La fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt

Contemporary Mathematics
Volume 174, 1994
La fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt
BERNADETTE PERRIN-RIOU
RESUME. Depuis sa construction jusqu'a Ia demonstration de Ia "conjec-
ture principale" par Mazur-Wiles puis par Kolyvagin et Rubin, Ia fonc-
tion de Kubota-Leopoldt a longuement ete etudiee. Plus generalement,
parallelement aux fonctions L complexes des motifs et aux conjectures
de Bloch-Kato sur leurs valeurs, on peut essayer de comprendre ce que
sont les fonctions L p-adiques des motifs (ou des representations p-adiques
geometriques), comment exprimer les conjectures sur leurs valeurs speciales,
les
conjectures principales ([Pa], [Pb]). II est alors nature) de voir ce que
cette etude generate donne sur Ia fonction de Kubota-Leopoldt, c'est ce
que j'ai voulu faire dans Ia note qui suit. J'y reprends ce qui est connu sur
Ia fonction L p-adique attachee a Ia representation de Tate Qp(1) et a ses
"twists'' en utilisant les resultats de [Pa].
PLAN
1. -Rappels.
2. -Quelques formules sur .Cw.
2.1. -Valeur de .Cw en x-i'Tl pour j > 1
2.2. -Valeur de .Cw en x-i'Tl pour j < 0
2.3. -Valeur de .Cw en x-
1
"1 et en "1
3. -Fonction de Kubota-Leopoldt.
3.1. -Definition.
3.2. -Valeurs de .CK-L en x-i'Tl
3.3. -"Conjecture" principale.
4. -Cohomologie galoisienne.
4.1. -Notations.
4.2. -Cohomologie galoisienne et dimensions
4.3. -Demonstrations par la methode de Kolyvagin
5. -Conjectures sur les valeurs speciales.
1991 Mathematics Subject Classification. 11E95, 11G40, 11R23, 11R42.
Key words and phrases. theorie d'lwasawa, cyclotomique, representations p-adiques.
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BERNADETTE PERRIN-RIOU
1. Rappels
1.1. On fixe une cloture algebrique Q de Q et on note GQ = Gal(Q/Q).
Soit p un nombre premier impair et m un entier premier a p. Dans la suite, F
designe une extension finie abelienne de Q de conducteur met d'ordre premier
a p et on pose G = Gal(F /Q). On note Foo = F(J-Lp""" ), Fn = F(J-Lpn+t) ou
J-Lpn+l est le groupe des racines pn+1-iemes de l'unite. Ainsi, Qoo est la z;-
extension cyclotomique de Q, Foo = FQ
00
, Goo = Gal(Foo/ F) ~ Gal(Q
00
/Q)
et Gal(Foo/Q) = Goo x G. On pose A = Zp[[G
00
Jl, A[G] = Zp[[Gal(Foo/Q)Jl =
Zp[G] ®A. Soit Qp(l) = Qp®zp l~J-Lpn+t et x le caractere cyclotomique de GQ :
n
si (est une racine de l'unite d'ordre une puissance de pet siTE GQ, T( = cx(-r).
Pour tout entier j, on note Qp(j) la representation abelienne de GQ de caractere
xi. On choisit un systeme compatible de racines pn+l_iemes de l'unite € = ((n)
qui soit une base de
Zp(l) , ainsi (0 est d'ordre p, et une racine de l'unite a
d'ordre m.
Si € est un caractere de G, on note Q(€) le corps des valeurs de € et Z[€] son
anneau d'entiers. Si M est un Zp[G]-module, on note
M<e> = {x EM® Zp[€] tel que Tx = €(T)x}
Sip est un caractere (abelien) de GQ, on note €(p) E {±} le signe de p(c) ou c
est une conjugaison complexe de
GQ. On note 1 le caractere trivial. Enfin, si p
est un caractere d'ordre fini de GQ de conducteur M et si (3 est une racine de
l'unite d'ordre
M, on pose
G(p, (3) =
-rEGal(Q(I'M )/Q)
1.2. On pose Fn,p = Fn ®Q Qp et
p(T)T((3).
