le point sur le troisième problème de Hilbert

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
P IERRE C ARTIER
Décomposition des polyèdres : le point sur le
troisième problème de Hilbert
Séminaire N. Bourbaki, 1984-1985, exp. no 646, p. 261-288
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Séminaire BOURBAKI
37ème
Juin 1985
année, 1984-85, n° 646
DÉCOMPOSITION DES POLYÈDRES :
LE POINT SUR LE TROISIÈME PROBLÈME DE HILBERT
par Pierre CARTIER
Introduction
En 1900, se tient l’Exposition Universelle, à Paris. A cette occasion, le Second
Congrès International des Mathématiciens rassemble la fine fleur de l’époque, sous
la présidence de Poincaré. L’exposé de Hilbert est l’un des plus attendus. Il le
donne le mercredi matin, 8 août 1900, par une grande chaleur, et y présente sa fameuse liste de 23 problèmes. D’ailleurs, pressé par le temps, il suit le oonseil de
Hurwitz et de Minkcwski, et n’ expose qu’une sélection de 10 problèmes. Le texte de
son exposé paraîtra en 1902, en allemand -c’est le texte
reproduit dans ses oeuvres
complètes- et en anglais -traduction dans le Bulletin de la Société Mathématique
Américaine, reprise dans le symposium de 1974.
Voici le troisième
"3.
L’égalité
problème,
tel que
je
du volume. de deux tétraèdres
le traduis de l’allemand :
ayant des bases
hauteurs
et des
égales.
Gauss
exprime, dans deux lettres à Gerling, son regret que certains théorèmes
de la géométrie des solides dépendent de la méthode d’ exhaustion, c’est-à-dire,
pour employer la locution moderne, de l’axiome de continuité (ou de l’axiome d’ArGauss cite en particulier le théorème d’Euclide (livre XII, prop. 5), selon lequel deux pyramides à base triangulaire de même hauteur sont dans le même
rapport que leurs bases. Mais le problème analogue pour les aires planes a été complètement résolu ; Gerling a aussi réussi à démontrer l’égalité des volumes de deux
polyèdres symétriques au moyen d’une subdivision en parties superposables (par déplacement). Cependant, il me semble impossible de prouver en général de cette manière le théorème d’Euclide cité
il
tration
rigoureuse
telle démonstration serait
si
réussissions à trouver deux tétraèdres de même base et de même
nous
de cette
plus haut, et
impossibilité. Une
de donner
une
démons-
obtenue,
hauteur, Qui
ne se
superposables, e..t qui aussi
pas compléter par des tétraèdres superposables en des polyèdres pour lesune telle subdivision en tétraèdres superposables soit possible."
d’aucune manière
L’histoire de
([11]]
s’agirait
et
[12])
a
ce
problème
donné
une
en
tétraèdres
est curieuse. Avant la
solution
sous
publication
la forme réclamée par
261
de
Hilbert, Dehn
Hilbert ; ce qui
est
plus importante il a défini l’invariant qui porte son nom, et sur lequel nous
plus loin. D’ailleurs, lors de la présentation orale, Hilbert n’avait
pas gardé le 3ème problème dans sa liste restreinte. Considéré comme résolu -et
reviendrons
faisant
partie de la géométrie élémentaire- il ne continue à occuper que
quelques géomètres suisses, danois ou russes. En 1974, un Symposium à De Kalb
(U.S.A.) fait le point sur les problèmes de Hilbert. Il y a bien un exposé oral
comme
sur
le 3ème
problème, mais aucun texte dans les deux volumes publiés [2].
Pourtant, depuis 1975, divers problèmes de topologie et de géométrie différentielle amènent à considérer la cohomologie des groupes de Lie rendus
discrets, et
des algèbres de Lie réelles vues comme algèbres sur le corps des nombres rationnels. Les mêmes groupes
se
retrouvent
K-théorie
algébrique. L’analogie de méchamps de jauge est troublante ;
elle laisse supposer des liens inattendus entre arithmétique, topologie et
physique mathématique, exprimés par l’homologie cyclique. D’une certaine manière, cet
exposé n’est donc que la suite de mon exposé précédent (n° 621).
Je remercie bien chaleureusement J.-L. Cathelineau, K.
D. Husemoller et
J. Milnor pour la documentation qu’ils m’ont fournie, et aussi C. Kassel, J.-L. Loday et C.H. Sah pour m’avoir permis d’utiliser leurs notes inédites lors de la
préparation de cet exposé.
thode
avec
les
PRÉLUDE :
1.
problèmes contemporains liés
aux
AIRES ET VALUMES AVANT 1900
1.1. Euclide et les aires
Dans les
en
Éléments,
planes
la fin du Livre I et le Livre VI sont consacrés
aux
aires
planes. Le début du Livre I est consacré aux cas d’égalité des triangles ; on devrait plutôt dire "congruence des triangles" si l’on nomme congruentes deux figures A et B pour lesquelles il existe un déplacement direct amenant A en coïncidence
avec B. A partir de la proposition 1.34, on s’intéresse à diverses situations où
l’on peut affirmer que des triangles ou des parallélogrammes ont la même aire (voir
Table I). En particulier, on a la proposition 1.41, que l’on pourrait paraphraser
par l’énoncé classique : l’aire d’un triangle est la moitié du produit de la base
par la hauteur. Mais rien ne serait plus contraire à l’esprit d’Euclide ; il ne
définit nulle part la notion d’aire, et il n’est pas question d’attribuer une valeur numérique à une aire.
Si l’on analyse les démonstrations d’Euclide et que l’on se réfère aux
communes (ou NC, axiomes généraux qui suivent au début des Éléments la liste des
postulats géométriques), on se rend compte qu’il considère dans l’ensemble des
~~
une relation d’équivalence que l’on interprétera comme signifiant que
polygones
(1)
Euclide ne donne pas vraiment de définition générale d’un polygone, mais
sidère surtout des triangles et des quadrilatères (définitions 19 à 22).
con-
A et B ont même aire. Cette relation
d’équivalence
satisfait
règles
aux
suivan-
tes :
a) des figures oongruentes sont équivalentes (NC 4) ;
b) si la figure A est composée de deux morceaux A’ et A" ,
B’
et de même B est
et de A" avec B" ,
B" ,
l’équivalence
on conclut à l’équivalence de
A avec B
(NC 2) ;
sous
les
si
A
de
c)
hypothèses
b),
est équivalente à B , et A’ à B’ , alors
A" est équivalente à B"
(NC 3) ;
d) si la figure A est composée de n parties équivalentes à A’ , et B de n
parties équivalentes à B’ , de l’équivalence de A et B on infère celle de A’
composée
de
de
et
de
A’
B’
avec
B’ .
et
théonème de
a,b,c, où l’angle en A
Le couronnement du Livre I est le
tangle
de côtés
ABC
égalité s’interprète de la
le côté a est équivalent à
Cette
dans
droit,
on a
manière littérale suivante
~~ :
est
figure composée de
triangle
un
a2
=
b2
rec-
c2 .
