Groupes p-divisibles

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN -P IERRE S ERRE
Groupes p-divisibles
Séminaire N. Bourbaki, 1966-1968, exp. no 318, p. 73-86
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1966-1968__10__73_0>
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Séminaire BOURBAKI
19e année, 1966/67, n° 318
1966
Novembre
GROUPES
(d’après
p-DIVISIBLES
TATE)
J.
par Jean-Pierre SERRE
On sait que de nombreuses
zêta)
celles liées à leur fonction
d’ordre fini de la
local, l’étude
mel (au
de
variété,
ce
l’on étudie les courbes
Toutefois,
une
Le but de cet
groupes.
0
collaboration.
§
un
R
ce
entier ~
00
le
module galoisien.
en
a
cas
utilisant le groupe for-
abélienne ;
[7],
c’est
ou~que
réduction de hauteur 2
intérêt à remplacer les groupes
groupe
d’indiquer les principaux résultats
en
Dans le
théorème de Lutz-Nagell
une
points
groupe des
p-divisible.
connus sur ces
très grande partie dus à Tate - parfois
exposés
dans
en
plusieurs séminaires : Woods Hole
[10], Driebergen
groupe
p-divisibleo
qui suit,
un anneau
sur
notion, plus souple, celle de
Ils ont été
10 La notion de
Soit
est
de France
Dans tout
h
nouvelle
exposé
"lire"
attaché à la variété
elliptiques ayant
Ces résultats sont
[4], Collège
Lazard)
s’est aperçu récemment qu’il y
on
formels par
comme
que l’on démontre le
ainsi, par exemple,
se
groupe s’est d’a bord faite
de Dieudonné et
sens
peuvent
considéré
(par exemple
des variétés abéliennes
propriétés
p
désigne
commutatif
Un groupe
(ou
un
un
nombre premier.
schéma,
si l’on
p-divisible de hauteur
tème
73
h
préfère)
sur
R
et soit
est
un
sys-
~-P. SERRE
vérifiant les conditions suivantes :
(a) Gn
est
un
schéma
en
~1~
groupes commutatif
localement
R,
sur
p.
libre de rang
n
(b) in :Gn ~ Gn+1
( c ) La suite
est un
homomorphisme
de schémas
en
groupes.
est exacte.
Si
fie que
désigne l’algèbre
An
An
est muni d’une structure de
(bicommutativité
projectif de
dans les
An
est
rang
( c) ,
au noyau
fermée,
comme
dans
p :.
~’
Q
p /ZP
G,m
qui est le
R-module
un
cas
essentiel
simplement à dire
que
en
comme
s’ identif ie ,
n
particulier,
in
la "réunion" des
est
au
moyen de
immersion
une
Gn (exactement
est réunion des groupes
sont des
n,m
est
p~.
Gn+1 ~
G
signi-
certaines conditions
An
cette dernière condition revient
peut considérer
le groupe
et que
(ce
est local
elle signifie simplement que
de
et l’on
Remarque. Si
G u+m
R
Lorsque
R-module libre de rang
Quant à
in ,
p~.
(a)
la condition
Gn ,
bigèbre vérifiant
biassociativité, notamment),
et
applications),
un
affine associée à
entiers
la
0,
et l’on démontre que l’on
multiplication par
a une
suite
pn
exacte ’ (au
applique
sens
de
( 1 ~ , exposé
0 ~
Exemples de
1/
groupes
T
~
~Gn+m
Gm
0 .
~
p-divisibles.
Groupes étales.
Supposons
Soit
Gn
que
Spec(R)
un Bp-module
soit connexe, et soit
libre de rang
h
sur
lequel
n
n
son
groupe fondamental.
opère continûment ;
GROUPES p-DIVISIBLES
déduit,
étales
T/p T
forment
un
système
procédé standard,
un
système
T =
les groupes
un
par
R ;g
sur
ce
est
système
un
( n, ~), où les n
p-divisible de
groupe
On
n-modules,
inductif de
en
sont
In-
h.
hauteur
p-divisible étale de hauteur h s’obtient ainsi, de
versement, tout groupe
façon essentiellement unique.