Hi(Fn,p, Zp(j)) =
EBvipHi(Fn,v, Zp(j)), Z~,p(F, Zp(j)) = l~ Hi(Fn,p, Zp(j)).
n
Par la theorie de Kummer, z.;,,p(F,Zp(l)) est isomorphe ala limite projec-
tive pour les applications .normes
du complete p-adique des Fn~p· II contient
z.;,,p(F,Zp(l)) = l~UFn,p ou UFn,p est le complete p-adique du groupe des
n
unites de Fn,p· Pour j quelconque, on a
et on pose
i:.0,p(F,Zp(j)) = Z:.0,p(F,Zp(l)) ®Zp(j -1).
En utilisant la dualite locale, on montre facilement que
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ou M1 "' M2 signifie qu'il existe un homomorphisme M1 -+ M2 a noyau et
conoyau finis. On a Ia suite exacte de A-modules due a lwasawa
-1 1
0-+ Zoo,p(F, Zp(1))-+ Zoo,p(F,Zp(1))-+ E9vlpZp-+ 0
ou encore, en tordant par Zp{j- 1)
0-+ Z~,p(F, Zp(j)) -+ Z~,p(F, Zp(j)) -+ E9vipZp(j -1) -+ 0.
Rappelons que Z~,p(F, Zp(j)) et Z~,p(F, Zp(j)) sont des A-modules de rang
[F : Q) dont le sous-module de torsion est isomorphe a E9vlpZp(j). lis sont de
plus munis d'une action de
G. Le A[G)-module z~,p(F, Zp{i)) est alors de rang
1 (composante
par composante). On note Tw : A -+ A l'operateur induit par
T 1-+ x(r)r et Tw1,Qp(j) l'operateur de twist :
Z~,p(F, Zp(j)) ~ Z~,p(F, Zp(j)) ® Zp{1) ~ Z~,p(F, Zp(j + 1))
induit
par (xn mod pn+
1)
1-+ (xn®(n mod pn+l) et note aussi Tw ou x 1-+ x®f.
1.3. Le rp-module filtre Dp(Qp(j)) associe a Qp(j) sur Qp est canoniquement
Qp muni d'un endomorphisme bijectif cp = p-; et de Ia filtration
Filk D (Q ( ')) = {Dp(Qp(j)) si k :5 -j
p pJ 0 'k .
Sl > -J .
On note Dp(Zp(j)) le reseau canonique Zp de Qp. On note e_; Ia base canonique
de Dp(Qp(j)) (et de Dp(Zp(j))) : on a cpe-; =
p-;e_;. On a alors un isomor-
phisme canonique Dp(Qp(j))-+ Dp(Qp(j + 1)) donne
pare ...... e®e_1· On pose
Dp(Qp(j))p = F ®QP Dp(Qp(j)) ~ E9vlpFv ® Dp(Qp(j)). Si Op est l'anneau des
entiers de
F, on pose Dp(Zp(j))o, = Op®zpDp(Zp(j)). Soit u l'endomorphisme
de Frobenius absolu:
il agit sur Ia plus grande extension abelienne non ramifiee
en p
par u(/3) = f3P pour toute racine de l'unite /3 d'ordre premier a p. II agit
en particulier sur F ; on prolonge I 'endomorphisme
cp en un endomorphisme
u-semi-lineaire de Dp(Qp(j))p.
Si K est une extension finie de Qp , soit
expQp(;) = expK,Qp(;) : K ® Dp(Qp(j))-+ H1(K, Qp(j))
l'exponentielle de Bloch-Kato ([B-K90), [F-P91, I)). L'image de expK,Qp(;) est
par definition le Qp-espace vectoriel H}(K, Qp(j)) : on a
H}(K,Qp(1)) =
Qp ®zp UK
et expK,Qp(
1
) est !'application exponentielle usuelle ;
H}(K, Qp) = Homzp (Gal{Knr / K), Qp)
ou Knr est Ia plus grande extension non ramifiee de K, H}(K, Qp(j)) est nul
pour j < 0
et H}(K,Qp(j)) = H1 (K,Qp(j)) pour j > 1. On note H}(K,Zp(j))
l'image reciproque de H}(K, Qp(j)) dans H1(K, Zp(j)).
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BERNADETTE PERRIN-RIOU
On pose r.(1 + T) = (1 + rp:<-r) pour r E Goo ou Test une indeterminee. On
fait agir A sur 1 + T par prolongement par linearite et continuite. Si f E A , soit
G(T) Ia solution dans Qp[[T]]®Q,. Dp(Qp(j))F de !'equation (1-cp)G = f.(l +T)
ou cp est l'endomorphisme a-semi-lineaire tel que
cp(h(T) ®d)= h((1 + T)P- 1) ® cp(d)
pour h E Qp[[T]] et dE Dp(Qp(j))p. Rappelons que E = ((n) est un systeme
compatible de racines de l'unite.