+
le carré construit
deux carrés
égaux à ceux
Dans la Table II, on a reproduit diverses configurations qui établissent ce théorème par des manipulations d’aires.
Au Livre VI, Euclide utilise les résultats acquis au Livre V sur les proportions ;
il va pouvoir étudier les similitudes, et démontrer les deux résultats fondamentaux
sur
oonstruits
sur
les côtés
b
et
une
c .
suivants :
a) Si la figure A’ est semblable dans le rapport t à la figure A , le rapport des aires de A’ et A est t2 .
b) Si, dans un parallélogramme, on multiplie deux côtés parallèles dans le rapport t et les deux autres dans le rapport t’ , alors l’aire est multipliée par
tt’ .
Au passage, on établit le théorème de Thalès par la méthode des
équivalences
d’ai-
res.
1.2. La théorie des aires
L’idée de
est
reprise
planes
au
développer complètement
au
l9ème siècle
la notion d’aire
sans
recourir à la continuité
19èm3 siècle par de nombreux auteurs, dont
Bolyai le père. Le résynthétisé au chapitre 4 des "Grundlagen der Geometrie"
de Hilbert [7] (voir aussi le supplément III). Tout d’abord, il faut définir clairement la notion de polygone (ou plutôt de domaine polygonal) dans le
plan, comme
réunion finie de domaines triangulaires. On dit qu’un polygone A est
décomposé
en deux polygones
B et C si l’on a A
B U C et que l’intersection B fl C
sultat de
oes
travaux est
=
(1)
~2~
~
Euclide
n’éprouve pas le besoin de distinguer
équivalence, et parle d’égalité dans les deux
On sait que les manipulations d’aires sont un
(voir en particulier le Livre II).
la congruence des
figures
et leur
cas.
substitut
d’algèbre
chez Euclide
est réunion de
un
segments de droites ; définition analogue pour la décomposition
nombre fini de
DEFINITION 1.- Peux
polygones
("zerlegungsgleich")
si l’on
angle
A’
sont
de sorte que.
équivalents
A
par décomposition
en
et
T1,...,Tn
chaque
soit congruent
A’
au
Ti .
DEFINITION 2.- Deux
polygones
C’
B’
deux
décomposé
C
que
et
A
("erganzungsleich") .6’ il
et
et
A
peut décomposer
T’1 ,...,T’n
e.n
en
polygones.
en
A’
sont
équivalents pan complémentation
C
polygones équivalents pan
et
A
B, et C’
A’
en
et
B’,
auec
et
B
équivalents par décomposition.
Il est clair que deux
polygones équivalents au sens 1 le sont au sens 2 . La
géométrie plane réelle, mais ne le serait plus dans la géoflétrie plane sur un corps ordonné non archimédien. Dans le cas réel, qui nous occupe seul ici, il y a donc une seule notion d’équivalence ; elle répond à toutes les
exigences d’Euclide. En adaptant ses raisonnements, on prouve par des méthodes élémentaires le résultat suivant (Euclide, 1.45) :
réciproque
est vraie
Soit AB
en
pris
un
comme
unité de
à
ABCD
Poun :tou:t
P, et
il
polygone P,
d eu.~ ~ ~ ~ .
un
On
prendra comme unité d’aire le carré de côté AB ; l’aire du polygone P précédent sera mesurée, dans cette unité, par le rapport CB/AB (voir la Table III) .
1.3. Généralisation
Donnons d’abord
T
un
en
dimension >_ 3
quelques constructions générales. Soient
espace vectoriel de dimension finie
pace de translations
défini par
p + 1
p )
soient
avec
(2)
dimension
s..,s ,...,s
linéairement
de la forme S c. s,
~i=0 :1. :1.
Un polytope.
dans E
d’un nombre fini de
[sa’... sp ]
T. Un
points
K
sur
n
un
de dimension
indépendants
dans
polyèdre
et il est
en
se
c. ~ 0
dans
K
dimension
3 )
est
dégénéré
si tous
ces
oorps
ordonné,
espace affine d’esp
dans
s3?
T ;i il
1
simplexes,
E
un
tels que les vecteurs
des ooefficients
(on dit
et
K
E
(pour
compose des
tels que
"
un
est
points
c.=l.
03A3
1
ensemblei=0
réunion
sinplexes
sont de
n .
On dit que le
décomposé
si l’on a
polytopes
dégénéré pour i ~ j .
Pr
P1
Pi Pj
Pour fonder la notion de volume des polytopes, il n’y a pas besoin d’une métrique ;i il suffit d’une forme n-linéaire anti-symétrique c~ sur T . Par définition,
P
=
U
...
U
polytope
P est
et que
n
Euclide n’éprouve
en
les
est
pas le besoin de démontrer l’unicité
qui
découle pour lui de
est plus grand que la partie" (NC 5).
l’axiome
: "leettout
La simplicité
la généralité de cette définition
doivent pas masquer
la
ne
difficulté du cheminement historique (voir là-dessus la discussion de Lakatos
[8], à props de la relation d’Euler F - A + S 2 ).
=
le volume du
polytope
]
n-simplexe
le vecteur
le volume d’un
P
est
p-simplexe
sinplexes
égal
[
à
où
est nul par convention si
p
v.
est
n .
décomposer
T~,...,Tr , et l’on prouve par des
algébriques que la sonne des volumes des simplexes T~, ... ,Tr
dépend que de P ; on l’appelle le volume de P , noté vol(P) . Avec ces définitions, on a les propriétés suivantes (Hadwiger [5, chap. 2]) :
peut
se
en
méthodes purement
a) Si
b)
P’
et
P
polytope
c) SÀ
u
associé de
P
est
un
T,
on a
Revenons à la
T
ne
on a
e6t
on a
automorphisme de
polytope
poun
et
sont deux
Un
vol (P) = 0 .
affine E,
et.
uT l’automorphisme
P.
géométrie euclidienne ; le corps K est celui des nombres réels,
produit scalaire défini positif ; on normalise 03C9 par
est muni d’un
|03C9(e1,...,en)
]
=
1
pour toute base orthonormale
e1,...,en
de
T ; il y
a
deux
choix
possibles pour w , à savoir wo et
correspondant aux deux orientations possibles de T (ou de E ). Quitte à remplacer
"triangle" par "simplexe"
et "polygone" par "polytope", on peut répéter les définitions 1 et 2 du n° 1.2.
Dans le cas n
3 , Sydler a montré dans [18]] que les deux équivalences n’en font
qu’une ; ce résultat a été généralisé en dimension quelconque par Zylev [20, 21] et
Hadwiger [5].
=
1. 4 . Le 3ème problème de Hilbert et l’ invariant de Dehn
Toute isométrie d’un espace euclidien est de déterminant
d’après
la
propriété
égal à
1
ou
-1 ;
c) du
volume, deux polytopes congruents ont même volume. Il
en résulte que deux
polytopes équivalents ont même volume. Le 3ème problème de Hilbert se précise ainsi :
Peux polytopes de même volume sont-ils
équivalents ?
