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Séries entières
I Généralités
1
II Calcul pratique du rayon de convergence
4
III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire
5
IV Etude de la fonction dénie par une série entière réelle
5
V Développement en série entière d'une fonction
7
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lemme d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rayon de convergence d'une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Disque de convergence d'une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.AIntervalle ouvert de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.B Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.CDérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.DIntégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
3
3
5
6
6
7
V.A Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.B Développement en série entière de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V.C Autres exemples à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VI Développement en série entière et développement limité
10
VIIExponentielle complexe
10
VII.ADénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VII.BPropriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I Généralités
I.A Dénition
Dénition 1.
Une série entière est une série de la forme P a z , où (a ) est une suite de C, et où z est un complexe
n
xé.
On s'intéressera dans ce chapitre tantôt à la convergence de la série pour z xé, tantôt à la fonction :
n
z 7→
∞
X
n n∈N
an z n
n=0
dénie sur l'ensemble E = z ∈ C / P a Pz converge.
Une série entière réelle sera plutôt notée a x , où (a ) est une suite de R, et où x est un réel xé.
Remarque 1. L'ensemble E n'est jamais vide puisqu'on constate immédiatement qu'il contient toujours 0.
n
n
n
n
n n∈N
Exemples 1.
1. La série géométrique z est une série entière qui converge (absolument) pour |z| < 1 et diverge pour |z| > 1.
Le domaine de convergence :
∞
X
n
n=0
E = z ∈ C / |z| < 1
est donc le disque de centre 0 et de rayon 1 privé de son contour.
2. La série X zn est une série entière qui converge (absolument) pour |z| 6 1.En eet :
∞
n
2
n=1
n
z 6 1
n2 n2
1
et diverge grossièrement pour |z| > 1 car dans ce cas :
n
z |z|n
=
−→ +∞
n2 n2 n→+∞
Le domaine de convergence :
par croissances comparées.
E = z ∈ C / |z| 6 1
est donc le disque de centre 0 et de rayon 1, bords compris.
3. La série X zn! est une série entière qui converge (absolument) pour tout z ∈ C. En eet, pour u
∞
n
n
=
n=1
zn
n!
on a :
|un+1 |
|z|
=
−→ 0 < 1
|un |
n + 1 n→+∞
et on conclut avec d'Alembert. Le domaine de convergence est donc E = C.
4. La série X n z est une série entière qui ne converge que si z = 0. En eet, si z 6= 0 on a :
∞
n n
n=1
n
−→ +∞
|nn z n | = n|z|
n→+∞
Le domaine de convergence est donc E = {0}.
Remarque 2. On observe donc sur ces exemples que l'ensemble E semble être un "disque", de rayon éventuellement
inni ou nul, qui peut contenir ou non sa frontière. C'est ce qu'on va établir.
I.B Lemme d'Abel
Théorème 1.
Soit r > 0 tel que la suite n 7→ |a |r est bornée. On a :
n
n
X
|z| < r =⇒
Démonstration.
La suite n 7→ |a
n |r
n
an z n
est absolument convergente
est bornée; donc il existe A > 0 tel que pour tout n, on ait : |a
n |r
|an z n | = |an |rn
|z| n
r
6A
n
6A
. Soit z tel que |z| < r. On a :
|z| n
r
, qui est le terme général d'une série géométrique, convergente car sa raison est strictement
est donc majoré pour tout n par A
inférieure à 1. Donc la série de terme général |a z | converge, ce qui est la convergence absolue de P a z .
|an
zn |
|z|
r
n
|z|
r
n
n
n
n
I.C Rayon de convergence d'une série entière
Dénition 2.
Soit P a z une série entière. Le rayon de convergence de cette série est :
X
R = sup r > 0 /
|a |r converge
n
n
n
n
sup r > 0 / |an |rn −→ 0
n→+∞
n
= sup r > 0 / (|an |r )n∈N
=
Remarque 3.
Démonstration.
R
est bornée
peut éventuellement être nul ou égal à +∞.
