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Rallye mathématique de Centre
Epreuve préparatoire 2° : année 2015-2016
Exercice 1 :
On obtient la spirale suivante :
31
30
29
28
27
26
49
32
13
12
11
10
25
48
33
14
3
2
9
24
47
34
15
4
1
8
23
46
35
16
5
6
7
22
45
36
17
18
19
20
21
44
37
38
39
40
41
42
43
On peut observer que :
•
•
•
Le nombre 9, soit 32, se trouve à 1 case à droite et 1 case en haut de 1.
Sous le 9, il y a les 2 entiers précédents écrits (7 et 8) .
Le nombre 25, soit 52, se trouve à 2 cases à droite et 2 cases en haut de 1.
Sous le 25, il y a 4 entiers précédents écrits (21, 22, 23 et 24) .
Le nombre 49, soit 72, se trouve à 3 cases à droite et 3 cases en haut de 1.
Sous le 49, il y a 6 entiers précédents écrits (43, 44, 45, 46, 47 et 48) .
On peut donc supposer que pour n impair, sous le nombre n2, il y aura (n – 1) entiers précédents
écrits.
De plus, n2 sera situé à
cases à droite et
cases en haut de 1.
On peut vérifier pour n = 11.
Le nombre 112 = 121 est situé à
= 5 cases à droite et
= 5 cases en haut de 1.
Il y aura 11 – 1 = 10 entiers précédents écrits.
En effet :
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
121
92
57
56
55
54
53
52
51
50
81
120
93
58
31
30
29
28
27
26
49
80
119
94
59
32
13
12
11
10
25
48
79
118
95
60
33
14
3
2
9
24
47
78
117
96
61
34
15
4
1
8
23
46
77
116
97
62
35
16
5
6
7
22
45
76
115
98
63
36
17
18
19
20
21
44
75
114
99
64
37
38
39
40
41
42
43
74
113
100
65
66
67
68
69
70
71
72
73
112
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
1/11
On a : 2015 < 452.
Donc, 452 = 2025 se situe à
= 22 cases à droite et
= 22 cases en haut de 1.
Il y aura 45 – 1 = 44 entiers précédents écrits.
Or : 2015 = 2025 – 10.
Donc, 2015 est à 22 cases à droite et 22 – 10 = 12 cases en haut de 1.
Exercice 2 :
En utilisant le code SESAME, on obtient le tableau suivant :
1
2
3
4
5
1
S
C
I
O
U
2
E
D
J
P
V
3
A
F
K
Q
X
4
M
G
L
R
Y
5
B
H
N
T
Z
La liste de chiffres séparée en bloc de 2 chiffres devient :
41 15 32 12 21 45 31 23 42 44 12 14 31 12 44 22 12 34 13 21 34 13 11 11 12
Par lecture du tableau, on obtient :
OBJECTIFPREMIERDELACLASSE
Le message est donc : « Objectif premier de la classe ».
Exercice 3 :
On note x la longueur BM et y la longueur DN.
•
•
L’aire du champ est égale à : 120 × 120 = 14400.
Chaque héritier doit donc avoir un terrain d’une superficie de :
= 4800.
Héritier 1 du champ ABM :
×
On a donc :
= 4800
= 4800
60x = 4800
x=
x = 80
Le point M doit donc se situer à 80 m du point B.
Le périmètre p1 de ce terrain sera donc : p1 = AB + BM + AM.
Le triangle ABM est rectangle en B.
On applique le théorème de Pythagore : AM2 = AB2 + BM2
= 1202 + 802
= 20800
= 13 × 1600
D’où : AM
= √13 × 1600
= 40√13
Le périmètre p1 de ce terrain sera donc : p1
= AB + BM + AM
= 120 + 80 + 40√13
= 200 + 40√13
2/11
≈ 344,22 m
•
Héritier 2 du champ ADN :
×
On a donc :
= 4800
= 4800
60x = 4800
x=
x = 80
Le point N doit donc se situer à 80 m du point D.
Le périmètre p2 de ce terrain sera donc : p2 = AD + DN + AN.
