corrigé

CCP PSI2005
Math2
PartieI.
I.1.Onobtientdirectement,µa partirdelaformuledu produitscalaire:
²parsym¶etriehermicienne:(yjx)=(xjy)
²parsemi lin¶earit¶eµa gauche:(¸xjy)=¸(xjy)
²parlin¶earit¶eµa droite:(xj¹y)=¹(xjy)
I.2.1.Unefamillededeux vecteursestunebasedeC2sietseulementsison d¶eterminantdansunebase estnon nul.
Ordet(x;y)=(3¡2i)a¡(1+3i)(¡1+5i)=(3¡2i)a+(16 ¡2i)
det(x;y)=0,a=¡16+2i
3¡2i=(¡16+2i)(3+2i) 13 =¡4¡2i
(x;y)libre() a6=¡4¡2i
I.2.2.Lafamille estorthogonalesi leproduitscalaire estnul(dansce cas,c'estunebase carlesvecteursqui lacomposentso
n
non nul).Cecialieusi
(yjx)=a(¡1+5i)+(1¡3i)(3¡2i)=0
c'estµa diresia=(¡3¡11i)
(1¡5i)=(¡3¡11i)(1+5i) 26
x?y() a=2+i
Dansce cas,onkxk2=j2+ij2+j1+3ij2=5+10
kxk=p15
I.3.1.Lepolyn^ome caract¶eristiquedeTest
PT=det(I2¡XT)=X2+1
iet¡isontdonclesdeux valeursproprescomplexes simples.Les sous-espacespropres sont toutdeuxdedimension
1
LOna:µx
y¶2Ei(T)() ½¡ix+yp3=0
¡xp3¡3iy=0() x=¡iyp3
Ei(T)=Vect((¡ip3;1));E¡i(T)=Vect((¡1=p3;i))
I.3.2.Lesvecteurs(¡ip3;1)et (¡1=p3;¡i)sontorthogonaux(produitscalairenul).Onobtientunebaseorthonormale enl
e
divisantparleurnorme.Cettebase est
unebaseO.N.devecteurspropresest¡(¡ip3=2;1=2);(¡1=2;ip3=2)¢
I.4.Le calculdonne:tU U =µaa +bb ac+bd
ca+dbcc +dd ¶
tUU =µkxk2(xjy)
(xjy)kyk2¶
PartieII.
II.1.Le calculdeI:4donneimm¶ediatementque:
U2Usietseulementsi lafamille(x;y)desvecteurscolonnesdeUestunebaseorthonorm¶ee deC2
.
II.2.En prenantled¶eterminantdelarelationtU U =I2,onobtient:jdet(U)j2=det(U)det(U)=det(tU)det(U)=det(I2)
=
1Onadonc
jdet(U)j=1
II.3.

II.3.1.Uestinversible carson d¶eterminantestnon nuletU¡1=tU.UncalculdeU¡1(PivotdeGauss ouCramer)don
n
U¡1=1
ad¡bcµd¡c
¡ba¶
Onconstatedoncque¡U¢¡1=(U¡1):
Onadonct³U¡1´U¡1=tU¡1U¡1=UU ¡1=I2
II.3.2.On peutv¶eri¯erque(tU)=t¡U¢etdonc
{t¡U¢:U=tUU =tU U =I2=I2doncU2U
{t³(tU)´t U=UtU=t¡tU U¢=tI2=I2donctU2U
U2U=)U¡12U;U2U;tU2U;
II.3.3.SoientU;V2U.Ona:t(UV)UV=tVtUU V=tV V =I2
U;V2U=)UV2U
II.4.Ilexisteunematrice colonnenon nulleXtelqueUX=¸X.En prenantlanormede cesmatrices,onobtient
tXtUU X=j¸j2kxk2
CommeU2U,onadonckXk2=j¸j2kXk2etcommeX6=(0)
j¸j=1
PartieIII.
III.1.1.On¶ecritquelescolonnesdeUformentunebaseorthonorm¶ee (troisrelations)etqueled¶eterminantdeUvaut1.L
e
relations sontdoncjaj2+jbj2=1;jcj2+jdj2=1;ac+bd=0;ad¡bc=1
III.1.2.SiU2SUalorsU¡1=tUet,parle calculdel'inversedu II.3.1.onal'expression deU¡1avec ad¡bc=1d'oµu:
µd¡c
¡ba¶=µab
cd¶
Onobtientdoncd=aetc=¡b.