La
réponse
est oui
lorsque
2
(Bolyai, vers 1832 ; voir le n° 1.2.).
3 , un résultat crucial (Euclide, XII.7) affirme que les trois pyramides ABCA’ , BCA’B’ et A’B’C’C en lesquelles se
décompose un prisme à base
triangulaire ABCA’B’C’ ont même volume
Euclide, 1.34, pour le cas plan).
En dimension
n
=
montre que deux tétra-
Pour établir
cela,
èdres
et
ABCD’
est
parallèle
ABCD
droite
DD’
on
ont même volume si la
au
et
plan ABC,
ceci résulte de Euclide, XII.5. Mais
der-
ce
nier résultat nécessite chez Euclide aussi
Legendre par exenple ~’ ~ , la méun découpage
continué indéfiniment et une application de
l’axiome d’Archimède. Le problème est donc de
voir si de tels tétraèdres sont équivalents.
de même voDehn a montré que l’on peut btouveA, lorsque n
3, deux
I
est défini
un
invariant
ne
lume
pas équivalents. De manière générale,
pour les polytopes, si l’on a associé à chaque polytope P un élément I(P) d’un
bien que chez
thode d’ exhaustion, c’est-à-dire
=
r , de manière à satisfaire
deux polytope..6, on a
a) S~. P et P’
groupe commutatif
b) Si le polytope
c) Si P et P’
e6t
P
on a
aux
I(P)
axiomes suivants :
0 .
=
existe un élément
polytopu pour lesquels il
I (P’ ) .
g (P) , on a I (P)
groupe G (des déplacements) avec P’
les
si
I(P’)
polytopes P et P’
Il est alors immédiat qu’on a I(P)
deux
=
=
équivalents.
Or Dehn
le groupe des
r =]R
où
~~ 0 ;
[
faces du
~~~
de
angles
si
P
est la
polyèdre
oonstruit,
a
en
droites (2)
est un
polyèdre,
longueur du segnent
P
s’appuyant
dimension
dans le
sur
avec
plan
3,
invariant
un
étant noté
les arêtes
du
Li et ôi
Li .
D
oomne
sont
suit :
pose
Ll, ... ,Lr ,
on
pose
l’angle dièdre forme par
les deux
remarquable que, malgré la différence notable des points de vue, ettant
construction se retrouve
l’éloignement géographique et culturel, la
dans Euclide, XII.3, que chez Liu Hui (t’l ~~ ), un auteur chinois du
Il est
p. 164-188) .
3ème siècle (voir D.B. WAGNER dans
~2~
g
=
Ce groupe s’identifie naturellement à S02 (~t)/{1,-1)
des angles en radians, on peut l’identifier à
;
au
moyen de la
mesure
Dehn,
Pour vérifier l’additivité de l’invariant de
ramène
on se
décomposé
P=ABCD
P"
et
=
élémentaire d’un tétraèdre
au cas
ABDI ; l’arête
deux arêtes
CI
dièdres sont
égaux
CD
décomposée en
les deux angles
est
ID, mais
et
P’=ABCI
deux tétraèdres
en
1
ô, d’où
à
+
et
De même l’arête
62
pour
P’
AI
Pour
est oomnune aux trois tétraèdres avec des
AB
et
63 pour P" ;i
(et BI ) la
on a
somme des deux
angles
S~
=
ô~
=
D(P’)
+
Les
pour
P,
on a
angle plat, nul dans A .
tétraèdres, et l’on a finalement
un
D(P") .
Considérons maintenant
que
b3 ,
dièdres est
Les autres arêtes et dièdres sont communs aux deux
D(P)
+
angles ô~
C . Soit £
un
cube
C
et
un
tétraèdre
longueur des arêtes de C ,
du
cube sont tous égaux à
angles dièdres
la
2,
et
T
régulier
l’
de même volure
celle des arêtes de
et il y
T’ .
arêtes du cube,
12
a
d’où
car
l’angle plat
n
est nul dans le
D(T) = 6.~’ ~ 8 . Or dans le groupe
ô
groupe 0394 .
r =:R
~~ ~ ,
De manière
on a
multiple rationnel de n ;i mais on a oos b
ô/n soit rationnel, d’où D(T) ~ 0 .
En oonclusion, on a vol (C)
vol (T) et D(C) ~ D (T) ,
si
est
analogue,
.~’ ~ ô
un
=
=
0
=31,
on a
si et seulement
ce
qui exclut
polyèdres
C
et
que
T
ne sont pa6
Remarque.- Dans le groupe /::,. des angles, les éléments d’ordre fini sont les multiples rationnels de l’angle plat n , et forment un sous-groupe Ao de A isomorphe à Q/ZZ. Le quotient A/Ao peut être considéré comme un espace vectoriel
sur ~ , et le groupe r = 3R 8L A est isomorphe à 3R
~~ (A/Ao) . En particulier,
on a un homomorphisme injectif de
A/Âo dans r , et la dénonstration ci-dessus
repose sur cette propriété. Ces notions étant totalement inconnues en 1900, la manière de s’exprimer de Dehn était forcément indirecte, et a paru souvent peu convaincante.
2. GRJUPES DE
POLYÈDRES
2.1. Le théorème de
Sydler (1965)
Le résultat de Dehn semblait clore la
discussion,
et de
fait, il n’y
eut que des
progrès insignifiants jusqu’en 1940. C’est sans doute Hopf qui ranena l’intérêt sur
ce problème et les progrès viendront d’un de ses
élèves, nomme Sydler. Il commença
à y travailler vers 1943, et démontra finalement en 1965 le résultat suivant
[19]]
qui lui vaudra un prix de la Société Royale Danoise :
Deux
polyèdres
sont
équivalents si
et seulement s’ils
ont même. volume. et même .in-
variant de 0ehn.
La démonstration
16]]
en
On
a
a été ensuite fortement
simplifiée par Jessen et ses élèves [15,
c’est
leur version que nous allons décrire (1).
1968 ;
défini au n° 1.4. oe qu’il faut entendre par invariant de polyèdres. Suivant
l’usage éprouvé
mutatif P
des groupes de Witt
ayant des générateurs
ou
[p]l
de
Grothendieck, on introduit un groupe cancorrespondant aux polyèdres et soumis aux
relations
Les invariants
I
à valeurs dans
un
groupe commtatif
P
ment aux
dans
homomorphismes cp de
particulier, le volume et l’invariant de
plus, deux polyèdres P et
[P] _ [P’]] dans le groupe P .
De
Soit Z
P’
sont
r
r
correspondent bijectivel (P)
03C6([P]) En
définissent des homomorphismes
par la relation
Dehn
équivalents
=
.
si et seulement si l’on
a
le sous-groupe de P
engendré par les prismes ; en s’appuyant sur les
résultats démontrés pour les polygones plans, on démontre que tout prisme est équivalent à un prisme rectangulaire ayant pour base un carré fixe de côté 1 ; par
sur ]R , et le théorème de Sydler
suite, le volume définit un isomorphisme
résulte de l’égalité de Z et du noyau de D . Il est d’ailleurs facile de montrer
que l’invariant de Dehn d’un
de
dans ;R
qui entraîne
~ZZ0394 .