De même que précédemment, on obtient : AN = 40√13
Le périmètre p2 de ce terrain sera donc : p2 = 200 + 40√13
≈ 344,22 m
•
Héritier 3 du champ AMCN :
Le périmètre p3 de ce terrain sera donc : p3 = AM + MC + CN + AN
= 40√13 + (BC – BM) + (CD – DN) + 40√13
= 80√13 + (120 – 80) + (120 – 80)
= 80 + 80√13
≈ 368,44 m
Le troisième héritier a donc un périmètre plus important que les deux autres. Les
héritiers 1 et 2 ont un périmètre de terrain égal.
Exercice 4 :
1) On choisit 19.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 38.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 76.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 152.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 15.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 30.
Le nombre se termine par 0.
On supprime son dernier chiffre : 3.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 6.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 12.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 1.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 2.
Le nombre obtenu est 2 : FIN.
On choisit 29.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 58.
3/11
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 116.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 232.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 23.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 46.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 92.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 9.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 18.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 36.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 72.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 7.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 14.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 28.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 56.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 112.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 11.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 22.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 2.
Le nombre obtenu est 2 : FIN.
2) On choisit 43.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 86.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 172.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 17.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 34.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 68.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 136.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 272.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 27.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
4/11
On le multiplie par 2 : 54.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 108.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 216.
Le nombre ne se termine pas par 0 ou 2.
On le multiplie par 2 : 432.
Le nombre se termine par 2.
On supprime son dernier chiffre : 43.
On revient au nombre 43 de départ.
Le programme de peut donc pas s’arrêter. C’est une boucle infinie.
3) Dans le tableau ci-dessous, on a colorié en jaune les nombres compris entre 1 et 100 dont
l’algorithme s’arrêtera (nombres rencontrés dans les questions précédentes).
En rouge, les nombres compris entre 1 et 100 dont l’algorithme « tourne » indéfiniment
(nombres rencontrés dans les questions précédentes).
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Le nombre 4 deviendra : 8 – 16 – 32 – 3. D’après ce qui précède, l’algorithme s’arrête.
Au passage, on sait donc que 8, 16 et 32 sont des nombres dont l’algorithme s’arrête.
Le nombre 5 deviendra : 10 – 1. D’après ce qui précède, l’algorithme s’arrête.
Tous les nombres se terminant par 0 ou 2 seront réduit de leur dernier chiffre. Pour tous
les nombres compris entre 1 et 10, le programme s’arrête.
21, 31, 41, 25, 35 et 45 seront multipliés par 2 et deviendront : 42, 62, 82, 50, 70 et 90.
Le programme s’arrête.
13 deviendra 26 - 52. L’algorithme s’arrête.
Au passage, on sait donc que 26 et 52 sont des nombres dont l’algorithme s’arrête.
51, 61, 71, 81 et 91 seront multipliés par 2. On aura alors : 102, 122, 142, 162 et 182.
Puis : 10, 12, 14, 16 et 18. L’algorithme s’arrête.
55, 65, 75 et 95 seront multipliés par 2. On aura alors : 110, 130, 150 et 190.
Puis : 11, 13, 15 et 19. L’algorithme s’arrête.
85 devient : 170 – 17. Le programme « tourne » indéfiniment
24 sera multiplié par 2. On aura alors : 48 – 96 – 192 - 19. L’algorithme s’arrête.
Au passage, on sait donc que 48 et 96 sont des nombres dont l’algorithme s’arrête.
5/11
33 devient : 66 - 132 – 13. L’algorithme s’arrête pour 33 et 66.
37 devient : 74 - 148 – 296 – 592 – 59 – 118 – 236 – 472 – 47 – 94 - 188 – 376 – 752 - 75.
L’algorithme s’arrête pour 37, 47, 59, 74 et 94.
39 devient : 78 - 156 – 312 – 31. L’algorithme s’arrête pour 39 et 78.
Le nombre 44 deviendra : 88 – 176 – 352 - 35. Le programme s’arrête pour 44 et 88.
Le nombre 49 deviendra : 98 – 196 – 392 - 39. Le programme s’arrête pour 49 et 98.
Le nombre 53 deviendra : 106 – 212 – 21. Le programme s’arrête.
Le nombre 63 deviendra : 126 – 252 – 25. Le programme s’arrête.