Il faut établir l'équivalence de ces trois dénitions. Soit une série entière P a z . Posons :
X
A =
r>0/
|a |r converge
n
n
B
=
C
=
r > 0 / |an |rn
n
−→ 0
n→+∞
r > 0 / (|an |rn )n∈N
2
est bornée n
Remarquons tout d'abord que les trois ensembles A, B et C sont non vides puisqu'ils contiennent 0 : ils ont donc une borne supérieure dans
R̄. Ensuite, on a clairement A ⊂ B ⊂ C , ce qui entraîne les inégalités :
sup A 6 sup B 6 sup C
Il reste à établir que sup C 6 sup A. Supposons le contraire, c'est à dire sup C > sup A. En ce cas, par dénition de la borne supérieure, il
existe r ∈ C tel que :
sup C > r > sup A
On choisit tel que sup A < < r. Comme n 7→ |a est bornée et que |r | < r, la série X |a
le lemme d'Abel. Donc r ∈ A ce qui est contradictoire.
On a donc sup C 6 sup A et ainsi :
sup A = sup B = sup C
L'équivalence des trois dénitions est donc prouvée.
r0
r0
n
0
|rn
nr
0n
|=
X
|an |r0n
0
est convergente d'après
I.D Disque de convergence d'une série entière
Dénition 3.
Le
D d'une série entière de rayon de convergence R est déni par :
D = ∅ si R = 0.
D = C si R = +∞. D = z ∈ C / |z| < R si 0 < R < +∞.
disque de convergence
Remarques 4.
1. D est ouvert (la frontière n'en fait pas partie).
2. D ne coïncide pas avec l'ensemble E = z ∈ C, / P a z converge ; en eet, il se peut que la série entière
converge en certains points de la frontière de D, et on vient de voir que ceux-ci n'appartiennent pas à D.
3. S'il s'agit d'une série entière réelle, on a D = ∅, ou R, ou ] − R, R[.
n
n
I.E Théorème fondamental
Soit P a z une série entière de rayon de convergence R :
Elle diverge (grossièrement) pour |z| > R.
Elle converge absolument pour |z| < R.
Théorème 2.
n
n
|z| > R
: La série diverge
|z| = R
O
|z| < R : La série
converge (absolument)
:?
R
Nature de la série P a z
n
n
Cela résulte de la dénition de R (voir I.C) et du lemme d'Abel I.B. En eet :
Si |z| < R, il existe r tel que |z| < r < R et (|a |r ) est bornée. PDonc d'après la lemme d'Abel, P a
Si |z| > R, la suite (|a ||z| ) n'est plus bornée et donc la série a z diverge grossièrement.
Démonstration.
n
n
Remarque 5.
n
nz
n
n
n
n
est absolument convergente.
La série P a z peut converger en certains points, voire en tous les points du cercle |z| = R.
n
n
3
II Calcul pratique du rayon de convergence
Outre la dénition du rayon de convergence, on peut utiliser quelques astuces (qui ne sont qu'indicatives
et qui doivent pouvoir être justiées) :
1.
Si par exemple aa → `, alors a a zz → `|z| et donc :
(
si `|z| < 1 (i.e. |z| < 1/`) : la série est convergente (absolument).
si `|z| > 1(i.e. |z| > 1/`) : la série est divergente (grossièrement).
Donc R = . On vérie en particulier que si ` = 0, le rayon de convergence est inni, et si ` = +∞, on a R = 0.
Attention! Il existe bien une règle de d'Alembert relative aux séries entières, mais celle-ci est hors-programme.
On doit donc savoir reproduire le raisonnement ci-dessus.
2.
Théorème 3. Si à partir d'un certain rang, on a |a | 6 |b |, alors R > R
(en désignant par R et R les rayons de convergence respectifs des séries P a z et P b z ).
Méthodes :
La règle de D'Alembert des séries numériques :
n+1
n+1
n
n
n+1
n
1
`
La règle de comparaison :
n
a
Démonstration.
La convergence de |b
prouve que R > R .
