Théorie des répliques. Critère de Cartan

Séminaire "Sophus Lie"
M. L AZARD
Théorie des répliques. Critère de Cartan
Séminaire "Sophus Lie", tome 1 (1954-1955), exp. no 6, p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SSL_1954-1955__1__A9_0>
© Séminaire "Sophus Lie"
(Secrétariat mathématique, Paris), 1954-1955, tous droits réservés.
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6-01
Séminaire ."Sophus LIE"
E.N.S.~ 1954/55.
Exposé n° 6
THÉORIE DES RÉPLIQUES. CRITÈRE DE CARTAN
(Exposé de M. LAZARD,
LAZARD, le 14.12.54)
1.- Résultats préliminaires
Notations.
~~espace
les matrices.
caractéristique
corps de
K
sur
0
vectoriel de rang fini
K
sur
dual de ?~
~r, s produit
isomorphes à ~~
paces
g 1(m)
Si
L
est
tensoriel de
surcorps de
un
espaces
X
est le
et de
.
s
es-
endomorphismes de
désigne par mL l’espace vectoriel
de Lie des
K,
on
obtenu par extension du corps des scalaires
morphisme
isomorphes, à
°
l’algèbre
est
r
de
L-endomorphisme
L . Si
X
est
réduit à
X
sur
=
qui
se
un
sur
L
K-endo-
m~mL .
certain nombre de résultats préliminaires sur les endoNous. aurons besoin
morphismes X de ~~ qui sont d’ailleurs classiques. Faisons d’abord la remarque
que le choix d’un endomorphisme X de m définit une structure de K[x]-module
sur
et x une indéterminée).
(P a
par la loi P.ID
==
Proposition 1. Le bicommutant de
A
M
étant
=
étant
morphismes du
aux
groupe
En effet
par
M
Si
f
commute
me
qui commutent à
les éléments de A .
somme
aux
M=~ M.
donc
il existe
p(e_) ==e.. (in)
X .
en
implique
tous
principal A ~ l’ensemble des endoles A-endomorphismes est identique
M.
et
monogènes
ai
M. (l i n)
de sorte que
projecteurs E.
A. e. (A.
f(e.)
=
A-endomorphisme p et un soûl de
p(e ) =0 . Par suite comme f commute à
A-endomorphismes
est un A-endomorphisme
et
f
commute
donc
M
e
de
ai ~ ai+1
de la
aux
un
.
par le suivant :
l’anneau
il commute
conserve les
Les homothéties sont des
donc
résultat est
étant l’idéal
A-endomorphismes,
f
ce
directe de sous-modules
l’annulateur de
.
sition
sur
M
est
générateurs
est forme des polynômes
principal,
module de type fini
un
homothéties
un anneau
X
A) .
.
décompoMais
:tel que
p :
aux homothéties
com-
est l’homoth.étie de
f
Proposition g. Si
X
sur
l).
est
C.Q.F.D.
endomorphisme de m bes conditions suivantes portant
un
sont équivalentes
K[x]-module M
Le
2) . £1
3) .
X
03BB1 e A
rapport
existe
Si
L
e,s£ semi-simple.
polynôme
un
P
sans
fgct£uri’, multiple :i tel
clôture algèbrique de K ,
est ,ia
XL
gue
P (X)
=
0
est réductible à la forme
diagonale.
Si l’une de
e, e
1
conditions est
ces
remplie,
X
est dit semi-simple.
1) @ 2) fl% est somme directe de modules simples [email protected] d’après 1): Soit
ù%, e >
est un idéal (P ) . P. est irréductible
, / 0 . L’annulateur de e.i
1
1
,1
.
sinon
soit
. P. i
Q..R. , Q. i ,e . i
=
dule dont le rang
=
f. i / 0
est annulé par
donc
R.
engendre
’
1
un mo-
degré de Ri donc plus petit que le rang de mi
sur
K . Autrement di-t le module engendré par
est contenu da.ns
et distinct
de (0) et
contrairement à l’hypothèse
est simple. Si l’on prend
des
pour P le produit
P, i distincts, P(X) 0 et P est sans facteur multiest le
sur.K
fi%à, i
=
ple...