Ceci
s’applique
R
notamment lorsque
est
un
le groupe
corps,
D’où
simplement le groupe de Galois de la clôture algébrique de R.
é~tant
rr
une
de
équivalence "groupes p-divisibles étales" ~ "représentations p-adiques
De plus, lorsque
p-divisible
R
2/ Groupes définis
Soit
de
An
A
p :
un
R
Tp(A),
sens
on
et
corps de
un
comme
d°un groupe
Soit
=
de
peut
par p
(G~ ,
Cartier) G’
Les
un
système
G’ =
avec
Le noyau
r.
h
2r.
=
Le
p-divisible de hauteur h.
caractéristique /
A(p)
le groupe
p,
est
à la donnée du "module de Tate"
p-divisible.
un
de
groupe
G
p-divisible de hauteur h.
est défini par la
représentant
homomorphismes
(Gn , in)
est
un
bigèbre
G ;
& ),
induits par la
p-divisible
dual (au
duale de celle de
le foncteur
Gn+1 ~ Gn
groupe
Le
in
cf.
multiplication
.
de hauteur
G’ n+1 ...
°
h,
appelé
Ga
Le dual d’un groupe étale est
[1],
groupe
~
définissent par transposition des homomorphismes
le dual de
de
de dimension relative
1/ ci-dessus)
aussi le définir comme
VIII.
R,
module galoisien.
3/ Dual
G
sur
est
An
équivaut (d’après
C1], exposé
Le
est
considéré
tout groupe
p,
abéliens~.
est localement libre de rang
formé des
Lorsque
étale,
par des schémas
schéma, abélien
A -A
A(p)
système
de
est étale.
R
sur
caractéristique différente
est de
n ’ô
un
groupe de type
multiplicatif,
au sens
J-P. SERRE
4/
Grou es
et groupes formels.
p-divisibles
Supposons,
simplifier,
pour
R
que
soit
complet, de caractéristique résiduelle
p.
tatif de dimension
de
associée à
d
au sens
dans
soit
p
de. A
libre de rang
de
pn :
A-module
rn
est
r .... r
un
comme un
rn).
schéma,
une
De
plus,
on
d
dimension
Si
G.
sion de
de
G°
outre que la
ph
degré
(i.e.
fasse
h
Le
système r(p)
R ;
sur
sa
r
des
connaissance
équi-
projective des algèbres des
connexes
un
p
est
comme
est le dual de
isogénie.
une
p-divisible
G°,
groupe connexe
(considéré
G’
R.
sur
est limite
montre que tout groupe
sion d’un groupe étale par
en
peut alors définir le noyau
On
groupes
groupes formels commutatifs où
-
Dieudonné-Lazard ; l’algèbre A
de hauteur
A
formel commu-
groupe
équivalence de catégories entre :
p-divisibles
groupes
un
iso nie de
une
ph).
en
(en effet,
r
On obtient ainsi
-
r
p-divisible
groupe
vaut à celle de
r
Supposons
multiplication par
un
anneau local noethérien
Soit
isomorphe à
est
r
R,
sur
un
d’
et si
=
R
sur
est exten-
composante neutre.
formel)
groupe
G,
sa
G
est
appelée
dim(G’),
La
la dimen-
on a :
h = d + d’ .
Cela résulte des
donné,
propriétés
cf. par exemple Manin
Cas particulier.
attaché à
réduction
c’est
un
Ë
de
E
Soit
(i.e.
