corrigé

EPITAMP2002
PARTIE1
1.
1a)
²onaclairementa(e1)=e2,a2(e1)=a(e2)=e3.OnadoncE=Vect(e1;a(e1);a2(e1)) .
²OnadoncE½Vect(ak(e1);k2N),d'autrepartpourtoutk2N,ak(e1)2EdoncVect(ak(e1);k2N)½Eet
donc
E=Vect(ak(e1);k2N)
aestdonc cyclique enchoisissantx0=e1
²Pourd¶eterminerlesvaleurspropresonr¶esoutlesystµemedet(M¡¸Id)=0
¯¯¯¯¯¯
¡¸0 6
1¡¸¡11
0 1 6 ¡¸
¯¯¯¯¯¯
=0
ce quidonne¡¸3+6¸2¡11¸+6=0.¸=1estracine¶evidente et¡¸3+6¸2¡11¸+6=(1¡¸)(¸2¡2¸+6)
lesvaleurspropres sont:1;2et3
²Pour¸=1 on doitr¶esoudrelesystµemea(v1)=v1jenotev1=0
@
x
y
z
1
A,etlesujetimposez=1:Cequidonnele
systµeme:8
<
:
6=x
x¡11 =y
y+6=1
lasolutionest¶evidente:v1=0
@
6
¡5
1
1
A
²pour¸=2:8
<
:
6=2x
x¡11 =2y
y+6=2
donnev2=0
@
3
¡4
1
1
A
²pour¸=3:8
<
:
6=3x
x¡11 =3y
y+6=3
donnev2=0
@
2
¡3
1
1
A
²Onv¶eri¯equedet(v1;v2;v3)=¡26=0,donc(v1;v2;v3)estunebasedeE.Danscettebaselamatrice deaest
D=0
@
100
020
003
1
A;Aestdoncsemblableµa Detlamatrice depassage estP=0 @
6 3 2
¡5¡4¡3
1 1 1
1
A
Ona alorsA=PDP¡1ouencoreD=P¡1AP
1b)m^eme¶etudeontrouve encoreb(e1)=e2etb2(e1)=e3.Ontrouvedet(B¡¸Id)=¡¸3¡¸2+¸+1deracines1
simple et¡1double.
lesvecteurspropresv¶eri¯ent
²soitb(v)=vce quidonnev2Vect0
@
1
2
1
1
A

²soitb(v)=¡vce quidonnev2Vect0
@
¡1
0
1
1
A
L'ensembledesvecteurspropresengendreun plan.Iln'existepasdebasedeEconstitu¶ee devecteurspropres.
bn'estpasdiagonalisable
2.
2*)Lafamille(xi)n
i=1aleboncardinal . Ilsu±tdev¶eri¯erqu'elle estlibre:SoitPn i=1aixi=¡!
0.Pard¶e¯nition
c(xi)=¸ixidoncaixi2Ker(c¡¸iId).D'aprµesler¶esultatadmisdanslespr¶eliminaireslasommedesKer(c¡¸iId)est
directe; l'uniqued¶ecompositionduvecteurnuldonnedonc8i,aixi=0,etcommepard¶e¯nition d'un vecteurpropre
xi6=¡! 0 ona8i,ai=0.
(xi)n
i=1estunebasedeE
2a)pard¶e¯nitionona8i2[[1;n]],c(xi)=¸ixi.Doncsion notex0=Pn
i=1xi,onobtientparlin¶earit¶ec(x0)=
Pn
i=1¸ixietpar r¶ecurrence sick(x0)=Pn i=1¸k
ixialorsck+1(x0)=Pn
i=1¸k
ic(xi)=Pn
i=1¸k+1
ixi:
2b)Prenonsune combinaisonlin¶eairenulledesck(x0).OnadoncPn¡1
k=0akck(x0)=¡!
0,soitPn¡1
k=0akPn i=1¸k ixi=¡!
0
.Orlafamilledes(xi)estunebasedeE.chaque coordonn¶ee danscettebase estnulle.Onadonc
8i2[[1;n]] ,
n¡1
X
k=0
ak¸k
i=0
On prend alorslepolyn^omeP=Pn¡1
k=0akXk.Cepolyn^ome estdedegr¶e·n¡1etadmetnracinesdistinctesles(¸i).
Lepolyn^ome estdoncnul . Touscescoe±cients sontnuls.Lafamille¡ck(x0)¢n¡1 k=0estlibre
2c)Commelafamille estunefamillelibredeboncardinal , c'estunebasedeEE=Vect¡ck(x0)¢n¡1
k=0.Pardouble
inclusioncommeauI1)onen d¶eduitE=Vect¡ck(x0)¢k2N
cestcyclique
PARTIE2
3.
