Rapport Projet I3 - Benjamin Bradu`s HomePage

Simulation du comportement d’un traceur sanguin
dans le réseau vasculaire cérébral
?
Rapport Projet I3
Sujet N°1
Tuteur : Laurent Baroux
22/06/2004
BRADU Benjamin
AYACHE Benjamin
TANQUEREL Charles
32 pages
1

Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral 1
SOMMAIRE
Introduction ......................................................................................2
Cahier des charges............................................................................2
1 – Hémodynamique.........................................................................3
2 – Modélisation de l’écoulement sanguin et du traceur............... 6
3 – Influences des caractéristiques du sang et des vaisseaux
sanguins sur l’écoulement ..............................................................13
Conclusion.......................................................................................23
Bibliographie...................................................................................24
Table des Matières..........................................................................25
Annexe : Présentation et utilisation de Femlab.............................26
Remerciements................................................................................ 31

Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral 2
Introduction
Cette étude consiste à simuler sous le logiciel Femlab le comportement d’un traceur sanguin
utilisé pour certaines techniques d’imagerie IRM lors de son passage dans les artères
cérébrales. Le traceur est injecté en embole dans une veine du bras pour ensuite se répandre
dans tout le système vasculaire. On s’intéresse ici à la diffusion du traceur dans les artères et
dans l’encéphale pour en extraire des paramètres quantitatifs de la perfusion cérébrale. Ceci
permettant, avec les images IRM du cerveau, de caractériser l’irrigation des tissus cérébraux
et de détecter ainsi des zones sur-vascularisées synonymes de tumeurs ou de maladies
cérébrales.
La circulation sanguine est très complexe, elle dépend d’un grand nombre de paramètres et
fait appel à de nombreux domaines comme la mécanique des fluides, la biophysique et la
résistance des matériaux. En effet, il n’existe pas réellement en IRM de perfusion de modèle
pour établir les relations entre les principaux paramètres physiologiques que sont le flux
sanguin cérébral, le volume sanguin cérébral et le temps de transit moyen du traceur avec les
données recueillies par l’IRM [9]. De telles simulations sont nécessaires pour valider les
modèles mathématiques existants. On constate, dans la réalité, que le traceur privilégiera
certaines directions à cause de la géométrie complexe du système vasculaire et des profils de
vitesses. Une caractérisation analytique du problème est impossible et nous avons donc
recours aux simulations numériques pour interpréter certains résultats d’IRM.
Nous modéliserons le problème sur deux dimensions en assimilant les conduites que
constituent les vaisseaux sanguins à des rectangles représentant une coupe longitudinale du
vaisseau. Nous négligerons donc la 3ième dimension étant donné que les écoulements dans les
conduites cylindriques sont des problèmes à symétrie radiale et qu’il y a ainsi une invariance
radiale. De plus, pour modéliser les ramifications des vaisseaux, nous utiliserons des modèles
simples de bifurcations ne reflétant pas la réalité complexe de la géométrie qui constitue le
système artériel.
Nous avons, dans un premier temps, établi un modèle de la circulation sanguine pour pouvoir
ensuite simuler l’évolution du traceur dans le sang. Cela nous permis d’étudier l’influence de
plusieurs paramètres sur l’évolution de la concentration du traceur. Les paramètres principaux
sont la viscosité du sang qui est un fluide non-newtonien, le rythme cardiaque qui contrôle la
circulation sanguine, les géométries diverses des vaisseaux sanguins et l’élasticité des
vaisseaux qui détient un rôle majeur dans la circulation. Ce dernier point sera uniquement
survolé théoriquement et n’interviendra pas dans les simulations à cause de sa complexité.
Cahier des charges
Descriptif de l’étude
Pour certaines techniques d’imagerie IRM encéphalique, on utilise un agent de contraste
magnétique (traceur), injecté en embole au niveau d’une veine du bras. Ce traceur se mélange
au sang au fur et à mesure de son parcours du bras aux artères alimentant l’encéphale, aux
artérioles, lors de sa diffusion à travers le réseau capillaire cérébral et enfin aux veines
collectrices. Pour ressortir, à partir des images IRM enregistrées lors du passage du traceur,
des paramètres physiologiques pertinents (volume sanguin cérébral et débit sanguin cérébral)
caractérisant la zone tissulaire observée (vascularisé par le traceur), il est nécessaire de

Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral 3
disposer d’un modèle comportemental du sang. Le projet consiste à réaliser sous le logiciel de
simulation multiphysique Femlab une étude visant à disposer d’un certain nombre de
simulations qui permettront d’extraire au minimum un modèle comportemental.
Cette étude doit déboucher sur la caractérisation des effets d’un grand nombre de paramètres
du problème :
• viscosité
• élastance, diamètres, longueurs et ramification des vaisseaux
• profil de vitesse du sang
• etc.
Commentaire du cahier des charges
L’élastance des vaisseaux sanguins n’a pas été prise en compte lors des simulations car son
étude est trop complexe pour rentrer dans le cadre de ce projet et pourrait faire l’objet d’un
projet à part entière. Nous aborderons uniquement le concept de l’élastance de manière
théorique dans l’hémodynamique.
1 – Hémodynamique
1.1 – Equation de Navier-Stockes appliquée à l’écoulement
sanguin et profils de vitesses
L’écoulement sanguin est régi par les équations de la mécanique des fluides. L’équation aux
dérivées partielles régissant ce type de problème pour un fluide incompressible comme le
sang est l’équation de Navier-Stockes [0] :
=∇
=∇+∇+∇+∇∇−
∂
∂
0.
.)..()).(..(..
V
FpVVVV
t
VT
r
rrrrr
rρµρ
ρreprésente la masse volumique du fluide en kg/m3
V
r
représente le vecteur vitesse du fluide en m/s
µreprésente la viscosité du fluide en Pa.s = kg/ms
preprésente la pression du fluide en Pa
F
r
représente une force de volume exercée sur le fluide en N
La condition 0. =∇ V
rtraduit l’incompressibilité du fluide.
L’écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins peut être considéré comme laminaire.
L’écoulement peut être turbulent dans certaines régions précises de l’aorte près du cœur
uniquement ou lors d’efforts chez un sujet qui voit son rythme cardiaque augmenter.[2].
La résolution de l’équation de Navier-Stockes dans un tube cylindrique pour un écoulement
laminaire donne un profil de vitesse parabolique [2] comme le montre la figure1.a. Si les taux
de cisaillement sont importants, on observe un profil de Casson [1] comme le montre la figure
1.b.

Rapport Projet I3 – 2004
Simulation du comportement d’un traceur sanguin dans le réseau vasculaire cérébral 4
Ces profils de vitesses montrent que, lors du passage du traceur, celui-ci se propagera plus
vite au centre des vaisseaux et que son évolution sera différente selon les vaisseaux observés.
Les taux de cisaillement importants sont généralement observés dans les vaisseaux sanguins à
diamètre important. Nous avons observé lors de nos simulations sous Femlab des profils de
Casson dans l’aorte et des profils paraboliques dans des vaisseaux secondaires où les
diamètres sont nettement plus faibles.
1.2 – Débit
Le débit sanguin moyen est, en vertu du principe de conservation de l’énergie, conservé.
L’arbre de circulation étant composé de nombreuses ramifications, la surface irriguée
augmente significativement et ainsi, la vitesse du sang diminue lorsque l’on s’éloigne du cœur
comme le montre la figure 2.a. Les principales caractéristiques des différents types de
vaisseaux sont récapitulées dans la figure 2.b. On rappelle l’expression du débit volumique :
v
q v dS
Σ
= ⋅
∫∫ r
roù Σreprésente une section du vaisseau.
Figure 1.a : Profil parabolique des vitesses Figure 1.b : Profil de Casson des vitesses
Figure 2.a : Evolution des surfaces irriguées et
des vitesses lors du parcours du sang [2]