En
prisme est nul, donc D définit
fait, on. prouve l’ exactitude de
un
homomorphisme D
de Jessen
le théorème de
le module des différentielles
Sydler. On a noté
du corps 03A6 (voir par exemple Bourbaki, Algèbre, V,
§ 16), et d03A6 la dérivation canonique de IR dans
D’après Cathelineau
ô
se
définit
comme
un
suit
:
[22], l’homomorphisme
angle de droites {] est reavec
a2 + b2
présenté par deux matrices
1 , ou par la tangente t = b/a
de A dans
(égale à ~ si a 0 ). On définit un homomorphisme
par
de Kahler de l’extension IR
.
=
(1)
Un
17]]
et
=
détaillé se trouve dans l’ouvrage de Boltianskii [1]]
[9]. Je reconmande fortement la lecture des articles de
de Dupont [23].
exposé
de Sah
i(~ ~)
Q1
et dans celui
Jessen [15, 16,
(en convenant
~
radians,
en
on
Avec ces
On
=
a
a
est tenté d’écrire
une
groupe
0 ).
=
bonne
analogie et
A
conventions1
Choisissons
on
une
sur
le groupe
P . Comme
passe à
P/Z ;
et
P"
entre
0
P
poids
dans
compris
t
0
origine
Alors le volure est de
une
de
et
en
=
d~
piète.
en
tg 0 et si l’on
règles
=
mesure
vertu des
Noter que la
tangente identifie le
composition
Sydler
dans
euclidien
l’espace
0
par la
et de
plus,
un
pour tout tétraèdre
à
htP
et
-
homothétie transforme
1 , le tétraèdre
3,
t . On définit une action du
rapport
règle
de dimension
E3
et l’invariant de Dehn de
3
oongruents respectivement
ble IV). On
=
pose
l’homothétie de centre
ht
groupe 1Rx
pour §
de JRx
un
muni de la loi de
2.2. Démonstration du théorème de
notons
ô~(~)
t
b
P est
et
prisme
P
=
en un
en
prisme, l’action
et tout nombre réel
ABCD,
décomposé
h P ,
1
poids
deux tétraèdres
P’
prismes (voir
Ta-
et en deux
déduit la relation
d’où, aussitôt, l’existence
pour laquelle
Étant
Ht
la multiplication
donnés deux nombres
classe dans
deux à deux
patc
a,b
t.
dans l’intervalle
de tout tétraèdre
ABCD
]0,1[ ,
dont les arêtes
orthogonales, de longueurs données par
notons
AB ,
BC
T(a,b)
et
CD
la
sont
et un raisonnement
Prouvons
géométrique permet d’établir
existe
qu’il
une
famille d’ élérrents
la formule
U ( a)
P/Z
de
(pour
dans
a
] 0,1 [ )
tels que l’on ait
Pour
oela, considérons dans l’ensenble Wo
=
p/Z
]0,1[[
x
donc
Wo
la loi de
sitian
commutative
On vérifie que tout élément est
des fractions
W . On
P/Z
et canne le groupe
un
alors
a
simplifiable ,
une
dans
son
groupe
suite exacte
divisible,
est
plonge
se
cette suite exacte est
scindée ;i il existe
n , donc de la forme
homomorphisme de TR* dans W relevant
(13) résulte de (14).
a
~ (a,U(a) )
et la relation
Problème : existe-t-il
Dans
une
l’étape suivante,
oonstruction
on
pose
d’où les relations évidentes
On prouve ensuite
de manière
(pour
(pour
’a >
explicite
>
a
0 ,
de
U (a) ?
b > 0)
0,
0 , À
b >
=
géométrique,
au
moyen de deux
décompositions
commutatif
A
P/Z
d’un tétraèdre
satisfont à
OABC , dont
bc ,
orthogonales OA , OB et OC
ab . Au myen du cocycle G, on fabrique cette fois un anneau
ayant H x p/Z comme ensemble sous-jaoent et les opérations
|OC|2
ca,
0 )
l’égalité
les arêtes deux à deux
|OB|2
>
=
=
A , et A/I
isomorphe au
projeccorps IR . On choisit un homomorphisme
tion Z de A sur A/I (voir Bourbaki, Algèbre commutative, IX) ~ d’où une applidans P/Z qui vérifie les relations
cation H de
Alors
I
=
est un idéal de carré nul dans
a
de
IR
dans
A
est
relevant la
On définit enfin
application
une
Il reste à vérifier que
l’identité de
est un
cp
plication IR-linéaire 03A6
cp
de R
de
P/Z par
dans
A
homomorphisme ;
~ZZ 0394
le
on
prolonge alors
~/~
remarquant que l’ espaoe vectoriel
en
en une
que CoD
et l’on prouve
dans
ap-
est
est
engendré par les
T(a,b) dont on calcule facilement l’invariant de Dehn.
On a donc prouvé que D est injectif. Pour achever de démontrer l’exactitude de
la suite (J), on utilise le fait que les homomorphismes d’anneau de 3R dans A
éléments
relevant
T
de Q1
dans
forment
I
=
un
espace
principal homogène
le groupe des
sous
homomorphismes
P/Z .
2.3. Problèmes ouverts
Hadwiger [5]]
généralisé l’invariant de Dehn en dimension plus grande que
Soit En l’espace euclidien de dimension n . On construit comme au n° 2.1.
groupe Pn engendré par les polytopes de Eh . Si i est un entier tel que
1 ~ i ~
a
(n -1 )/ 2 ,
on
définit l’invariant de
Dehn-Hadwiger
Di (P)
.
la
oom-ne
somme
(i
facteurs
où
Pj
a) étendue à
vol
(Pi) ~
n - 2j
de
par les deux facettes de dimension
peut aussi poser
Do (P)
=
P
et
l’angle
aj
n - 2j + 1 de
P/Z dans
3 , c’est le théorème de Sydler. Pour n
1972, p. 47-53) a montré com-nent se ramener au cas
n
polytope
= R ~ ~ ~ ... ~ 0
dièdre défini
contenant
vol (P) .
Problème : prouver que l’homomorphisme de
défini par D0,D1,...,D [(n-1)/2] e,dt
Pour
~l
... ~1
toutes les suites décroissantes
est une faoette de dimension
dans
On
des éléments
3.
un
=
0394°
=
4 ,
n
=
x
A’’
x
x...
Jessen
a
[(n-1)/2]
(Göttingen
3 . On ne
P..
7
Nachr.
lLien paux
n ~ 5 .
On
peut
se
elliptiques
poser des
ou
problèmes analogues pour le
hyperboliques.
Dehn
a
résolu le
cas
cas
des espaces
de dimension
non-euclidiens,
2 ;
on ne
rien au- delà.
3.
INTERPRÉTATION
3.1.