3.
a
b
n
n
n
n
. Soit r ∈]R , R [, alors P |b |r converge et P |a |r diverge. Or :
|a | 6 |b | et donc : |a |r 6 |b |r
devrait donc entraîner celle de P |a |r ce qui n'est pas le cas. On a donc une contradiction, ce qui
b
> Ra
a
n
|rn
n
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
Choix d'une valeur
r>0
:
Si P a r diverge (resp. converge), alors R 6 r (resp. R > r). Cette règle se combine très bien avec la précédente
pour déterminer le rayon de convergence.
n
4.
n
a
b
Supposons R
P
n
n
Règle d'équivalence :
Théorème 4.
Si |a |
n
∼
n→+∞
, alors R
|bn |
a
= Rb
.
En eet car dans ce cas, on a pour z ∈ C xé :
|a ||z | ∼ |b ||z | et donc : |a z | ∼ |b z |
On constate donc que P |b z | et P |a z | convergent ou divergent simultanément, donc que R
Démonstration.
n
n
n
n
n
n→+∞
n
n
n
n
n→+∞
n
n
n
a
= Rb
.
Exercice 1
Quel est le rayon de convergence des séries :
∞
X
√
nz
n
∞
X
;
n=0
n n
ne z
;
n=0
∞
X
n
an z ,
n=1
où
an = 2
an = 3
si n est pair.
si n est impair.
[se029]
Exercice 2
Soit (a ) une suite telle que P a converge, mais pas absolument. Quel est le rayon de convergence de P a z ?
n n∈N
n
n
n
[se030]
Exercice 3
Quel est le rayon de convergence de la série P a z , où :
n
a) an
est la partie entière de π ?
n
n
n
b) an = (−1) arctan n
nπ
c) an = tan
7
c) an =
1
1+
n
−n2
?
[se031]
4
Proposition 1.
Démonstration.
Les séries P a z et P na z ont même rayon de convergence.
n
n
n
n
On l'eectue dans l'exercice suivant.
Exercice 4
On note R le rayon de convergence de la série P a z et R celui de la série P na z .
1. Justier que R > R .
2. On suppose que |z| < R . Soit r un réel tel que |z| < r < R .
(a) Que peut-on dire de la suite (|a |r ) ?
(b) En déduire que la suite (n|a z| ) tend vers 0.
(c) En déduire que R > R . Conclure.
a
n
a
n
b
n
n
b
a
a
n
n
n
b
n
a
[se032]
III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire
Théorème 5.
Soit la série : P(a + b )z P. DésignonsPpar R son rayon de convergence, et par R et R les rayons de convergence
respectifs des séries entières a z et b z . On a :
R > min(R , R ), et il y a égalité si R 6= R
Si λ 6= 0, les deux séries entières P a z et P(λa )z ont le même rayon de convergence.
n
n
n
a
n
n
n
a
n
n
b
n
b
n
a
b
n
Supposons d'abord RP < R (faire un dessin).
Si |z| < R , la série (a + b )z converge comme somme de deux séries convergentes.
Si R < |z| < R , la série P(a + b )z diverge car elle est sommePd'une série divergente et d'une sériePconvergente.
Enn, si R 6 |z |, on ne peut
rien dire. Mais si la série (a + b )z convergeait, la série (a + b )z convergerait
pour tout z tel que |z| < |z |, d'après l'aspect de l'ensemble de convergence d'une série entière, et en particulier elle convergerait
pour tout z dans la couronne R < |z| < R . On vient de voir que ce n'est pas vrai.
En résumé, la série P(a +Pb )z converge pour |z| < R , et diverge pour |z| > R . Son rayon de convergence est donc R .
Si R = R , il est clair que (a + b )z converge pour |z| < R , et donc que son rayon de convergence est au moins égal à R .
Démonstration.
•
a
a
b
n
a
n
b
n
n
a priori
0
b
n
n
n
n
n
0
n
n
n
0
a
n
•
a
b
n
n
n
b
a
n
a
n
a
a
a
Si RX= R , la rayon de convergence de la X
somme peut être strictement supérieur. Par exemple, le rayon
de convergence de 2 z est 1/2, tout comme celui de (1 − 2 )z , mais le rayon de convergence de la somme est
1.