III.1.3.SiU2SUalorsUestdoncdu typeU=µa¡b
ba¶etcomme chaque colonne estdenorme1,ona aussijaj2+jbj2=
1
R¶eciproquement,siUestdu typepr¶ec¶edentalorslescolonnes sontdenormes1,orthogonalesetled¶eterminantva
u
jaj2+jbj2=1.
OnadoncU2SU.
U2SU() 9(a;b)2C2;U=µa¡b
ba¶
III.2.1.Onsaitd¶ejµa (II.4)quelesvaleurspropres sontdemodule1.Lesvaleurspropres sontdu typeeiµeteiÁ.Maisd'apr
µe
led¶eterminantleproduitdesvaleurspropresvaut1doncÁ¡ ¡µ
Ilexisteµ2Rtelque esvaleurspropresdeUsontdonceiµete¡iµ.
III.2.2.a=i=2etb=¡p3=2v¶eri¯entjaj2+jbj2=1etainsiT2SU.LescalculsdelapartieIdonnentcommeP2SU:
T=PDP¡1avec D=µi0
0¡i¶=D¼=2etP=µ¡ip3=2 1=2
1=2¡ip3=2¶
PartieIV
IV.1.1.Lesconditions sura;b;c;dpourqueA=µac
bd¶2Vsont:a=a;d=d;c=bpouravoirtA=Aeta+d=0po
u
avoirtr(A)=0
2

aetdsontdoncdesr¶eelsoppos¶esetbetcdescomplexesconjugu¶es.OnadoncA=µar+is
r¡is¡a¶avec a;r;sr¶eels.
en posantr=Re(c);s=Im(c)
²R¶eciproquement,toutematrice du typepr¶ec¶edentestdansV(quatrepropri¶et¶esv¶eri¯¶ees).Onadonc
V=faE1+rE2+sE3=(a;r;s)2Rg=Vect(E1;E2;E3)
Vestdoncun espace vectorielr¶eeldontonaunefamilleg¶en¶eratrice.
Depluscettefamille¶etantlibre:siaE1+rE2+sE3=0 onobtientµar+is
r¡is¡a¶=(0)ce quidonnea=r=s=
Vestun R¡espace vectorieldebase(E1;E2;E3)
IV.1.2.SoitA=µar+is
r¡is¡a¶etB=µb½+i¾ ½¡i¾¡b¶onaAB=µab+(r+is) (½¡i¾)? ?ab+(r¡is) (½+i¾
¶
donc1
2tr(AB)=ab+r½+s¾
L'application<:;: >est
²µa valeursr¶eellesd'aprµesl'expression pr¶ec¶edente
²sym¶etrique cartr(AB)=tr(BA)
²lin¶eairepar rapportµa lasecondevariable.
²d¶e¯niepositive:hA;Ai=a2+r2+s2¸0ethA;Ai=0)a=r=s=0)A=0
c'estun produitscalairesurV
.
Le calculpr¶ec¶edentdonnekAk2=a2+r2+s2.deplusdet(A)=¡a2¡(r+is)(r¡is)=¡a2¡r2¡s2
kAk2=¡det(A)
IV.1.3.Onen d¶eduitimm¶ediatementque8i2f1;2;3g;<Ei;Ei>=kEik2=1
Parailleursl'expressionhA;Bi=ab+r½+s¾donnefacilement8i6=j;<Ei;Ej>=0
;lafamille(E1;E2;E3)estunebaseorthonorm¶ee deV.
IV.2.1.
²`Pestlin¶eaire:P(®A+¯B)P¡1=®PAP¡1+¯PBP¡1
²`Pestµa valeursdansV:
{t³`P(A)´=`P(A).Ene®etP2UdonctP P =I2etdoncP¡1=tPdonc`P(A)=PAtP.DeplusA2Vdo
n
tA=Adonct³`P(A)´=t³PAtP´=t³PAtP´=PtAtP=PAtP=`P(A)
{tr(`P(A)) =0cardeuxmatrices semblablesontm^emetrace.
²`Pconservelanorme:kPAP¡1k2=1
2tr(PA2P¡1)=1 2tr(A2)=kAk2en utilisantdenouveauquedeuxmatric
e
semblablesontm^emetrace.
²toutendomorphismeorthogonal¶etantun automorphismeonaler¶esultat:
`Pestun automorphismeorthogonaldeV
IV.2.2.SiPetQsontdansSUalorsPQ2SU:onsaitd¶ejµa quePQ2U(questionII:3:3)etdet(PQ)=det(P)det(Q)=
1
Ainsi, SUeststableparproduit.
