Cours de 4e

Programme Mathématiques – 4e S. ROUSTIT C L G F . R A B E L A I S – L ’ H O P I T A L ( 5 7 4 9 0 ) 2008 4E – N1 NOMBRES RELATIFS -­ VOCABULAIRE 5 I QU’EST CE QU’UN NOMBRE RELATIF ? II PARENTHESES ET SYMBOLE « -­ E5 III OPPOSE D’UN NOMBRE RELATIF IV INVERSE D’UN NOMBRE RELATIF 5 4E – N2 NOMBRES RELATIFS -­ OPERATIONS 7 I ADDITION (ET SOUSTRACTION) A REGLES DE CALCUL B PROPRIETES II MULTIPLICATION A PROPRIETES B REGLE DE CALCUL III DIVISION A REGLE DE CALCUL B PROPRIETES 7 7 7 8 8 8 9 9 9 6 6 4E – N3 ECRITURES FRACTIONNAIRES -­ ECRITURE 10 I ECRITURE FRACTIONNAIRE ET SIGNE « – E10 II QUOTIENTS EGAUX – OIMPLIFICATIONS A REGLE FONDAMENTALE B APPLICATIONS III QUOTIENTS EGAUX – ORODUITS EN CROIX A REGLE B APPLICATION 10 10 10 11 11 11 4E – N4 ECRITURES FRACTIONNAIRES -­ OPERATIONS 12 I ADDITION ET SOUSTRACTION III MULTIPLICATION IV DIVISION 12 13 14 4E – N5 PUISSANCES 15 I NOTATION DU TYPE A × 10 15 A B II A B IV A B 15 15 16 16 16 17 17 18 n
NOTATIONS DU TYPE A × 10 NOTATION SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE DECIMAL PUISSANCES DE 10 DEFINITION OPERATIONS SUR LES PUISSANCES DE 10 AUTRES PUISSANCES DEFINITIONS CALCULS AVEC DES PUISSANCES n
4E – N6 RESOLUTION DE PROBLEMES – EQUATIONS 19 I DIFFERENTES METHODES POUR RESOUDRE UN PROBLEME… II DEFINITIONS III PROPRIETES IV RESOUDRE UNE EQUATION A UNE INCONNUE V METTRE UN PROBLEME EN EQUATION 19 20 21 22 23 4E – N7 ORDRE ET OPERATIONS 24 I A B II III 24 24 25 26 27 COMPARAISON DEFINITIONS ET NOTATIONS COMPARAISON DES NOMBRES RELATIFS TRONCATURE, ARRONDI, ENCADREMENT SIGNE D’UNE DIFFERENCE IV INEGALITES ET OPERATIONS A ADDITION (ET SOUSTRACTION) B MULTIPLICATION (ET DIVISION) 27 27 27 4E – F1 CALCUL LITTERAL 29 I II III IV A B C 29 29 30 30 30 30 31 CALCULER LA VALEUR D’UNE EXPRESSION LITTERALE FACTORISER UNE EXPRESSION LITTERALE REDUIRE UNE EXPRESSION LITTERALE DEVELOPPER UNE EXPRESSION LITTERALE REGLE DE LA DISTRIBUTIVITE SUPPRESSION DES PARENTHESES DERRIERE UN SIGNE « + » OU « -­‐ » DOUBLE DISTRIBUTIVITE 4E -­ F2 PROPORTIONNALITE -­ GENERALITES 32 I A B II III 32 32 32 34 35 GRANDEURS PROPORTIONNELLES DEFINITIONS PROPRIETE DES PRODUITS EN CROIX COMPLETER UN TABLEAU DE PROPORTIONNALITE REPRESENTATIONS GRAPHIQUES 4E – F3 PROPORTIONNALITE -­ APPLICATIONS 36 I AGRANDISSEMENTS ET REDUCTIONS -­ UCHELLE II POURCENTAGES 36 37 4E – F4 STATISTIQUES 38 I VOCABULAIRE II REPRESENTATIONS GRAPHIQUES A DIAGRAMME EN BATONS/EN TUYAUX D'ORGUE ET HISTOGRAMME B DIAGRAMME EN BANDES/DIAGRAMME CIRCULAIRE III MOYENNES 38 39 39 40 42 4E -­ G1 THEOREME DE PYTHAGORE 43 I A B II 43 43 43 45 TRIANGLE RECTANGLE ET THEOREME DE PYTHAGORE VOCABULAIRE THEOREME DE PYTHAGORE COMMENT RECONNAITRE UN TRIANGLE RECTANGLE ? 4E – G2 TRIANGLES ET PARALLELES 46 I DROITE DES MILIEUX II MILIEU ET PARALLELE 46 47 4E – G3 COSINUS D’UN ANGLE AIGU 50 I DEFINITIONS A COTES D’UN TRIANGLE RECTANGLE B COSINUS II APPLICATIONS A CALCUL D’ANGLES B CALCUL DE LONGUEURS 50 50 50 51 51 52 4E – G4 TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE 53 I A B II A B 53 53 53 54 54 54 CERCLE CIRCONSCRIT A UN TRIANGLE RECTANGLE PROPRIETE CONSEQUENCES TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE PROPRIETE CONSEQUENCES 4E – G5 DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE 55 I A B II A B III 55 55 55 56 56 56 57 DEFINITION ET PROPRIETE DEFINITION PROPRIETE TANGENTE A UN CERCLE EN L’UN DE SES POINTS DEFINITION PROPRIETE BISSECTRICES 4E – G6 PYRAMIDES ET CONES DE REVOLUTION 59 I PYRAMIDES A GENERALITES ET DEFINITIONS B CAS PARTICULIER : LES PYRAMIDES REGULIERES II PATRONS DE PYRAMIDES III CONE DE REVOLUTION 59 59 60 60 62 4E – GM1 VITESSE 63 I VITESSE MOYENNE II CALCUL DE DISTANCES ET DE DUREES A CALCUL D’UNE DISTANCE B CALCUL D’UNE DUREE III UNITES DE VITESSE 63 64 64 64 65 4E – GM2 AIRES ET VOLUMES 66 I A B II A B 66 66 66 67 67 67 AIRES AIRES USUELLES AIRES D’UN SOLIDE VOLUMES PRISMES ET CYLINDRES PYRAMIDES ET CONES 4e – N1
I
NOMBRES RELATIFS - VOCABULAIRE
Qu’est ce qu’un nombre relatif ?
Un nombre relatif est un nombre composé :
d’un signe : + ou – ;
d’une partie numérique : sa distance à zéro.
La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre relatif sans son signe.
Exemple : (– 5) est un nombre négatif ; sa distance à zéro est 5
(+ 8,6) est un nombre positif ; sa distance à zéro est 8,6.
L’abscisse d’un point est le nombre relatif qui permet de repérer ce point sur une droite graduée.
La distance à zéro d’un nombre relatif est la distance entre l’origine de la droite graduée et le
point qui a pour abscisse ce nombre
II
Parenthèses et symbole « - »
Les ( ) sont obligatoires pour séparer un signe opératoire du signe d’un nombre relatif.
Exemple : On doit écrire 4 × (- 5) et non 4 × - 5
On peut écrire 4 - (+ 5) mais pas 4 - + 5
On utilise souvent l’écriture simplifiée des nombres relatifs.
Exemple : On écrit 89 à la place de (+ 89)
et 2,8 – 3 à la place de (+ 2,8) – (+ 3) ou de (+ 2,8) + (– 3)
Le symbole « - » n’est pas toujours le symbole de la soustraction. Il peut aussi être le signe d’un
nombre relatif négatif.
Exemples :
• Dans l’écriture (+ 3) – (+8), le signe « - » symbolise la soustraction.
• Dans l’écriture – 5 + 9 le signe « - » est le signe du nombre relatif (- 5).
• Dans l’écriture 4 – (- 8), le premier « - » symbolise la soustraction et le deuxième « - » est
le signe du nombre relatif (- 8).
• Dans l’écriture 4 – 8, le signe « - » peut symboliser :
 soit une soustraction : on enlève 8 à 4 ;
 soit le signe du nombre relatif (- 8) : on ajoute (- 8) à 4 ;
mais il ne peut pas symboliser les deux en même temps.
III
Opposé d’un nombre relatif
L’écriture « – a » désigne l’opposé du nombre « a » (c’est à dire le nombre qui a la même distance
à zéro que « a », mais qui a le signe contraire de « a »).
Remarque : - a n’est pas toujours un nombre négatif.
Exemples : L’opposé de 5 est – 5. Si a = 5, alors – a = – 5
L’opposé de – 2,3 est 2,3. Si a = – 2,3, alors – a = 2,3
IV
Inverse d’un nombre relatif
Définition 1: L’inverse d’un nombre relatif « a » non nul est le nombre qui multiplié par « a »
1
donne 1. C’est le nombre « ».
a
-1
On note « a » l’inverse de a.
Remarque : Zéro n’a pas d’inverse car le produit de zéro par n’importe quel nombre donne
toujours zéro.
1
. C’est donc 0,2.
5
1
1
ou −
.
• L’inverse de – 100 est
−100
100
1
1
• L’inverse de 3 est car 3 × = 1. L’inverse de 3 n’a pas d’écriture décimale.