2) ** 3) Puisque P est sans facteur multiple, P se décompose da,ns L
produit de facteurs linéaires distincts (car K est de caractéristique 0 donc
P . (x) avec
parf;ait) . P (x) =Ti (x - À . ) , Alors 1
E~
applique
=
valeur propre
B_
Par suite les
E~
scalaire dans
un
3) ~ 1)
-’T~
dans
et s’annule
sont des
Mi
Soit
ple il faut
prouver
X $ Un tel
E
=
le sous-espace
sur
en
des vecteurs propres associes à la
les vecteurs propres associés à
projecteurs deux à deux orthogonaux
Donc XL est diagonalisable.
et
)B.
si j ~
X
se
i .
réduit à
Ei ML.
N
qu’il
un
sous-module de
existe
Pour montrer que
E
un
est défini par les
M.
équations
de
%
sur
est semi-sim-
qui
commute à
suivantes :
’
.
(a)
En , m’ >
=~n ,
(b)
Em , n’ >
=
m~
~
0
m 6.
M n’~ n|~M*
m’~?~
’
X
étant
commutant à
(a) (b) (c)
diagonalisable~~
X
de
sur
est
sem-simple donc il
~ ~ mais ceci signifie que
à coefficients dans
K
ont
une
solution dans
existe
les
L
un
projecteur E’
équations linéaires
elles ont donc
une
C.Q.F.D.
solution dans K .
Proposition 3. On peut écrire
commutant. De plus
Z
Y et
un
polynôme
f
0 . On
va
fabriquer
des
congruences
sans
0
prend g0 =
facteur
i
r >
et Z.
Y
par
tel que
0
pour satisfaire
aux
et
on
Taylor
et il suffira pour
peut résoudre (B)
~~°
Il suffit alors de poser
Z
(Ar-1)
1~
= Y~
g.(X)
~
1=0
est divisible
facteur
a
f(X)
p~r
Y
multiple
et donc
est
on
r-
1
Z~
=
décomposition
autre
.
f (X)
Z’
commutent
et
Y
avec
Y
et
=
entre eux.
premiers
w
.
.
X -
Z ;
comité
go
=
0
"
.
0 .
f(Y)
(2)
et
Soit
X
==0
f
comme
est
semi-sinpie,
[Y’,Z’ ]
avec
sont
trouve alors
donc démontré l’existence d’une telle
une
de satisfaire à la congruence
gn
f’
et
en gn car fn
__
On
sur
entier
s’ ;x--
Z
et
..
En considérant la congruence
sans
un
Y
Supposons trouvés
est satisfaite.
f(P) =
Z
nilpotent,
est annulé
X
par
et
multiple
par récurrence
g.
et
par la formule de
Or
Z
et
_
posons :
or
étant
Y
telle décomposition est unique et
une
Il existe
On
Z
+
polynômes en, X . Tout élément annulé
des
priment par
X = Y
Z . On
a
=
décomposition.
[X,Y’ ]
0 . Alors
=
[X~Z’] =
alors
0
=
Y’
donc
+
Z’
Y’
et
.
’
Y
la condition
+
3)
Z
=
Y’
de la
+
Z’
donc
montre que
Y - Y’
Y
et
=
Z’ -.Z
Y’
semi-simples commutant,
semi-simple. D’autre part Z et Z’ commutent et sont nilpotent.s; et l’on
voit sans
mal que Z - Z’ est nilpotent. Or on voit facilement qu’il n’y a pas d’endomorphisme non nul qui soit semi-simple et nilpotent. Donc Y Y’ Z
Y-Y’
est
=
Be
=P(X) donc, e
Z
X e=0
tel que
e
Z~=0
comme
~=
0
’
,
2.- Théorie des répliQues.
représentation linéaire
dit au l) de l’expose n° 4
a
été
-~
X
La
X
dans
de
comr.e
il
dans
de
X -~ X
représentation
en une
prolonge
se
r,s
.
est appelé
Définition 1 :
annulé par
r,s
a)o Si
Proposition 4.
X"
réplique de
est
est annule
X’
a)
.
réplique de
X’
est répliQue de
et X"
X
X’
répliQue de
une
X .
est
répliQue de
X
est tout à fait clair.
Pour démontrer
b)
n°
(exp. n° 4, 1)
représentation de (~ dans
On
Il vu
4 , 1)
s’identifie à
,
identification étant
(cf exposé
données
o~
(~Xr~s) rt ,s~t
il faut remarquer que
cette
de
s
est
b). Si
’
si tout vecteur de
X
X’
par
X’
une
réplique de
une
compatible
représentations
les
avec
C.Q.F.D.
=~ 1(7~) ~
s’identifie à
que
9(X).f
étant donnée par
la
=:Xof-foX.