3a)On peutremarquerquex06=¡! 0carsinonE=Vect(fk(¡! 0)) =Vect(¡! 0)=n¡! 0o,ce quicontreditl'hypothµese
dim(E)¸2.
Lafamille(x0)estdonclibre.Parcontrepourm¸nlafamille¡fk(x0)¢m
k=0estde cardinal¸n+1en dimensionn.
Elle estdoncli¶ee.
Danslasuite¡fk(x0)¢0
k=0;¡fk(x0)¢1 k=0¢¢¢¡fk(x0)¢n k=0on passedoncaumoinsunefoisd'unefamillelibreµa unefamille
li¶e.
L'ensembledesmtelsque¡fk(x0)¢m¡1
k=0soitlibre et¡fk(x0)¢m k=0soitli¶e,estun sousensemblenonvidedeN,major¶e
parn.Iladmetun plusgrand ¶el¶ement.
Onmontrealorspar r¶ecurrence quepourk2N,fm+k(x0)2Vect¡fi(x0)¢m¡1
i=0
²sik=0:Onsaitque¡fi(x0)¢m
i=0estli¶e.Ilexisteune combinaisonlin¶eairePm
i=0aifi(x0)=¡!
0 avec (ai)m
i=06=(0)
Siam=0 onacomme¡fi(x0)¢m¡1
i=0estlibre8iai=0:ABSURDE
doncam6=0etfm(x0)=Pm¡1
i=0¡ai amfi(x0).Doncpourk=0fm+0(x0)2Vect¡fi(x0)¢m¡1
i=0
²Onsupposefm+k(x0)2Vect¡fi(x0)¢m¡1
i=0,ilexistedoncdes scalairesbitelsquefm+k(x0)=Pm¡1
i=0bifi(x0) (les
bid¶ependentaussidek).Ona alors
fm+k+1(x0)=
m¡1
X
i=0
bifi+1(x0)=
m¡1
X
j=1
bj¡1fj(x0)+bm¡1fm(x0)=
bm¡1µ¡a0
am¶f0(x0)+
m¡1
X
j=1µbj¡1¡bm¡1
am¡1
am¶fj(x0)
etdoncfm+k+1(x0)2Vect¡fi(x0)¢m¡1
i=0
2

²par r¶ecurrence :8k2N,fm+k(x0)2Vect¡fi(x0)¢m¡1 i=0
3b)Pard¶e¯nition demlafamille estlibre.
Elle estaussig¶en¶eratrice carE=Vect¡fi(x0)¢i2N=Vect¡fi(x0)¢m¡1
i=0d'aprµeslea)ene®et:
²¡fi(x0)¢m¡1
i=0½¡fi(x0)¢i2NdoncVect¡fi(x0)¢m¡1 i=0½Vect¡fi(x0)¢i2N
²Six2Vect¡fi(x0)¢i2N,ilexisteun entierpetdes scalairesqitelquex=Pq
i=0qifi(x0).Onadoncune
combinaisonlin¶eaired'¶el¶ementsdeVect¡fi(x0)¢m¡1
i=0.Doncun ¶el¶ementdeVect¡fi(x0)¢m¡1 i=0:Vect¡fi(x0)¢i2N½
Vect¡fi(x0)¢m¡1
i=0
Lafamille estlibre etg¶en¶eratrice .C'estdoncunebasedeE.elle estdoncde cardinaln.Doncm=n
¡fi(x0)¢m¡1
i=0estunebasedeEetm=n
4.
4a)pouri<n¡1, l'imagedu i¡µemevecteurdebase estle(i+1)¡µeme.Lai¡µeme colonnedeMestdoncune colonne
de0sauflignei+1 oµuil yaun 1.L'imagedu derniervecteurdebase estfm(x0)=Pn¡1
i=0pifi(x0):Onadonc:
M=
0
B
B
B
B
B
B
@
0 0 ¢¢¢ 0p0
1 0 ¢¢¢ 0p1
01....
.
..
.
.
.
.
.......0pn¡2
0¢¢¢ 0 1 pn¡1
1
C
C
C
C
C
C
A
,mi;j=8
<
:
1sii=j+1
pi¡1sij=n
0sinon
Remarque: il n'estpasinutiledefairelelienavec AetB.
