Sur une conjecture de Mukai

Comment. Math. Helv. 78 (2003) 601–626
0010-2571/03/030601-26
DOI 10.1007/s00014-003-0765-x
c
°2003 Birkh¨auser Verlag, Basel
Commentarii Mathematici Helvetici
Sur une conjecture de Mukai
Laurent Bonavero, Cinzia Casagrande, Olivier Debarre et St´ephane Druel
R´esum´e. G´en´eralisant une question de Mukai, nous conjecturons qu’une vari´et´e de Fano Xde
nombre de Picard ρXet de pseudo-indice ιXv´erifie ρX(ιX−1) ≤dim(X). Nous d´emontrons
cette conjecture dans plusieurs situations : Xest une vari´et´e de Fano de dimension ≤4, Xest
une vari´et´e de Fano torique de dimension ≤7ouXest une vari´et´e de Fano torique de dimension
arbitraire avec ιX≥dim(X)/3 + 1. Enfin, nous pr´esentons une approche nouvelle pour le cas
g´en´eral.
Abstract. Generalizing a question of Mukai, we conjecture that a Fano manifold Xwith Picard
number ρXand pseudo-index ιXsatisfies ρX(ιX−1) ≤dim(X). We prove this inequality in
several situations : Xis a Fano manifold of dimension ≤4, Xis a toric Fano manifold of dimension
≤7orXis a toric Fano manifold of arbitrary dimension with ιX≥dim(X)/3 + 1. Finally, we
offer a new approach to the general case.
Mathematics Subject Classification (2000). 14J45, 14E30, 14M25.
Mots cl´es. Vari´et´es de Fano, th´eorie de Mori, g´eom´etrie torique.
Introduction
Soit Xune vari´et´e de Fano, c’est-`a-dire une vari´et´e projective lisse dont le fibr´e
anticanonique −KXest ample, d´efinie sur C(certains des r´esultats ci-dessous sont
valables en toute caract´eristique). Notons ιXle pseudo-indice de X, c’est-`a-dire le
plus petit entier de la forme −KX·Co`u Cest une courbe rationnelle de X,etρ
X
le nombre de Picard de X. L’indice rXde Xest le plus grand entier mtel qu’il
existe un fibr´e en droites Lsatisfaisant −KX=mL dans Pic(X) ; c’est un nombre
particuli`erement adapt´e`al’´etude des vari´et´es de Fano Xavec ρX= 1, tandis
le pseudo-indice nous semble plus adapt´e`al’´etude des vari´et´es de Fano Xavec
ρX≥2 (penser par exemple aux produits d’espaces projectifs). Mukai a propos´e
dans [Mu88] l’in´egalit´e ρX(rX−1) ≤dim(X), v´erifi´ee en dimension ≤3`a l’aide
de la classification. Nous proposons plus g´en´eralement la conjecture suivante.
Conjecture. Si Xest une vari´et´e de Fano, on a l’in´egalit´e
ρX(ιX−1) ≤dim(X)(∗)

602 L. Bonavero, C. Casagrande, O. Debarre et S. Druel CMH
avec ´egalit´e si et seulement si X'(PιX−1)ρX.
Cette conjecture est en partie motiv´ee par le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme ([Wi90]).Soit Xune vari´et´e de Fano de dimension n, d’indice rXet
de pseudo-indice ιX.Si2ι
X>n+2,onaρ X=1.Si2r X=n+2,onaρ X=1
sauf si X'(PιX−1)2.
D’apr`es la th´eorie de Mori, une vari´et´e de Fano Xde dimension nv´erifie tou-
jours ιX≤n+1. Si ι
X=n+1, on a X'P
nd’apr`es un r´esultat de Cho, Miyaoka
et Shepherd-Barron ([CMS00]) dont une d´emonstration simplifi´ee se trouve dans
[Ke01].
