TP 1 : prise en main du logiciel

Université de Limoges 2012-13
Licence de Mathématiques 4esemestre
Configurations géométriques S. Vinatier
TP 1 : prise en main du logiciel
Pour nos TP de géométrie, nous utiliserons le logiciel Geogebra, qui est disponible en ligne
et librement téléchargeable et utilisable.
1 Début et fin de séance
Allumez l’ordinateur et connectez-vous (en indiquant votre Identifiant :etu-20..., puis
votre mot de passe). Pour travailler avec Geogebra, il faut l’installer si ce n’est pas déjà fait.
Pour cela, ouvrez un navigateur web (Mozilla Firefox) et tapez l’adresse du site du logiciel :
http://www.geogebra.org/
ou utilisez un moteur de recherche. Cliquez sur Téléchargement, puis sur le bouton Webstart ;
acceptez d’Ouvrir avec Java, cliquez sur Run, c’est parti !
Pour la séance suivante, il vous suffira de cliquer sur l’icône GeoGebra qui est apparue sur
votre bureau.
N’oubliez pas d’enregistrer vos travaux au fur et à mesure ! !
En fin de séance, enregistrez votre travail et rassemblez les fichiers contenant les figures dans
un répertoire à vos noms, à déposer (par copier-coller) sur ma clé USB ou à m’envoyer par
email à l’adresse [email protected]. N’oubliez pas de fermer votre session avant
de partir.
2 Géométrie du triangle
Dans Geogebra, tout se fait à l’aide des menus déroulants. Il y a un menu général : Fichier
(notamment pour sauvegarder), Éditer (annuler /refaire), Affichage (on peut décocher Axes si
on n’en pas besoin), ..., et un menu spécifique avec des boutons graphiques : Déplacer,Nouveau
point,Droite passant par deux points, ...
2.1 Médiatrices, hauteurs, médianes
a) Tracer un triangle, modifier la position d’un des sommets à la souris, puis directement sur
ses coordonnées (clic droit sur celles-ci dans la barre de gauche, puis redéfinir) ; déterminer
son aire ;
b) définir les milieux des côtés du triangle, les renommer A1,B1,C1(clic droit sur la lettre puis
A_1) ;
c) faire apparaître ses médiatrices, définir leur point d’intersection, le renommer O, tracer le
cercle circonscrit au triangle ;

d) faire apparaître ses hauteurs et leurs pieds, renommer ceux-ci HA,HB,HC; définir l’ortho-
centre du triangle, le renommer H;
e) faire apparaître les médianes du triangles, définir son centre de gravité, le renommer G;
f) masquer les droites de construction pour alléger la figure.
2.2 Droite et cercle d’Euler
a) Vérifier que les points O, H, G sont alignés — on pourra comparer les droites (OH)et (OG)
— et que −−→ OH = 3−→ OG (à l’aide des vecteurs) ; vérifier que ces propriétés ne dépendent pas
du triangle de départ.
b) Mesurer les longueurs OG et OH ; dans la barre de saisie (en bas), définir une nouvelle
variable (disons r) en tapant r=distance[O,H]/distance[O,G] (puis Entrée) ; observer la
valeur de r(dans la barre de gauche) et ses variations éventuelles quand on déplace un des
sommets du triangle.
c) Tracer le milieu du segment [OH], en déduire le cercle d’Euler du triangle (à l’aide des points
A1,B1,C1) ; vérifier qu’il passe par les pieds des hauteurs.
Sauvegarder la figure obtenue dans un fichier Triangle.
3 Somme des angles d’un triangle
Nous allons vérifier que la somme des angles d’un triangle — pris dans le bon sens — est
égale à l’angle plat (de mesure πradians), et en déduire une égalité de mesures d’angles pour
les triangles isocèles.
3.1 Construction
a) Tracer un nouveau triangle ABC et faire apparaître les angles α, β, γ formés par ses trois
sommets, ainsi que leurs mesures (l’unité peut être spécifiée dans le menu Options).
b) Dans la barre de saisie (en bas), définir une nouvelle variable en tapant
s=α+β+γ ,
puis Entrée (les lettres grecques peuvent être obtenues en appuyant sur la touche Alt).
c) Observer la valeur de s(dans la barre de gauche) et ses variations éventuelles quand on
déplace un des sommets du triangle. Faire de même pour les trois autres variables :
t=α+β−γ , u =α−β+γ , v =−α+β+γ ,
et interpréter.
Sauvegarder la construction dans un fichier Angles.

