Séminaire L. de Broglie. Théories physiques R. C HENON Parenthèses de Poisson Séminaire L. de Broglie. Théories physiques, tome 25 (1955-1956), exp. no 13, p. 1-9 <http://www.numdam.org/item?id=SLDB_1955-1956__25__A12_0> © Séminaire L. de Broglie. Théories physiques (Secrétariat mathématique, Paris), 1955-1956, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire L. de Broglie. Théories physiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Faculté des Sciences de Paris 21 février Séminaire de THEORIES PHYSIQUES (Séminaire Loui s de BROGLIE) Année Exposé 1956 n° 13 1955/1956 _._._._ PARENTHÈSES DE POISSON, par R. CHENON. Une des méthodes utilisées pour raissent en se débarasser des divergences qui appa- théorie des champs consiste à pratiquer des coupures. principes de la théorie. On peut les interpréter comme l’indication de l’existence d’une longueur élémentaire, ou peut être encore comme la nécessité de quantifier l’espace-temps simultanément avec Celles-ci sont les étrangères aux champs. classique des champs, sous sa forme Lagrangienne, prend un aspect mathématique très clair si on ne distingue pas les variables dépendantes et indépendantes. Le but, modeste, de cet exposé est de montrer cet aspect en définissant les parenthèses de Poisson sans faire jouer de rôle particulier à Or la théorie aucune 1.- variable. Introduction [l] [2] champs à un nombre fini de degré de liberté, c’est-à-dire la mécanique analytique classique, dans le but d’introduire de façon naturelle les formes différentielles extérieures qui seront à la base de Nous étudierons d’abord les exposé. cet équations eulériennes Les sont en général ordre. du 2e troduisant les moments v. 0r, = q..Le problème dans le , au problème cas ol libre: p.~ libre dét = problème du On se -2014 oqj_ (l) ramène à des équations du 1er ordre ou, ce que devient le l d’extremum : ôv.J )B -le nous ferons problème 0 , ce ici, en in- les vitesses lié : problème lié est équivalent 13-02 l’absence de termes par de s calcul s du. en 1 signifie purement algébriques. o que l’on peut obtenir une forme canonique (3) l’expression: On reconnait, en effet dans o allons, d’une façon plus générale envisager Nous a. dXi la forme différentielle de ou degré 1 h et Si, ou forme de d étant balayant on n ot e la forme échange On une surface si on faisant intégration une d’intégration étant fixes initial t canonique: forme extérieure au par on chemin partie : fait une suite final en on aura : infinitésimal doit considérer que dX dX~ peut aussi considérer (produit d . On extérieur degré de surface dX dXj dX change de signe si sous on comme le produit symbolique des 2 dif- anticommutatif) 2 :1 fait passer de ~~~ à ~~ se nomme une dérivation extérieure et peut écrire : définit le produit formule (03C9 = non o L’opération qui note s, dXi dXj . On dXl et dX~ . obtient la forme do se en conduise du chemin généralement l’élément férentielles : on échangeables, 0 qui étant quelconque. problème Pfaff) les extrémités du chemin de variations le (5) , qui est une comme distributif par formule de Stokes s’écrit :1 rapport à l’addition. La problème (4) les équations les opérateurs qui sont définis Exemple. du comme sont données par 10 font passer de 03A9 supprimant dXl à 03C9i ramené nous de Pfaff : noterons 1ère position. Reprenons 2.- Les formes différentielles extérieures Une forme de La en que système multiplication degré ~~ est p C 1 ~ [3] s’écrit associative, distributive par rapport à l’addition mais anticommutative peut considérer ~,~ comme 1’’’élément figurant sous le sig-ne intégrale p-uple dans l’ e space à n dimensions. On montre que t On Opérateurs 1°) dérivation ’ d’une peut aussi écrire : on d dérivation dos = montre que : on antisym Si coefficients) d 0, cu= on est dit que fermée, sym on montre alors que, au moins locale- . menty = d j..