Dans ce travail, on se propose de montrer l’in´egalit´e(∗) lorsque Xest une
vari´et´e de Fano de dimension 3 ou 4 (l’in´egalit´e(∗) est v´erifi´ee directement en
dimension 2) et lorsque Xest une vari´et´e de Fano torique de pseudo-indice au
moins ´egal `a dim(X)/3+1.
L’in´egalit´e(∗) peut ˆetre v´erifi´ee directement pour les vari´et´es de Fano de di-
mension 4 et d’indice au moins 2, dont la classification est ´etablie par exemple
dans [IP99].
Nous d´emontrons, sans utiliser les r´esultats de classification des vari´et´es de
Fano de dimension 3 ou 4, le r´esultat suivant, nouveau dans le cas des vari´et´es
d’indice 1 et de pseudo-indice au moins 2.
Th´eor`eme. Si Xest une vari´et´e de Fano de dimension 3ou 4, de pseudo-indice
ιXet de nombre de Picard ρX,onaρ
X(ι X−1) ≤dim(X).Siρ X(ι X−1) = dim(X),
on a X'(PιX−1)ρX.
Dans la situation torique, nos r´esultats principaux sont les suivants.
Th´eor`eme. Soit Xune vari´et´e de Fano torique de dimension n, de pseudo-indice
ιXet de nombre de Picard ρX.Si3ι
X≥n+3,onaρ X
(ι
X−1) ≤n. Si de plus
ρX(ιX−1) = n,onaX'(P
ι
X
−1
)
ρ
X.
Th´eor`eme. Soit Xune vari´et´e de Fano torique de dimension n≤7, de pseudo-
indice ιXet de nombre de Picard ρX.Onaρ
X
(ι
X−1) ≤n.Siρ X
(ι
X−1) = n,
on a X'(PιX−1)ρX.
Les m´ethodes utilis´ees sont celles de la th´eorie de Mori, dont nous rappelons
plus bas quelques uns des r´esultats ou d´efinitions. Mentionnons les trois r´esultats
suivants obtenus au cours de la d´emonstration des th´eor`emes pr´ec´edents et qui ont
leur int´erˆet propre.
Proposition. Soit Xune vari´et´e de Fano de dimension n, de nombre de Picard

Vol. 78 (2003) Sur une conjecture de Mukai 603
ρX≥net de pseudo-indice ιX≥2. Si toutes les contractions extr´emales de X
sont des fibrations, Xest isomorphe `a (P1)n.
Th´eor`eme. Soit Xune vari´et´e de Fano de dimension n≥4. Si toutes les contrac-
tions extr´emales de Xsont ou bien des ´eclatements lisses de centre une courbe
lisse ou bien des fibrations de dimension relative 1et que Xposs`ede au moins une
contraction extr´emale birationnelle, on a ρX≤3.
Th´eor`eme. Soient Xune vari´et´e de Fano de dimension net Zune vari´et´e lisse
de dimension mavec ιX≥m+1. S’il existe un morphisme surjectif `a fibres
connexes f:X→Z, alors Zest isomorphe `a Pmet il existe une vari´et´e lisse Y
de dimension n−mtelle que Xest isomorphe `a Y×Pm.
Nous pr´esentons enfin une approche possible, en toute dimension, o`u l’in´egalit´e
(∗)d´ecoulerait de l’existence de certaines chaˆınes de courbes rationnelles. Le
r´esultat suivant fournit une motivation suppl´ementaire en direction de la conjec-
ture de Mukai g´en´eralis´ee.
Th´eor`eme. Soit Xune vari´et´e de Fano de dimension n, de nombre de Picard ρX
et de pseudo-indice ιX. S’il existe des familles propres irr´eductibles V1,...,Vρ
X
de courbes rationnelles irr´eductibles sur Xdont les classes dans N1(X)Qsont
lin´eairement ind´ependantes et des courbes C1,...,Cρ
Xavec [Cj]∈Vjpour tout
1≤j≤ρXet Cj∩Cj+1 6=∅pour tout 1≤j≤ρX−1,onaρ
X
(ι
X−1) ≤n.