HOMOLOGIQUE
Décomposition
Soit
mmnt,
n° 2.1,
des
polytopes
par translation
E un espace affine de dimension
considérons pas de
définit un groupe II (E)
nous ne
on
n ,
métrique
d’espace
de translations T ; pour le
euclidienne. Par
analogie avec le
engendré par les polytopes, soumis aux relations
.
Ce groupe est
adapté à l’étude de la décomposition des polytopes avec les transladéplacements permis. On fait agir les homothéties sur II(E) oonme au
n° 2.2, par la formule
(sgn t)n.
Hadwiger [5]] et Jessen - Thorup [17]] ont précisé la structure du groupe II (E)
comme suit : On peut munir II (E)
d’une
sur le corps
d’espace vectoriel
tions
canne
IR , et d’ une décomposition
Ht03BE
que
tiE
=
Munissons
E
t
pour
Nous donnons les
directe 03A01 (E) ® ... ~ IIn (E)
en somme
dans IR et 03BE
dans 03C0i(E) .
principales étapes
d’espace
une décomposition de
E
de la démonstration.
d’une structure
Supposons donnée
riels
E~,... ,Ei et identifions E
(vl,...,vi) ~ vl + ...+ vi . Si P~
i
alors le
Ë2~... ~
produit cartésien
le sous-espace de
note Z.
décompositions de
E
II(E)
en somme
x
vectoriel par choix d’une
x
...
est
Pi
x
à
Ei
un
...
par la
E
est
p.
engendré par
tous
... ®
directe
0 .
bijection
dans
polytope
x
origine
directe de sous-espaces vecto-
en somme
un
ces
Ei .
,
P2
dans
polytope dans E. On
polytopes, pour toutes
Or
les
on a
~n est le sous-groupe engendré par les parallélotopes (qui généralisent parallélogrammes et parallélipipèdes). Lorsque n est égal à 3 , Z2 est le sousgroupe engendré par les prismes.
La formule ( 9 ) se généralise comme suit :
et
On la prouve
avec
où
,,o
wi
Wo
ramenant
0 = so . Posons
ht,ai x
a
en se
=
~l
=
au cas
où §
i
[s~,...,si]
est défini par
,
~ï
=
un
simplexe
[si,...,sn] .
.
o=
Alors le
[So,...,Sn]
simplexe
décompose en polytopes Wo ~Wi,...
est équivalent par translation à
ht"ai pour 1 _ i _ n - 1 , alors que l’on
ht,a et que w est équivalent par trans-
lation à
se
ht"a.
On
a
wi
E
l2
1 ~ i ~
pour
n -
1,
d’où (26). On déduit de là la congruence
puis
on
lorsque
passe à la oongruenoe
t
est entier : se ramener
Pl x ... x Pi
d’où
x
...
au cas
x
où §
htPi] ;
;
est défini par
mais
en
un polytope
appliquant (27) à l’espace
affine
à
voit que
on
Ej ,
translation à
P. ,
décompose en t polytopes équivalents par
t x
polytopes de la forme
P~ correspondant chacun
ht Pj
et en des
se
P~
d’où la formule ( 28) .
décomposition
E. E’ji
Pour tout entier t ~ 0 , l’homothétie
Ht de n(E) est un automorphisme ; il
induit un automorphisme de
et d’après la formule ( 28 ) , chacun des grouest uniquement divisible. Il en est donc de même de n(E),
pes oormutatifs
qui se trouve muni d’une structure d’espace vectoriel sur Q .
La démonstration de la formule (26) enseigne aussi
pour tout entier t ~ 1 ,
le simplexe
hto se décompose en polytopes wi où wi est équivalent par transune
=
lation à
tout E
Par
ht-lOi ai .
x
dans
n(E) ,
pour tout entier
dans
e1 ;... ,en
double récurrence
une
il existe des éléments
t ~
0 . Autrement
II(E)
de
E.
n
et
Z.1
t,
voit que pour
on
(pour 1 S j S n )
tels
dit, il existe des opérateurs ~-linéaires
tels que l’on ait
Utilisant la relation
il vient
=
i ~ j ,
une décomposition n(E)
projecteur correspondant de n(E) sur
d’où
fl3
=
relation
sur
e?
=
ei
et
=0
e.e.
telle que
2. = S
...
pour
ej
nli(E)
i on a aussi
soit le
et la
t E
et t ~ 0 entier (ou raE
particulier, on a Zn
Pour la dernière étape, fixons i entre 1 et n ;i identifions
à
et considérons, pour E fixé, l’application
de H dans ir’-(E).
Si 03BE est associé à un polytope de la forme
P x x , il résulte de la formule (26) (imiter la démonstration de la formule (28)), qu’il existe une
applicationnel) .
est valable pour
=
En
dans
=
...
tion
On
03A6-multilinéaire
f
de
IRi
dans
telle que
généralise ensuite le théorème de.
de la forme
P’
décomposition
et
Autrement
une
dit,
application
alors
x
la
quantité (31)
03A6-linéaire
=
La structure
tion
htP’
translation) à
g (t) ,
d’°ù
et
de
dépend
ne
g-
de IR
en
vectoriel réel
,
p"
une
et
d’espace
( t, ~ ) I-~
x
1
Ht~
=
en
montrant que si
P’
x
sont
polytopes
un polytope
P est
équivalents (noyennant
de la forme
que du
dans
produit tl.....ti
IT’’(E) telle que
Q1
x
Q2
x
Q3 ,
et il existe
particulier
sur
se
définit
au
moyen de
l’applica-
3 . 2 . Interprétation
homologique du groupe
II (E)
Un espace affine réel
E possède deux orientations ; on peut
considérer que ce
générateurs d’un groupe cyclique infini, noté Or(E) . Désormais,
sont les deux
nous
5(E)
posons
on
=
montrer par
TI (E)
groupe
On
~~
Or (E) . Si
argument oombinatoire
est défini par les
un
de
n-sinplexe
égal à
ô :
Le groupe
Cp
(E)
---~
p , le groupe
Cp(E)
(s0,...,sp)estformas de p
Cp-1
où
de
petit
-ou un
peu de
générateurs so, . ..
(E)
de soumets
II(E)
le
est
e
est directe. On
T
topologie- que le
sou4s
peut traduire de la manière suivante. Soit C*(E)
teur de bord
pour
est
s~ ,
un
lenberg - Mac Lane ; en degré
engendré par les symboles
Soit
o
So,...,Sn> l’élément
laquelle la base
l’orientation pour
peut
n(E)
note
aux
complexe
relations (1)
standard d’Ei-
est le groupe commutatif libre
+ z
points
de
E ,
et
l’opéra-
défini par
T
opère par translation
par analogie avec la formule (34).
de
C*(E)
sous-complexe
engendré par les synboles
lesquels il existe un hyperplan de E contenant les points s.. On a alors
D*(E)
le
(s0,...,sp)
d’homologie(2)
les groupes
3. 3. Invariants de
Soit
H
un
Hadwiger
hyperplan
orientation
de
polytope
E . Choisissons une orientation
e
pour
E
et
une
choix détenninent ’un
demi-espace E+ liEH
On
oonstruit
selon
de
alors,
Hadwiger [13]] un homomorphisme
mité - par
H
.
fl(E) dans fl(H) : soit P un polytope dans E ; pour chaque face F de E , de
dimension n - 1 et parallèle à H , considérons le polytope (unique à translation
près) F’ de H déduit de F par translation, et le nombre t égal à 1 ou
-1
selon que
P
trans forme
F
~2~
(2)
de
P
H ;
pour
se
[P]]
ces
trouve du même côté de
0
de dimension
EE
en 03A3F
n - 1 . Cet
t .