4b)Onmontreque¡fk¢n¡1
k=0estunefamillelibredeL(E):
SoitPn¡1
i=0aifi=O(en notantOleneutredeL(E) ).Sion prend l'imagedex0parcetterelationontrouve
Pn¡1
i=0aifi(x0)=¡!
0.Etdonc comme¡fi(x0)¢n¡1
i=0estunebasedeE:8i,ai=0
¡fk¢n¡1
k=0estunefamillelibredeL(E)
La¯n delaquestionestfausselepolyn^omenul¶etantsolution¶evidentedu problµeme.Parcontreil n'existepasde
polyn^omenon nuldedegr¶e<ntelqueQ(f)=0.Ene®etsiQ=Pn¡1
k=0qkXkexisteonaPn¡1 k=0qkfk=O.Etdonc
commelafamille estlibre8k,qk=0etdoncQ=0
4c)Onapard¶e¯nition desnotationsP(f)(x0)=fn(x0)¡Pn¡1
i=0pifi(x0)=¡!
0.
DoncpourtouskP(f)(fk(x0)) =fn+k(x0)¡Pn¡1
i=0pifi+k(x0)=fk³fn(x0)¡Pn¡1 i=0pifi(x0)´=fk(¡!
0)=¡! 0.
LesapplicationsP(f)etOsont¶egales surunebase:ellesont¶egales
Pf)=O
5.
5a)Paruner¶ecurrence d¶ejµa faiteauI2a)onafk(x)=¸kx.on doncP(f)(x)=Pn¡1
i=0pifi(x)=Pn¡1 i=0pi¸ix=P(¸)x:
Onx6=0doncP(¸)=0
5b)Lamatrice def¡¸IdestM¡¸Insoit
M=
0
B
B
B
B
B
B
@
¡¸0¢ ¢¢ 0p0
1¡¸¢ ¢¢ 0p1
0 1 ....
.
..
.
.
.
.
.......¡¸pn¡2
0¢¢ ¢ 0 1 pn¡1¡¸
1
C
C
C
C
C
C
A
,mi;j=
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
¡¸sii=j<n
1sii=j+1
pi¡1sij=n;i<n
pn¡1¡¸sii=j=n
0sinon
3

²Si¸=0 alorsp0=0car¸estracinedeP:Un pivotdeGauss qui¶echangeleslignedePdonne
rg(M)=rg
0
B
B
B
B
B
B
@
0 0 ¢¢¢ 0 0
1 0 ¢¢¢ 0p1
01....
.
..
.
.
.
.
.......0pn¡2
0¢¢¢ 0 1 pn¡1
1
C
C
C
C
C
C
A
=rg
0
B
B
B
B
B
B
@
1 0 ¢¢ ¢ 0p1
0 1 ¢¢ ¢ 0p2
0 0 ....
.
..
.
.
.
.
.......1pn¡1
0¢¢¢ 0 0 0
1
C
C
C
C
C
C
A
=rg
0
B
B
B
B
B
B
@
1 0 ¢¢¢ 0 0
0 1 ¢¢¢ 0 0
00....
.
.0
.
.
.......1 0
0¢¢¢ 0 0 0
1
C
C
C
C
C
C
A
:CnÃCn¡
n¡1
X
i=1
piCi
matrice diagonaleayantn¡1termesnon nuls surladiagonale,doncderangn¡1
²Si¸6=0 on divisetouteslescolonnes saufladerniµerepar-¸
rg(M)=rg
0
B
B
B
B
B
B
@
¡¸0¢¢¢ 0p0
1¡¸¢¢¢ 0p1
0 1 ....
.
..
.
.
.
.
.......¡¸pn¡2
0¢¢¢ 0 1 pn¡1¡¸
1
C
C
C
C
C
C
A
=rg
0
B
B
B
B
B
B
@
1 0 ¢¢¢ 0p0
¡1=¸1¢¢¢ 0p1
0¡1=¸....
.
..
.
.
.
.
.......1pn¡2
0¢¢¢ 0¡1=¸pn¡1¡¸
1
C
C
C
C
C
C
A
puisonfaitappara^³tredes0dansladerniµere colonne:
CnÃCn¡p0C1;CnÃCn¡³p1+p0
¸´C2;¢¢¢CnÃCn¡µp0
¸k¡1+p1 ¸k¡2+¢¢¢pk¡1¶Ck
rg(M)=rg
0
B
B
B
B
B
B
@
1 0 ¢¢¢ 0 0
¡1=¸1¢¢¢ 0 0
0¡1=¸....
.
