Chapitre 2.3b – La loi de Hooke

Chapitre 2.3b – La loi de Hooke
Le ressort idéal
En 1676, Robert Hooke (physicien anglais) établie un lien entre la
déformation d’un objet et la volonté de l’objet à revenir à son état
naturelle (non déformé). Pour ce faire, l’objet déformé doit appliquer
une force sur son environnement qui le contraint à épouser une forme
non stable. Dans le cas du ressort idéal, élasticité et linéaire, Hooke
réalise qu’un ressort étiré ou comprimé applique une force sur un autre
objet en contact avec le ressort proportionnelle à l’étirement ou à la
compression du ressort. Lorsque le ressort possède sa longueur
naturelle, il n’applique aucune force.
Robert Hooke
(1635-1703)
Pour un ressort idéal de masse négligeable, la force Fr appliquée par
le ressort est égale à l’étirement ou à la compression e du ressort
multiplié par la constante du ressort k (constante de Hooke):
Fr = ke
où
Fr : Force appliquée par le ressort (N)
k : Constante de rappel du ressort (N/m)
e : Module de l’étirement ou de la compression du ressort (m)
Ressort pour suspension
de voiture.
Les trois comportements du ressort
Le ressort peut appliquer aucune force, pousser ou tirer sur un objet en contact avec lui :
e = 0 ax = 0
1) Lorsque le ressort possède sa longueur
naturelle
⇒ le ressort n’applique pas force
0
e
x(m )
ax
v
Fr
2) Lorsque le ressort est comprimé
⇒ le ressort pousse
0
−e
3) Lorsque le ressort est étiré
v
Fr
x(m )
e
ax
⇒ le ressort tire
0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
e
x(m )
Page 1
La définition vectorielle de la force du ressort
La force d’un ressort idéal peut être définie vectoriellement à l’aide du vecteur déformation
v
e qui représente l’étirement ou la compression du ressort. Ce vecteur possède comme
origine la position d’équilibre du ressort. On peut également utiliser l’axe x pour désigner la
déformation du ressort. Si l’équilibre est atteinte à x = 0 lorsque e = 0 , on peut faire
l’association e = x :
où
Forme vectorielle
Forme selon l’axe x
(équilibre à x = 0 )
v
v
Fr = −ke
Fr = −kx
v
Fr : Force appliquée par le ressort (N)
k : Constante de rappel du ressort (N/m)
v
e : Vecteur étirement ou compression du ressort (m)
x : Position de l’extrémité libre du ressort, x = 0 est à la position d’équilibre (m)
Compression du ressort :
e
v
Fr
ax
Étirement du ressort :
v
e
Fr
v
e
−e
ax
v
e
0
x(m )
0
e
x(m )
Le dynamomètre
Le dynamomètre est un outil qui permet de
mesurer une force appliquée sur un objet à l’aide
de la déformation d’un ressort.
Puisque la déformation d’un ressort idéal est linéaire,
alors la graduation sur le dynamomètre est linéaire
(on double l’étirement, alors on double la force). On
peut ainsi mesurer l’augmentation de la force
appliquée par le dynamomètre ∆Fr par son
augmentation de longueur ∆e :
∆Fr = k ∆e
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
F(N)
0
F(N)
0
F(N)
0
1
1
2
1N
2N
Dans cet exemple, la constante k = 1 N/m. Puisque la force
augmente de 1 N, alors l’étirement du ressort augmente de 1 m.
Page 2
Situation 1 : Un ressort idéal. Un ressort idéal accroché
au plafond possède une longueur naturelle de 30 cm.
Lorsqu’un bloc de 0,2 kg est suspendu à son extrémité, sa
longueur est de 44 cm (voir schéma ci-contre). On désire
déterminer (a) la constante de rappel du ressort et (b)
prévoir sa longueur lorsqu’on accroche un bloc de 0,5 kg
à son extrémité.
30 cm
44 cm
0,2 kg
Évaluons la constante du ressort afin de répondre à la question (a) :
1) La masse étudiée est la masse du bloc :
2) La masse subit les forces suivantes :
m = 0,2 kg
v
v
mg et Fr
3) Diagramme des forces :
30 cm
v
a =0
4)
v
v
∑ F = ma
v
Fr
v
Fr
44 cm
v
mg
v
mg
v
v
v
Fr + mg = ma
⇒
5) Décomposer les forces :
En y :
∑F
y
= Fr − mg = ma y = 0
⇒
Fr − mg = 0
6) Résoudre le système d’équation :
Fr − mg = 0
⇒
Fr = mg
(Isoler Fr )
⇒
ke = mg
(Remplacer Fr = ke )
⇒
mg
e
(0,2)(9,8)
k=
(0,44 − 0,30)
(Isoler k)
k = 14 N/m
(Évaluer k)
⇒
⇒
k=
7) La constante de rappel a une valeur de 14 N/m.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Remplacer valeurs num.)
(a)
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Reprenons les étapes 1 à 4 et répondons à la question (b) lorsque le bloc possède une masse
de 0,5 kg :
5) Décomposer les forces :
En y :
∑F
y
⇒
= Fr − mg = ma y = 0
Fr − mg = 0
6) Résoudre le système d’équation :
Fr − mg = 0
⇒
Fr = mg
(Isoler Fr )
⇒
ke = mg
(Remplacer Fr = ke )
⇒
e=
mg
k
(0,5)(9,8)
e=
(14)
(Isoler e)
e = 0,35 m
(Évaluer e)
⇒
⇒
(Remplacer valeurs num.)
7) La longueur finale du ressort sera :
L = L0 + e = (0,30 ) + (0,35)
⇒
L = 0,65 m
(b)
La force du ressort avec deux particules (complément informatique)
v
La force FB qu’un ressort applique sur une particule B
lorsque le ressort est relié à deux particules A et B
v
dépend de l’étirement eB du ressort selon la particule
B et de la longueur naturelle L0 du ressort :
v
v
FB = − k eB
tel que
et
où
v 
L
v
eB = d AB 1 − v 0