[F’
] (ID
F
que
e,- ,
homomorphisme
E~
sonne
ne
de
H,
ou
non ; alors
étendue à toutes les faces
dépend
pas des choix de
EE
et
On fait la convention usuelle : le terme si sous le chapeau est à supprimer.
Si M est un groupe commutatif sur lequel opère un groupe G , on note Me
le quotient de M par le sous-groupe engendré par les différences gm - m
pour m E M et g E G (groupe des coinvariants).
EH.
orientations, le volume s’exprime comme un homomor~ AnT
A vn
si
vi A
qui transforme so, ... ,sn> en
phisme vol :
+
de
Les invariants de Hadwiger sont des homomorphismes
s. v. So .
... :D
formée
IT(E) dans
pour chaque suite décroissante T = n ~
le
de sous-espaces
de T (avec dim
c’est
composé
Ti
Ti i ),
De manière
des
indépendante
1 n!
...
V(T ,...,T )
Tp
=
A Tp ;
=
~~1°
... °si~-1r~
Fixons
P
E ;
ments
L’analogie
où
est
E.
polytope
([P]i Oe)> de
est
un
un
dans
Le théorème fondamental affirme que
dans
II(E) - autrement dit,
e...t seulement s’ils ont
Il
E ,
on
E, de direction
T~.
lui associe la famille des élé-
appelés invariants de Hadwiger
généralisés est évidente.
les invariants de Dehn
avec
sous-espace affine de
deux
P
et
P’
équivalents par décomposition
de Hadwiger.
mêmu
sont
de
P.
ont même classe
et
été démontré par
Hadwiger et Glur [14]] en 1951, pour la dimension 2, étenPar Hadwiger [13] en 1968, puis à la dimension 4 par Jessen (Gottingen Nachr. 1972, p. 47-53). Enfin, le cas général est dû à Jessen et
(1972, publié dans [17]1 en 1978), et indépendamment à Sah [9].
Naturellement, le théorème signifie qu’un élément ~ de ïÏ.(E) tel que
et
0 pour tout hyperplan H de E , est nécessairement
nul. Sous cette forme, c’est une conséquence facile des résultats du n° 3.1.,
moyennant une construction géométrique simple transposée du cas de la dimension 2
[1, § 10] .
du
a
à la dimension
3
RH E(~) -
3.4. Variétés de
drapeaux
Dans son livre
[9], Sah pose
la
question des syzygies, c’est-à-dire des relations
Hadwiger d’un polytope. La réponse est donnée
par Dupont [23]1 au moyen d’un complexe simplicial introduit antérieurement par Tits
et utilisé aussi par Lusztig.
Nous ne maintenons plus la distinction entre espace affine et espace vectoriel.
linéaires entre les invariants de
Soit donc
T
un
espace vectoriel réel de dimension
plexe simplicial
distincts de 0
telle que
faisceau
est
nR V
et
~(T)
T ;
Nous considérons le
com-
dont les sommets sont les sous-espaces vectoriels de
T ,
un
qIR sur t (T)
est une suite
p-simplexe
... =3
Etant donné
entier
un
espace vectoriel sur IR . Tout espace vectoriel sur IR
comme
~’~
espace vectoriel
(V~,V1,..., p)
q ~ 0 ,1 on définit le
groupe des valeurs sur le simplexe (V0, ... , p)
puissance extérieure q-ième de V considéré comme
P
p .
dont le
, c’est-à-dire la
n .
d’où
un
peut aussi être considéré
autre faisceau
Boltianskii ne semble pas avoir eu connaissance de ce résultat ; dans son livre de 1978, il détaille le cas de dimension
2 ou 3 et mentionne que le cas
général
est ouvert.
V un espace vectoriel réel, et soit
le q-ième groupe d’homologie du groupe (discret) V à coefficients entiers ; comme l’homologie des groupes
est compatible à la limite inductive, et que
l’homologie de ~n est celle d’un
Soit
tore
TT~
égal
à
=
B7ln ,
définit
isomorphisme canonique
un
de
I1~ V .
Soit alors
le
on
q q-chaînes
groupe
riants de
le faisceau
r
des
qui à un simplex
(autrement dit,
homogènes de
V
d’éléments de
V).
°
plexe
de faisceaux
sur
de
1.
est
r*
1 (T)
sur
dans le groupe commutatif libre construit
V
(vG,..., q)
le
Hq (V,7l)
D’après
ce
qui précède,
complexe simplicial C (T) ,
sur
on
(36),
la
on
déduit de là
décomposition
Par
application
mologie de ~(T)
3.5. Retour
au
groupe
les suites
définit donc
faisoeau
généraux d’algèbre hcmologique
isomorphisme
un
directe du second msnbre
en sonne
II(T) -
(V~,...,
p) desassocie
le
coinva-
et le
Par utilisation de résultats
A~S V ,
sur
un com-
d’homologie
et de la formule
correspond à
la
décomposition
définie par le poids par rapport aux homothéties (n° 3.1.).
du théorème de Jessen - Thorup, on déduit de là les groupes d’ho-
groupe des
déplacements
soit muni de la forme quadratique
Supposons maintenant que l’espace T
sont
covariants par rapport au groupe orisomorphismes précédents
De plus, par définition même, le groupe de polyèdres
thogonal On (IR)
~n associé
usuelle. Tous les
.
à
~
(voir le n° 2. 3 . )
l’on pose
Pn
H0 (On pR)
Conpte
isomorphisme
obtient
En
un
=
est le groupe des coinvariants de
~n ~~
particulier, pour
prismes (de poids 3
on a
n
de même
un
isomorphisme
tenu de la détermination de
=
3 , le groupe P3
homothéties)
pour les
pour les homothêties). De
plus,
Lusztig [25]] donne la suite
un cas
exacte
03A0(IRn)
dans
0 (R)
de
~n
si
avec
donnée
au
n° 3. 4 . ,
est sonme directe du groupe
et du noyau du volume
particulier d’une suite
~3
(de poids
exacte due à
on
des
1
où
parcourt les plans, et D les droites de ~t3 ; il s’agit de modules pour
O n 0R) et en passant à l’homDlogie, on obtient une suite exacte
P
le groupe
Tout ceci
tenant
se
~3
été obtenu
réexprimer
Cathelineau
où
a
a
indépendamment
Sydler. Celui-ci peut main-
du théorème de
la forme
sous
récemment obtenu le résultat analogue suivant
considérée
de Lie de
désigne l’algèbre
3.6. Géométries elliptique et
comme
algèbre
de Lie sur Q .
hyperbolique
peut bien entendu poser des problèmes analogues au Sème problème de Hilbert
géométrie des polytopes sphériques, ou des polytopes dans l’espace de
Lobatchevski Hn de dimension n . Par analogie avec les groupes
Pn liés à l’esOn
pour la
pace euclidien
on
Très peu de choses sont
ses
méthodes dans
Les groupes
la deuxième
dans (E
A
oonnues sur ces
ce cas
ligne signifie
transforme
groupes ;i
Cheeger
4. POSTLUDE : VERS LE
appliqué
a
de
2 ; l’exposant
dans
conjugaison
leur
en
et Simons
puissance
que l’on prend le groupe des éléments que la
opposé.