"bonne réduction"
E(p)
des
E
E
a
une
opérateurs
[8],
ou
[1], exposé
un
groupe formel de hauteur 2.
schéma,
1,
d =
pour invariants
est de hauteur
et
F
de la théorie de Dieu-
VII.
elliptique définie
courbe
définissant
V
abélien).
d’ = 1
sur
Si
É
ayant
et
h = 2.
est de hauteur
une
p-divisible
Le groupe
(cf.[9], § 2), E(p)
2
et
R,
Si la
est connexe ;
1,
E(p)
est
une
GROUPES p-D/VISIBLES
extension d’un groupe formel de hauteur 1
pe étale de hauteur 1
E,
§
§
cf.
o
cie à tout groupe
sur
points d’ordre
une
un
par
grou-
de
puissance
est le "relèvement
E
triviale,
p
cano-
0
fondamental. (Tate [13]).
On s’intéresse
caractéristique zéro.
de
K
multiplicatif)
intègre, intégralement clos, noethérien,
R
On suppose
type
5
2. Le premier théorème
fractions
aux
cette extension est
lorsque
nique" de
correspondant
(de
G
p-divisible
R
sur
le groupe
au
et de corps des
foncteur
correspondant
qui
asso-
GK = G XR K
K.
THÉORÈME
est
1. Sous les hypothèses ci-dessus , le foncteur
pleinement fidèle.
étale,
équivaut
donc
THÉORÈME
1’ . Si
0
G
caractéristique zéro,
galoisien
à la donnée d’un module
Le théorème 1
G.
le de Tate de
est de
K
Noter que, puisque
et
peut
donc
TpG,
appelé
est
le modu-
reformuler ainsi :
se
sont deux groupes
G
GK
le groupe
p-divisibles
sur
R,
l’homomorphisme canonique
e s_t , un isomorphisme.
COROLLAIRE 1.
G1 ~ G2 définit
°
C ’,e,st
un
sur TpG2;
isomorphismeo
COROLLAIRE 2 . Si
galoisien
T G
P
G
est
un groupe
quelles
p-divisible,
ptovient d’un endomorphisme de
-
-
-
--
-
tout endomorphisme du
module
G.
.
Pour la démonstration de
ment
TpG1
un isomorphisme de
ces
sont les différentes
résultats ,
étapes:
voir Tate
[1 §] .
Indiquons simple-
J-P.
(i)
On
se
complet,
de
caractéristique résiduelle
ramène
où
au cas
R
SERRE
est
un anneau
p,
de valuation discrète
et de corps résiduel
algébrique-
ment clos.
(ii)
Si
d
et
désignent
d’
montre que le module galoisien
on
cela les
propriétés
(iii)
est
Gn
G
par
En combinant
(ii)
et
(iii),
et
au § 4 ci-après (cor,
l’algèbre
on
établit le
On utilise pour
au
théorème
associée
n
au
2).
groupe
1.
cor.
On déduit le théorème l’ du corollaire 1 par
(cf. § 1, 4/),
G’
(d, d’).
p dnp .
,
(iv)
données
TPG
détermine
TpG
On montre que le discriminant de
engendré
(v)
de
les dimensions de
une
construction de
"graphe" convenable.
Remarques.
1)
On
caractéristique
2)
si le théorème 1 reste vrai
ignore
On aimerait
du § 4
théorème
§
un
corps de
p.
pouvoir compléter le théorème l’
modules galoisiens qui sont de la forme
sultats
lorsque K est
donnent
en
tout
cas
TG,
avec
en
disant
G
p-divisible.
quels sont les
(cf.
des conditions nécessaires
Les ré-
cor. au
3).
3. Quelques propriétés de la complétion de la clôture algébrique d’un
corps
local. (Tate
Soit
de
R
[13],
un anneau
caractéristique
algébrique
de
valuation de
se
(non-publié).)
de valuation discrète
complet,
n
de corps résiduel
k
K.
Soit
K
le groupe de Galois de
K/K.