Autrement dit
X’ .
f
0 . et
finalement X’
nôme
terne constant. En effet deux
sans
tant
X
non
P(X) ,
n’annule
nul
qu’on peut
Mais alors dans
étant
P
aucun
P(X)
f. X’
commute à
X’
=
,
alors si.f
(prop.l)
l)
,
réplique
une
=
~
=[X,f]
f
i
,
~,
,
Il y
on
sont
cas
vecteur de
supposer
est
Alors
choisir
plus s on peut
à distinguer.
a
polynôme
son
minimal
Q(x).
Q
le terme constant par
un
égal à 1.
peut remplacer
== 0 donc
’
X..
f
dans le bicommutant de X
Par suite
1
=
a un
sans
ce
donc
poly
terme
cons-
terme constante
polynôme
sans
terme
’
constant
2)
X
X .
en
..
annule
~0 . Alors
donc P(0) =0
vecteur
e
Xe=0
De
est
plus
est
comme
évidente: si
X’
annule par
X
Proposition
5-Pour
tout couple
(r~s)
r~s
est
un
réplique
polynôme
est annulé par
que
X’
X’
soit
X’t
~~s
X
de
or
puisque
La réciproque
X’constant
r~s Pr~s (XXr~s ) ~ tout
vecteur
=
r~s
sans
0
’
terne
.
en
r~s
’
.
Donc :.
réplique de X~
s’exprime
P(X)e=
S.’e=0 i.e
comme un
il faut et il suffit
que pour
polynôme sans terme constant
en
On
démontrer quelques
va encore
propriétés
répliques;
des
assez
élémentaires’
mais essentielles par la suite.
Proposition 6.
de
nilpotent
et
S~
X , Yr,s ,
semi-simples
.
Y
(appliquer
est
et
Z
,
Corollaire :
sont respectivement les composantes
Z
décomposition
de la
sont respectivement les composantes semi-simple et
r,s
En effet
nilpotent,
Z
et
X
de
nilpotentes
Y
’
r,s
=
de
.En effet
==
de la
X
0 . Enfin
=
Z
Y
est
l’unicité
Z
+
r,s
permet de conclure :
sont des répliques de
Z
Y et
X .
étant les composantes semi-simple: et nilpotente
annulent tout vecteur annulé par X
(prop.3)
et
X
respectivement de
]
3)
le
r,s
r,s
Enfin étudions l’effet d’une extension du corps do base.
Si X’
Proposition 7 :
Réciproquement
toute
ficients dans
L
D’après
.
X’
donc
est
la forme
Si
un
une
de répliques de
réplique
répliQue de XL .
est combinaison linéaire à coef-
X
XL . Réciproquement
L
X . tout
ML
de
est de
indépendants.
il est donc annulé
.
réplique
(Y.)..
i r, s
L-endomorphisme
linéairement
est annulé. par
Mr,s
donc si Y . est
de
est annulé par les
une
r,s )L)::: p«(XL) L r,s )
tout
de
vecteur
est
donc
L
de
X’L
X ,
proposition 5 X’=P(X )
(Y.)
X
de
X .
=03A303C9i YLi ~y1(M),03C9i~
Y
par les
par
la
réplique
répliQue (dans
est
vecteur de
séparément
M
annulé
r,s
C.Q.F.D.
3- Le critère de nilpotence.
Théorème 1.
Pour que
X
pour toute réplique .X’
Si
X
est
Y’
ailleurs
-
Soit
Y
=
0
X’
commute à
X
XX’
est
nilpotent
et
~
soit
X
commute à
Tr(Y’X)
Tr(XX’)
que
’
comme
=
donc si Y’
Mais alors
il faut et il suffit
..
’
X
nilpotent,
’de X.
nilpotent ,
Tr(XX’)=0 .
Réciproquement
de
soit
=0
Z
on a
semi-sinple
Y
Z
décomposition de X. Y est une réplique
est une réplique de Y , elle est une réplique de X.
donc Y’Z est nilpotent et Tr(Y’Z)
0 . Comme par
=0
et
on est ramené à prouver ceci :
Tr(YY’)
+
la
=
.
tel que
Tr(YY~)=
0
pour toute
réplique
Y’
de
Y.
Alors
Y
=
0
proposition 7
En vertu de la
ment clos. Soit
au
~
de
base
une
peut
on
bicommutant de
S) e*js=f..( {e*i}
multiplié l’élément écrit
03BB
par
+
est
K
algébrique-
Y
e.
