1 Pile, face, coupons

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Pile, face, coupons
Mots-clés. Combinatoire ; loi discrète ; distance en variation totale; loi
des petits nombres ; convergence abrupte ; loi de Gumbel.
Outils. Loi des grands nombres ; théorème limite central ; inégalité de
Markov.
Difficulté. *
Ce chapitre est consacré au jeu de pile ou face et au problème du col lec-
tionneur de coupons, deux objets probabilistes importants qu’il est bon de
connaître et savoir reconnaître. Ce chapitre contient également une étude de
la distance en variation totale pour les mesures de probabilité discrètes.
1.1 Jeu de pile ou face
Le jeu de pile ou face consiste en des lancers successifs d’une pièce de
monnaie qui donnent à chaque fois soit pile (succès, codé 1) soit face (échec,
codé 0). On modélise cela par une suite (Xn)n1de variables aléatoires indé-
pendantes et identiquement distribuées de loi de Bernoulli Ber(p):
P(Xn=1)=1−P(Xn=0)=p∈[0,1].
Le nombre de succès dans les npremiers lancers
Sn=X1+···+Xn
est une variable aléatoire à valeurs dans {0,1,...,n}qui suit la loi binomiale
Bin(n, p) de taille net de paramètre p, donnée pour tout k=0,1,...,n par
P(Sn=k)=n
kpk(1 −p)n−k=n!
k!(n−k)!pk(1 −p)n−k.
1© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_1

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La moyenne et la variance de Snsont donnés par
E(Sn)=np et Var(Sn)=np(1 −p).
Le temps Tdu premier succès, qui est aussi le nombre de lancers pour obtenir
un premier succès, est donné par
T:= inf{n1:Xn=1}
Si p>0, Tsuit la loi géométrique Geo(p)surN∗de paramètre pdonnée par
P(T=k)=(1−p)k−1p, k ∈N∗.
On a T≡∞si p=0etP(T<∞) = 1 sinon. De plus
E(T)=1
pet Var(T)=1−p p2.
Le nombre d’échecs avant le premier succès
T:= inf{n0:Xn+1 =1}=T−1
suit la loi géométrique GeoN(p)surNet de paramètre pdonnée par
P(T=k)=P(T−1=k)=(1−p)kp, k ∈N,
et on a
E(T)=E(T)−1=1−p
pet Var(T)=Var(T)=1−p p2.
Pour tout r∈N∗, le nombre de lancers Trnécessaires pour obtenir rsuccès
est défini par récurrence par
T1:= Tet Tr+1 := inf{n>T
r:Xn=1}.
Les variables aléatoires T1,T
2−T1,T 3−T2,... sont indépendantes et identi-
quement distribuées de loi géométrique Geo(p). La variable aléatoire Trsuit
la loi de Pascal ou loi binomiale-négative Geo(p)∗r. On a pour tout kr,
P(Tr=k)= 
k11,...,kr1
k1+···+kr=k
(1 −p)k1−1p···(1 −p)kr−1p=(1−p)k−rprk−1
r−1
et
E(Tr)=rE(T)=r
pet Var(Tr)=rVar(T)=r1−p p2.
Le processus de Bernoulli (Sn)n0a des trajectoires constantes par mor-
ceaux, avec des sauts d’amplitude +1, et les temps de saut sont donnés par
(Tr)r1(temps inter-sauts i.i.d. géométriques). Il constitue le processus de