Remarque 6.
a
b
n n
n
n
IV Etude de la fonction dénie par une série entière réelle
Il s'agit de la fonction f : x 7→ X a x , où (a ) est une suite réelle, et où x est une variable réelle.
∞
n
n
n n∈N
n=0
IV.A Intervalle ouvert de convergence
C'est l'intersection du disque ouvert de convergence et de R, c'est à dire : ] − R, R [, ou ∅, ou R tout entier. Évidemment, l'ensemble de dénition de la fonction f ne coïncide pas forcément tout à fait avec cet intervalle ouvert. Cet
ensemble de dénition peut être par exemple [−R, R], [−R, R[, ] − R, R], {0}.
Exemples 2.
1. Pour la fonction x 7→ X xn , l'ensemble de dénition est [−1, 1] et l'intervalle ouvert de convergence de la série
est ] − 1, 1[.
∞
n
2
n=1
5
2. Pour la fonction
, l'ensemble de dénition est [−1, 1[ et l'intervalle ouvert de convergence de la série
est ] − 1, 1[.
3. Pour la fonction x 7→ X n!x , l'ensemble de dénition est {0} et l'intervalle ouvert de convergence de la série est
∅.
∞
X
xn
x→
7
n
n=1
∞
n
n=1
IV.B Continuité
Théorème 6.
La fonction f : x 7→ X a x est continue sur l'intervalle ouvert de convergence ] − R, R[ :
∞
n
n
n=0
Démonstration.
Ce théorème est admis.
IV.C Dérivabilité
Théorème 7.
Soit la fonction f : x 7→ X a x (rayon de convergence R > 0).
f est de classe C sur ] − R, R[ ; les dérivations se font terme à terme; les séries obtenues sont toutes de rayon de
convergence égal à R.
∞
n
n
n=0
∞
Démonstration.
Ce théorème est admis.
Remarque 7.
En particulier pour x ∈] − R, R[ on a : f (x) = X na x .
∞
0
n
n−1
n=1
Remarque 8.
Démonstration.
∀k ∈ N
, on a : a
k
=
f (k) (0)
k!
(c'est important!).
On montre facilement par récurrence que si k ∈ N, on a pour x ∈] − R, R[ :
f (k) (x) =
∞
X
n(n − 1) · · · (n − k + 1)an xn−k
n=k
En évaluant l'expression en 0, on obtient f
(k) (0)
= k(k − 1) · · · (k − k + 1)ak = k!ak
, ce qui donne le résultat.
Exercice 5
On se propose de calculer la somme A de la série X n31
∞
n
n=1
1. On pose f (x) = X xn . Déterminer l'intervalle ouvert de convergence de cette série entière.
2. En calculant f (x), montrer qu'on a :
∞
n
n=1
0
∀x ∈] − 1, 1[, f (x) = − ln(1 − x)
3. En déduire la valeur de A.
[se033]
6
IV.D Intégration
Théorème 8.
Soit la fonction f : t 7→ X a t (rayon de convergence R > 0). On a :
∞
n
n
n=0
Z
∀x ∈] − R, R[ :
d
x
f (t) t =
0
∞
X
Z
n=0
dt
!
x
an t
0
n
=
et cette dernière série a un rayon de convergence égal à R.
Démonstration.
∞
X
an n+1
x
n
+1
n=0
Ce théorème est admis.
Noter l'échange des signes P (somme innie) et R , ce qui n'est nullement trivial!
On retiendra que l'intégration d'une série entière se fait terme à terme, sur tout segment [0, x] inclus dans l'intervalle
ouvert de convergence, et plus généralement sur tout segment [a, b] inclus dans l'intervalle ouvert de convergence.
Remarque 9.
V Développement en série entière d'une fonction
V.A Dénition
Dénition 4.
On dit que f , dénie au voisinage de 0, est développable en série entière (en 0), s'il existe un intervalle I contenant 0
et non réduit à {0}, et une suite (a ) , tels que l'on ait :
n n∈N
∀x ∈ I, f (x) =
∞
X
an xn
n=0
V.B Développement en série entière de la fonction exponentielle
On rappelle les théorèmes suivants, vus en première année, et à connaître parfaitement :
Théorème 9 (Formule de Taylor avec reste intégral).