=
B. e..
de { "! )
... 03BB
~1
où
au cas
Y’ appartenant
est diagonale par rapport à la base
et
base de M* duale
e.
telle que
Y
~ e*j1 ...
e.
e.
liniter
se
- 03BBi ... -03BBi
~s
~1
~-r
Les éléments annulés par
que 03A3
)B.
A
~K
- 03A303BBi
tels
Y
sont donc combinaisons linéaires des
r,s
0 . Si toute relation linéaire à coefficients entiers entre les
==
~m
lieu entre les
a
que de
f..
Y’
alors
u.
annulent tous
ces
éléments et
Y’
est
répli-
Y .
=0 et Y ~ 0 . Les
Supposons alors
B engendrent sur le sous corps
premier Q de K un espace vectoriel P ~ (0) . Q est le corps des rationnels
puisque K est de caractéristique 0 . Si h ~ 0 est une application Q-linéaire
de P dans Q , et si lA.
h(A.) toute relation entre les B. a lieu entre les
h étant Q-linéi et Y’ est réplique de Y . Donc
=
h(03BBi)
aire et
des
~ Q
rationnels
h(B.)
=0
h
et
=
0
on
une
0=Tr(YY’)=03A303BBi h(03BBi) .
= 03A3 h(B.)S =i0 , mais
a 03A3 hde(03B i (h(03B i)
on
carrés
soi~e
contrairement à
non
qu’on
ce
4.- Algèbres de Lie algébriques.
Définition 2 : une sous-algèbre de Lie
entraine
oue toute
Exemples :
C~L est
une
algèbre algébrique c~t
g étant
tout idéal dans
le centre de
C~.si
~
X’ de
ne
peut être nulle.
supposé.
a
X
C.Q.F.D.
est dite
g~ g1(M)
est dans
Par suite
algébrique
si
CM .
est algébrique.
C~.l(~)
l’intersection de toutes les
Proposition 8.
1)
2)
3)
4)
répliQue
nuls
est dans le corps
(j~est
.on se sert pour
Lemme : Soient
ont
un
(~
l’enveloppe
reste un idéal dans
algébrique de Ot
c~est
même
idéal
algèbres de Lie algébriques contenant
qu’on appelle l’enveloppe algébrique de c~~
C~
contenu dans le centre de
algèbre
dérivée
de
.
-
c~t
".
démontrer cette proposition du lemme :
P
et Q deux
tels que adX.P ~
sous-espaces
Q
est une
de
Q
c
algèbre algébrique.
P . L’ensemble dos
m1.1
cjl($3à)
dr
&n effet
adX
£f
X1,1 .
=
,
X’1,1t ~p ~adX’Q
est
un
polynôme
proposition 8
se
démontre alors
=
la
Corollaire :
est
01
un
Alors si
X’
est
une
réplique
terme constant
sans
sans
en
mal
idéal de g et g/g
abélien.
est
Si A est une algèbre (non nécessairement associative)
finie
ses
Une
dérivations forment
multiplication
"
A
dans
est
.
chons
une
de dimension
algèbre de Lie algébrique.
élément IJu
L(A~A ,
de
A) ~ A1,2
1!2 .
Cher-
X1 Z, ~
autrement dit
soit
est
une
dérivation
de
une
.
iL
donc ’ à
équivaut
X’1.2
9z~
4
=
ï)
=
X’
donc
X
= 0 .
ls2
est
dérivation de A .
une
C.R.F.D.
Proposition 10.
Soit
C
est nilpotent Et il
Cn
en
(m) . H
g~g1
X ~
H
. même
est de
X
Q
adX
adX . Donc si
Proposition 9.
sur
de
,
est
désigne
un
l’ ensemble
facilement l’identité Tr([X,Y]Z) = Tr(X[Y,Z
g
tels
Tout élément de
idéal de
de tout élément de
N ~
des
X
si g
.est
ue
[fl ;
g]
algébrique.
]) (utiliser
o. et
suite
Z C. X Tr([X,Y]Z)
Tr(BA)) . Donc si X ~ g Y~g
e s t un idéa.l de
C ;~ , ~°~
~) - a
.
:
=
Si
de
N
algébrique
(théorème 1)
est
01
donc
Dans le
général
cas
N
on a
est
0
0
N’
réplique
pour toute
nilpotent.
Y ~. , Alors
donc
est
et
nilpotent puisque
répliques
ses
C~ .