3
3
Exemples : • L’inverse de 5 est
Propriété : Un nombre et son inverse ont le même signe.
Exemple : L’inverse de 2 est 1/2 ; l’inverse de – 2 est
1
1
ou − .
−2
2
Remarque : Attention à ne pas confondre « inverse » et « opposé »
Exemple : 2 a pour inverse
1
et pour opposé – 2.
2
4e – N2
I
NOMBRES RELATIFS - OPERATIONS
Addition (et soustraction)
A
Règles de calcul
Règle 1: Pour additionner deux nombres relatifs de MEME signe :
1) on garde le signe commun
2) on ajoute les « distances à zéro »
Règle 2: Pour additionner deux nombres relatifs de signes DIFFERENTS :
1) on garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande.
2) on soustrait les « distances à zéro » (la plus grande – la plus petite)
Exemples : (+7) + (+5) = (+12)
(+7) + (-5) = (+2)
(-7) + (-5) = (-12)
(-7) + (+5) = (-2)
B
ou
ou
ou
ou
7 + 5 = 12
7–5=2
-7 – 5 = -12
-7 + 5 = -2
Propriétés
Propriété 1 : La somme de deux nombres opposés est toujours égale à zéro.
Pour tout nombre relatif a on peut écrire a + (– a) = 0
Preuve : L’opposé de a est – a.
On sait aussi que a et – a sont de signes contraires et ont la même distance à zéro.
Pour calculer a + (– a), on applique la Règle 2.
Lorsqu’on soustrait les distances à zéro de a et – a, on trouve zéro, d’où le résultat.
Propriété 2 : Soustraire un nombre c’est ajouter son opposé.
Pour tous nombres relatifs a et b on peut écrire a – b = a + (– b)
Exemples : (+7) - (+5) = (+7) + (-5) = (+2)
(+7) - (-5) = (+7) + (+5) = (+12)
(-7) - (-5) = (-7) + (+5) = (-2)
(-7) - (+5) = (-7) + (-5) = (-12)
(+5) - (+7) = (+5) + (-7) = (-2)
Propriété 3: Une somme ne change pas si on change l’ordre de ses termes.
Pour tous nombres relatifs a et b on peut écrire a + b = b + a
Exemple : A = 7 – 9,8 + 3,7
A = 7 + 3,7 – 9,8
A = 10,7 – 9,8
A = 0,9
on additionne les nombres (+7), (-9,8) et (+3,7)
on change l’ordre des termes : attentions au signe de chaque
nombre relatif
Propriété 4: La somme d’un nombre et de 0 est égale à ce nombre.
Pour tout nombre relatif a peut écrire a + 0 = 0 + a = a
II
Multiplication
A
Propriétés
Propriété 1 : Un produit ne change pas si on change l’ordre de ses facteurs.
Pour tous nombres relatifs a et b : a × b = b × a
Propriété 3 : Le produit d’un nombre par 0 est égal à zéro.
Pour tout nombre relatif a, on peut écrire : a × 0 = 0 × a = 0
Propriété 3 : Le produit d’un nombre par 1 est égal à ce nombre.
Pour tout nombre relatif a, on peut écrire : a × 1 = 1 × a = a
Propriété 4 : Le produit d’un nombre par (- 1) est égal à l’opposé de ce nombre.
Pour tout nombre relatif a, on peut écrire : a × (- 1) = (- 1) × a = - a
Propriété 5 : Le produit d’un nombre PAIR de facteurs négatifs est positif.
Le produit d’un nombre IMPAIR de facteurs négatifs est négatif.
Remarque : Pour connaître le signe d’un produit, il suffit de connaître le nombre de facteurs
négatifs.
Exemples : -2 × (-3) × (-4) × (-5) est positif car il y a 4 facteurs négatifs.
-2 × (-3) × 4 × (-5) est négatif car il y a 3 facteurs négatifs.
Le produit de 2011 facteurs négatifs est négatif.
Le produit de 2012 facteurs négatifs est positif.
B
Règle de calcul
Règle : Pour multiplier deux nombres relatifs :
1) on met le signe « - » si les deux nombres sont de signes différents ou le signe
« + » si les deux nombres sont de mêmes signes.
2) on multiplie les « distances à zéro »
Exemples : (+3) × (-5) = (-15)
(-3) × (+5) = (-15)
(+3) × (+5) = (+15)
(-3) × (-5) = (+15)
III
Division
a
d’un nombre a par un nombre b (b ≠ 0) est le nombre qui multiplié par b donne a.
b
a
Pour tous nombres relatifs a et b tels que b ≠ 0 on peut écrire : × b = a
b
Le quotient
Exemples : (- 45) : 5 = - 9 car 5 × (- 9) = - 45
(- 75) : (- 3) = 25 car (-3) × 25 = - 75
(+ 8) : (- 0,5) = - 16 car (- 0,5) × (- 16) = 8
A
Règle de calcul
Règle : Pour calculer le quotient de deux nombres relatifs :
1) on met le signe « - » si les deux nombres sont de signes différents ou le signe « + » si
les deux nombres sont de mêmes signes.
2) on calcule le quotient de leurs « distances à zéro ».
Remarque : Certains quotients n’ont pas d’écriture décimale, mais on peut toujours trouver une
valeur approchée décimale de ces quotients.
Exemple : 0,66 est une valeur approchée de
B
2
2
et - 0,66 est une valeur approchée de − .
3
3
Propriétés
Propriété 1 : Diviser par un nombre revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.
Pour tous nombres relatifs a et b (avec b ≠ 0) on peut écrire : a : b = a ×
1
b
a
1
a ×1 a
= .
et que a × =
b
b
b
b
1
On peut donc conclure que a : b = a × .
b
Preuve : On sait que a : b =
Exemples : Diviser par 0,5 revient à multiplier par 2 (car 2 est l’inverse de 0,5).
Diviser par - 0,01 revient à multiplier par – 100 (car – 100 est l’inverse de 0,01).
Propriété 2 : Le quotient d’un nombre par 1 est égal à ce nombre.
a
Pour tout nombre relatif a, on peut écrire a = .
1
4e – N3
I
ECRITURES FRACTIONNAIRES - ECRITURE
Ecriture fractionnaire et signe « – »
• Le quotient (- 2) : 3 n’a pas d’écriture décimale.
2
−2
ou − .
On peut l’écrire sous forme fractionnaire
3
3
• De même, le quotient 2 : (-3) peut s’écrire sous forme fractionnaire
On peut ainsi constater que
2
2
−2
=
=−
3
3
−3
Propriété : Pour tous nombres relatifs a et b tels que b ≠ 0,
II
2
2
ou − .
3
−3
a
−a
a
=
=−
b
b
−b
Quotients égaux – Simplifications
A
Règle fondamentale
Propriété : Un quotient de deux nombres relatifs ne change pas lorsqu’on multiplie (ou divise) son
numérateur et son dénominateur par le même nombre non nul.
Pour tous nombres relatifs a, b et k avec b et k différents de zéro, on peut écrire
a a:k
a a×k
et =
=
b b:k
b b× k
Exemples :
B
Exemple :
−3 −3 × 4 −12
=
=
5
5×4
20
9
9:3
3
3
=
=
=−
−15 −15 : 3 − 5
5
Applications
1.
Simplifier une fraction
− 25 (−5) × 5 5
=
=
− 40 (−5) × 8 8
2.
Changer le dénominateur d’une fraction
−3
−3 (−3) × 4 −12
avec le dénominateur 28, on fait : =
Exemple : Si on veut écrire
=
7
7
7×4
28
3.
Transformer une écriture fractionnaire en fraction
− 2,5 (−2,5) × 10 − 25
Exemple :
=
=
4
4 × 10
40
III
Quotients égaux – Produits en croix
A
Règle
Propriété : Soient a, b, c et d des nombres relatifs avec b et d différents de zéro.
a c
Dire que = , c’est dire que a × d = b × c.
b d
Exemples :
−17
221
et
sont-elles égales ?
15
−195
- 17 × 195 = - 3 315 et 15 × (- 221) = 3 315
• Les fractions
On constate que les produits en croix sont égaux donc
−17
221
=
.
15
−195
13
167
et
sont-elles égales ?
14
182
13 × 182 = 2 366 et 14 × 167 = 2 338
• Les fractions
On constate que les produits en croix sont différents donc
B
13 167
≠
14 182
Application
Exemple : Trouver le nombre n tel que
56 21
=
15 n
56 21
=
15 n
donc 56 × n = 15 × 21 soit 56 × n = 315
d’où n = 315 : 21 = 5,625
4e – N4
I
ECRITURES FRACTIONNAIRES - OPERATIONS
Addition et soustraction
Règle: Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire :
1) on réduit les fractions au même dénominateur
2) on ajoute (ou on soustrait) les numérateurs obtenus
3) on garde le dénominateur commun.