..
.
.
.
.
.......1 0
0¢¢¢ 0¡1=¸¡p0
¸n¡1+p1 ¸k¡2+¢¢¢pn¡1¢¡¸
1
C
C
C
C
C
C
A
le coe±cientn£nestalors¡P(¸)
¸n¡1=0
²Onretireladerniµere colonne
lamatrice obtenue est"triangulaire" ayantdestermestousnon nuls surlad"iagonale",donclerangestn¡1
²Danslesdeuxcasker(f¡¸Id)estderangn¡1.Lesousespace propre(lenoyau)estdedimension1
5c)Siilexistenvaleurspropresdistinctes, l'endomorphisme est toujoursdiagonalisable:
(5/2)c'estdu cours
(tous)si l'endomorphismeadmetnvaleurpropresdistinctsil existenker(f¡¸iId)nonr¶eduitµa 0,correspondantµa des
valeurspropresdistincts.LasommePker(f¡¸Id)estdirecte.Onadoncdim(©ker(f¡¸iId)) ¸n.Oronaun
sousespace vectorieldeEdedimensionn.Doncdim(©ker(f¡¸iId)) =n.Parinclusionet¶egalit¶edesdimensions
©ker(f¡¸iId)=E.Encr¶eantunebaseadapt¶ee µa la©,onconstruitunebasedevecteurspropresetdoncfest
diagonalisable
5cr¶eciproque)Soitfcyclique,diagonalisable,ilexistedoncunebasedevecteurspropres.Supposons(parl'absurde)
qu'il existedanscettebasedeux vecteursdistinctsbietbjassoci¶esµa lam^emevaleurpropre¸.Ona alorsbi2ker(f¡Id)
etbj2ker(f¡¸Id),doncleplanVect(bibj)½Ker(f¡Id).Cequicontreditler¶esultatde5b).Doncil yautantde
valeurspropresdistinctesquedevecteursdebase.fadmetnvaleurspropresdistincts.
6.
6a)
²C(f)estun sousensembledeL(E)
²C(f)contientId
²C(f)eststableparcombinaisonlin¶eaire:sig±f=f±geth±f=f±halorspourtous scalaires¸;¹:
(¸g+¹h)±f=¸(g±f)+¹(h±f)=¸(f±g)+¹(f±h)
=f±(¸g)+f±(¹h)=f±(¸g+¹h)
4

²C(f)estdoncstbleparsoustraction.
²C(f)eststableparproduitinterne(±):sig±f=f±geth±f=f±h:
(g±h)±f=g±(h±f)=g±(f±h)=(g±f)±h=(f±g)±h=f±(g±h)
C(f)estun sousespace vectorieletun sousanneau deL(E)
6b)Onsupposeu±f=f±u,v±f=f±vetu(x0)=v(x0).Onmontrepar r¶ecurrence queuetvsont¶egauxsurla
base¡fk(x0)¢n¡1
k=0,doncqueu=v:
²pourk=0c'estlad¶e¯nition deuetv
²pourk=1:
u(f(x0)) =(u±f) (x0)=(f±u) (x0)=f(u(x0)) =f(v(x0)) =(f±v) (x0)=(v±f) (x0)=v(f(x0))
²siu(fk(x0)) =v¡fk(x0)¢
u(fk+1(x0)) =(u±f) (fk(x0)) =(f±u) (fk(x0)) =f¡u¡fk(x0)¢¢
=f¡v¡fk(x0)¢¢=(f±v)¡fk(x0)¢=(v±f) (fk(x0)) =v¡fk+1(x0)¢
d'oµul'¶egalit¶epourtoutvecteurdelabase
6c)Remarquonsqueles(ai)n¡1
i=0existentcaron d¶ecomposedansunebase.
on prend alorsu=g,v=Pn¡1
k=0akfk,Onsupposequeu=g2C(f),commetoutpolyn^omedel'endomorphismefon
av2C(f),en¯n onasuppos¶eu(x0)=v(x0).Onadoncd'aprµeslea)u=vdoncg=Pn¡1
k=0akfk
6d)Onvientdemontrerquetout¶el¶ementdeC(f)estdanVect(fk)n¡1
k=0,etonad¶ejµa utilis¶equetout¶el¶ementde
Vect(fk)n¡1
k=0estdansC(f).DoncC(f)=Vect¡fk¢n¡1
k=0:
D'aprµesleII4b)cettefamille estlibre.C'estdoncunebasedeC(f).
C(f)estun sousespace vectorieldedimensionn
5