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Rallye mathématique de Centre
Epreuve préparatoire 2° : année 2015-2016
Exercice 1 :
On obtient la spirale suivante :
31 30 29 28 27 26 49
32 13 12 11 10 25 48
33 14 3 2 9 24 47
34 15 4 1 8 23 46
35 16 5 6 7 22 45
36 17 18 19 20 21 44
37 38 39 40 41 42 43
On peut observer que :
• Le nombre 9, soit 3
2
, se trouve à 1 case à droite et 1 case en haut de 1.
Sous le 9, il y a les 2 entiers précédents écrits (7 et 8) .
• Le nombre 25, soit 5
2
, se trouve à 2 cases à droite et 2 cases en haut de 1.
Sous le 25, il y a 4 entiers précédents écrits (21, 22, 23 et 24) .
• Le nombre 49, soit 7
2
, se trouve à 3 cases à droite et 3 cases en haut de 1.
Sous le 49, il y a 6 entiers précédents écrits (43, 44, 45, 46, 47 et 48) .
On peut donc supposer que pour n impair, sous le nombre n
2
, il y aura (n – 1) entiers précédents
écrits.
De plus, n
2
sera situé à cases à droite et cases en haut de 1.
On peut vérifier pour n = 11.
Le nombre 11
2
= 121 est situé à = 5 cases à droite et = 5 cases en haut de 1.
Il y aura 11 – 1 = 10 entiers précédents écrits.
En effet :
91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 121
92 57 56 55 54 53 52 51 50 81 120
93 58 31 30 29 28 27 26 49 80 119
94 59 32 13 12 11 10 25 48 79 118
95 60 33 14 3 2 9 24 47 78 117
96 61 34 15 4 1 8 23 46 77 116
97 62 35 16 5 6 7 22 45 76 115
98 63 36 17 18 19 20 21 44 75 114
99 64 37 38 39 40 41 42 43 74 113
100 65 66 67 68 69 70 71 72 73 112
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

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On a : 2015 < 45
2.
Donc, 45
2
= 2025 se situe à = 22 cases à droite et = 22 cases en haut de 1.
Il y aura 45 – 1 = 44 entiers précédents écrits.
Or : 2015 = 2025 – 10.
Donc, 2015 est à 22 cases à droite et 22 – 10 = 12 cases en haut de 1.
Exercice 2 :
En utilisant le code SESAME, on obtient le tableau suivant :
1 2 3 4 5
1 S E A M B
2 C D F G H
3 I J K L N
4 O P Q R T
5 U V X Y Z
La liste de chiffres séparée en bloc de 2 chiffres devient :
41 15 32 12 21 45 31 23 42 44 12 14 31 12 44 22 12 34 13 21 34 13 11 11 12
Par lecture du tableau, on obtient :
OBJECTIFPREMIERDELACLASSE
Le message est donc : « Objectif premier de la classe ».
Exercice 3 :
On note x la longueur BM et y la longueur DN.
• L’aire du champ est égale à : 120 × 120 = 14400.
Chaque héritier doit donc avoir un terrain d’une superficie de : = 4800.
• Héritier 1 du champ ABM :
On a donc :
 × 
= 4800
= 4800
60x = 4800
x =
x = 80
Le point M doit donc se situer à 80 m du point B.
Le périmètre p
1
de ce terrain sera donc : p
1
= AB + BM + AM.
Le triangle ABM est rectangle en B.
On applique le théorème de Pythagore : AM
2
= AB
2
+ BM
2
= 120
2
+ 80
2
= 20800
= 13 × 1600
D’où : AM = √13 × 1600
= 40√13
Le périmètre p
1
de ce terrain sera donc : p
1
= AB + BM + AM
= 120 + 80 + 40√13
= 200 + 40√13

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≈ 344,22 m
• Héritier 2 du champ ADN :
On a donc :
 × 
= 4800
= 4800
60x = 4800
x =
x = 80
Le point N doit donc se situer à 80 m du point D.
Le périmètre p
2
de ce terrain sera donc : p
2
= AD + DN + AN.
De même que précédemment, on obtient : AN = 40√13
Le périmètre p
2
de ce terrain sera donc : p
2
= 200 + 40√13
≈ 344,22 m
• Héritier 3 du champ AMCN :
Le périmètre p
3
de ce terrain sera donc : p
3
= AM + MC + CN + AN
= 40√13 + (BC – BM) + (CD – DN) + 40√13
= 80√13 + (120 – 80) + (120 – 80)
= 80 + 80√13
≈ 368,44 m
Le troisième héritier a donc un périmètre plus important que les deux autres. Les
héritiers 1 et 2 ont un périmètre de terrain égal.
Exercice 4 :
1) On choisit 19.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 38.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 76.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 152.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 15.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 30.
Le nombre se termine par 0.
On supprime son dernier chiffre : 3.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 6.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 12.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 1.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 2.
Le nombre obtenu est 2 : FIN.
On choisit 29.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 58.

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Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 116.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 232.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 23.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 46.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 92.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 9.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 18.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 36.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 72.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 7.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 14.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 28.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 56.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 112.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 11.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 22.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 2.
Le nombre obtenu est 2 : FIN.
2) On choisit 43.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 86.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 172.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 17.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 34.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 68.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 136.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 272.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 27.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.

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On le multiplie par 2 : 54.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 108.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 216.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 432.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 43.
On revient au nombre 43 de départ.
Le programme de peut donc pas s’arrêter. C’est une boucle infinie.
3) Dans le tableau ci-dessous, on a colorié en jaune les nombres compris entre 1 et 100 dont
l’algorithme s’arrêtera (nombres rencontrés dans les questions précédentes).
En rouge, les nombres compris entre 1 et 100 dont l’algorithme « tourne » indéfiniment
(nombres rencontrés dans les questions précédentes).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Le nombre 4 deviendra : 8 – 16 – 32 – 3. D’après ce qui précède, l’algorithme s’arrête.
Au passage, on sait donc que 8, 16 et 32 sont des nombres dont l’algorithme s’arrête.
Le nombre 5 deviendra : 10 – 1. D’après ce qui précède, l’algorithme s’arrête.
Tous les nombres se terminant par 0 ou 2 seront réduit de leur dernier chiffre. Pour tous
les nombres compris entre 1 et 10, le programme s’arrête.
21, 31, 41, 25, 35 et 45 seront multipliés par 2 et deviendront : 42, 62, 82, 50, 70 et 90.
Le programme s’arrête.
13 deviendra 26 - 52. L’algorithme s’arrête.
Au passage, on sait donc que 26 et 52 sont des nombres dont l’algorithme s’arrête.
51, 61, 71, 81 et 91 seront multipliés par 2. On aura alors : 102, 122, 142, 162 et 182.
Puis : 10, 12, 14, 16 et 18. L’algorithme s’arrête.
55, 65, 75 et 95 seront multipliés par 2. On aura alors : 110, 130, 150 et 190.
Puis : 11, 13, 15 et 19. L’algorithme s’arrête.
85 devient : 170 – 17. Le programme « tourne » indéfiniment
24 sera multiplié par 2. On aura alors : 48 – 96 – 192 - 19. L’algorithme s’arrête.
Au passage, on sait donc que 48 et 96 sont des nombres dont l’algorithme s’arrête.