Exemples :
•
1 5 2 15 17
+ = +
=
3 2 6 6
6
•
5 7 15 14 1
− =
−
=
(On essaie de trouver le dénominateur commun le plus petit possible)
4 6 12 12 12
•
3 11 15 22 −7
− =
−
=
2 5 10 10 10
•
−3 −5 −9 −35 −44
+
=
+
=
7
3 21 21
21
(6 est à la fois dans la table de 2 et dans la table de 3)
III
Multiplication
Règle : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre
eux et les dénominateurs entre eux.
a c a×c
Pour tous nombres a, b, c et d avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on peut écrire : × =
b d b×d
Propriété 1 : Pour tous nombres a, c et d avec d ≠ 0, on peut écrire : a ×
Preuve : a ×
c a×c
=
d
d
c a c a×c a×c
= × =
=
d 1 d 1× d
d
Propriété 2 : Pour tous nombres a, b et c avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on peut écrire :
Preuve :
a b a
× =
b d d
a b a × b a ×b a
× =
=
=
b d b × d d ×b d
Remarque 1 : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on ne réduit pas au même
dénominateur.
Remarque 2 : Penser à simplifier au fur et à mesure…
Exemples :
4 −5 −20
×
=
•
3 3
9
−5 10
=
• −2 ×
7
7
4/ 7 7
× =
•
3 4/ 3
−3 2 − 3 × 2 × 1 −1
× =
=
•
6 3
3
2 × 3× 3
Définition : Prendre une fraction
a
a
d’une quantité, c’est multiplier cette quantité par .
b
b
5
5 × 49 5 × 7 ×7 35
5
5
=
=
= 35
de 49 » se traduit par « × 49 » et × 49 =
7
7
1
7 ×1
7
7
2
2
• « d’un nombre est égal à 250 » se traduit par « × n = 250 » où n est le nombre
3
3
2
cherché. Pour calculer n, il faut donc effectuer la division 250 : .
3
Exemples : • «
IV
Division
Propriété : L’inverse d’une fraction
a
b
c’est la fraction (avec a ≠ 0 et b ≠ 0)
b
a
4
3
est
3
4
−2
7
−7
7
• L’inverse de
est
ou
ou −
7
−2
2
2
Exemples : • L’inverse de
c
a
d
a
par , c’est multiplier par
avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0.
d
b
c
b
a
b =a×d
a c
a d
: = ×
ou
c b c
c
b d
b
d
Règle : Diviser
3
3 1 3
÷2= × =
4
4 2 8
Exemples : •
• −2 ÷
3
4 −8
= −2 × =
4
3 3
• −
5 3
5 4 −20
÷ =− × =
7 4
7 3 21
• −
5 1 −5 7 −5
÷ =
× =
= −5
1
7 7 7
1
4
4 3 12
• 9 = × =
8 9 8 72
3
•
1
3 3
= 1× =
4
4 4
3
3
3 1
3
• 7 = × =
5 7 5 35
4e – N5
I
Puissances
Notation du type a × 10 n
A
Notations du type a × 10 n
n
Soit D un nombre décimal. D peut s’écrire de plusieurs manières sous la forme a × 10 .
Dans cette écriture a est un nombre décimal et n est un nombre entier relatif qui indique le rang du
chiffre des unités de a dans D.
3
Exemples : 375 000 = 375 × 10 (5 est le chiffre des milliers de 375 000)
2
-5,4 × 10 = - 540 (5 est le chiffre des centaines de 540)
–2
-53,4 × 10 = - 0,534 (3 est le chiffre des centièmes de 0,534)
–5
0,004569 = 456,9 × 10 (6 est le chiffre des cent millièmes de 0,004569)
B
Notation scientifique d’un nombre décimal
Définition : L’écriture scientifique d’un nombre décimal D est une écriture de la forme
p
a × 10 dans laquelle :
- a est un nombre décimal ayant un seul chiffre, autre que zéro, avant la virgule ;
- p est un entier relatif qui permet de repérer le rang de ce chiffre dans l'écriture
décimale de D
Exemples :
1
• A = 36,5 = 3,65 × 10 (3 est le chiffre des dizaines)
3
• B = - 6500 = - 6,5 × 10 (6 est le chiffre des milliers)
–2
• C = 0,036 = 3,6 × 10 (3 est le chiffre des centièmes)
– 12
• D = 0,000 000 000 001 52 =1,52 × 10 (Le chiffre1 occupe le 12e rang après la virgule)
7
• E = 25 000 000 = 2,5 10 (Le chiffre 2 occupe le 7e rang avant l'unité)
Attention ! Certaines calculatrices affichent l'écriture scientifique des nombres décimaux en
p
affichant uniquement les nombres a et p de l'écriture a × 10
L'écriture (ou la notation) scientifique d'un nombre décimal permet de donner un ordre de
grandeur de ce nombre.
Exemple : La France compte environ 60 000 000 d'habitants et l’écriture scientifique de
7
60 000 000 est 6 × 10 .
7
La population de la France se compte en dizaines de millions d'habitants ; 10 est
l'ordre de grandeur de cette population.
n
Remarque : Pour un nombre décimal donné, il existe plusieurs écritures du type a × 10 mais
l'écriture scientifique d'un nombre décimal est unique !
II
Puissances de 10
A
Définition
L’écriture 14 × 106 représente le nombre 14 millions qui s’écrit 14 000 000 ou 14 × 1 000 000.
Cela signifie que 14 × 106 = 14 × 1 000 000. On en déduit donc que 106 = 1 000 000.
De même, 152 × 10-2 représente le nombre 152 centièmes qui s’écrit 1,52 ou 152 × 0,01
On en déduit donc que 152 × 10-2 = 152 × 0,01 et donc que 10-2 = 0,01
−n
0...0
Propriété : Pour tout entier n positif on a : 10 n = 1 0…0
 et 10 = 0,

1
n zéros
n zéros
Définition : Pour tout entier n tel que n ≥ 2, 10 n est le produit de n facteurs égaux à 10 (
×
×
10 )
10 n = 10


n facteurs
101 = 10
100 = 1
−n
Pour tout entier n ≥ 1, 10 =
2
1
10 n
3
Exemples : 10 = 10 × 10 = 100 ; 10 = 10 × 10 × 10= 1000
-1
-4
1
1
1
1
10 = 1 =
= 0,1 ; 10 = 4 =
= 0,0001
10 10
10
10000
B
1
Opérations sur les puissances de 10
Produit
Propriété : Le produit de deux puissances de 10 est une puissance de 10 dont l'exposant est égal à
la somme des exposants des facteurs.
Pour tous nombres relatifs m et n, on a : 10 m × 10 n = 10 m+n
Exemple :
10 4 × 10 2 = 10 4+2 = 10 6
10 −2 × 10 5 = 10 −2+5 = 10 3
10 −4 × 10 −2 = 10 −4−2 = 10 −6
2
Inverse
Propriété : Pour tout nombre relatif n, 10 −n est l'inverse de 10 n ou encore 10 −n =
4
Exemple : L'inverse de 10 est 10 −4
L'inverse de 10 −3 est 10 3
1
10 n
3
Quotient
Propriété : Le quotient de deux puissances de 10 est une puissance de 10 dont l'exposant est égal à
la différence entre l'exposant du numérateur et l'exposant du dénominateur.
Pour tous nombres relatifs m et n, on a :
Exemple :
10 5
2
10 3
10 3
4
10
10 −5
= 10 m−n
= 10 −2−3 = 10 −5
= 10 3−4 = 10 −1
−8
10
10 −12
4
10
n
= 10 5−2 = 10 3
10
10 −2
10
10 m
= 10 −5+8 = 10 3
−14
= 10 −12+14 = 10 2
Puissance de puissance
( )
m
Propriété : Pour tous entiers m et n, on a 10
n
= 10 m × n
Preuve : On suppose m et n entiers positifs :
(10 )
m n
m
m
= 10
×
…
× 10
= (10
×
…
×
10 ) × … × (10
×
…
×
10 ) = 10 m×n



n facteurs
m facteurs
m facteurs



m×n facteurs10
(Si m ou n est négatif on admet le résultat en 4e)
( )
−3
Exemple : 10
IV
−2
= 10 −3×(−2) = 10 6
−3 −2
( (10 ) =
1
−3 2
(10 )
=
1
−3
−3
(10 ) × (10 )
=
1
10
−6
Autres puissances
A
Définitions
Définition 1 : Pour tout nombre relatif a non nul et pour tout entier n tel que n ≥ 2, on a :
a ;
an = a×
×

n facteurs
1
a =a
a0 = 1
= 10 6 )
Définition 2 : Pour tout nombre relatif a non nul et pour tout entier n positif, on a:
1
a− n = n
a
n
Pour tout nombre n strictement positif, 0 = 0.