Le nombre 73 deviendra : 146 – 292 – 29. Le programme s’arrête.
Le nombre 83 deviendra : 166 – 332 – 33. Le programme s’arrête.
Le nombre 93 deviendra : 186 – 372 – 37. Le programme s’arrête.
Le nombre 64 deviendra : 128 – 256 – 512 - 51. Le programme s’arrête.
Le nombre 84 deviendra : 168 – 336 – 672 – 67 – 134 – 268 – 536 – 1072 – 107 – 214 –
428 – 856 – 1712 – 171 – 342 – 34. Le programme « tourne » indéfiniment.
Au passage, on sait donc que 67 est un nombre dont l’algorithme « tourne » indéfiniment.
Le nombre 57 deviendra : 114 - 228 – 456 – 912 - 91. Le programme s’arrête.
Le nombre 77 deviendra : 154 – 308 – 616 – 1232 – 123 – 246 – 492 - 49. Le programme
s’arrête.
Le nombre 87 deviendra : 174 – 348 – 696 – 1232 – 123 – 246 – 492 – 49. Le programme
s’arrête.
Le nombre 97 deviendra : 194 – 388 – 776 – 1552 – 155 – 310 - 31. Le programme s’arrête.
Le nombre 69 deviendra : 138 – 276 – 552 - 55. Le programme s’arrête.
Le nombre 89 deviendra : 178 – 356 – 712 - 71. Le programme s’arrête.
Le nombre 99 deviendra : 198 – 396 – 792 – 79 – 158 – 316 – 632 - 63. Le programme
s’arrête.
Au passage, on sait donc que 79 est un nombre dont l’algorithme s’arrête.
Voici la liste des nombres :
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Les nombres pour lesquels l’algorithme tourne indéfiniment sont : 17, 27, 34, 43, 54, 67,
68, 84, 85 et 86.
Exercice 5 :
1) a) On ne peut pas obtenir 21.
En effet, avec deux fléchettes, on peut obtenir : 10 (5 + 5), 14 (9 + 5) ou 18 (9 + 9).
Avec 3 fléchettes, on peut obtenir : 15 (5 + 5 + 5) ou 19 (5 + 5 + 9), ensuite on dépasse
21.
6/11
Avec 4 fléchettes, on peut obtenir sans dépasser 21 : 20 (5 + 5 + 5 + 5).
On peut obtenir 44 avec 7 fléchettes à 5 points et 1 fléchette à 9 points : 7 × 5 + 9 = 44.
b) Il est impossible d’obtenir 31.
On note x le nombre de fléchettes à 5 points et y le nombre de fléchettes à 9 points. x
et y sont des entiers naturels, donc positifs ou nuls.
Donc, est-il possible de trouver un couple (x ; y) tel que : 5x + 9y = 31 ?
On a : 5x = 31 – 9y ≥ 0, soit 31 ≥ 9y. Donc : 0 ≤ y ≤ 3.
On a : 9y = 31 – 5x ≥ 0, soit 31 ≥ 5x. Donc : 0 ≤ x ≤ 6.
Voici tous les scores possibles :
Nombre de 5
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
Nombre de 9
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
Score
0
9
18
27
5
14
23
32
10
19
28
37
15
24
33
42
20
29
38
47
25
34
43
52
30
39
48
57
31 est donc impossible.
2) On note x le nombre de fléchettes à 6 points et y le nombre de fléchettes à 8 points. x
et y sont des entiers naturels, donc positifs ou nuls.
Donc, est-il possible de trouver un couple (x ; y) tel que : 6x + 8y = 33 ?
C’est impossible puisque 6x + 8y est pair et 33 est impair.
7/11
3) Le plus grand score qu’on ne puisse pas atteindre est 1.
En effet, on prend N un score à atteindre supérieur ou égal à 2.
Si N est pair, alors N = 2n. On doit obtenir alors n fléchettes à 2 points et 0 à 3 points.
Si N est impair, alors N = 2n + 1. On doit obtenir alors (n – 1) fléchettes à 2 points et 1 à
3 points. Ainsi : 2(n – 1) + 1 × 3 = 2n – 2 + 3 = 2n + 1 = N.