Théorème 2 : Si la forme bilinéaire
est
=
soit
Tr(N[X,Y]) =
sont dans
et
Tr (xY) est identiquement
nulle
sur
résoluble.
En effet tout X
Engel
est
est
nilpotent
et
nilpotent d’aprés la prop.10.
g est
Donc
d’après
résoluble.
5.- Algèbres semi-simples. Critère de Cartan.
Définition 3 : Une algèbre de Lie est dite semi-simple si elle ne possède pas d’idês.l
de Lie est dite simple si
résoluble. Une algèbre
est de dimension > 1 et qu’elle
n’a
d’idéal
’pas
trivial.
non
Il résulte de cette définition que toute
Théorème 3 : (Cartan) : 1)
est semi-simple et
est
’
dégénérée
Les
01
bilinéaire
une
2) Si la
est semi-simple.
forme
=
~ de
~, d’après la proposition 10. On
(théorème 2) fJ (~) est résoluble et
Donc
est
puisque g
Réciproquement
simple.
Soit Oi
c.
non
0
=
~~~.
=
est résoluble
un
Oj,.
l=a(n-1)estun
Killing non dégénérée et
idéal résoluble non nul, n la longueur
abélien non nuldeg. Si x,y ~ g
adb . adx . adb
d’où
0
=
=
0
0
et
Tr(adx adb)
un
idéal
donc
est
non
g
fidèle.
dégénérée.
non
de
b
donc
non
0
es t
supposons la forme de
fidèle
est
forment
puisque ~’
Tr(x)03B8 (y))
et
semi-simple.
Tr(adx ady)
pour tout
a
0
est
03B8 unereprésentation
dégénérée.
de Killing B(x,y)
tels que
n E:.
algèbre simple
alors
~ Lon
a
par suite
= 0
ce qui est
’
absurde.
On
va
procéder
Proposition 11.
maintenant à l’étude des idéaux d’une
Soient
l deux
g semi-simple t a,
algèbre semi-simple.
idéaux de fl . Les
asser-
tions suivantes sont équivalentes :
1)
a.L = (0)
2) [a,b] = (0)
3)
a et
L sont
orthogonaux
pour la
6-09
forme de
Killing.
2) ~3)
a
si
[b~x]~~
~o
ad a o ad b = 0 B(a,b) = 0
donc
3) ~ 1) .
identiquement nulle sur l’i’dôal
résoluble diaprés le théorème 2. Comme
o~ est ser’d.-simple il s’ensuit
En effet la forme de
donc
qui est
Il résulte de cette
proposition
l’orthogonal do a
seul à savoir
Théorème 4 :
algèbre
uno
et
réciproguement. Tout idéal h
gi
la
décomposition de
Tout idéal
g
ayant
de Lie
possède
que la
supplémentaire,
un
minimal h
et
est
on
L’unicité de la
minimaux
de g
Corollaire 1 :
g
Corollaire
3 :
c~ =- jt+ ~
sonne
directe
directe
d’a,lgèbres simples
des
de certains
sonne
Of.
n.
0’)
comme g
pas
au
fait que la
orthogonal à l’un
sont minimaux
résulte de
suffit donc
Il
ce
de
puismon-
peut être orthogonal à tous
contrairement
et
déterminés.
ne
g
ne
que les
des
forme
y’ ,
de
soit
h = g1 .
g
sont les idéaux
C.Q.F.D.
g =[g,g]
tout
idéal 1
de
tout idéal
[
et
directe d’idéaux minimaux.
directe d’idéaux minimaux de
e:st l’un desgi .Or
décomposition
donc bien
est
complétement réductible.
[gi,gj]= (0) gi,gi]=gi
Corollaire 2 :
est
somme
soigne
Donc g n’est
(0)
non, dégénérée.
a h g1 ~
est
orthogonal à
serait
Killing
Oi
et
Killing.
il n’est pas abélien donc de dimension > 1 et
est
les
car.
car
un
,trer qu’un idéal
g1
semi-simple
idéal de ’1’ h
ï)
représentation adjointe
Soit
pour la forme de
supplémentaire
un
est unique.
simple
sous-idéaux.
pas de
que tout idéal ~ admet
est
Un idéal mininal est
car
est
Killing
OC~~= (0) .
que
un
[~~]= (0)
et
~ ~] ==
g
est
preste
(0) .
Si
donc
[g,g] = g
semi-simple
un
idéal dans
[~~] ~ - ~
~.~
alors
[~~}c o~ .