Parenthèses de Poisson

Séminaire L. de Broglie.
Théories physiques
R. C HENON
Parenthèses de Poisson
Séminaire L. de Broglie. Théories physiques, tome 25 (1955-1956), exp. no 13, p. 1-9
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Faculté des Sciences de Paris
21 février
Séminaire de THEORIES PHYSIQUES
(Séminaire Loui s de BROGLIE)
Année
Exposé
1956
n° 13
1955/1956
_._._._
PARENTHÈSES
DE
POISSON,
par R. CHENON.
Une des méthodes utilisées pour
raissent
en
se
débarasser des divergences qui appa-
théorie des champs consiste à pratiquer des coupures.
principes de la théorie. On peut les interpréter comme l’indication de l’existence d’une longueur élémentaire, ou peut
être encore comme la nécessité de quantifier l’espace-temps simultanément avec
Celles-ci sont
les
étrangères
aux
champs.
classique des champs, sous sa forme Lagrangienne, prend un
aspect mathématique très clair si on ne distingue pas les variables dépendantes
et indépendantes. Le but, modeste, de cet exposé est de montrer cet aspect en
définissant les parenthèses de Poisson sans faire jouer de rôle particulier à
Or la théorie
aucune
1.-
variable.
Introduction [l] [2]
champs à un nombre fini de degré de liberté,
c’est-à-dire la mécanique analytique classique, dans le but d’introduire de
façon naturelle les formes différentielles extérieures qui seront à la base de
Nous étudierons d’abord les
exposé.
cet
équations eulériennes
Les
sont
en
général
ordre.
du 2e
troduisant les moments
v.
0r,
=
q..Le problème
dans le
,
au
problème
cas
ol
libre:
p.~
libre
dét
=
problème
du
On
se
-2014
oqj_
(l)
ramène à des équations du 1er ordre
ou,
ce
que
devient le
l
d’extremum :
ôv.J )B -le
nous
ferons
problème
0 ,
ce
ici,
en
in-
les vitesses
lié :
problème lié
est
équivalent
13-02
l’absence de termes
par de s calcul s
du.
en
1
signifie
purement algébriques.
o
que l’on
peut
obtenir
une
forme
canonique
(3) l’expression:
On reconnait, en effet dans
o
allons, d’une façon plus générale envisager
Nous
a. dXi
la forme différentielle
de
ou
degré 1
h
et
Si,
ou
forme de
d
étant
balayant
on
n ot e
la forme
échange
On
une
surface
si
on
faisant
intégration
une
d’intégration
étant fixes
initial t
canonique:
forme extérieure
au
par
on
chemin
partie :
fait
une
suite
final
en
on aura :
infinitésimal
doit considérer que
dX dX~
peut aussi considérer
(produit
d . On
extérieur
degré
de surface
dX dXj
dX
change de signe si
sous
on
comme
le
produit symbolique
des 2 dif-
anticommutatif)
2 :1
fait passer de
~~~
à
~~
se nomme
une
dérivation extérieure et
peut écrire :
définit le produit
formule
(03C9 =
non
o
L’opération qui
note
s,
dXi dXj . On
dXl et dX~ .
obtient la forme do
se
en
conduise du chemin
généralement l’élément
férentielles :
on
échangeables,
0 qui
étant quelconque.
problème
Pfaff)
les extrémités du chemin
de variations
le
(5) , qui est
une
comme
distributif par
formule de Stokes s’écrit :1
rapport à l’addition.
La
problème (4)
les
équations
les
opérateurs qui
sont définis
Exemple.
du
comme
sont données par 10
font passer
de 03A9
supprimant
dXl
à
03C9i
ramené
nous
de Pfaff :
noterons
1ère position.
Reprenons
2.- Les formes différentielles extérieures
Une forme de
La
en
que
système
multiplication
degré
~~ est
p
C 1 ~ [3]
s’écrit
associative,
distributive par
rapport à l’addition
mais anticommutative
peut considérer ~,~ comme 1’’’élément figurant sous le sig-ne
intégrale p-uple dans l’ e space à n dimensions. On montre que
t
On
Opérateurs
1°) dérivation
’
d’une
peut aussi écrire :
on
d
dérivation dos
=
montre que :
on
antisym
Si
coefficients)
d
0,
cu=
on
est
dit que
fermée,
sym
on
montre alors que,
au
moins locale-
.
menty
=
d
j..- Théorie des
champs ~ 4 ~
Considérons le
on
est amené
à considérer le
Nous allons d’une
lise
problème
façon plus générale considérer
le
problème (10) qui généra-
(4) :
négligerons d’abord
conséquences de (.10) .
Nous
problème (9) qui généralise (3) ?
les conditions
(8) qui cependant
ne
sont
plus
des
Un calcul
d’où les
analogue
déjà
celui
a
fait donne
équations ?1
équations
On obtient les mêmes
cn
ajoutant à
cj une forme
fermée.
Intégrales premières.