1. Notations
1.1. Si Xest une vari´et´e projective lisse, on note
N1(X)Q=½X
i
aiCi|ai∈Q,C
icourbe irr´eductible de X¾/≡
o`u ≡d´esigne l’´equivalence num´erique. Le cˆone de Mori, ou cˆone des courbes effec-
tives, est le sous-cˆone de N1(X)Qd´efini par
NE(X)=½Z∈N
1
(X)
Q|Z≡X
i
a
i
C
i
,a
i≥0
¾.
Si Eest un diviseur et Rune arˆete de NE(X), la notation E·R>0 (resp. E·R=0)
signifie E·C>0 (resp. E·C= 0) pour toute courbe Cde Xtelle que [C]∈R.
La partie de NE(X) situ´ee dans le demi-espace ouvert {−KX>0}est localement
poly´edrale et pour toute arˆete Rde NE(X) telle que −KX·R>0, il existe un
morphisme ϕR:X→XR`a fibres connexes, appel´e contraction extr´emale, de X
sur une vari´et´e projective normale XRtel que les courbes irr´eductibles contract´ees
par ϕRsont exactement celles dont la classe dans N1(X)Qappartient `a R.

604 L. Bonavero, C. Casagrande, O. Debarre et S. Druel CMH
•Soit dim(XR)<dim(X) ; on dit que ϕRest une fibration, et ρXR=ρX−1.
•Soit ϕRest birationnelle et son lieu exceptionnel est un diviseur irr´eductible
Etel que E·R<0 : on dit que ϕRest une contraction divisorielle, et
ρXR=ρX−1.
•Soit ϕRest birationnelle et son lieu exceptionnel est de codimension >1 dans
X: on dit que ϕRest une petite contraction.
Si Xest une vari´et´e de Fano, le cˆone NE(X) est poly´edral et si ϕR:X→XR
est une contraction extr´emale, NE(XR) est engendr´e par les ϕR(R0)o`uR
0d´ecrit
l’ensemble (fini) des arˆetes de NE(X).
1.2. Rappelons un r´esultat de Wi´sniewski ([Wi91], Theorem (1.1)) sur le lieu d’une
contraction extr´emale. Soit ϕR:X→XRune telle contraction, d’arˆete R. Notons
ERle lieu de Xcouvert par les courbes contract´ees par ϕRet
l(R) = min{−KX·C|Ccourbe rationnelle contract´ee par ϕR}
la longueur de R. Pour toute composante irr´eductible Fd’une fibre non triviale
de ϕR,ona
2 dim(ER)≥dim(ER) + dim(F)≥dim(X)+l(R)−1≥dim(X)+ι
X−1.
1.3. Nous utiliserons aussi le r´esultat suivant : soient Xune vari´et´e de Fano, R
une arˆete de NE(X)etϕ
R:X→X Rla contraction associ´ee. Si toutes les fibres
de ϕRsont de dimension 1, XRest lisse ([An85], Theorem 3.1(ii)) et une fibre
g´en´erale Fde ϕRest une courbe rationnelle lisse qui v´erifie −KX·F=2≥ι
X
.
Deux cas sont alors possibles :
•soit ϕRest une fibration en P1et XRest une vari´et´e de Fano ([KMM92],
Corollary 2.9) ;
•soit ϕRa au moins une fibre singuli`ere et ιX=1.
2. La dimension trois
2.1. V´erifions l’in´egalit´e(∗) en dimension 3. Le seul cas non trivial et non couvert
par le r´esultat de Wi´sniewski est donn´e par la proposition suivante.
Proposition 2.2. Soit Xune vari´et´e de Fano de dimension 3.Siι
X=2,ona
ρ
X≤3.