Deplus8A2V:`P±`Q(A)=QPAP¡1Q¡1=(QP)A(QP)¡1=`PQ(A)
`PQ=`P±`Q
3

IV.3.1.OnremarquequeD¡1
µ=D¡µetdonc:
`Dµ(E1)=DµE1D¡µ=µ1 0
0¡1¶=E1
`Dµ(E2)=DµE2D¡µ=µ0e2iµ
e¡2iµ0¶=cos(2µ)E2+sin(2µ)E3
`Dµ(E3)=DµE3D¡µ=µ0ie2iµ
¡ie2iµ0¶=¡sin(2µ)E2+cos(2µ)E3
IV.3.2.Lamatrice de`Dµdanslabaseorthonorm¶ee (E1;E2;E3)estdoncR2µ.Labase estorthonorm¶ee directe et`Dµestunerot
IV.4.Onal'existence deP2SUetµ2RtelsqueU=PDµP¡1etdonc
`U=`P±`Dµ±`P¡1=`P±`Dµ±(`P)¡1
DanslabaseE=(E1;E2;E3),onadonc
Mat(`U)=QR2µQ¡1oµuQ=Mat(`P)
Comme`Pestun automorphismeorthogonaldeVetcommeEestunebaseorthonorm¶ee deV,Qestunematri
c
orthogonale.Qestdoncunematrice depassagedelabaseorthonorm¶ee Eversuneautrebaseorthonorm¶ee F
=
(F1;F2;F3).Parformulede changementdebase,ona
Mat(`U;F)=R2µ
Ainsi, `Uestunerotation deV.
²Si`PestdirecteFestdirectetonaunerotation d'axedirig¶eparF1etd'angle2µ
²Si`PestdirecteFestindirectetonaunerotation d'axedirig¶eparF1etd'angle-2µ
IV.5.1.OnaH=µqib
¡ib¡q¶etdonc
H=qE1+Im(b)E2+Re(b)E32V
IV.5.2.Uestun polyn^ome enHetcommutedoncavec H.Ainsi
`U(H)=UHU¡1=H
IV.5.3.Hestlaiss¶estableparlarotation`U.SiH6=0 alorsil dirigel'axedelarotation.Deuxcas sepr¶esententdonc
-SiU2Vect(I2)alors`U=IdVestunerotation d'anglenul. toutdroitesestun "axe"
-Sinon,H6=0etHdirigel'axedelarotation.OnaH=qE1+sE2+rE3.
IV.6.D'aprµeslaquestionIV:4,`Testunerotation d'angle§¼.D'aprµeslaquestion pr¶ec¶edente, l'axedelarotationestdiri
g
parF=1
2E1+p3 2E3.
`Testlasym¶etriepar rapportµa Vect(1
2E1+p3 2E3)
IV.7.1.SiUaunevaleurpropredouble¸alors(questionIII:2:1)alors¸=eiµ=e¡iµetdoncµ=0[¼]. Ona ainsi¸=1
o
¸=¡1.Enreprenantlatrace ona 2Re(a)=2¸etcommejaj2+jbj2=1,c'estqueb=0eta=1 oua=¡1.On
doncdeuxsolutionsquiI2ou¡I2quisontdiagonalisablesdanstoutebase etonadoncler¶esultatvoulu.
IV.7.2.SiUadeux valeurspropresdistincteseiµete¡iµalorsUestdiagonalisable(il yadeux valeurspropresdistinctes
e
dimension2)etchaquesous-espace propre estunedroite.Sionmontreque cesdeuxdroites sontorthognalesalors
e
prenantun vecteurv1norm¶edel'un des sous-espacespropresetv2norm¶edansl'autresous-espace proprelamatrice
d
passagePdelabase canoniqueµa (v1;v2)seradansSUetdiagonaliseraAce quinouspermettrade conclure.
Soitdoncx1vecteurpropreassoci¶eµa eiµetx2vecteurpropreassoci¶eµa e¡iµ.Ona
(Ux1;Ux2)=(eiµx1;e¡iµx2)=e¡2iµ(x1;x2)
Or,ona aussi
(Ux1;Ux2)=tUx1Ux2=tx1tUU x2=tx1x2=(x1;x2)
etcommee¡2iµ6=1(valeurspropresdistinctes),(x1jx2)=0,ce qu'il fallaitprouver.
4