1.1 Jeu de pile ou face 3
comptage de tops espacés par des durées indépendantes de même loi géomé-
trique, analogue discret du processus de Poisson. Comme Snest une somme
de variables indépendantes, (Sn)n0est une chaîne de Markov sur Nde noyau
P(x, y)=p1y=x+1 +(1−p)1y=x,et(Sn−np)n0est une martingale.
Par la loi des grands nombres (LGN) et le théorème limite central (TLC)
Sn
n
p.s.
−→
n→∞ pet √n
p(1 −p)Sn
n−ploi
−→
n→∞ N(0,1).
Cela permet notamment de construire un intervalle de confiance asymptotique
pour pappelé intervalle de Wald, qui est cependant peu précis.
Remarque 1.1 (Intervalle de Clopper-Pearson).Il est également possible de
confectionner des intervalles de confiance pour pnon asymptotiques, comme
celui de Clopper-Pearson par exemple, basé sur la correspondance Beta-
binomiale. Soit U1,...,U
ndes v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur [0,1].No-
tons U(1,n)··· U(n,n)leur réordonnement croissant. Alors pour tout
k=1,...,n la v.a.r. U(k,n)suit la loi Beta(k, n −k+1) sur [0,1] de densité
t∈[0,1] → tk−1(1 −t)n−k
Beta(k, n −k+1),où Beta(a, b):=1
0
sa−1(1 −s)b−1ds,
et
P(Snk)=P(1{U1p}+···+1{Unp}k)=P(U(k,n)p).
On déduit de cette identité une expression exacte de la probabilité que Sn
appartienne à un intervalle donné. Notons que comme Snest discrète, ses
quantiles sont aussi discrets, ce qui empêche de fabriquer un intervalle exact
de niveau α∈[0,1] arbitraire, et suggère de procéder à un lissage.
Remarque 1.2 (Motifs répétés et lois du zéro-un).Lorsque 0<p<1,le
lemme de Borel-Cantelli (cas indépendant) entraîne que toute suite finie de 0
et de 1apparaît presque sûrement une infinité de fois dans la suite X1,X
2,...
L’indépendance est capitale. Un singe éternel tapant sur un clavier finira tou-
jours par écrire les œuvres complètes de William Shakespeare ! Alternative-
ment, on peut déduire ce résultat de la nature géométrique du temps d’appari-
tion du premier succès dans un jeu de pile ou face obtenu en découpant le jeu
de pile ou face en blocs successifs de même longueur que la chaîne recherchée.
Remarque 1.3 (Jeu de pile ou face et loi uniforme sur [0,1]).Si Uest une
variable aléatoire sur [0,1] et si U=∞
n=1 bn2−nest son écriture en base 2,
alors Usuit la loi uniforme sur [0,1] si et seulement si les bits (bn)n1de son
écriture en base 2sont des v.a.r. i.i.d. de Bernoulli de paramètre 1/2.
Remarque 1.4 (Algorithme de débiaisage de von Neumann).Soit (Xn)n1
une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes et de paramètre
0<p<1inconnu. On fabrique la suite (Yn)n1de variables aléatoires indé-
pendantes et de même loi sur {0,1,2}comme suit

4 1 Pile, face, coupons
X1X2
Y1
X3X4
Y2
···
en posant Yn=0si (X2n−1,X
2n)=(0,1),Yn=1si (X2n−1,X 2n)=(1,0),et
Yn=2sinon. La suite (Zn)n1obtenue à partir de (Yn)n1en effaçant les 2
est constituée de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de paramètre
1/2. La production de chaque terme de la suite (Zn)n1nécessite un nombre
aléatoire géométrique de termes de la suite (Xn)n1.
1.2 Approximation binomiale-gaussienne
Soit (Xn)n1des v.a.r. i.i.d. de moyenne met variance 0 <σ
2<∞,et
Sn=X1+···+Xn. Le théorème limite central indique que pour tout t∈R,
lim
n→∞
PSn−nm
√nσ t=t
−∞
1
√2πe−x2
2dx.
Le théorème limite central de Berry-Esseen raffine ce résultat asymptotique en
fournissant une borne quantitative uniforme : si X1,X
2,... sont de Bernoulli
de paramètre p∈]0,1[,onam:= E(X1)=p,σ2:= E((X−m)2)=p(1 −p),
τ3:= E(|X1−m|3)=p(1 −p)(1 −2p(1 −p)), et
sup
t∈RPSnnp(1 −p)t+np−t
−∞
e−x2
2
√2πdx
τ3
√nσ3=1−2p(1 −p) p(1 −p)√n.
Cette approximation de la loi binomiale par la loi gaussienne est d’autant
meilleure que (1 −2p(1 −p))/np(1 −p) est petit. À nfixé, cette borne est
minimale pour p=1/2 mais explose quand pse rapproche de 0 ou de 1. Pour
ces régimes extrêmes, il est plus approprié d’utiliser une approximation par
la loi de Poisson, abordée dans la section 1.4.
Lorsque X1,X
2,... sont des variables de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[,
le TLC suggère d’approcher la loi binomiale Bin(n, p)deSnpar la loi gaus-
sienne N(nm, nσ2) lorsque nest grand. Le théorème limite central de de
Moivre et Laplace précise que pour tous −∞ <a<b<+∞,
lim
n→∞ √nsup
k∈In(a,b)
P(Sn=k)−
exp −(k−np)2
2np(1−p)
2πnp(1 −p)=0
où
In(a, b)=0kn:k−np
np(1 −p)∈[a, b],

1.3 Distance en variation totale 5
Lois binomiales
Bin(42,0.1)
Bin(42,0.5)
Bin(42,0.9)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
P(X=n)
0 10203040
n
Fig. 1.1. Lois binomiales de même taille, pour trois valeurs du second paramètre,
illustrant la pertinence de l’approximation de la loi binomiale par une loi gaussienne
et par une loi de Poisson selon les cas.
qui redonne le TLC par intégration :
lim
n→∞
PSn−np
np(1 −p)∈[a, b]=1 √2πb
a
e−x2
2dx.
1.3 Distance en variation totale
Dans toute cette section, Eest un ensemble au plus dénombrable muni de
la topologie et de la tribu discrètes P(E). L’ensemble des lois sur Eest un
espace métrique complet pour la distance en variation totale
dVT (μ, ν):= sup
A⊂E|μ(A)−ν(A)|.