Remarques :
se lit « a puissance n » ou « a exposant n »
a 2 se lit « a puissance 2 » ou « a exposant 2 » ou « a au carré »
a 3 se lit « a puissance 3 » ou « a exposant 3 » ou « a au cube »
1
−1
a – n est l’inverse de an et en particulier a =
a
5
Exemples : 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
1 1
2 −3 = 3 = = 0,125
2
8
1
2011 = 2011
0
2012 = 1
4
(-2) = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16
4
- 2 = - 2 × 2 × 2 × 2 = -16
Attention aux signes « - » ! :
B
Calculs avec des puissances
a n × a m = a n+m
• 1,22 × 1,23 = (1,2 × 1,2) × (1,2 × 1,2 × 1,2) = 1,25
3−6 × 38 = 3−6+8 = 32
•
23
27
=
23
ou
4
−5
4
2×2×2
1
1
=
= 4 = 2 −4
2×2×2×2×2×2×2 2×2×2×2 2
8
2
7
1
3
=2 ×
2
7
3
=2 ×2
−7
=2
an
−4
a
m
= a n−m
= 4 −5−8 = 4 −13
Propriété : Pour tous nombres décimaux a et b, on a
( ab )2 = a 2 × b 2
2
2
Preuve : ( ab ) = ab × ab = a × b × a × b = a × a × b × b = a × b
2
2
2
2
2
Exemples : 0,25 × 4 = (0,25 × 4) = 1 = 1
2
2
2
2
2
(2x) = 2 × x = 4 × x = 4x
4e – N6
I
RESOLUTION DE PROBLEMES – EQUATIONS
Différentes méthodes pour résoudre un problème…
Exemple : On veut partager une somme de 60 € entre Arthur et Bertrand, sachant que Bertrand
obtiendra 8 € de plus qu’Arthur.
Méthode par essais successifs
On essaie :
- si on donne 20 € a chacun des deux garçons et 8 € de plus à Bertrand, on aura distribué 48 €, ce
qui n’est pas assez ;
- si on donne 30 € à chacun des deux garçons et 8 € de plus à Bertrand, on aura distribué 68 €, ce
qui est trop ;
- si on donne 25 € à chacun des deux garçons et 8 € de plus à Bertrand, on aura distribué 58 €, ce
qui n’est pas assez ;
- si on donne 26 € à chacun des deux garçons et 8 € de plus à Bertrand, on aura distribué 60 €, on
peut donc conclure qu’il faut donner 26 € à Arthur et 34 € à Bertrand.
Remarque :
On peut effectuer les essais sur un tableur :
Méthode arithmétique
Bertrand obtient 8 € de plus qu’Arthur : on donne déjà 8 € à Bertrand et on partage équitablement
les 60 € – 8 € = 52 € qui restent.
Arthur aura donc 52 € : 2 = 26 € et Bertrand aura 26 € + 8 € = 34 €
A l’aide d’un schéma
Sur le schéma, on voit que la part d’Arthur est (60 € - 8 €) : 2 = 26 € et que celle de Bertrand est
alors 26 € + 8 € = 34 €.
En résolvant une équation
Si on appelle x la part reçue par Arthur, on peut écrire l’égalité x + x + 8 = 60 ou 2x + 8 = 60.
On peut alors écrire que 2x = 60 – 8 soit 2x = 52 puis que x = 52 : 2 soit x = 26.
On en conclut qu’Arthur obtient 26 € et que Bertrand obtient 34 €, ce qui correspond bien à un
total de 60 €.
II
Définitions
Vérifier une égalité, c’est calculer SEPAREMENT chaque membre de cette égalité et comparer
les résultats obtenus.
Exemple 1 : Vérifier l’égalité x2 – 3x – (x + 2x2) = 3x2 – 4x pour x = 0 puis pour x = 1.
Pour x = 0 : x2 – 3x – (x + 2x2) = 02 – 3 × 0 – (0 + 2 × 02) = 0
3x2 – 4x = 3 × 02 – 4 × 0 = 0
L’égalité x2 – 3x – (x + 2x2) = 3x2 – 4x est donc vraie pour x = 0.
Pour x = 1 : x2 – 3x – (x + 2x2) = 12 – 3 × 1 – (1 + 2 × 12) = 1 – 3 – (1 + 2) = 1 – 3 – 3 = – 5
3x2 – 4x = 3 × 12 – 4 × 1 = 3 – 4 = – 1
L’égalité x2 – 3x – (x + 2x2) = 3x2 – 4x est donc fausse pour x = 1.
Exemple 2 : Vérifier l’égalité x2 – 3x – (x + 2x2) = -x2 – 4x pour x = 0, pour x = 1 et pour x = -1.
Pour x = 0 : x2 – 3x – (x + 2x2) = 0 (cf exemple 1)
-x2 – 4x = - 02 – 4 × 0 = 0
L’égalité x2 – 3x – (x + 2x2) = -x2 – 4x est donc vraie pour x = 0.
Pour x = 1 : x2 – 3x – (x + 2x2) = – 5 (cf exemple 1)
-x2 – 4x = -12 – 4 × 1 = -1 – 4 = – 5
L’égalité x2 – 3x – (x + 2x2) = -x2 – 4x est donc vraie pour x = 1.
Pour x = -1 : x2 – 3x – (x + 2x2) = (-1)2 – 3× (-1) - (-1+ 2(-1)2) = 1 + 3 – (-1 + 2) = 1 + 3 – 1 = 3
-x2 – 4x = - (-1)2 – 4 × (-1) = -1 + 4 = 3
L’égalité x2 – 3x – (x + 2x2) = -x2 – 4x est donc vraie pour x = -1.
Remarques : Si on arrive à trouver une valeur de x pour laquelle l’égalité est fausse, cela suffit à
dire que l’égalité n’est pas toujours vraie.
Par contre, si l’égalité est vraie pour chaque valeur de x testée cela ne permet pas de
dire que l’égalité est toujours vraie.
Définitions : Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure un nombre
inconnu généralement représenté par une lettre.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs possibles de l'inconnue pour
lesquelles l'égalité est vraie.
Chacune de ces valeurs est appelée solution de l’équation.
Exemple : x + 5 = 14 – 2x est une équation d’inconnue x.
x + 5 est le premier membre de cette équation.
14 – 2x est le deuxième membre de cette équation.
Si x = 2,9 :
Premier membre : 2,9 + 5 = 7,9
Deuxième membre : 14 – 2 × 2,9 = 14 – 5,8 = 8,2
L’égalité n’est pas vérifiée pour x = 2,9 donc 2,9 n’est pas solution de l’équation
x + 5 = 14 – 2x
Si x = 3 :
Premier membre : 3 + 5 = 8
Deuxième membre : 14 – 2 × 3 = 14 – 6 = 8
L’égalité est vérifiée pour x = 3 donc 3 est solution de l’équation x + 5 = 14 – 2x
III
Propriétés
Propriété 1 : On ne change pas une égalité si on ajoute (ou retranche) un même nombre à chacun
de ses deux membres.
Pour tous nombres a, b et c on peut écrire :
a = b est la même égalité que a + c = b + c
a = b est la même égalité que a – c = b – c
Exemple : - 2 + x = - 3 est la même égalité que - 2 + x + 2 = - 3 + 2 ou encore x = -1
Propriété 2 : On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) les deux membres de cette
égalité par un même nombre non nul.
Pour tous nombres a, b et c (c ≠ 0) on peut écrire :
a = b est la même égalité que a × c = b × c
a b
a = b est la même égalité que =
c c
Exemple : 3x = 9 est la même égalité que
9
3x
= ou encore x = 3
3
3
IV
Résoudre une équation à une inconnue
Pour résoudre une équation, on transforme l’égalité de manière à isoler l’inconnue.
Méthode : (On suppose que l’inconnue s’appelle x)
1. Développer et réduire chaque membre. On obtient une égalité du type ax + b = cx + d.
2. On rassemble les termes en x dans le premier membre et les termes constants dans le
deuxième membre. On obtient une égalité du type ax = b.
3. On divise les deux membres de l’équation par a (appelé le coefficient de x). On trouve
alors la valeur de l’inconnue.
4. On vérifie que la valeur trouvée est bien solution de l’équation.
5. On conclut.
Exemple : On veut résoudre l’équation 2(x + 1) + 5 = 3x – 2
1. On développe et réduit :
2(x + 1) + 5 = 3x – 2
2x + 2 + 5 = 3x – 2
2x + 7 = 3x – 2
2. On regroupe :
2x + 7 = 3x – 2
2x – 3x = – 2 – 7
–x = –9
3. On divise :
–x = –9
−x −9
=
−1 −1
x=9
4. On vérifie :
Premier membre : 2 × (9 + 1) + 5 = 2 × 10 + 5 = 20 + 5 = 25
Deuxième membre : 3 × 9 – 2 = 27 – 2 = 25
Les deux membres sont bien égaux pour x = 9.
5. On conclut :
La solution de l’équation est 9.
V
Mettre un problème en équation
Méthode : 1) Choisir et nommer l'inconnue
2) Exprimer toutes les données de l'énoncer en fonction de l'inconnue choisie
3) Ecrire l'équation obtenue et la résoudre
4) Vérifier la cohérence du résultat trouvé
5) Conclure avec les mots de l'énoncé
Exemple 1 : On dispose de 88 jetons de trois couleurs différentes : jaune, rouge et bleu.
Il y a 12 jetons jaunes de plus que de jetons bleus et trois fois plus de jetons rouges que
de jetons jaunes. Combien y a-t-il de jetons bleus ?
1)
2)
3)
4)
5)
Soit x le nombre de jetons bleus. x doit être un nombre entier positif.
