Exercices revision compo1

Exercices révision compo 1T Première S
1
Exercices révision compo 1T Première S
2
Exercices révision compo 1T Première S
3
Exercices révision compo 1T Première S
Calcul de dérivées
3
1) f(x) = x² + 2x pour x  
4
2) f(x) =
-5x² + 3
pour x  
4
3) f(x) = 2 x – x + 4 pour x  +
3
4) f(x) = x + pour x  R*
x
5) f(x) =
3
pour x  *
x² + 1
6) f(x) =
x–2
pour x   \ {3}
x-3
7) f(x) = 1 – x +
8) f(x) =
3
pour x  *
x²
x²
pour x  
x² + 1
9) f(x) = -2(x + 1)² pour x  
10) f(x) = 3x x pour x  +
3x3
3
11) f(x) =
+
+ 2
6
5
12) f(x) =
2 – 3x
pour x   \ {4}.
x-4
13) f(x) = -3x3 + 2x² + 2 pour x  
 1 
-4
14) f(x) =
pour x   \  
1 – 2x
2
15) f(x) = 2x + 3 +
1
pour x  *
x
16) f(x) = (3 – 2x)² pour x  
-1
17) f(x) =
pour x   \ {1}
x-1
4
18) f(x) = 3x3 – x² pour x  
5
19) f(x) =
3x
pour x   \ {-2}
x+2
20) f(x) =
(x + 1)²
pour x  
3
4
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
Lien vers animation GeoGebra
1) a)
b)
Le repère est A,I,J) avec I  [AB] et J  [AC] et AI = AJ = 1
Une équation de la droite (BC) est :
y=
Soit : y =
c)
yC – y B
(x – xB) + yB
xC – xB
3–0
3
3
(x – 4) + 0 = - (x – 4) = - x + 3
0-4
4
4
Comme M  [BC], alors les coordonnées de M (xM ;yM) vérifient la relation
3
yM= - xM + 3.
4
2) a)
 3
²
AM² = (xM – xA)² + (yM – yA)² = x² + y² = x² + - x + 3
 4

5
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
AM² = x² +
9
25
9
3
x² - 2 x3 + 9 =
x² - x + 9
16
16
2
4
36² 144
25
x –  +
25
16 
25
=
36 36² 144
25
x² - 2x +
+
25 25² 25
16 
=
25
25 36² 144
36 25
x² - 2  x +

+
16
16 25² 25
25 16
=
25
9
81 + 144
x² - x +
16
2
25
=
25
9
x² - x + 9 = AM²
16
2
Donc la forme canonique de
Donc f(x) = AM² =
b)
36² 144
25
9
25
x –  +
x² - x + 9 est
25
16
2
16 
25
36² 144
25
x –  +
.
25
16 
25
f(x) = a(x - )² +  avec a =
25
36
144
;=
et  =
16
25
25
Comme a > 0, la fonction polynôme du second degré f admet un minimum en
36
x==
.
25
La distance minimale AM correspondante est  =
144
.
25
Le point M a alors pour coordonnées :
36 3 36
 36 48 
 = (1,44 ;1,92)
 ;-  +3= ;
25 4 25
 25 25 

Soit l la longueur ajoutée : (l > 0)
(l + 5)² = l² + 10l + 25
(l + 4)² + (l + 3)² = l² + 8l + 16 + l² + 6l + 9 = 2l² + 14l + 25
(l + 5)² - [(l + 4)² + (l + 3)²] = -l² - 4l < 0 (car l > 0).
L’égalité de Pythagore ne peut être vérifiée.
Donc le nouveau triangle ne sera pas rectangle.
6
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
1) L’ouvrier touche 89 +
2) a)
b)
S(t) = 8t +
80 - 89
= 72 + 4 = 76 €
2
80 - 8t
= 8t + 40 – 4t = 4t + 40
2
S est une fonction affine de coefficient 4 positif ; donc S est une
fonction croissante sur ]0 ;10].
4t + 40
40
3) a)
f(t) =
=4+
t
t
b)
1
La fonction t  est décroissante sur ]0 ;10].
t
La fonction t 
40
est aussi décroissante sur ]0 ;10] car 40 > 0.
t
Donc la fonction f est décroissante sur ]0 ;10].
c)
Il faut résoudre l’équation f(t) = 8
40
40
f(t) = 16

