Devoir maison n° 1 A rendre lundi 18 septembre 2006 EULER

Devoir maison n° 1 A rendre lundi 18 septembre 2006
EULER (mathématicien suisse, 1707-1783) ayant démontré qu'il y a une infinité de nombres premiers, de
nombreux mathématiciens, et lui en tête, ont cherché des expressions simples donnant des nombres premiers.
Sans parvenir à une formule générale, ils ont néanmoins découvert des « familles » de nombres premiers.
1° EULER
Nombres de la forme n2 – n + 41
On montre que, pour tous les entiers n allant de 0 à 20, n2 – n + 41 est un nombre premier.
a) Vérifier cette formule pour tous les entiers n de 0 à 20.
b) Montrer que pour n = 41 , le nombre n2 – n + 41 n'est pas premier.
c) Que peut-dire de la conjecture suivante :
"Tous les nombres entiers s'écrivant sous la forme n2 – n + 41, où n est un entier, sont des nombres premiers.
2° NOMBRES DE MERSENNE (savant français, correspondant de Descartes, Pascal, Fermat... 1588-1648)
Nombres de la forme 2n – 1 , où n est un nombre premier
a) Vérifier que cette formule donne des nombres premiers, en prenant pour n les premiers nombres premiers.
b) Quelle est la première valeur de n qui ne donne pas un nombre premier par cette formule ?
c) On ne sait pas prouver que :
• les nombres de Mersenne premiers sont en nombre infini
• les nombres de Mersenne composés, ayant un exposant premier, sont en nombre infini
Mais sait toutefois que :
• si " Mp " est premier, alors " p " l'est aussi.
• si p est composé (c'est à dire non premier) alors Mp est composé
23 021 377 – 1 est le 37e nombre premier de Mersenne connu. en 1998.
220 996 011 =– 1 est le 40ième nombre premier de Mersenne connu en 2003 (Cela a peut-être changé encore.)
Peut-on en déduire un moyen simple de savoir si M532 est premier ?
3° NOMBRES DE FERMAT (mathématicien français 1601-1665) :
nombres de la forme + 1 , où n est un entier naturel
a) Calculer les nombres obtenus avec n entier allant de 0 à 3.
b) En revanche, montrer que la valeur n = 5 donne un nombre qui n'est pas premier
c) Que pensez vous de la conjecture suivante :
Tous les nombres de Fermat sont premiers.
Les petits curieux peuvent consulter : http://membres.lycos.fr/villemingerard/
Remarque . Intérêt des grands nombres premiers
Pour sécuriser la transmission des informations, on crypte les données. Il existe plusieurs techniques de cryptage,
mais actuellement le système de cryptage RSA est très utilisé.
Principe
On crypte les données à l'aide d'un entier n très grand appelé la clef.
Cet entier sert uniquement à coder, on peut donc la diffuser sans danger.
C'est ce qu'on appelle une clef publique. Seul le créateur du nombre n peut décrypter les données.
En effet, avec le système RSA, n est le produit de deux nombres premiers très grands (donc n = a × b).
C'est a et b qui permettent de décrypter les messages. La fiabilité de ce système repose sur la difficulté de
décomposer un entier en produit de facteur premier (un ordinateur peut chercher plusieurs mois pour trouver a et b
connaissant n, car les nombres sont très grands).
La connaissance des grands nombres premiers est alors très convoitée...

1° EULER Nombres de la forme n
2
– n + 41 On montre que, pour tous les entiers n allant de 0 à 20, n
2
– n + 41 est un nombre premier. a)
Vérifier cette formule pour tous les entiers n de 0 à 20.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 151 173 197 223 251 281 313 347 383 421
Avec un tableur on obtient 20 nombres qui sont tous premiers.
Crible d'Erathostène
multiple de 2 multiple de 3 multiple de 5 multiple de 7 multiple de 11 multiple de 13
Nombres
premier multiple de 17 multiple de 19
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42
43
44 45 46
47
48 49 50 51 52
53
54 55 56 57 58 59 60
61
62 63 64 65 66 67 68 69 70
71
72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82
83
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97
98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112
113
114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131
132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151
152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172
173
174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196
197
198 199 200
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
221 222
223
224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256
257
258 259 260
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
281
282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312
313
314 315 316 317 318 319 320
321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340
341 342 343 344 345 346
347
348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380
381 382
383
384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400
401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420
421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 450
b) Montrer que pour n = 41 , le nombre n
2
– n + 41 n'est pas premier.
412 – 41 + 41 = 412 = 41 × 41. Ce nombre est divisible par 41 il n'est donc pas premier.
c) Que peut-dire de la conjecture suivante : "Tous les nombres entiers s'écrivant sous la forme n
2
– n + 41, où n est un entier, sont des nombres
premiers.
Cette conjecture est fausse et 412 est un contre-exemple.
2° NOMBRES DE MERSENNE (savant français, correspondant de Descartes, Pascal, Fermat... 1588-1648) Nombres de la forme 2
n
– 1 , où n
est un nombre premier a) Vérifier que cette formule donne des nombres premiers, en prenant pour n les
2 3 5 7
11
premiers nombres premiers. 3
7 31 127
2047
b) Quelle est la première valeur de n qui ne donne pas un nombre premier par cette formule ?
3, 7, 31 et 127 sont premiers mais 2047 = 23 × 89 il n'est donc pas premier.
La première valeur de n qui ne donne pas un nombre premier par cette formule est 11
c) On ne sait pas prouver que :
• les nombres de Mersenne premiers sont en nombre infini
• les nombres de Mersenne composés, ayant un exposant premier, sont en nombre infini Mais sait toutefois que :
• si " Mp " est premier, alors " p " l'est aussi.
• si p est composé (c'est à dire non premier) alors M
p
est composé
2
3 021 377
– 1 est le 37
e
nombre premier de Mersenne connu. en 1998.
2
20 996 011
=– 1 est le 40
ième
nombre premier de Mersenne connu en 2003 (Cela a peut-être changé encore.)
Peut-on en déduire un moyen simple de savoir si M
532
est premier ?
532 est composé on peut donc en déduire que Mp est aussi composé.
3° NOMBRES DE FERMAT (mathématicien français 1601-1665) : nombres de la forme 22n + 1 , où n est un entier naturel
a) Calculer les nombres obtenus avec n entier allant de 0 à 3.
0 1 2 3 4 5
3 5 17 257 65537 4294967297
3, 5, 17 et 257 sont bien premiers
b) En revanche, montrer que la valeur n = 5 donne un nombre qui n'est pas premier
4294967297 = 641 × 6700417
c) Que pensez vous de la conjecture suivante : Tous les nombres de Fermat sont premiers.
Elle est fausse. 1 – 22
5
n'est pas premier.