Normalisons le volume de la sphère S3
sphériques définit un homomorphisme de
momorphisme I , il donne l’homomorphisme
par
et
polytopes
cependant, Dupont [23]1
et obtenu deux suites exactes
sont annules par une
B
et
P (H9) .
définit donc des groupes de
à l’unité ; alors le volume des
dans
de
composé
dans
polyèdres
avec
l’ ho-
introduit
[ 30 ] .
21e
SIECLE
4.1. Homologie des groupes de Lie "discrets"
un groupe de Lie comexe, réel ou complexe, et soit
GS le même groupe
topologie discrète. Les groupes d’homologie d’Eilenberg-Mac Lane Hi (G, M)
apparaissent en K-théorie algébrique, dans la théorie des feuilletages (voir
Haefliger [45]), et dans la théorie des espaces fibrés à connexion intégrable ;
Soit
avec
du
pe
G
la
ca~
topologique
Rappelons qu’on associe
.6e
G
un
espace "classifiant"
BG
qui
au
grou-
est la base d’un espace fibré
principal
de groupe
BG
sifiant
G , dont l’espace total
est aussi défini et
GS
phisme continu de
dans
EG
est contractile.
l’application identique
une application
de
G, qui induit
G
L’espace
clas-
est un
continue de
BG
dans
BG , donc aussi des homomorphismes
Il est
G
classique (Hopf-Eilenberg)
que
agit trivialement sur M .
Friedlander [ 33] et Milnor [ 35]
ont
tout
i >_ 0
sont des
isomorphismes. Friedlander
est ici
BG
un
,
où
isomorphisme pour
fini. Naturellement, on conjec-
que
est
M
H . 1 (G,M)
un
ul
dualité, les homomorphismes
remplace G par un schéma
des isomorphismes putatifs
(
conjecturé
si le groupe de
ture aussi que, par
n’est autre que
H.
schéma
Un certain nombre de
en
a
groupes
simplicial
et
aussi formulé dans [33]
sur un
Ét
corps
une
algébriquement
est la
variante où l’on
clos
k, d’où
étale).
°
d’abord, Milnor [35] prouve la cmjecG
est
rés
un
ture, lorsque
oluble, par
dévissage facile qui ramène au cas commutatif ; la même méthode ramène la conjecture générale au cas où G est simplement
connexe, simple et non oommutatif. Sous cette dernière hypothèse, Dupont, Parry et
Sah [32]]
de
i ~ 2
.2e
(avec au plus 11 exceptions lorsque G
est de
type
On prouve
corps,
on
sont connus. Tout
F4 , E6 , E7
ou
résultats
en
ces
note
FX
par le sous-groupe
Matsumoto -
cas
son
Ea ) .
utilisant la
groupe
multiplicatif
engendré par
Moore) que si
G
et Ka (F)
Si
F
quotient
de
est
F~
un
~~ FX
a ~ (1 - a) .On sait (Steinberg-
les éléments
schéma
le
simple, déployé, et simplement connexe, et F un corps où tout élément est un carré (en particulier algébride Schun H2 (G(F) ,ZZ) est isomerphe à K2 (F).
quement clos), alors le
Venons au cas F = ~ ; alors la conjugaison complexe définit un automorphisme
d’ordre 2 de K2 (~) , d’où une décomposition
en parties
et
est
Essentiellement
Ha
,~)
égal à K2 (~) ;
paire
impaire.
par définition,
est
un
en
groupes
=
Dupont, Parry
un
et Sah démontrent que l’inclusion de
isomorphisme (1)
résultat
de
préliminaire).
H2(U1(CI),ZZ) dans
~’~
C’est ici
lique.
H2 ( SU2 (CI) ,ZZ)
Mather (non
qu’intervient
sur
K2
(CI)+
définit
dans
(voir Sah - Wagoner [39 ] pour
un
de
étudié
l’homomorphisme
publié)
etAlperin-Dennis [27] définissent un isomorphisme
la
a
décomposition des polyèdres
dans
l’espace hyperbo-
de
KZ (~)+
K2 (H)
sur
à Sah
[38],
on
( ~
est le corps des
montre que, si
G
est
quaternions) .
Dans
l’étape suivante,
oompact, simplement connexe, simple
et
due
non
dans G associé à une racine simple
exceptionnel, alors le plongement de
définit un isomorphisme de HZ (SU2
sur
G
Ha (G,~) . Enfin supposons
soit un groupe de Lie simplement connexe ; si G est un groupe simple réel (resp.
est isomorphe à K2 (CI)+
complexe), alors
(resp. K2 (CI) ). Il est alors
facile de prouver la conjecture de Milnor pour i ~ 2 .
Les résultats les plus inpressionnants ont été obtenus par Suslin dans 4 articles
[40, 41, 42, 43]] et concernent les groupes GL . Le résultat final est que l’homo~
morphisme
i:
H.(BG,M) est un isomorphisme si M est fini, et
H. (BG6,M)
si
G
est
d’abord
ou
morphisme canonique
i ;
n ~
pour
n ~ i
avec
(cas stable). Suslin [41]] démontre
résultat de stabilité : pour tout corps infini
un
de
notons
corps fini
Hi (GL(F)
,S)
est un
0
de coefficients. La
On
ou un
nombre
ramène donc
se
partie difficile
premier p ~ ~ :;
au cas
où
F
est la
est la
groupes
cas
4.2.
Homologie des algèbres de Lie rationnelles
Thurston
a
introduit
G . Une réalisation
F
dont la
dépendent pas
clôture algébrique du corps
ces
nier
est traité par
isomorphisme
analogue pour un
comparaison des groupes
le groupe limite . Notation
Hi (GL (F) , IFl) pour les divers corps algébriquement clos
est
F , l’homo-
dans
ne
Quillen [37 ].
homotopique G
une
simple s’obtient
pour
caractéristique
du corps
et
JFP
l’homomorphisme
de
ce
GS
F .
der-
dans
GS ,
prenant le produit fibré C x
où
est le groupe des chemins continus dans G issus de l’élément neutre. On
peut
C
BG
réaliser
comme
l’espace
total de la fibration
espace classifie les connexions
jauge
associés
truction de
pour
G ,
A
son
au
BG .
champ nul).