Il y a 12 jetons jaunes de plus que de jetons bleus, il y en a donc x + 12
Il y a trois fois plus de jetons rouges que de jetons jaunes, il y a donc 3 × (x + 12) ou 3x + 36
jetons rouges.
Il y a 88 jetons au total. On obtient donc l’équation x + x + 12 + 3x + 36 = 88.
5x 40
=
5x + 48 = 88 ; 5x + 48 – 48 = 88 – 48 ; 5x = 40 ;
;x=8
5
5
8 est un entier positif.
S’il y a 8 jetons bleus, il y a 12 + 8 = 20 jetons jaunes et 3 × 20 = 60 jetons rouges.
8 + 20 + 60 = 88.
La réponse trouvée est donc cohérente.
On peut conclure qu’il y a 8 jetons bleus (20 jetons jaunes et 60 jetons rouges)
Exemple 2 : Au début de sa séance, un professeur d’EPS partage une classe de 24 élèves en deux
groupes : le groupe A et le groupe B. Après 15 minutes, il demande à quatre élèves du
groupe B de passer dans le groupe A. Il y a alors trois fois plus d’élèves dans le groupe
A que dans le groupe B. Combien y avait-il d’élèves dans chaque groupe au début de
la séance.
1)
2)
3)
4)
5)
Soit x le nombre d’élèves dans le groupe A au début de la séance.
x doit être un nombre entier positif
Il y a 24 élèves, donc au début de la séance il y a 24 – x élèves dans le groupe B
Après 15 minutes, il y a x + 4 élèves dans le groupe A et 24 – x – 4 = 20 – x élèves dans le
groupe B.
Après 15 minutes, il y a trois fois plus d’élèves dans le groupe A que dans le groupe B. On
obtient donc l’équation x + 4 = 3 × (20 – x).
4x 56
=
; x = 14
x + 4 = 60 – 3x ; x + 4 – 4 + 3x = 60 – 3x – 4 – 3x ; 4x = 64 ;
4
4
14 est un entier positif.
Si, au début de la séance, il y a 14 élèves dans le groupe A, il y en a 10 dans le groupe B.
Après 15 minutes, il y a alors 18 élèves dans le groupe A et 6 dans le groupe B. 18 est bien le
triple de 6. La réponse trouvée est donc cohérente.
On peut conclure qu’il y avait 14 élèves dans le groupe A au début de la séance.
4e – N7
I
ORDRE ET OPERATIONS
Comparaison
A
Définitions et notations
Comparer deux nombres, c’est dire lequel de ces deux nombres est le plus grand, le plus petit ou
s’ils sont égaux.
• a < b se lit « a est strictement inférieur à b »
a > b se lit « a est strictement supérieur à b »
Ce sont des inégalités au sens strict.
• a ≤ b se lit « a est inférieur ou égal à b » et signifie a < b ou a = b ;
a ≥ b se lit « a est supérieur ou égal à b » et signifie a > b ou a = b.
Ce sont des inégalités au sens large.
Exemples :
• Les valeurs entières de x pour lesquelles x < 2 sont 0 et 1.
• Les entiers relatifs a qui vérifient –3 ≤ a < 2 sont – 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 et 1.
• Les nombres y qui vérifient y > – 3 sont tous les nombres qui sont supérieurs à – 3, – 3 exclu.
Cas particuliers :
• x < 0 se lit aussi « x est strictement négatif »
• x > 0 se lit aussi « x est strictement positif »
• x ≤ 0 se lit aussi « x est négatif ou nul»
• x ≥ 0 se lit aussi « x est positif ou nul»
Définition : Une inégalité compare deux nombres à l’aide d’un des symboles <, >, ≤ ou ≥.
Exemples : 0,5 < 1 et x – 1 ≥ 3 sont des inégalités.
2 ≠ -2 n’est pas une inégalité. Cela signifie que la proposition « 2 = - 2 » est fausse.
B
Comparaison des nombres relatifs
1. Ecriture décimale
Règle 1 : Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.
Exemple : – 53,6 < 0,2
Règle 2 : Deux nombres négatifs sont rangés dans le sens contraire de leurs opposés.
Exemple : 2,35 > 2,349 et – 2,35 < – 2 ,349
2. Ecriture fractionnaire
Règle : Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire :
- Soit on transforme les écritures de manière à obtenir le même dénominateur positif puis
on compare les numérateurs
- Soit on utilise la calculatrice pour comparer des valeurs approchées des deux nombres.
Exemple 1 : Comparer
3
2
et .
7
3
3 9
2 14
et = .
=
7 21
3 21
Comme 9 < 14, on a donc
On en conclut que :
Exemple 2 : Comparer
9 14
< .
21 21
3 2
< .
7
3
9
5
et
.
23
13
9
5
≈ 0,39…. et
≈ 0,38…
23
13
Comme 0,39 > 0,38, on en conclut que
9
5
> .
23 13
II
Troncature, arrondi, encadrement
Définition : Encadrer un nombre, c’est trouver une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce
nombre.
Lorsqu’on cherche la troncature ou l’arrondi d’un nombre, on commence par trouver un
encadrement de ce nombre à la précision demandée :
•
A l’unité : on cherche deux nombres entiers consécutifs.
•
Au dixième : on cherche deux nombres n’ayant qu’un seul chiffre après la virgule et dont la
différence est 0,1.
Au centième : on cherche deux nombres n’ayant que deux chiffres après la virgule et dont la
différence est 0,01.
•
…
• A la dizaine : on cherche deux dizaines consécutives
• A la centaine : on cherche deux centaines consécutives
…
Une fois l’encadrement trouvé, on peut déterminer la troncature et l’arrondi :
• Le nombre inférieur est la troncature.
• Le nombre le plus proche (entre le nombre inférieur et le nombre supérieur) est l’arrondi.
Par convention, si les deux nombres formant l’encadrement sont à égale distance du nombre
dont on cherche l’arrondi, on décide de prendre le nombre supérieur.
Exemple : On considère le nombre 596,3475
• Un encadrement de ce nombre à la dizaine est 590 < 596,3475 < 600
La troncature à la dizaine est 590, l’arrondi à la dizaine est 600.
• Un encadrement de ce même nombre au dixième est 596,3 < 596,3475 < 596,4
La troncature au dixième est 596,3, l’arrondi au dixième est 596,3.
• Un encadrement au millième du même nombre est 596,347 < 596,3475 < 596,348
La troncature au millième est 596,347, l’arrondi au millième est 596,348.
Remarques :
• Pour trouver la troncature d’un nombre, il suffit de le « couper » juste après le chiffre
demandé (unité, dixième, centième, …) et de conserver la partie de gauche.
Exemple : La troncature au dixième de 5,639 est 5,6
• Pour trouver l’arrondi d’un nombre (à l’unité, au dixième, au centième…) , il suffit de
regarder « le chiffre qui suit » :
- s’il s’agit de 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4 on arrondit « en dessous »
- s’il s’agit de 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9 on arrondit « au dessus»
Exemples : L’arrondi au dixième de 5,69 est 5,7
L’arrondi au centième de 3,873 est 3,87
III
Signe d’une différence
Propriété : Soient a et b deux nombres relatifs.
Dire que a < b, c’est dire que a – b < 0 ou dire que a – b est négatif (strictement)
Dire que a > b, c’est dire que a – b > 0 ou dire que a – b est positif (strictement)
Remarque : Cette propriété reste vraie avec les inégalités au sens large.
Exemples : Dire que 3 < 5 c’est dire que 3 – 5 < 0 ou que - 2 > 0
Dire que - 2 > - 6 c’est dire que - 2 – (- 6) > 0 ou que 4 >0
Dire que x – 2 > 0, c’est dire que x > 2
Dire que 8 – a ≤ 0, c’est dire que 8 ≤ a
IV
Inégalités et opérations
A
Addition (et soustraction)
Propriété 1 : a, b et c désignent trois nombres relatifs
Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
Si a < b, alors : a + c < b + c.
« Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé »
On peut donc aussi écrire la propriété suivante :
Propriété 2 : a, b et c désignent trois nombres relatifs
Les nombres a – c et b – c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
Si a < b, alors : a – c < b – c.
Exemples :
• 56 > 42 et 16 > 2 (On a soustrait 40 aux deux membres de l'inégalité)
• Si y – 13 ≤ - 2 alors y – 13 + 13 ≤ - 2 + 13 ou encore y ≤ 11
B
Multiplication (et division)
Propriété 1 : Soient a, b et c trois nombres relatifs.
Si c > 0, alors a × c et b × c sont rangés dans le même ordre que a et b.
Si a < b et si c > 0 alors a × c < b × c ;
Si c < 0, alors a × c et b × c sont rangés dans l’ordre contraire de a et b.
Si a < b et si c < 0 alors a × c > b × c.
« Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse»
Comme un nombre et son inverse ont le même signe, on peut aussi écrire la propriété suivante :
Propriété 2 : a, b et c désignent trois nombres relatifs
Si c > 0, alors a : c et b : c sont rangés dans le même ordre que a et b.
Si a < b et si c > 0 alors a : c < b : c ;
Si c < 0, alors a : c et b : c sont rangés dans l’ordre contraire de a et b.