On sait que la
p , et de corps des fractions
et soit
K,
K
Sen
prolonge de manière unique
en une
valuation
une
(à
clôture
valeurs
GROUPES p-DIVISIBLES
Q)
dans
dante.
du
p-divisibles
opère
n
n-module
par
continuité
Tate s’est aperçu que les
C.
sur
sont intimement liées à celles des groupes
C
(cf. § 4,
R
sur
g pour la topologie correspon-
le complété de
C
soit
Le groupe
propriétés
lier
K ;3
de
[13]).
ainsi que
aux
résultats suivants :
(i)
Le corps des invariants de
a
été amené
est réduit à
C
dans
n
Il
en
particu-
K.
Cela résulte de :
(ii)
Il existe
un
entier
Pour toute extension galoisienne finie
L/K,
le groupe
par
A~
Tate démontre
intermédiaire
(iii) Le
le
H
"montant" de
K
d’anneau de valuation
à
K
moyen d’une extension
au
isomorphe à
AL ,
(cf. [13]).
Z~
P
résultats, signalons :
K-espace
la différence entre
Soit
en
est annulé
à groupe de Galois
K’
Comme autres
(ii)
de la propriété suivante :
jouissant
C
et
K
!)
le module de Tate du groupe
produit tensoriel de
C
(Noter
est de dimension 1.
vectoriel
avec
la
multiplicatif
G ,
C(n)
et soit
puissance tensorielle n-ème de
H.
Alors :
(iv) Si n ~ 0,
on a
Remarque. Shankar SEN
dre
n(K) égal
§
La décomposition
4.
a
à 1 si
de
=
récemment amélioré
p ~
2
T
et
Ro
On considère
n(K)
= 2
C(n))
(ü~,
si
en
p
=
=
0.
montrant
qu’on peut
pren-
2.
C. (Tate [13].)
On conserve les notations et
maximal de
H1 (n,
un
hypothèses du § 3,
groupe
et l’on note
p-divisible G
de hauteur
l’idéal
m
h
sur
J-P.
R ;
a/
on
G’
note
N
est
G(R)
sons
tG
au
Le module
Il
le noyau de
pn
sion finie
dans
assez
on
Si
en
la définition habituelle des
Dans le
composante neutre G°
G(R) ~ ~p -~
de
cas
général,
G,
le logarithme
si
tG ’R K .
2
comme
le
n-module correspondant
peut également définir directement
G(R’),
où
R’
G
et
T (G ),
on
on
obtient
C.
un
p
comme
p
Utilisant la définition de la
qu’il met
ces
xR
RC , m) .
un
accouplement
H ,
deux modules
en
est le groupe des éléments inversibles de
déduit aussi
G
T
isomorphisme
déduit d’abord de là
montre facilement
IL.
groupe
G’.
l’anneau de valuation de
RC
au
est l’anneau de valuation d’une exten-
TG’xTG -.
dont
Lorsque
grande de K.
dualité de Cartier,
H =
On
K.
XR
Relations entre
Soit
au §
été défini
a
G
Si
N -~ co .
TG.
p-divisible
c/
et définispour
avec
à
G
de
isomorphisme
un
L :"
b/
points
=
moyen de coordonnées.
à la
désigne l’espace tangent
donne
le groupe des
pro jective des
est connexe, cette définition coïncide
points d’un groupe formel,
R.
G(R/mNR)
par la formule
la limite
comme
à valeurs dans
G
entier ~ 1, définissons
un
R/mNR
valeurs dans
G
dual.
son
Le groupe des points de
Si
SERRE
un
homomorphisme.
dualité.
Re
congrus
à 1,
on
GROUPES p-DIVISIBLES
par restriction à
d’où,
G(R),
G( R)
Par passage
logarithme,
au
homomorphisme
un
-~
définit
a
une
application K-linéaire
da :
THÉORÈME 2, Les applications
La démonstration utilise
tés de
au §
énoncées
C
COROLLAIRE 0
Le
3
sont des isomorphismes.
da
et
a
l’égalité
h
=
d
d’,
+
proprié-
ainsi que les
(cf. ~13~).
module galoisien
TpG
et
d
détermine les invariants
d’
G.
de
En
est
effet,
égal ~à
la dimension du
d/ La décomposition
THÉORÈME
détermine
la
3. Le
rg.tG
C).