4+
= 16 
= 12
t
t

t=
40 10
=
12 3
L’ouvrier devra travailler environ 3 h 20 min pour doubler son salaire
horaire de base.
7
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION


1) Soit Ma ;
1 
 un point de H.
a 
le coefficient de la tangente en M à H est f’(a) avec f(x) =
f’(x) = -
1
x
1
1
; donc f’(a) = x²
a²
f’(a) = k
Comme k < 0, -
1
=k
a²

-

a² = -
1
k
(k < 0 donc k  0)
1
1
> 0, l’équation a² = - admet deux solutions a1 = k
k
-
1
et a2 =
k
-
1
k
Les deux points de H en lesquels les tangentes en H ont pour coefficients


directeur k sont donc : A1

-
1
;k




-k  et A2 

1
- ;
k


-k.
2) A1 et A2 sont symétriques par rapport à l’origine du repère O.
Lien vers une animation GeoGebra
8
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
1) La moyenne est x =
La variance est V =
V
1,797 + 1,813 + …. + 1,817 18,084
=
= 1,8084
10
10
(1,797 - T )² + (1,813 - T )² + …. + (1,817 - T )²
0,002196400
 0,0002196
10
L’écart-type est  =
2)
10
V  0,0148
n - 1 = 10 - 1 = 3
2
20,0148
x  1,8084 –
 1,7985
3
n-1
x +
2
n-1
 1,8084 +
20,0148
 1,8183
3
Donc I95% = [1,7985 ;1,8183]
9
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
Calcul de dérivées
3
1) f(x) = x² + 2x pour x  
4
3
3
f’(x) = 2x + 2 = x + 2
4
2
2) f(x) =
-5x² + 3
pour x  
4
f(x) = -
5
3
x² +
4
4
5
5
f’(x) = - 2x + 0 = - x
4
2
3) f(x) = 2 x – x + 4 pour x  +
f’(x) =
21
2 x
4) f(x) = x +
f’(x) = 1 –
5) f(x) =
-1+0=
1
x
-1=
x–x
x
3
pour x  R*
x
3
x²
3
pour x  *
x² + 1
1
f(x) = k
avec k = 3 et v(x) = x² + 1
v(x)
f’(x) = k
-v’(x)

[v(x)]²
Or v’(x) = 2x
-2x
-6x
Donc f’(x) = 3

(x² + 1)² (x² + 1)²
6) f(x) =
x–2
pour x   \ {3}
x-3
f(x) =
u(x)
avec u(x) = x – 2 et v(x) = x – 3
v(x)
f’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
[v(x)]²
Or u’(x) = 1 et v’(x) = 1
1(x – 3) – (x – 2)1
-1
Donc f’(x) =
=
(x – 3)²
(x – 3)²
7) f(x) = 1 – x +
3
pour x  *
x²
f(x) = u(x) + v(x) avec u(x) = 1 – x et v(x) =
k
avec k = 3 et w(x) = x²
w(x)
f’(x) = u’(x) + v’(x)
w’(x)
v’(x) = -k