Si a < b et si c < 0 alors a : c > b : c.
Remarque : Pour transformer une inégalité, on peut ajouter ou soustraire ce que l'on veut mais on
ne peut multiplier ou diviser que par un nombre non nul dont on connaît le signe.
Exemples :
• 2,5 ≤ 12,5 et 10 ≤ 50
On a multiplié les deux membres par 4 qui est positif, l’ordre est conservé.
• -2,5 > - 12,5 mais 10 < 50
On a multiplié les deux membres de l'inégalité par – 4 qui est négatif, l’ordre est inversé.
• Si 5x ≥ - 10, alors 5x : 5 ≥ - 10 : 5 ou encore x ≥ - 2
On a divisé les deux membres de l'inégalité par 5 qui est positif, l’ordre est conservé.
m
m
• Si
< 2, alors
× (-3) > 2 × (-3) ou encore m > - 6
−3
−3
On a multiplié les deux membres de l'inégalité par (- 3) qui est négatif, l’ordre est inversé.
Remarque : Les opposés de deux nombres relatifs sont rangés dans l’ordre contraire de ces
nombres : « Si a et b sont deux nombres relatifs tels que a < b alors - a > - b. »
4e – F1
I
CALCUL LITTERAL
Calculer la valeur d’une expression littérale
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés
par des lettres.
Pour calculer une expression littérale, il faut remplacer chaque lettre de cette expression par une
valeur numérique.
Rappel : Le signe « × » n’est pas toujours écrit devant une lettre ou une parenthèse.
Exemple : A = x2 – 3x + 1 et B = 4(3x + 3) sont des expressions littérales.
Calculer A pour x = - 4 et B pour x = - 5 signifie qu’il faut remplacer x par (- 4) dans
l’expression A et qu’il faut remplacer x par (- 5) dans l’expression B.
• Pour x = - 4, A = (- 4)2 – 3 × (- 4) + 1
A = 16 + 12 + 1
A = 29
• Pour x = - 5, B = 4 × (3 × (- 5) + 3)
B = 4 × (- 15 + 3)
B = 4 × (- 12)
B = - 48
Remarque : Il faut penser à réécrire le symbole « × » lorsqu’on remplace les lettres par des valeurs
numériques.
II
Factoriser une expression littérale
Une somme algébrique est une expression dans laquelle ne figure pas de parenthèses.
Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme algébrique en un PRODUIT de
facteurs.
Factoriser une expression n’est pas toujours possible, mais si chaque terme de la somme
algébrique comporte un facteur commun, cela est possible
Propriété : Pour tous nombres relatifs k, a et b on peut écrire : k × a + k × b = k × (a + b)
Remarques : On écrit aussi ka + kb = k(a + b)
On dit que « k » est un facteur commun à « ka » et à « kb »
Exemples : • - 2y – 14 = - 2 × y + (- 2) × 7 = (- 2) × (y + 7) = - 2(y + 7)
• 3x – 3y = 3 × x + 3 × (- y) = 3 × (x + (-y)) = 3(x – y)
• -2a – 5a = a × (- 2 – 5) = a × (- 7) = -7a
III
Réduire une expression littérale
Réduire une expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles.
Pour cela, « on regroupe par familles »…
Remarque : On ne réduit pas un produit.
Exemples : •
•
•
•
IV
3x + 4x = 7x
4x2 – 7x2 + x2 = - 2x2
x + 3x + y + x2 – 3y + 5 - 2x2 + 9 = - x2 + 4x – 2y + 14
a + 3ab – 5ba – 2a + b2 = b2 – a – 2ab (car ba = ab)
(3 + 4 = 7)
(4 – 7 + 1 = - 2)
Développer une expression littérale
Développer une expression, c’est la transformer en somme algébrique (c’est l’écrire "sans
parenthèses" en ayant effectué toutes les multiplications possibles…)
A
Règle de la distributivité
Propriété : Pour tous nombres relatifs a, b et k, on peut écrire : k × (a + b) = k × a + k × b
Remarques : On écrit aussi k(a + b) = ka + kb
On a aussi (a + b) × k = k × a + k × b ou (a + b) × k = ka + kb
On dit que l’on distribue « k » à « a » et à « b »
Exemples : •
•
•
•
B
- 3(x + 7) = - 3 × x + (- 3) × 7 = - 3x – 21
(7 + y) × (- 4) = (- 4) × 7 + (- 4) × y = - 28 – 4y
(3x – 7) × 5 = 5 × 3x + 5 × (- 7) = 15x - 35
4x(- 2x – 8) = 4x × (-2x) + 4x × (- 8) = - 8x2 – 32x
Suppression des parenthèses derrière un signe « + » ou « - »
Propriété 1 ; Ajouter une somme algébrique revient à ajouter chacun de ses termes.
Propriété 2 ; Soustraire une somme algébrique revient à soustraire chacun de ses termes ce qui
revient aussi à ajouter l’opposé de chacun de ses termes.
Remarques :
• Quand des parenthèses (non suivies de × ou ÷) sont précédées du signe « + », on peut
les supprimer en conservant les signes intérieurs aux parenthèses.
Avoir un « + » devant une parenthèse, c’est comme multiplier cette parenthèse par 1
• Quand des parenthèses (non suivies de × ou ÷) sont précédées du signe « - », on peut les
supprimer en changeant les signes intérieurs aux parenthèses.
Avoir un « - » devant une parenthèse, c’est comme multiplier cette parenthèse par -1
Exemples : •
•
•
•
•
•
•
C
a + (- b + c – d) = a – b + c – d
a + (b + c – d) = a + b + c – d
a – (- b + c – d) = a + b – c + d
a – (b + c – d) = a – b – c + d
- (x – 5) = – x + 5
3x + (5 + x) = 3x + 5 + x
3 – (5 – x) = 3 – 5 + x
Double distributivité
Propriété : Pour tous nombres relatifs a, b, c et d on peut écrire :
(a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d
Exemples : A = (3x – 5)(-2x + 4)
A = 3x × (-2x) + 3x × 4 + (-5) × (- 2x) + (-5) × 4
A = - 6x2 + 12x + 10x – 20
A = - 6x2 + 22x – 20
B = (7 + y)(2y – 8)
B = 7 × 2y + 7 × (-8) + y × 2y + y × (- 8)
B = 14y – 56 + 2y2 – 8y
B = 2y2 + 6y – 56
4e - F2
I
PROPORTIONNALITE - GENERALITES
Grandeurs proportionnelles
A
Définitions
•
On dit que deux grandeurs « X» et « Y » sont proportionnelles si la grandeur Y s’obtient en
multipliant la grandeur X toujours par un même nombre « a » appelé coefficient de
proportionnalité.
•
Un tableau est un tableau de proportionnalité si tous les quotients des nombres de la deuxième
ligne par les nombres de la première ligne qui leur correspondent sont égaux.
Le quotient commun est le coefficient de proportionnalité.
Remarque : Pour savoir si deux grandeurs sont proportionnelles, il faut chercher s’il existe un
coefficient de proportionnalité.
Exemple : On remplit un réservoir à l’aide d’un tuyau d’arrosage.
On mesure le volume d’eau contenu dans le réservoir en fonction de la durée de
remplissage.
Les deux grandeurs sont le « volume d’eau » et la « durée de remplissage ».
On obtient le tableau suivant :
Durée de remplissage (en min)
Volume d’eau (en L)
3,5
20
21
120
35
200
On calcule les quotients :
20
20 × 2 40 120 3 × 40 40 200 5 × 40 40
=
=
=
=
;
;
=
=
3×7
5 ×7
21
35
7
7
3, 5 3, 5 × 2 7
40
.
7
• Le volume d’eau est donc proportionnel à la durée de remplissage.
40
.
• Le coefficient de proportionnalité est
7
On constate que tous les quotients sont égaux à
Remarques : - La durée de remplissage est aussi proportionnelle au volume d’eau.
7
.
- Le coefficient de proportionnalité est alors
40
B
Propriété des produits en croix
Propriété : Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.
a
Dire que c
b
d
est un tableau de proportionnalité, c’est dire que c × b = a × d
Preuve :
c d
b
est un tableau de proportionnalité, c’est dire que = » (par définition).
d
a b
c d
Or : « Dire que = , c’est dire que c × b = a × d » (Propriété des fractions égales)
a b
« Dire que
a
c
Donc : « Dire que
a
c
b
d
est un tableau de proportionnalité, c’est dire que c × b = a × d. »
Pour savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité, on peut calculer les produits en croix
et les comparer :
- soit ils sont égaux : il y a proportionnalité ;
- soit ils sont différents : il n’y a pas proportionnalité.
Exemple 1 :
1,77 2,4 est-il un tableau de proportionnalité ?
4,2775 5,8
1,77 × 5,8 =10,266 et 4,2775 × 2,4 = 10,266.
Les produits en croix sont égaux, c’est donc un tableau de proportionnalité.
Exemple 2 :
3,6 7,3
5 10 est-il un tableau de proportionnalité ?
3,6 × 10 = 36 et 5 × 7,3 = 36,5.
