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Panzn(an)n∈NCz
z
z7→
∞
X
n=0
anzn
E=z∈C/Panzn
Panxn(an)n∈NRx
E0
∞
X
n=0
zn|z|<1|z|>1
E=z∈C/|z|<1
0 1
∞
X
n=1
zn
n2|z|61
zn
n2
61
n2

|z|>1
zn
n2
=|z|n
n2−→
n→+∞+∞
E=z∈C/|z|61
0 1
∞
X
n=1
zn
n!z∈Cun=zn n!
|un+1|
|un|=|z| n+ 1 −→
n→+∞0<1
E=C
∞
X
n=1
nnznz= 0 z6= 0
|nnzn|=n|z|n−→
n→+∞+∞
E={0}
E
r > 0n7→ |an|rn
|z|< r =⇒Xanzn
n7→ |an|rnA > 0n|an|rn6A z |z|< r
|anzn|=|an|rn|z|
rn
6A|z|
rn
|anzn|n A|z|
rn|z| r
1|anzn|Panzn
Panzn
R= sup r>0/X|an|rn
= sup r>0/|an|rn−→
n→+∞0
= sup r>0/(|an|rn)n∈N
R+∞
Panzn
A=r>0/X|an|rn
B=r>0/|an|rn−→
n→+∞0
C=r>0/(|an|rn)n∈N

A, B C 0
¯
R A ⊂B⊂C
sup A6sup B6sup C
sup C6sup Asup C > sup A
r∈C
sup C>r > sup A
r0sup A<r0< r n 7→ |an|rn|r0|< r X|anr0n|=X|an|r0n
r0∈A
sup C6sup A
sup A= sup B= sup C
D R
D=∅R= 0
D=CR= +∞
D=z∈C/|z|< R0< R < +∞
D
D E =z∈C, / Panzn
D D
D=∅R]−R, R[
PanznR
|z|> R
|z|< R
O
|z|> R
R
|z|< R
|z|=R
Panzn
R
|z|< R r |z|< r < R (|an|rn)Panzn
|z|> R (|an||z|n)Panzn
Panzn|z|=R

an+1
an→`
an+1zn+1
anzn→`|z|
(`|z|<1|z|<1/`) :
`|z|>1|z|>1/`) :
R=1
``= 0 `= +∞R= 0
|an|6|bn|Ra>Rb
RaRbPanznPbnzn
Rb> Rar∈]Ra, Rb[P|bn|rnP|an|rn
|an|6|bn| |an|rn6|bn|rn
P|bn|rnP|an|rn
Ra>Rb
r > 0
PanrnR6r R >r
|an| ∼
n→+∞|bn|Ra=Rb
z∈C
|an||zn| ∼
n→+∞|bn||zn| |anzn| ∼ n→+∞|bnzn|
P|bnzn|P|anzn|Ra=Rb
∞
X
n=0
√nzn;
∞
X
n=0
nenzn;
∞
X
n=1
anzn,an= 2 n
an= 3 n
(an)n∈NPanPanzn
Panzn
a)anπnb)an= (−1)narctan n c)an= tan nπ
7c)an=1 + 1 n−n2

PanznPnanzn
RaPanznRbPnanzn
Ra>Rb
|z|< Rar|z|< r < Ra
(|an|rn)
(n|anz|n) 0
Rb>Ra
P(an+bn)znR RaRb
PanznPbnzn
R>min(Ra, Rb), Ra6=Rb
λ6= 0 PanznP(λan)zn
•Ra< Rb
|z|< RaP(an+bn)zn
Ra<|z|< RbP(an+bn)zn
Rb6|z0|P(an+bn)zn
0P(an+bn)zn
z|z|<|z0|
z Ra<|z|< Rb
P(an+bn)zn|z|< Ra|z|> RaRa
•Ra=RbP(an+bn)zn|z|< RaRa
Ra=Rb
X2nzn1/2X(1 −2n)zn
1
f:x7→
∞
X
n=0
anxn(an)n∈Nx
R]−R, R [∅R
f
[−R, R] [−R, R[ ] −R, R]{0}
x7→
∞
X
n=1
xn
n2[−1,1]
]−1,1[