[w(x)]²
10
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
Or u’(x) = -1 et w’(x) = 2x
6x
6 6 – x3
-2x
Donc f’(x) = -1 - 3
= - 1 + 4 = - 1 + 3 =
x
x
x3
(x²)²
8) f(x) =
x²
pour x  
x² + 1
f(x) =
u(x)
avec u(x) = x² et v(x) = x² + 1
v(x)
f’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
[v(x)]²
Or u’(x)= 2x et v’(x) = 2x
2x(x² + 1) – x²2x 2x3 + 2x – 2x3
2x
Donc f’(x) =
=
=
(x² + 1)²
(x² + 1)²
(x² + 1)²
9) f(x) = -2(x + 1)² pour x  
f(x) = ku(x) avec k = -2 et u(x) = x + 1
f’(x) = k2u’(x)u(x)
Or u’(x) = 1
Donc f’(x) = -221(x + 1) = -4(x + 1)
10) f(x) = 3x x pour x  +
f(x) = u(x)v(x) avec u(x) = 3x et v(x) =
f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
1
Or u’(x) = 3 et v’(x) =
2 x
x
1
3 x
3 x x
3
Donc f’(x) = 3 x3x
=3 x+
=3 x+ 
= 3 x +
x
2 x
2 x x
2
2 x
3

9
f’(x) = 3 +  x =
x
2

2
Autre méthode : f(x) = 3xx1/2 = 3x1 + ½ = 3x3/2
9
9
3
f’(x) =3 x3/2 – 1 = x1/2 =
x
2
2
2
11) f(x) =
3x3
3
+
+
6
5
2
3
3x²
f’(x) = 3x² + 0 + 0 =
6
2
12) f(x) =
2 – 3x
pour x   \ {4}.
x-4
f(x) =
u(x)
avec u(x) = 2 – 3x et v(x) = x – 4
v(x)
f’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
[v(x)]²
Or u’(x) = -3 et v’(x) = 1
-3(x – 4) – (2 – 3x)1 -3x + 12 – 2 + 3x
10
Donc f’(x) =
=
=
(x – 4)²
(x – 4)²
(x – 4)²
11
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
13) f(x) = -3x3 + 2x² + 2 pour x  
f’(x) = -33x² + 22x + 0 = - 9x² + 4x
 1 
-4
14) f(x) =
pour x   \  
1 – 2x
2
1
f(x) = k
avec k = -4 et v(x) = 1 - 2x
v(x)
f’(x) = k
-v’(x)
[v(x)]²
Or v’(x) = -2
Donc f’(x) =
-42
-8
=
(1 – 2x)² (1 – 2x)²
15) f(x) = 2x + 3 +
f(x) = 2 + 0 –
1
pour x  *
x
1
2x² - 1
=
x²
x²
16) f(x) = (3 – 2x)² pour x  
f(x) = [u(x)]² avec u(x) = 3 – 2x
f’(x) = 2u’(x)u(x)
Or u’(x) = -2
Donc f’(x) = 2(-2)(3 – 2x) = -4(3 – 2x)
17) f(x) =
-1
pour x   \ {1}
x-1
1
f(x) = k
avec k = -1 et v(x) = x – 1
v(x)
f’(x) = k
-v’(x)

[v(x)]²
Or v'(x) = 1
1
-1
Donc f’(x) = -1
=
(x – 1)² (x - 1)²
4
18) f(x) = 3x3 – x² pour x  
5
4
8
f(x) = 33x² - 2x = 9x² - x
5
5
19) f(x) =
3x
pour x   \ {-2}
x+2
f(x) =
u(x)
avec u(x) = 3x et v(x) = x + 2
v(x)
f’(x) =
u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
[v(x)]²
Or u’(x) = 3 et v’(x) = 1
12
Exercices révision compo 1T Première S
CORRECTION
Donc f’(x) =
20) f(x) =
3(x + 2) – 3x1 3x + 6 – 3x
6
=
=
(x + 2)²
(x + 2)²
(x + 2)²
(x + 1)²
pour x  
3
f(x) = k[u(x)]² avec k =
1
et u(x) = x + 1
3
f’(x) = k2u’(x)u(x)
Or u’(x) = 1
1
2
Donc f’(x) = 21(x + 1) = (x + 1)
3
3
13