Les produits en croix sont différents, ce n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
Remarque : Quand le tableau comporte plusieurs colonnes, il faut vérifier que tous les produits en
croix sont égaux pour conclure que c’est un tableau de proportionnalité.
Exemple 1 :
6
2
12 8 16 est-il un tableau de proportionnalité ?
4 1,5 3
1ère et 2e colonne : 6 × 4 = 24 et 12 × 2 =24 donc les produits en croix sont égaux
3e et 4e colonne : 8 × 3 = 24 et 16 × 1,5 = 24 donc les produits en croix sont égaux
mais pour la 2e et le 3e colonne : 12 × 1,5 = 18 et 4 × 8 = 32, les produits en croix sont différents.
Le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
Exemple 2 :
6
2
12 4,5 15
4 1,5 5
est-il un tableau de proportionnalité ?
1ère et 2e colonne : 6 × 4 = 24 et 12 × 2 =24 donc les produits en croix sont égaux.
2e et le 3e colonne : 12 × 1,5 = 18 et 4 × 4,5 = 18 donc les produits en croix sont égaux.
3e et 4e colonne : 4,5 × 5 = 22,5 et 15 × 1,5 = 22,5 donc les produits en croix sont égaux
Le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
II
Compléter un tableau de proportionnalité
Pour compléter un tableau de proportionnalité, il faut connaître (au moins) deux valeurs non
nulles qui se correspondent.
Méthode 1 : Utiliser le coefficient de proportionnalité
Exemple :
4
12
7
x
• Coefficient de proportionnalité : 12 : 4 = 3
• x = 7 × 3 = 21
Méthode 2 : Utiliser les propriétés de la proportionnalité
Exemple :
15
84,6
45
x
• 45 est le triple de 15
• x est donc le triple de 84,6 : x = 3 × 84,6 = 253,8
Méthode 3 : Utiliser la « règle de trois » (appelé aussi le « retour à l’unité »)
Exemple :
4
10
7
x
• 4 correspond à 10 donc 1 correspond à 10 : 4 = 2,5
• x = 7 × 2,5 = 17,5
Méthode 4 : Utiliser les « produits en croix »
Exemple :
5
4
7
x
• x×5=7×4
7×4
• x=
= 5,6
5
III
Représentations graphiques
Propriété 1 : Une situation de proportionnalité se traduit graphiquement par des points alignés sur
une droite qui passe par l’origine du repère.
Propriété 2 : Une droite passant par l’origine du repère traduit une situation de proportionnalité.
Remarque : Deux conditions doivent être remplies pour qu’un graphique traduise une situation de
proportionnalité :
• le graphique doit être une droite ;
• cette droite doit passer par l’origine du repère.
Exemples :
Situation de proportionnalité
Situations de non proportionnalité
4e – F3
I
PROPORTIONNALITE - APPLICATIONS
Agrandissements et réductions - Echelle
Définition : La réduction (ou l’agrandissement) d’un objet est un objet plus petit (ou plus grand)
que l’objet de départ mais qui a la même forme que l’objet de départ.
Propriété 1 : Les longueurs de la réduction (ou de l’agrandissement) sont proportionnelles aux
longueurs de l’objet de départ.
Propriété 2 : Les angles de la réduction (ou de l’agrandissement) sont égaux aux angles de l’objet
de départ.
Exemples : Lorsque deux triangles sont en « situation de Thalès » le petit triangle est une
réduction du grand triangle. On peut aussi dire que le grand triangle est un
agrandissement du petit triangle.
Remarques :
• Lorsqu’on effectue un agrandissement, on multiplie les longueurs par un nombre
strictement supérieur à 1.
• Lorsqu’on effectue une réduction on multiplie les longueurs par un nombre compris entre 0
et 1.
On appelle échelle le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des dimensions de
l'objet aux dimensions de la reproduction, exprimées dans la même unité.
Echelle =
dimension sur la reproduction
dimension correspondante de l'objet réel
Même
unité
Exemple 1 : Sur une photographie, 1 cm représente 0,2 mm.
Il s’agit d’un agrandissement.
Comme 1 cm = 10 mm, l’échelle de la photographie sera :
50
10
= 50 ou
.
1
0, 2
Exemple 2 : Sur une carte, 25 km sont représentés par 1,6 cm.
Il s’agit d’une réduction.
Comme 25 km = 25 000 m = 2 500 000 cm, l’échelle de cette carte sera :
1, 6
2 500 000
1
.
1562 500
(On peut utiliser la touche 1/x ou l’écriture fractionnaire de la calculatrice)
L’échelle sera donc 0,000 000 64 ou
II
Pourcentages
Exemple 1 : Une classe comporte 20 filles et 10 garçons, soit 30 élèves.
Lors d’un contrôle, 65% des filles et 50% des garçons ont obtenu la moyenne.
Quel est le pourcentage d’élèves ayant eu la moyenne à ce contrôle ?
•
Pour calculer ce pourcentage, il faut d’abord connaître le nombre d’élèves qui ont
obtenu la moyenne.
65
50
× 20 = 13
× 10 = 5
Garçons :
Total : 13 + 5 = 18
Filles :
100
100
18
x
=
• 18/30 des élèves ont obtenu la moyenne soit x/100. On a donc :
.
30 100
18 × 100
= 60
• On effectue un produit en croix : x =
30
Conclusion : 60% des élèves de la classe ont obtenu la moyenne à ce contrôle.
Exemple 2 : Un article coûte 175 €, son prix augmente de 3%. Quel est son nouveau prix ?
• Un article qui coûtait 100 € coûte maintenant 103 €.
•
On a donc le tableau de proportionnalité :
Ancien prix
Nouveau prix
100
103
175
x
175 × 103
= 180,25
100
Conclusion : Le prix de l’article après augmentation est 180,25 €.
•
On effectue un « produit en croix » : x =
Exemple 3 : Un article coûte 42,50 € après une diminution de 15%. Quel était son ancien prix ?
• Un article qui coûtait 100 € coûte maintenant 85 €.
•
On a donc le tableau de proportionnalité :
Ancien prix
Nouveau prix
100
85
x
42,50
42, 5 × 100
= 50
85
Conclusion : Le prix de l’article avant diminution était 50 €.
•
On effectue un « produit en croix » : x =
Exemple 4 : Un article coûtait 750 €, il coûte maintenant 810 €.
Quel est le pourcentage d’augmentation ?
•
On a le tableau de proportionnalité :
Ancien prix
Nouveau prix
810 × 100
= 108
750
• Un article qui coûtait 100 € coûte maintenant 108 €
Conclusion : L’augmentation a été de 8%.
•
On effectue un « produit en croix » : x =
100
x
750
810
4e – F4
I
STATISTIQUES
Vocabulaire
Lorsqu'on mène une enquête, on s'intéresse à une population d'individus. (« Qui » interroge-ton ?)
On étudie une propriété commune de cette population : cette propriété commune s'appelle un
caractère (« A quoi » s’intéresse t-on ?)
Les réponses recueillies s’appellent les données. (Il y a autant de données que d’individus dans la
population)
Un caractère peut prendre plusieurs valeurs (Quelles sont les « différentes réponses » ?)
Un caractère peut être quantitatif (il peut être mesuré) ou qualitatif .
Exemple :
On a interrogé les élèves d’une classe de quatrième sur leur taille et leur sport favori.
• La population est « des élèves de 4e »
• Deux caractères sont étudiés : « la taille » et « le sport favori »
• Le caractère « taille » est un caractère quantitatif : ses valeurs sont des nombres
• Le caractère « sport favori » est un caractère qualitatif : ses valeurs ne sont pas des
nombres.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît.
L'effectif total est le nombre d'individus de la population étudiée.
Remarque : L'effectif total est aussi la somme des effectifs de chaque valeur.
La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total
fréquence d’une valeur =
effectif de la valeur
effectif total
Remarques :
• Une fréquence peut s'exprimer par un nombre décimal, un quotient (une proportion) ou un
pourcentage.
• Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 (0% et 100%)
• La fréquence est proportionnelle à l'effectif.
Lorsque les données numériques sont nombreuses, on les regroupe en classes pour faciliter leur
interprétation.
Exemple : Voici les âges des judokas sélectionnés pour un tournoi :
19 – 22 – 23 – 29 – 18 – 21 – 18 – 19 – 22 – 28 – 18 – 25 – 21 – 26 – 29 – 24 – 18 – 22
– 27 – 17 – 20 – 21 – 29 – 25 – 25 – 20 – 22 – 27 – 19 – 22 – 20 – 26 .
Dans cette liste d'âge, il y a 32 nombres. L'effectif total est 32.
Il y a 13 valeurs différentes :
17 – 18 – 19 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 - 29
On retrouve 1 fois la valeur 17 ; 4 fois la valeur 18 ; …
On peut dresser le tableau des effectifs suivant :
Age
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Effectif
1
4
3
3
3
5
1
1
3
2
2
1
3
Total
32
3
= 0,09375 = 9, 375 %
32
On peut regrouper les valeurs de cette série en cinq classes d’égale amplitude :
les 16-17-18 ans ; les 19-20-21 ans ; les 22-23-24 ans ; les 25-26-27 ans et les 2829-30 ans.