D´emonstration. Supposons ρX≥4. La vari´et´e Xposs`ede au moins 4 contrac-
tions extr´emales distinctes qui ne peuvent pas toutes ˆetre des fibrations ([Wi91],
Theorem (2.2)). Les contractions extr´emales sont compl`etement d´ecrites par Mori
([Mo82], Theorem 3.3) et seule la contraction birationnelle lisse de centre un point
est de longueur au moins 2. Cette possibilit´e est par exemple exclue par la classi-
fication des vari´et´es dont l’´eclat´ee en un point est de Fano ([BCW01]). ¤

Vol. 78 (2003) Sur une conjecture de Mukai 605
Toujours en dimension 3, le cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e(∗) est caract´eris´e par
la proposition suivante.
Proposition 2.3. Si ρX(ιX−1) = dim(X)=3,onaX'(P
ι
X
−1
)
ρ
X.
D´emonstration. Si ρX=1etι
X=4,lavari´et´e Xest isomorphe `a P3([CMS00],
[Ke01]). Supposons ρX=3etι
X= 2 et consid´erons une contraction extr´emale
ϕ:X→Z.Siϕest divisorielle de lieu exceptionnel E, alors ϕ(E) est une courbe
(cf. 1.2) et ϕs’identifie `al’´eclatement d’une courbe lisse dans la vari´et´e lisse Z
([Mo82], Corollary 3.4.1), ce qui est absurde puisque ιX= 2. Les contractions
extr´emales sont donc toutes des fibrations et le r´esultat annonc´e est donn´e par la
proposition qui suit. ¤
Proposition 2.4. Soit Xune vari´et´e de Fano de dimension n, de nombre de
Picard ≥net de pseudo-indice ≥2. Si toutes les contractions extr´emales de X
sont des fibrations, Xest isomorphe `a (P1)n.
D´emonstration. Montrons la proposition par r´ecurrence sur n, le cas n=1´etant
imm´ediat. Par [Wi91], Theorem (2.2), toutes les contractions extr´emales sont de
dimension relative 1 et il y en a exactement n:lecˆone NE(X) est donc simplicial.
Notons R1,...,R
nses arˆetes. Pour 1 ≤i≤n−1, le cˆone Vi=R1+··· +R i
est une face extr´emale de NE(X) dont on note ϕi:X→Zila contraction. Par
le lemme de rigidit´e, ϕi+1 se factorise en Xϕi
→Zi→Zi+1. L’inclusion Vi⊂Vi+1
´etant stricte, on a dim(Zi)>dim(Zi+1). On en d´eduit dim(Zn−1)=1etZ
n−1est
isomorphe `a P1.
Pour 1 ≤i≤n, on consid`ere la contraction ϕRi:X→Wi. Les fibres de ϕn−1
et de ϕRnse coupent en un nombre fini de points. Le morphisme ϕRnest donc
´equidimensionnel de dimension relative 1. Il en r´esulte que Wnest une vari´et´ede
Fano lisse (cf. 1.3) et que ϕRnest une fibration en P1puisque ιX≥2. Comme
toute arˆete de NE(Wn) est image d’une arˆete de NE(X), le cˆone NE(Wn) est
simplicial et toute contraction extr´emale de Wnest une fibration.
Lemme 2.5. Soit π:X→Yune fibration en Prentre vari´et´es projectives et
lisses. On suppose que Xest une vari´et´e de Fano. Alors,
(a) Yest une vari´et´e de Fano et ιY≥ιX;
(b) si Yv´erifie (∗), il en est de mˆeme de X;
(c) si ιY=ιXet que P1→Yest une courbe de degr´e anticanonique ιY,le
produit P1×YXest isomorphe `a P1×Pr.
D´emonstration. Par [KMM92], Corollary 2.9, Yest une vari´et´e de Fano. Soit P1→
Yune courbe de degr´e anticanonique ιY. Comme H2(P1,O∗
P1) est nul, il r´esulte
de [Gr68], §8, que la fibration P1×YX→P1est isomorphe au projectifi´e d’un
fibr´e vectoriel E=Lr
i=0 OP1(ai) sur P1,o`u les aisont des entiers positifs avec