Pour
F(M) ,
1,
p =
dF = 0
telle que
Pour
p - 1
~-1 ,
dimensions,
Si
équations
ces
p
est invariant
Nous
fk
fk
Nous dirons que
2
correspondantes
un
vecteur
S
(localement)
f
2
F
sont
F(V)
d’une variété
à
dimensions,
V
à
p
F(V)
S .
o
à
définit
d 03B4 03C9
=
une
G ,
une
6d(.0
0 ,
une
dérivée
soit
près.
équivalentes (F
dérivée près (df dg) .
sont
T.I.
=
fk. eu.
pour que
que
déterminée à
et
égales
contrevariant,
Transformations infinitésimales invariantes :
c’est-à-dire si
point
ici quo des fonctionnelles linéaires :
étant
df
=
fonction de
s’écrit
=
formes
fonctionnelle
subit des déformations dans
V
formée il faut et suffit
et alors
une
solution des variétés
comme
lorsque
Réciproquement
est
tenu des
une
telle que
ont
(13)
compte
I.P,
une
n’envisagerons
la condition
(IoPJ) cst
équations.
intégrale première
une
(T.I)
(au
appliquant (11)
est fermée
car
en
si les
second ordre
à
dcu
près)
d’où
Théorème (Noether) : il y
a
T.I. et les
correspondance biunivoque entre les
équivalentes.
I.P
Parenthè ses de Poisson.
Le crochet de 2 T.I
est une T.I.
nous
allons déterminer les I.P.
correspondantes :
en
portant
Hn
dans
définition :
Soient
considérons
La
le calcul
parenthèse
précédent signifie
On remarquera que
ou encore
que les loP
les
Elles
jouent
F
de Poisson de
(F, G)
que
2. IcP
est
équivalentes a
équivalentes
à
0
est
et G
ont
le rôle de constantes
une
I.P
(théorème
2 autres ont même
une
parenthèse
nulle
auxquelles elles
se
de
Poisson).
parenthèse,
avec
toutes
réduisent pour
p = 1 .
e
Cependant
près
la définition
mais choisit
parmi les
ne
définit pas la
parenthèse
à
une
équivalence
Exemple . Si
03B4ix engendrent
des
un
groupe continu fini. Les
équations
de
structure du groupe :
Théorème de Jacobio
l’identité :
entraine
.
((f . g), h) . ((ë. h) f) .((h,f),g) ~
(l3)((F , G) H) ((G, H)F) + ((H.F) G )
k
2014
+
(pour
Interprétation
des
p
=
1
on a une
égalité
à
0
m
d [f g’h
0
au sens
strict)
parenthèses.
o
l’identité (11) donne, pour
Retour à la théorie des
Revenons
diti.ons
(8) .
au
champs.
problème (9)
dans le
On montre alors que les
cas
p =
4 ,
équations (12)
en
se
tenant compte des
réduisent à :
con-
Exemple.
Soit
vérifiant
(outre
les seules I.P.
Si
d’appliquer (19)
lieu
au
On obtient
(Jordan-Pauli)
les 1C
(’i)
une
particulièrement
loP
Le
Les
lieu de l’é-
au
f
=
D(X - Y)
alors :
des
parenthèses
qui représente
une
I.P
pour Y fixe.
parenthèses
de Poisson.
viennent d’être définies pour les
F(V)
(
)
v
parenthèses
à les étendre à 2 fonctionnelles
1°)
Elles
se
réduisent
aux
=
f .
I.P. On
G(V) - ~ ~V
g
définies dans le
peut chercher
de telle sorte que :
cas
où
F
et
G
I.P
sont
2°) L’élément
3°)
(F, G)
différentiel de
vées des coefficients de
f
et
soit
une
forme bilinéaire ~es
déri-
g .
On ait l’identité de Jacobi.
Dans le
de la
cas
est la suivante : Soit
donc
l’égalité
sont
donne :1
problème
re.
on a
intéressante pour
= ~.. (Y~
~21)
=
(17)
sert de
so
on
E
(21).
dans
quivalence
(k - ~-! ~ L~ = 0
provenant des T.I. Lorentziennes)
Inéquation
toute
03C6 (X)
une
fonction
(p x 1)
non
la
réponse
à
I . P. mais à cela
problème
près arbitrai-
ce
C la condition d’être en involution avec toutes les
autre fonction. La mécanique analytique choisit T
Onimpose à
avec
mécanique classique
I.P ,
13-09
BIBLIOGRAPHIE
[1] -
Elie CARTAN :
[2] -
Handbuch der
[3] -
Elie CARTAN : Les
Leçon
Physik,
tome
les invariants
intégraux, Paris, Hermann, 1922.
V, Mechanik.
systèmes différentiels extérieurs et
géométriques, in Actualités scientifique
n°
[4] -
sur
T. LEPAGE
:
Ac.
leurs
et
applications
techniques,
994 , Paris, Hermann, 1945.
royale
1936.
de
Belgique, Bull. Cl.
des
Sciences,
t.
22 ,