Exercice 6 :
On note M le milieu e [DC]. K est le point d’intersection de [SO] et [EG].
1) Calcul de EI :
Par construction, on sait que le triangle ABE se superpose au triangle ABO.
Le triangle ABE est donc isocèle rectangle en E, soit AE = EB.
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABE.
Donc :
AB2 = AE2 + EB2
AB2 = AE2 + AE2
AB2 = 2AE2
42 = 2AE2
2AE2 = 16
AE2 = 8
AE = √8
AE = 2√2
Dans le triangle ABE isocèle en E, I est le milieu de [AB]. Donc, (EI) est aussi la
médiatrice de [AB]. Le triangle AIE est donc rectangle en I.
On applique le théorème de Pythagore :
AE2 = EI2 + IA2
8 = EI2 + 22
8 =EI2 + 4
EI2 = 4
EI = 2
Calcul de SE :
On se place dans le triangle SMI.
Dans le triangle SIM isocèle en S, O est le milieu de [MI], soit OI = 2.
Par construction, (GE) est parallèle à (MI).
Donc, K est le milieu de [GE]. D’où : GE = 2KE.
Or : GE = 2.
Donc : KE = 1.
8/11
On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
(
Donc :
=
D’où :
=
=)
=
puisque GE = 1 et OI = 2.
=
2SE = SE + 2
SE = 2
Ainsi : SI = SE + EI = 2 + 2 = 4.
La hauteur SI du triangle SAB est 4 cm.
2) Voici le patron :
3) Dans le triangle SOI est rectangle en O, on applique le théorème de Pythagore :
SI2 = SO2 + OI2
42 = SO2 + 22
16 = SO2 + 4
SO2 = 12
SO = 2√3
9/11
Exercice 7 :
On peut numéroter les places sur le candélabre.
1
5
2
4
3
On numérote les bougies blanches (W) et les bougies bleues (B) : W1, W2, W3 et B1, B2.
Chaque bougie a autant de chances d’être placée à un endroit.
On parle d’équiprobabilité.
Calculer la probabilité demandée revient donc à compter le nombre de figures répondant à
l’évènement et compter le nombre total de figures possibles.
Nombre de « figures » possibles : En position 1, il y a 5 possibilités.
Ensuite, en position 2, 4 possibilités ; en position 3, 3 possibilités ; en position 4, 2 possibilités ;
en position 5, 1 possibilité.
Au total, il y a donc : 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 possibilités de placer les bougies.
Nombre de « figures » répondant à l’évènement :
Les 3 bougies blanches peuvent être placées en : 1, 2, 3 ou 2, 3, 4 ou 3, 4, 5 ou 4, 5, 1 ou 5, 1, 2.
Il y a donc 5 façons de placer les 3 bougies blanches à la suite.
Pour chaque cas, il y a 3 bougies blanches possibles pour la 1° place, puis 2 pour la 2° place puis 1
pour la 3° place. Il reste ensuite 2 bougies bleues pour la 4° place et 1 bleue pour la dernière
place.
Pour chaque cas, il y a donc : 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 12 possibilités.
Il y a donc 5 × 12 = 60 « figures » répondant à l’évènement.
La probabilité demandée est donc :
= 0,5.
Exercice 8 :
On note x (largeur) et y(longueur parallèles à la mer) les dimensions du terrain.
La zone de culture a donc pour largeur (x – 8) et longueur (y – 7).
La superficie de la zone de culture est de 600 m2.
Donc : (x – 8)(y – 7) = 600
y–7=
y=7+
x et y doivent vérifier : x > 8 et y > 7 pour respecter la zone de sécurité.
L’aire du terrain est donc : A(x)
= xy
= x (7 +
)
On trace à la calculatrice la courbe de la fonction A définie sur ]8 ; + ∞[ par :
).
A(x) = x (7 +
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On utilise la fenêtre d’affichage suivante :
Voici l’affichage obtenu :
D’après ce graphique, la valeur de x pour laquelle l’aire est minimale est x ≈34,2.
Donc : y ≈ 7 +
≈ 29,9.
,
Le terrain aura donc pour dimension environ x ≈ 34,2 et y ≈ 29,9.
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