cours proportionnalite

5ème
I)
Cours : proportionnalité
Proportionnalité.
a) Tableau de proportionnalité.
S’il existe un opérateur multiplicatif entre deux suites de nombres, ces deux suites sont dites
proportionnelles.
Exemple : J’achète des fruits à 1,3 € le kilogramme.
Poids en Kg
1
2
5
Prix en €.
1,3
2,6
6,5
× 1,3
1,3 est le coefficient de proportionnalité.
Les poids et les prix sont proportionnels.
b) Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer la valeur de l’une en multipliant la valeur de
l’autre par un nombre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité.
Exemples :
•
•
•
La quantité de sucre dans un gâteau et le nombre de personnes pour lequel il est prévu
le prix payé pour un plein d’essence et la quantité d’essence achetée.
la masse de viande d’une qualité donnée et le prix à payer.
c) Compléter un tableau de proportionnalité
Exemple : Une hirondelle se déplace d’un mouvement uniforme.
Compléter le tableau ci-dessous :
Durée du vol (en s)
Distance parcourue (en m)
3
63
4
7
15
1ère méthode : En utilisant le coefficient de proportionnalité.
Exemple : Quelle est la distance parcourue en 4 s ?
Durée du vol (en s)
Distance parcourue (en m)
3
63
4
x 21
?
On calcule le coefficient : 63 ÷ 3 = 21
On calcule pour 4s : 4 x 21 = 84
La distance parcourue est donc 84 m.
1
5ème
Cours : proportionnalité
2ème méthode : En utilisant le « produit en croix » appelé aussi « la quatrième proportionnelle »
Exemple : Quelle est la distance parcourue en 4 s ?
Durée du vol (en s)
Distance parcourue (en m)
4
3
x
63
Le nombre x est appelé une quatrième proportionnelle.
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux :
3 × x = 63 × 4
x = 252 ÷ 3 = 84
La distance parcourue est donc 84 m.
3ème méthode : En additionnant ou en soustrayant deux « colonnes » du tableau
Exemple : Quelle est la distance parcourue en 7 s ?
+
Durée du vol (en s)
Distance parcourue (en m)
3
63
4
84
7
?
+
On connaît la distance parcourue en 3 s et en 4 s.
Comme 3 + 4 = 7, on additionne les distances parcourues en 3 s et 4 s : 63 + 84 = 147
La distance parcourue en 7 s est donc 147 m.
4ème méthode : En multipliant ou en divisant une « colonne » par un nombre (non nul)
Exemple : Quelle est la distance parcourue en 15 s ?
×5
Durée du vol (en s)
Distance parcourue (en m)
3
63
15
?
×5
On connaît la distance parcourue en 3 s.
Comme 3 × 5 = 15 , on multiplie la distance parcourue en 3s par 5 : 63 × 5 = 315
La distance parcourue en 15 s est donc 315 m.
2
5ème
Cours : proportionnalité
d) Graphique.
Reprenons l’exemple de l’hirondelle.
On représente sur l’axe des abscisses la durée du vol exprimée en secondes.
On représente sur l’axe des ordonnées la distance parcourue en mètre.
La courbe obtenue est une demi-droite passant par l’origine.
On est donc dans une situation de proportionnalité.
Distance parcourue (en m) en fonction de la durée de vol (en s)
350
300
m
250
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
s
e) Conversion des unités de temps
Conversions à connaître :
• 1 h = 60 min
1
h
• 1 min =
60
• 1 h = 3 600 s
0,1 h = 6 min
0,5 h = 30 min
0,25 h = 15 min
0,75 h = 45 min
Convertir en minutes ou en secondes
Exemple : Convertir 3 h 17 min en minutes.
On écrit les heures en minutes : 3 h = 180 min ( 3 x 60 = 180)
3 h 17 min = 197 min ( 180 + 17 = 197)
On trouve donc 197 min.
Convertir en heures
Exemple : Convertir en heures 3 h 24 min.
On convertit les 24 minutes en nombre décimal.
1
On sait que 1 min =
h.
60
24
h = 0,4 h et 3 h 24 min = 3,4 h
Donc 24 min =
60
3
5ème
II)
Cours : proportionnalité
Exemples de situation de proportionnalité.
a) Pourcentages.
Dans une classe, 10% des élèves portent des lunettes signifie
10
des élèves portent des lunettes.
100
Exemple : dans une classe de 30 élèves :
Nombre total d’élèves
100
30
Nombre d’élèves portant des lunettes
10
x
10
x=
× 30 = 3 donc trois élèves portent des lunettes dans cette classe.
100
b) Echelles.
Lorsque les dimensions du dessin d’un objet et les dimensions réelles de cet objet sont proportionnelles,
on appelle échelle (notée e) le quotient d’une longueur sur le dessin par la longueur réelle correspondante,
exprimée avec la même unité :
longueur _ sur _ le _ des sin
e=
longueur _ réelle
Une échelle est souvent représentée par une fraction avec un dénominateur ou un numérateur égal à 1.
3
1
Exemples : Echelle
(ou 3/1) ; échelle
(ou 1/5 000)
1
5000
Echelle en réduction
Si l’échelle est un nombre inférieur à 1, le dessin est une réduction.
Exemple :
1
, on multiplie par 250 pour obtenir les distances réelles.
250
Autrement dit 1 cm sur le plan représente 250 cm en réalité.
Distance sur le plan en cm
1
2
3
Distance réelle en cm
250
500
750
A partir d’un plan à l’échelle
Echelle en agrandissement
Si l’échelle est un nombre supérieur à 1, le dessin est un agrandissement.
Exemple :
Une échelle de 12/1 signifie que : « 12 cm sur le dessin représente 1 cm en réalité »
Une échelle de 12/1 se note aussi : « 12 » ou « x 12 »
c) Mouvement uniforme.
Lorsque la durée d’un parcours effectué par un véhicule, une personne … est proportionnelle à la distance
parcourue, on dit que le mouvement est uniforme.
Exemple :
Une voiture roule à allure régulière. Elle parcourt 20 mètres chaque seconde.
Temps en seconde
Distance en mètres
1
20
20
400
60
1200
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5ème
Cours : proportionnalité
Le temps et la distance sont proportionnels.
On dit que le mouvement de la voiture est uniforme.
Le coefficient de proportionnalité, qui est obtenu en calculant le quotient de la distance parcourue par la
durée du parcours, est appelé vitesse moyenne.
Dans cet exemple, la vitesse moyenne est de 20 m/s ou de 72 km/h.
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