Soient I un intervalle (non réduit à un point) et soient a, b ∈ I . Soit f ∈ C
f (b) = f (a) + (b − a)f 0 (a) + · · · +
(b − a)n (n)
f (a) +
n!
Proposition 2 (Inégalité de Taylor-Lagrange).
Les notations sont les mêmes. Soit M un majorant sur I de |f
(n+1)
n+1
Z
b
a
. On a :
(I, R)
. On a :
(t)|
n
n+1
f (b) − f (a) − (b − a)f 0 (a) − · · · − (b − a) f (n) (a) 6 M |b − a|
n!
(n + 1)!
Ces théorèmes nous permettent d'établir la proposition suivante :
Proposition 3 (développement en série entière de la fonction exponentielle).
On a :
∀x ∈ R,
ex =
∞
X
xk
k=0
k!
7
d
(b − t)n (n+1)
f
(t) t
n!
que ∀n ∈ N,
Soit
, et soit n ∈ N . On peut appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange avec f (t) = e , a = 0 et b = x, en remarquant
et en particulier :
|f
(t)| = e 6 M = max(1, e )
(majorant indépendant de n)
∗
x∈R
f n (t) = et
Démonstration.
t
n+1
La formule donne donc :
Ou plus simplement :
t
x
n
n+1
x
e − e0 − (x − 0)e0 − · · · − (x − 0) e0 6 M |x − 0|
n!
(n + 1)!
n
|x|n+1
x X xk e −
6M×
k!
(n
+ 1)!
k=0
ce qui est le résultat attendu. Enn, par croissances comparées, on a :
|x|
=0
(cf programme de Sup)
lim
(n + 1)!
n+1
n→∞
ce qui prouve que
n
X
xk lim ex −
=0
n→∞ k! k=0
. Ainsi, la série X xk! converge vers e .
∞
k
x
k=0
Une autre preuve gure dans l'exercice suivant :
Exercice 6
y
= y
On considère le problème de Cauchy : y(0)
.
= 1
1. Résoudre ce système.
2. Soit une fonction g dénie par une série entière : g(x) = X a x , telle que g soit solution de l'équation diérentielle
précédente et vérie g(0) = 1.
(a) Déterminer une relation de récurrence entre a et a .
(b) En déduire la valeur de a en fonction de a , puis l'expression de g(x) sous forme de série.
(c) Quel est le rayon de convergence de la série obtenue?
3. Conclure en utilisant l'unicité de la solution d'une équation diérentielle linéaire du premier ordre vériant une
condition initiale donnée.
0
∞
k
k
k=0
k+1
k
k
0
[se034]
V.C Autres exemples à connaître
Il faut retenir les développements en série entière suivants :
∞
∀x ∈] − 1, 1[,
X
1
xk ,
=
1−x
R=1
k=0
∞
∀x ∈] − 1, 1[,
X
1
=
(−1)k xk ,
1+x
R=1
k=0
Démonstration.
Il s'agit de séries géométriques.
∀x ∈] − 1, 1[, ln(1 + x) =
∞
X
(−1)k
k=0
Démonstration.
On a :
∀t ∈] − 1, 1[,
xk+1
,
k+1
R=1
∞
X
1
=
(−1)k tk
1+t
k=0
Soit x ∈] − 1, 1[. D'après le théorème d'intégration terme à terme d'une série entière sur tout segment inclus dans son intervalle ouvert de
convergence (IV.D), on peut écrire :
Z
dt = Z X (−1) t dt = X Z (−1) t dt = X (−1) x
ln(1 + x) =
1+t
k+1
ce qui est le résultat souhaité.
x
0
x
0
∞
∞
x
k k
k=0
k=0
8
0
∞
k k
k
k=0
k+1
∀x ∈ R, cos x =
∞
X
∞
X
x2k
x2k+1
, sin x =
,
(−1)
(−1)k
(2k)!
(2k + 1)!
k
k=0
nentielle.
Démonstration.