3.2 Démonstration
Soient −→ u , −→ vdeux vecteurs non nuls et A, B, C trois points distincts du plan.
1. Justifier à partir de la définition de la mesure des angles orientés de vecteurs les deux
égalités :
(−→ u , −−→ u)≡πmod 2π , (−→ u , −→ v)≡(−−→ u , −−→ v) mod 2π .
2. En déduire l’egalité :
(−→ AC, −→ AB)+(−→ BA, −−→ BC)+(−−→ CB, −→ CA)≡πmod 2π .
En est-il de même pour la somme (−→ AC, −→ AB)+(−→ BA, −−→ BC)+(−→ CA, −−→ CB)?
3. En déduire le corollaire suivant : soit ABC un triangle isocèle en A, alors
(−→ AC, −→ AB)≡π+ 2(−−→ BC, −→ BA)≡π+ 2(−→ CA, −−→ CB) mod 2π .
4 Théorème de l’angle inscrit
On va illustrer et prouver le résultat suivant.
Théorème 1 Soient Pet Qdeux points distincts d’un cercle Γde centre O. Alors, pour tout
point N∈Γdistinct de Pet Q,ona:
(−→ OP , −→ OQ)≡2(−−→ NP , −−→ NQ) mod 2π;
de plus, si θest une mesure (modulo π) de l’angle formé par la tangente TàΓen Pet la droite
(P Q),ona:
(−→ OP , −→ OQ)≡2θmod 2π .
4.1 Construction
a) Tracer un cercle, renommer son centre Oet y placer trois points N, P, Q.
b) Mesurer les angles orientés de vecteurs (−→ OP , −→ OQ)et (−−→ NP , −−→ NQ)(attention à l’ordre des
points), puis définir une variable fqui calcule (−→ OP , −→ OQ)−2(−−→ NP , −−→ NQ).
c) Quelle est sa valeur ? Comment varie-t-elle quand on déplace l’un des trois points N, P, Q ?
d) Faire apparaître la tangente Tau cercle en Pet la droite (P Q), ainsi que l’angle γentre
ces deux droites (attention à l’ordre).
e) Définir une variable gqui calcule (−→ OP , −→ OQ)−2γ, que constate-t-on ?
Sauvegarder la construction dans un fichier Inscrit.
4.2 Démonstration
On se place dans les hypothèses du théorème et on considère un point Nde Γ.
1. Justifier l’égalité (−→ OP , −→ OQ)≡(−→ OP , −−→ ON)+(−−→ ON, −→ OQ) mod 2π.
2. En déduire la première egalité à l’aide du corollaire du paragraphe précédent (voir 3.2.3),
en prenant soin de bien justifier les étapes de la preuve.

3. Soit Ile milieu du segment [P, Q], montrer qu’il existe un point P0sur la tangente Tau
cercle en Ptel que (−→ OI, −→ OP )=(−→ P I, −−→ P P 0)(on pourra considérer une rotation convenable
pour définir P0et établir l’égalité).
4. En déduire la deuxième egalité du théorème de l’angle inscrit.
5 Cercles inscrit et exinscrits
On se donne deux droites D1et D2sécantes en un point A.
Proposition - définition 1 Il existe deux droites perpendiculaires ∆et ∆0telles que D1et
D2sont images l’une de l’autre par la symétrie orthogonale par rapport à ∆et par la symétrie
orthogonale par rapport à ∆0. Les droites ∆et ∆0sont les bissectrices de D1et D2.
Proposition 1 (i) ∆∪∆0={M:d(M, D1) = d(M, D2)};
(ii) une droite Dpassant par Aest une bissectrice de D1et D2si et seulement si les angles
orientés de droites (D1, D)et (D, D2)sont égaux, c’est-à-dire s’il existe une rotation affine
rtelle que r(D1) = Det r(D) = D2.
Les deux droites D1et D2ont deux bissectrices. Deux demi-droites ont une seule bissectrice
(l’axe de la symétrie orthogonale qui les échange). Dans un triangle ABC, la bissectrice inté-
rieure issue de Aest celle des demi-droites [AB)et [AC), la bissectrice extérieure est l’autre
bissectrice des droites (AB)et (AC).
Dans le triangle ABC, notons a=d(B, C),b=d(C, A)et c=d(A, B).
Théorème 2 (i) Les trois bissectrices intérieures de ABC sont concourantes en un point I
situé à l’intérieur du triangle, barycentre de (A, a),(B, b),(C, c);Iest le centre du cercle
inscrit au triangle (c’est-à-dire tangent aux trois côtés et à l’intérieur du triangle).
(ii) Deux bissectrices extérieures et une bissectrice intérieure sont concourantes dès qu’elles
sont issues de sommets distincts. Le point de concours JAde la bissectrice intérieure DA
issue de Aet des bissectrices extérieures D0
Bet D0 Cissues respectivement de Bet Cest
le barycentre de (A, −a),(B, b),(C, c)et est le centre d’un des trois cercles exinscrits au
triangle (c’est-à-dire tangents aux trois côtés et à l’extérieur du triangle).
a) Tracer un triangle ABC et les bissectrices des trois sommets du triangle ; définir leur point
d’intersection et tracer le cercle inscrit au triangle (par quel point de [AB]passe-t-il ?).
b) Définir le point d’intersection de la bissectrice intérieure issue de Aet des bissectrices exté-
rieures issues des deux autres sommets ; tracer le cercle exinscrit correspondant (par quel
point de [BC]passe-t-il ?).
c) Définir les points d’intersection de la bissectrice intérieure issue de Aavec (BC), nommé IA,
et celui de la bissectrice extérieure issue de Aavec (BC),nommé KA; tracer le cercle de
diamètre [IA, KA];
d) Dans la barre de saisie, définir une nouvelle variable (disons r2) en tapant r2=c/b ; Placer
un point Msur le cercle de diamètre [IA, KA], mesurer les longueurs MB et MC puis calculer
le rapport MB/MC. À quelle grandeur est-il égal ? Que remarque-t-on quand on déplace
Msur le cercle ?
Sauvegarder le résultat dans un fichier Cercles.