On pose
E~,Q,.(j)(f) = (1 ®pcp)-(n+l)(G)((n -1) E Qn,p ®Q,. Dp(Qp(j))F.
Si w E z.;,,p(Zp(j) ), on note wn son image dans H1 (Fn,p, Zp(j)) ; on designe par
(A ®z,. Dp(Zp(j))oF).i;=O le noyau de g ~--+ xi(g) modulo l'image de (1- pia)
avec g E A ®z,. Dp(Zp(j))oF.
1.4.
THEOREME. (A) Pour tout j 2:: 1, il existe un unique isomorphisme
tel que le diagramme suivant soit commutatif
(A ®z,. Dp(Zp(j))oF).i;=O
s~.Q,.<;> 1
(j-1)1 expFn,p.Qp(j)
z.;,,p(F, Zp(j))/ EBvlp Zp(j)
1
avec H1 (Fn,p,Zp(j))' = H1 (Fn,p,Zp(j))/H
1
(Foo,p/Fn,p,Zp(j)) et ou l'applica-
tion verticale de droite se deduit de la projection naturelle ;
(B) On a
Tw
1,Q,.(i) o OQ,.(j),J o Tw ® e1 =
-OQ,.(Ht),Ht.
La partie (A) pour j = 1 est due a Coleman. Le theoreme complet est
demontre dans [Pa]. 1
La relation (B) est fondamentale dans Ia suite et permet de passer de Qp(1)
a Qp(j).
On deduit du theoreme que pour tout j E Z, il existe un unique isomorphisme
OQ,.(j),j: (A ®z,. Dp(Zp(j))oF).i;=O-+ Z!x,,p(F, Zp(j))/ EBvlp Zp(j)
1 La formulation un peu differente de celle utilisee pour les courbes elliptiques dans (Pc) vient
de ce que Ia representation V = Qp(j) suffit a obtenir I' existence et l'unicite de OQ,.{i),j = Ov,j
et que l'on n'a pas besoin d'agrandir A
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telle que
Twt,Qp(i) o OQp(j),; o Tw ® et = -OQp(i+l),i+l .
1.5. Posons tQp(j) = Dp(Qp(j)), tzp(j) = Dp(Zp(j)) si j ~ 0 (resp. = 0 si
j ~ 0). Pour toute place vjp, on a une suite exacte [B-K90)
0--+ H0 (F
11
, Qp(j))--+ Dp(Qp(j))F, --+ Dp(Qp(j))F, $ Fv ® tQp(i)
--+ H}(Fv,Qp(j))--+ 0
ou la seconde application est donnee
par x ~---+ (1- cp)x $ x mod Fil0. On pose
ou liP est la valeur absolue normalisee par !PIP = p-
1
et oil [: J designe l'indice
generalise : si M1 et M2 sont des Zp-modules de type fini tels que Qp ® M1 =
Qp ®M2, on a
avec tors(Mi) le sous-module de torsion de Mi et MI =
Mdtors(Mi) pour i =
1, 2. Une consequence facile du theoreme precedent (dans sa version locale) est
que pour j
~ 1, on a
(theoreme de Bloch et Kato, [B-K90)). L'idee de la demonstration est la sui-
vante: posons X= (A ®zp Dp(Zp(j))p,/).;=o, Y = Z~,v(F,Zp(j))/Zp(j). On
a un isomorphisme Xaoo ~ Ya
00
• Le Zp-module Xaoo (resp. Yaoo) est egal
a Dp(Zp(j))oF (resp. H}(Fv,Zp(j))), a un groupe fini pres que l'on calcule
exactement,
et la Heche F
11
®Dp(Zp(j))--+ H}(F
11
, Qp(j)) qui se deduit de Xaoo ~
Yaoo est egale a (j- 1)! expF,,Qp(j)•
1.6. La loi explicite de reciprocite s'enonce de la maniere suivante : on note
[,
)Dp(Qp(j)) la forme bilineaire naturelle Dp(Qp(j))F x Dp(Qp(1 - j))F --+ Fp
etendue par linearite a
eta
On note <, >n,Qp(j) !'application de dualite :
(somme des accouplements locaux pour vlp) et
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