en tire automatiquement 𝜆1=. . . =𝜆𝑝=0=0=. . . = 0 = 0, d’où, a fortiori,
𝜆1=. . . =𝜆𝑝= 0, ce qui permet d’affirmer que la famille ℱ′= (⃗𝑣1, . . . , ⃗𝑣𝑝)est libre. CQFD !
Remarque : la preuve précédente nécessite de supposer 𝑛⩾1. Le résultat reste néamoins va-
lable à condition de prendre la convention suivante :
«une famille de 0 vecteur (i.e l’ensemble vide...) est une famille libre» .
On remarquera que c’est cohérent, car elle ne peut pas être liée (en effet, comment y trouver
UN vecteur, dans cet ensemble, qui soit une combinaison des autres ?).
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