K-espace vectoriel Homtr (TPG’,
C.
de Hodge de
C
n-module
d =
vectoriel 2 montre que
K-espace
est canoniquement isomorphe à la
somme
directe
C(1 )
(On
note
Plus
C(1)
le
produit tensoriel
applications :
0 -~
C ( 1 ) -~
en
démontre,
utilisant la
unique.
de
C
et de
par
un
calcul de
propriété (iv)
§ 3.)
H, cf.
précisément, l’homomorphisme da, appliqué
de définir des
Tate
C) .
0
à
G
C) dimensions,
du
§ 3,
et
0 .
que cette suite est
il montre
qu’elle
se
G’, permet
exacte, puis,
scinde de
façon
J-P.
COROLLAIRE.
Le n-module
phes à C(1) et
d’
de
Remarque. Soit X
un
p-divisible associé à
comme
sion
le
premier
près),
de
somme
directe de
sur
la variété d’Albanese de
X,
d’homologie p-adique
groupe
3 apparaît
comme un
modules isomor-
d
C.
isomorphes à
schéma projectif et lisse
et le théorème
décomposition
est
TG0C
modules
SERRE
le groupe
peut interpréter
On
(étale)
G
et soit
R,
X
de
XR
analogue p-adique
TPG
(à
C
tor-
de la
Hodge
= H1 ’ o (X ) ~
On
-
peut
(elles
~ 2
jouant le rôle du
C
le corps
demander s’il existe des
se
ne
peuvent
en
il faut trouver autre
abélienne ayant
§ 5.
une
tout
chose)o
0
pas
Même
décompositions analogues
en
correspondre à des groupes
en
dimension
mauvaise réduction n’est pas
R
un anneau
le
1,
cas
dimension
p-divisibles
d’une variété
réglé.
artinien local de corps résiduel de
variété abélienne définie
p.
Soit
pe
p-divisible correspondant.
abélien
Ao
A
une
sur
R
muni d’un
définition analogue pour
THÉORÈME 4.
Plus
C(p)
lienne sur
Un
catégorie
k
et
G
des
de
caractéristique
et soit
A
R
sur
de la réduction
A
Ao(p)
le grou-
est
un
schéma
A
XR
k
=
sur
A (p).
Ao(p)
se
cettecorrespondance
est
correctement, soit Q
la
k,
sur
relèvement
isomorphisme
Les relèvements de
vement (à isomorphisme pres);
et
cas
complexes.
Relèvement des variétés abélienneso
Soit
A ;
corps des nombres
A
la
couples
un relèvement
et
de
correspondent bijectifonctorielle.
catégorie
des schémas abéliens
(A G)
de
Ao(p)
où
est
A
sur
R.
une
sur
R ,
variété abé-
Le théorème 4
GROUPES p-DIVISIBLES
que le foncteur
signifie
A H
(A xR k, A(p))
La démonstration du théorème
~4~o
Hole
[2],
combinée
COROLLAIREo Soient
A
rien comulet, de
et
B
en
f : A ~
Ao(p)
résiduel
leurs réductions.
k
Bo(p)
général
en
technique de relèvement de
Pour qu’un
par Tate.
sur un anneau
de caractéristiQue
homomorphisme
se relève en
un
p,
local noethé-
et soient
f :
homomorphisme de
Lorsque l’anneau est artinien, c’est
cas
la
se
Ao
relève
il faut et il suffit que l’homomorphisme correspondant de
B,
dans
sur
deux schémas abéliens
B
o
cohomologie fabriquée
avec une
et
une
4 est esquissée dans les notes de Woods
Elle repose essentiellement
Grothendieck
est
résulte,
par passage à la
A(p) dans B(p) o
particulier du théorème.
un cas
limite,
utilisant
en
Le
(2~0
Remarque.