d AB

v
v v
d AB = rB − rA




L0
A
v
d AB
y
v
rA
v
eB
v
FB
B
v
rB
x
v
FB : Force qu’exerce le ressort sur la particule B (N).
v
eB : Vecteur déformation du ressort selon B (m).
k : Constante du ressort (N/m).
L0 : Longueur naturelle du ressort (m).
v
d AB : Déplacement de la particule A et B ce qui donne la longueur du ressort (m).
v
rA : Position de la particule A (m).
v
rB : Position de la particule B (m).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Preuve :
Considérons les deux particules PA et PB situés aux
v
v
vecteurs positions rA et rB . Le vecteur déplacement
pour passer de la particule PA à la particule PB se
calcul grâce à l’équation
v
v v
d AB = rB − rA .
L’orientation du vecteur étirement êAB du ressort
selon la particule
v PB sera dans la direction du vecteur
déplacement d AB et peut être évalué par le calcul
v
d AB
eˆAB = v .
d AB
L0
PA
êAB
y
v
rA
v
d AB
v
eB
v
FB
v
rB
PB
x
v
Pour obtenir le vecteur déformation du ressort eB selon la particule PB, nous pouvons
v
soustraire la longueur naturelle L0 du ressort au vecteur déplacement d AB par le calcul
v
v
eB = d AB − L0 êAB .
v
En développant l’expression de eB , nous obtenons :
v
v
eB = d AB − L0 êAB
⇒
 dv
v
v
eB = d AB − L0  vAB
d
 AB
⇒
v 
L 
v
eB = d AB 1 − v 0 

d AB 





v
d AB
= v )
d AB
(Remplacer eˆAB
v
(Factoriser d AB )
Ainsi, on obtient la force que le ressort applique sur la particule PB par l’équation
v
v
FB = −k eB . ■
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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