- Théorie des champs ~ 4 ~ Considérons le on est amené à considérer le Nous allons d’une lise problème façon plus générale considérer le problème (10) qui généra- (4) : négligerons d’abord conséquences de (.10) . Nous problème (9) qui généralise (3) ? les conditions (8) qui cependant ne sont plus des Un calcul d’où les analogue déjà celui a fait donne équations ?1 équations On obtient les mêmes cn ajoutant à cj une forme fermée. Intégrales premières. Pour F(M) , 1, p = dF = 0 telle que Pour p - 1 ~-1 , dimensions, Si équations ces p est invariant Nous fk fk Nous dirons que 2 correspondantes un vecteur S (localement) f 2 F sont F(V) d’une variété à dimensions, V à p F(V) S . o à définit d 03B4 03C9 = une G , une 6d(.0 0 , une dérivée soit près. équivalentes (F dérivée près (df dg) . sont T.I. = fk. eu. pour que que déterminée à et égales contrevariant, Transformations infinitésimales invariantes : c’est-à-dire si point ici quo des fonctionnelles linéaires : étant df = fonction de s’écrit = formes fonctionnelle subit des déformations dans V formée il faut et suffit et alors une solution des variétés comme lorsque Réciproquement est tenu des une telle que ont (13) compte I.P, une n’envisagerons la condition (IoPJ) cst équations. intégrale première une (T.I) (au appliquant (11) est fermée car en si les second ordre à dcu près) d’où Théorème (Noether) : il y a T.I. et les correspondance biunivoque entre les équivalentes. I.P Parenthè ses de Poisson. Le crochet de 2 T.I est une T.I. nous allons déterminer les I.P. correspondantes : en portant Hn dans définition : Soient considérons La le calcul parenthèse précédent signifie On remarquera que ou encore que les loP les Elles jouent F de Poisson de (F, G) que 2. IcP est équivalentes a équivalentes à 0 est et G ont le rôle de constantes une I.P (théorème 2 autres ont même une parenthèse nulle auxquelles elles se de Poisson). parenthèse, avec toutes réduisent pour p = 1 . e Cependant près la définition mais choisit parmi les ne définit pas la parenthèse à une équivalence Exemple . Si 03B4ix engendrent des un groupe continu fini. Les équations de structure du groupe : Théorème de Jacobio l’identité : entraine . ((f . g), h) . ((ë. h) f) .((h,f),g) ~ (l3)((F , G) H) ((G, H)F) + ((H.F) G ) k 2014 + (pour Interprétation des p = 1 on a une égalité à 0 m d [f g’h 0 au sens strict) parenthèses. o l’identité (11) donne, pour Retour à la théorie des Revenons diti.ons (8) . au champs. problème (9) dans le On montre alors que les cas p = 4 , équations (12) en se tenant compte des réduisent à : con- Exemple. Soit vérifiant (outre les seules I.P. Si d’appliquer (19) lieu au On obtient (Jordan-Pauli) les 1C (’i) une particulièrement loP Le Les lieu de l’é- au f = D(X - Y) alors : des parenthèses qui représente une I.P pour Y fixe. parenthèses de Poisson. viennent d’être définies pour les F(V) ( ) v parenthèses à les étendre à 2 fonctionnelles 1°) Elles se réduisent aux = f . I.P. On G(V) - ~ ~V g définies dans le peut chercher de telle sorte que : cas où F et G I.P sont 2°) L’élément 3°) (F, G) différentiel de vées des coefficients de f et soit une forme bilinéaire ~es déri- g . On ait l’identité de Jacobi. Dans le de la cas est la suivante : Soit donc l’égalité sont donne :1 problème re. on a intéressante pour = ~.. (Y~ ~21) = (17) sert de so on E (21). dans quivalence (k - ~-! ~ L~ = 0 provenant des T.I. Lorentziennes) Inéquation toute 03C6 (X) une fonction (p x 1) non la réponse à I . P. mais à cela problème près arbitrai- ce C la condition d’être en involution avec toutes les autre fonction. La mécanique analytique choisit T Onimpose à avec mécanique classique I.P , 13-09 BIBLIOGRAPHIE [1] - Elie CARTAN : [2] - Handbuch der [3] - Elie CARTAN : Les Leçon Physik, tome les invariants intégraux, Paris, Hermann, 1922. V, Mechanik. systèmes différentiels extérieurs et géométriques, in Actualités scientifique n° [4] - sur T. LEPAGE : Ac. leurs et applications techniques, 994 , Paris, Hermann, 1945. royale 1936. de Belgique, Bull. Cl. des Sciences, t. 22 ,