G
Tel que
en
intégrables
sur
BG03B4
x
EG
de base
les fibres triviaux
On pourra consulter Suslin
[43]] pour
Cet
(potentiels
une
est construit
revêtement universel ; il
ne
plus haut, il est le même pour G et
dépend donc que de l’algèbre de Lie 6 de
peut écrire BG pour BG.
homotopie près, l’application canonique
et on
dont la fibre est
fibres,
on
montre que
BG
dans
BG
est une fibration
conjecture de Milnor équivaut à la suivante :
forme équivalente est que
l’analogie avec les résultats
toriel
de
BG . Par utilisation de la suite spectrale de Serre
pour les
Une
Kassel et
soit
espace vectoriel sur 03A6 (noter
qui montrent que lI(E) est un espace vecLoday m’ont communiqué la conjecture (ou question) suiun
du n° 3.1.
vante :
Poun
de
autre cons-
entier
i ~ 1 , les groupes Hi(BG,ZZ)
et
isomorphes.
Le groupe
6
Hi (G,03A6)
désigne ici le i-ème groupe d’homologie de i ’aigébre
considérée cornue algèbre de Lie sur 03A6 , opérant par 0 sur 03A6 .
Voici quelques faits à l’appui de cette conjecture.
a) Supposons que le groupe
G
soit
et
est contractile et il en est de même de
BG
ont même
défini
autre
un
BG. Dans
type d’homotopie, d’où
isomorphisme
de
=
cas, les espaces
Mais
H . 1 ( G, ~ ) .
Hi (G,B)
sur
l’espaoe
c.onne.xe. ;
ce
(voir aussi
de Lie
B6
G
et
Haefliger [46]]
Blanc [44]] pour
a
une
méthode).
b) Suslin [43]] démontre que l’on a~~~
où
est
Vi
un
de Quillen à
espace vectoriel sur Q . Or,
une
fibration mentionnée
en
appliquant
plus haut,
on
obtient
"
la construction
une
+
"
fibration
Considérons la suite exacte
d’homotopie associée à (F) lorsque G est le groupe
lim
si i est pair
GL~((E) . On sait (par Bott) que n. (BG) est égal
et à 0 si i est impair. D’après la définition de Quillen, on a
K.(~) . Considérons enfin les groupes d’homotopie de (B~)+ ; il y a
de bonnes raisons de penser que ce sont des espaces vectoriels
d’après un
théorème de Milnor-Moore,
serait alors la partie primitive de
=
=
.
03C0i((BG)+)
Hi((BG)+,03A6) ;
ce
à
En admet ant
Hi (BG,03A6) .
dernier groupe est
la conjecture
est
isomorphe
algèbre
à
donnée
Si l’on remarque que
pair, on
Enfin,
a
plus haut,
m~n
Rassemblant le tout,
est
égal
à ZZ
bien, conjecturalement, identifié
ou
0
Hi (BG,03A6)
on a
la
de C
selon que
le groupe
Vi
considéré
i
est
=
+
"
Hi (G,03A6).
de
partie primitive
HC03A6i-l(CI)
obtient .~a
on
"
vertu de la construction
exposé n° 621),
l’homologie cyclique
Or, d’après Loday-Quillen (voir
Hi(G,03A6)
égal par la
comme
pair
ou
inr
de Suslin.
quelques résultats généraux sur les groupes d’homologie H. (G,0152) .
est
ou
Lorsque 6
égal à ~n
, cette homologie est reliée à l’homologie cyclique d’après le résultat cité de Loday et Quillen. On a évidemment
et
~/[~,~] . En spécialisant des résultats de Kassel et
se compose des nombres algébriques)
Cathelineau, on obtient des isomorphismes
si G
~’~
Le
on a
est
cas
sinple
i
=
et
1
puis longtemps.
déployée sur R ,
(où
non
est
dans le
isomorphe
trivial ; le
cas
i
=
2
cas
était
de
connu
H3 .
de-
4.3. Pour rêver
Pour
...
l’instant,
sait pas définir
on ne
Il semble lié
l’homomorphisme
Ei
de
dans
dilogarithme pour
trirectangles en géométrie sphérique (voir
Schläfli [53]) ; l’équation fonctionnelle du dilogarithme peut d’ailleurs se démon.
i
au
=
1 . Or celui-ci intervient dans
le calcul du volume des tétraèdres
trer
en
utilisant l’addivité du volume
...
TABLE
I
Quelques propositions dl Euclide
1. 34 Les
triangles
ABC
et
BCD
sont
oongruents dans le parallélogramme AOC[) .
I. 35 Les
parallélogrammes ABCD et
sont équivalents (les triangles
BCFE
ABE
et
CDF
sont
oongruents ;
re-
trancher le
triangle DGE, puis
ajouter le triangle BQC aux deux
triangles ABE et CDF ).
I. 37 Les
triangles
(Le triangle
"
et les
"
ABC
DBC
ABC et DOC sont
est moitié du
"
parallélogrammes
"
AEDC
équivalents si la
parallélogramme
"
et
"
FDBC
sont
droite AD est parallèle à BC.
AEBC
par I.34
FDBC
équivalents
par
1.35).
TABLE
Le théorème de
II
Pythagore
TABLE
III
Décomposition. des aires
triangles ADF et
sont congruents,
et aussi les triangles
ADE et BB’E, donc le
triangle ABC est équivalent au rectangle
Les
CC’ F
D’après 1.37, et le
parallélisme de BD’
et B’D , les triangles BD’D et BD’B’
ont même
aussi
aire, donc
ABD
et
AB’D’
(ajouter ABD’ ).
Théorème de Thalès : les rectangles
équivalents si les droites BD’ et
ABCD
B’D
et
sont
AB’C’D’
sont
parallèles.
TABLE
Le tétraèdre
came
P
ABCD
=
IV
décomposé
est
suit :
le tétraèdre
P’
=
le tétraèdre
P"
=
AB’C’D’ ,1
CC’B"D" ,
le prisme BB"IB’C’D’ ,
le prisme C’B"D"ID’D .
P’ est homothétique de P dans
rapport t C’A/CX ;
P" est homothétique de P dans
rapport 1 - t C C/CA .
le
=
le
=
Chacun des
prismes BB"IB’C’D’
est équivalent
grand prisme 03A0 = AEFBCD .
du
tétraèdres
P"
=
Si
P’
CC’B"D"
=
AB’C’D’
sont
égaux
mogène
vol (P’ )
de
et homothé-
de
P
que
de
=
poids
vol
3 ,
Les
et
rapport le2 volume
l’on admet
tiques
et
à -~ o
C’B"D"ID’D
=
ABCD .
est ho-
on a
(P") - 8 vol (P)
d’où facilement
.
N.B. Euclide et Liu Hui continuent la subdivision en
nement
équivalent
à la
2 ,
formule 4 42 + 43 + ... = 3 1 .
+
et utilisent
un
raison-
RAISONNÉE
BIBLIOGRAPHIE
pas les références de
répéterai
Je
ne
A.
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Mathématiques
Centre de
F-91128
288
Pures
PALAISEAU CEDEX