Ces résultats se démontrent à l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, comme on l'a fait au paragraphe V.B pour l'expo∀α ∈ R∗ , ∀x ∈] − 1, 1[, (1 + x)α = 1 +
∞
X
α(α − 1) . . . (α − k + 1)
k!
k=1
Démonstration.
R = +∞
k=0
xk ,
R=1
C'est l'objet de l'exercice suivant.
Exercice 7
Soit α ∈ R , xé. On pose pour x > −1 :
∗
f (x) = (1 + x)α
1. Former une équation diérentielle du premier ordre dont f est solution.
2. Trouver une fonction g dénie par une série entière : g(x) = X a x , telle que g soit solution de l'équation
diérentielle précédente et vérie g(0) = 1.
3. Quel est le rayon de convergence de la série obtenue?
4. Conclure en utilisant l'unicité de la solution d'une équation diérentielle linéaire du premier ordre vériant une
condition initiale donnée.
∞
k
k
k=0
[se035]
Dans les exercices, on se ramènera en général par diérentes techniques (dérivation, intégration, décomposition en
éléments simples ...) aux développements en série entière de référence pour déterminer d'autres développements en série
entière :
Exercice 8
On se propose de développer en série entière la fonction dénie par :
f (x) =
1. Donner l'ensemble de dénition D de f .
2. Chercher α, β ∈ R tel que :
∀x ∈ D,
1
2 − 3x + x2
f (x) =
α
β
+
1−x 2−x
3. En déduire le développement de f en série entière au voisinage de 0 et préciser le rayon de convergence R.
[se051]
Exercice 9
On se propose de développer en série entière la fonction dénie par :
f (x) = arcsin x
1. Donner les ensembles de dénition et de dérivabilité de f .
2. Calculer f (x) et donner un développement en série entière de f au voisinage de 0.
3. En déduire le développement de f en série entière au voisinage de 0 et préciser le rayon de convergence R.
0
0
[se049]
9
VI Développement en série entière et développement limité
Soit f une fonction de R dans R, développable en série entière en 0. Cela veut dire qu'il existe R > 0, et une suite
de réels (a ) tels que :
k k∈N
∀x ∈] − R, R[, f (x) =
∞
X
ak xk
k=0
On a vu qu'une telle fonction f est de classe C sur ] − R, R[, et qu'on a pour tout entier k : a = f k!(0) .
Soit maintenant n un entier positif xé. Comme f est de classe C , la formule de Taylor-Young fournit son développement limité en 0 à l'ordre n :
Quand x → 0, f (x) = X f k!(0) ex + o(x )
ou encore :
Quand x → 0, f (x) = X a x + o(x )
(k)
∞
k
∞
n
(k)
k
n
k=0
n
k
k
n
k=0
Même si les coecients sont les mêmes, il faut bien comprendre la diérence d'esprit entre les deux formules.
La première est
et dit que pour n'importe quel x de ] − R, R[, on a f (x) = lim X a x .
n
globale
La seconde est
locale
et dit que
n→+∞
k
k
k=0
, étant xé.
n
X
1 lim n f (x) −
ak xk = 0 n
x→0 x
k=0
VII Exponentielle complexe
VII.A Dénition
On pose :
∀z ∈ C, ez =
∞
X
zk
k=0
k!
Cela a un sens car on sait que le disque de convergence de cette série est C tout entier (rayon de convergence inni).
Remarquons que cette dénition prolonge le résultat établi pour x réel :
ex =
∞
X
xk
k=0
Enn, si z = iy, avec y réel, on retrouve :
k!
eiy = cos y + i sin y
VII.B Propriété fondamentale
Théorème 10.
0
∀z, z 0 ∈ C, ez+z = ez × ez
0
Cette propriété est admise : on peut toutefois avoir une idée de sa démonstration si l'on admet que les séries entières se
multiplient comme les polynômes, en groupant les termes de mêmes degrés.
Démonstration.
Il résulte de cette propriété que ∀z ∈ C, e
z
6= 0
(faire le produit e
z
× e−z
ex+iy = ex (cos y + i sin y)
(formule admise en sup).
10
), et aussi que pour x et y réels, on a :