Le théorème 4
même pour
Cela
à dire que la variété formelle des modules est la
variété abéli.enne et pour le groupe
une
explique 1°intérêt qui s’attache à
p-divisibles,
groupes
[6],
équivaut
pour le
cas
et
en
p-divisible correspondanto
la détermination des modules de
particulier des modules de groupes formels
(cfo
1)p
de la dimension
Un exemple : le relèvement canonique.
Supposons
dimension
de rang
r~
r,
k
parfait,
telle que le groupe de
(Pour
une
riant de Basse est
somme
non
courbe
nulo)
.,
E
et
M
Chacun de
Ao
une
variété abélienne de
points d’ordre divisant
ses
elliptique,
c°est le
cas
"g~énéral",
On montre alors facilement que
directe d’un groupe étale
type multiplicatif.
soient
et prenons pour
Eo
ces
de hauteur
groupes
se
les groupes correspondantso
r
soit
p
où l’inva-
Ao(p)
et d’un groupe
est
Mo
relève de façon unique à
Vu le théorème
4,
de
R ;
il existe
SERRE
un
relèvement A
de
E
et de
de
E
par
en
0
il
k,
relève
en une
appelle A
peut
des vecteurs de Witt
ainsi obtenu est
relèvement pris
le
Etant défini
Ao
un
A(p)
tel que
A
(un
M
On
fonctoriel
résiduel
de
relèvement
tout
sur
k ;
schéma
abélien,
polarisation x
de
car
exemple, lorsque
fonctorialité, combinée
Pour
pour
p
=
modulaires jo
5,
anneau
par
§
exemple,
on en
toute
une
extension
il est
Ao;
local artinien
R,
limite)
remarqué Mumford,
a
k
de corps
sur
l’anneau
le schéma formel
polarisation B Ao~A’o
se
:
propriétés agréables.
de nombreuses
est
fini,
il fournit des variétés
cela résulte de la
Shimura-Taniyama ;
résultat récent de Tate
d’expliciter les
et j
de la courbe et de
et jo
=
1,x 2~ 3, 4?
on
"
d’endomorphismes Z p 2iZ ,
Z ~ 1 + -19 2 Z ;
-21533
avec un
de
il n’est nullement facile
elliptique,
invariants
au sens
simplement
passage à la
directe
somme
Ao
le corps résiduel
de type (CM)
abéliennes
la
canonique de
anneau
(par
l’a
comme
Le fondeur "relèvement canonique"
Par
hasard donne
au
aussi être défini
sur
isomorphe à
soit
déduit que j
~12~o
Dans le
cas
relations entre les
relèvement canonique.
son
trouve que la courbe
Z ~ 1 + -11 2 Z 0 iZ , et
est égal à 2333113, -215, 2633
a
et
respectivemento
0
6. Applications etcompléments.
Signalons :
(1)
Un
théorème de prolongement des morphismes de schémas abéliens,
utilisant essentiellement les théorèmes 1 et 4
(2)
Les
hypothèses
(Grothendieck ~3~)~
et notations étant celles
soit connexe, et de dimension 1.
Soit
L
du § 4,
l’anneau des
G
supposons que
endomorphismes
de
G
GROUPES p-DIVISIBLES
sur
R~ ,
groupe
et soit
fi p
l’image
fi
contient
démonstration utilise la
L*,
de
et 1°on
ceux
a
est de
Terminons par
(3)
décomposition
rang h
des résultats
de Lubin-Tate
une
sur
de
AutL(T p G);
p-adiques
Hodge de T
C,
(ils
plus pré-
coïncident.
au
groupe
déduisent facilement
se
~5])0
question
(cf. [13]) :
p-divisibles sur Z
(La
cfo
s’identifie
Zp
beaucoup plus précis
Y a-t-il d’autres groupes
"triviaux" ?
deux groupes
ces
Le
dans
rt
sous-groupe ouvert du groupe
un
cisément les algèbres de Lie de
Lorsque L
du groupe de Galois
que les groupes
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