La fréquence des judokas ayant 20 ans est
II
Représentations graphiques
A
Diagramme en bâtons/en tuyaux d'orgue et Histogramme
Pour représenter un caractère quantitatif, on utilise un diagramme en bâtons.
Les valeurs sont représentées par des bâtons.
Pour représenter un caractère qualitatif, on utilise un diagramme en tuyaux d’orgue.
Les valeurs sont représentées par des rectangles de même largeur (qui ne se touchent pas).
Pour représenter un ensemble de données regroupées en classes, on utilise un histogramme. Les
valeurs sont représentées par des rectangles accolés.
Dans ces différentes représentations, la hauteur de chaque barre est proportionnelle à l'effectif (ou
à la fréquence) qu'elle représente.
Exemples :
Diagramme en bâtons
Histogramme
Diagramme en tuyaux d’orgue :
B
Diagramme en bandes/Diagramme circulaire
Un diagramme en bande ou un diagramme circulaire permet de représenter la répartition des
valeurs d’un caractère qualitatif ou d’un regroupement en classes.
Dans un diagramme en bandes de largeur fixée, la longueur de chaque rectangle est
proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquences) qu’il représente.
Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), chaque secteur angulaire est proportionnel à
l'effectif (ou à la fréquence) qu'il représente.
Pour construire un diagramme en bandes ou un diagramme circulaire (ou semi-circulaire), on fait
d’abord un tableau de proportionnalité.
Exemple 1 : diagramme en bande
Carburant
utilisé
Fréquence
Longueur
Gazole
Sans plomb
Gaz naturel
Total
120
7,2 cm
125
7,5 cm
5
0,3 cm
250
15 cm
15 ÷ 250 = 0,06 (coefficient de proportionnalité)
120 × 0,06 = 7,2
Exemple 2 : diagramme circulaire
Age (a) en
années
Effectif
Angle
17 ≤ a <19
19 ≤ a <22
5
≈ 56°
9
≈ 101°
22 ≤ a < 25 25 ≤ a < 28 28 ≤ a < 31
7
≈ 79°
7
≈ 79°
4
45°
360 ÷ 32 = 11,25 (coefficient de proportionnalité)
5 × 11,25 = 56,25
Total
32
360°
III
Moyennes
Définition 1 : La moyenne d’une série de données est égale à la somme de ces données divisée par
l’effectif total.
Définition 2 : La moyenne pondérée d’une série de valeurs est égale à la somme des produits de
chaque valeur par son effectif divisée par l’effectif total.
Exemple 1 :
Mélissa a obtenu les résultats suivants en Mathématiques :
14,5 ; 10 ; 19 ; 19,5 et 14,5.
•
Elle calcule sa moyenne : (14,5 + 10 + 19 + 19,5 + 14,5) : 5 = 77,5 : 5 =15,5.
Mais lorsque le prof lui donne sa moyenne, cela ne correspond pas à son calcul car elle a
oublié les coefficients donnés à chaque devoir : coefficient 1 pour les devoirs 1, 3 et 4 et
coefficient 3 pour les devoirs 2 et 5. Cela signifie que les devoirs 2 et 5 comptent triple.
• Le calcul de sa moyenne est donc ((L’effectif total est 9 car 1 + 3 + 1 + 1 + 3 = 9) :
(14,5 + 10 × 3 + 19 + 19,5 + 14,5 × 3) : 9 = 126,5 : 9 ≈ 14
Exemple 2 :
Lors d’un contrôle de Mathématiques les résultats se répartissent de la manière suivante :
Note sur 20
5
8
9,5
11,5
13
14
15,5 18,5
20
Effectif
1
2
2
3
2
4
6
4
2
L’effectif total est : 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 6 + 4 + 2 = 26
La moyenne de la classe sur ce contrôle se calcule ainsi :
(5×1 + 8×2 + 9,5×2 + 11,5×3 + 13×2 + 14×4 +15,5×6 + 18,5×4 + 20×2) : 26
= (5 + 16 + 19 + 34,5 + 26 + 56 + 93 + 74 + 40) : 26
= 363,5 : 26
≈ 14
4e - G1
I
THEOREME DE PYTHAGORE
Triangle rectangle et théorème de Pythagore
A
Vocabulaire
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse du triangle rectangle.
L’hypoténuse est aussi le côté le plus long d’un triangle rectangle.
Côtés de l’angle droit
B
Hypoténuse
Théorème de Pythagore
Théorème: Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés
des deux autres côtés.
Autrement dit :
Si on sait que ABC est un triangle rectangle en A (et donc que l’hypoténuse est BC)
2
2
2
Alors le théorème de Pythagore permet d’écrire : BC = AB + AC .
Hypoténuse Côtés de l’angle droit
2
2
2
•
L’égalité BC = AB + AC est appelée Egalité de Pythagore
•
Le théorème de Pythagore ne s’utilise que dans un triangle rectangle.
Il permet alors de calculer la longueur d’un côté lorsqu’on connaît la longueur des deux autres
côtés de ce triangle.
Exemple 1 : Calcul de l’hypoténuse (on connaît les deux côtés de l’angle droit)
A
Soit ABC un triangle rectangle en B tel que :
AB = 3 cm et BC = 4 cm.
Calculer AC.
?
3
B
C
4
On sait que : ABC est rectangle en B (l’hypoténuse est donc AC)
AB = 3 cm et BC = 4 cm
2
2
On peut appliquer le théorème de Pythagore : AC = AB + BC
2
2
2
On a donc : AC = 3 + 4
2
AC = 9 + 16
2
AC = 25
D’où AC = 25 = 5
2
Conclusion : AC = 5 cm.
Exemple 2 : Calcul d’un côté de l’angle droit (on connaît l’hypoténuse et l’autre côté)
E
Soit EFG un triangle rectangle en F tel que :
EG = 10 cm et EF = 6 cm.
6
Calculer FG.
F
10
G
?
On sait que : EFG est rectangle en F (l’hypoténuse est donc EG)
EG = 10 cm et EF = 6 cm
2
2
On peut appliquer le théorème de Pythagore : EG = EF + FG
2
2
2
On a donc : 10 = 6 + FG
2
100 = 36 + FG
2
FG = 100 – 36
2
FG = 64
D’où FG = 64 = 8
Conclusion : FG = 8 cm.
2
II
Comment reconnaître un triangle rectangle ?
Pour utiliser cette méthode, il faut avoir un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés.
Pour savoir si un triangle est ou n’est pas rectangle, on compare le carré du côté le plus long avec
la somme des carrés des deux autres côtés.
• Soit les nombres trouvés sont égaux, l’égalité de Pythagore est vérifiée :
le triangle est rectangle ;
• Soit les nombres trouvés sont différents, l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée :
le triangle ne peut pas être rectangle.
Exemple 1 : Soit EFG un triangle rectangle en F tel que EF = 10 cm , FG = 5 cm et EG = 8,5 cm.
Ce triangle est-il rectangle ?
Le côté le plus long est EF.
2
2
• EF = 10 =100
2
2
2
2
• FG + EG = 5 + 8,5 = 25 + 72,25 = 97,25
2
2
2
On constate que EF ≠ FG + EG .
L’égalité de Pythagore n’étant pas vérifiée, on conclut que le triangle EFG ne peut pas
être rectangle.
Exemple 2 : Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB = 3 cm , AC = 4 cm et BC = 5 cm.
Ce triangle est-il rectangle ?
Le côté le plus long est BC.
2
2
• BC = 5 = 25
2
2
2
2
• AB + AC = 3 + 4 = 9 + 16 = 25
2
2
2
On constate que BC = AB + AC .
L’égalité de Pythagore étant vérifiée, on peut conclure que ABC est rectangle en A.
4e – G2
I
TRIANGLES ET PARALLELES
Droite des milieux
Propriété des milieux 1: Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est
parallèle au troisième côté.
Autrement dit :
Soit un triangle ABC.
Si : I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC],
Alors : (IJ) // (BC)
Cette propriété des milieux permet de prouver que deux droites sont parallèles.
Propriété des milieux 2 : Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux
côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Autrement dit :
Soit un triangle ABC.
Si : I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC],
Alors : IJ =
ou BC = 2 IJ
Cette propriété des milieux permet de calculer une longueur.
Exemple : ABCD est un parallélogramme de centre O tel que :
AB = 5 cm et BC = 3 cm.
K est le milieu de [BC].
Prouver que (OK) // (DC).
Déterminer la mesure de OK.
Recherche :
• Quelle propriété peut-on utiliser pour prouver que deux droites sont parallèles ?
 côtés d’un parallélogramme
(il faut un parallélogramme dont les côtés sont portés par les droites (OK) et (DC) : il y a un
parallélogramme, mais ses côtés ne sont pas intéressants)
 deux droites perpendiculaires à une même troisième
(il faut deux angles droits : il n’y a aucun angle droit ici)
 droite des milieux
(il faut un triangle dont on connaît les milieux de deux côtés : dans le triangle BCD, K est le
milieu de [BC] et on peut démontrer que O est le milieu de [BD]
• Quelle propriété peut-on utiliser pour déterminer une longueur ?
 côtés d’un parallélogramme
(il faut un parallélogramme dont l’un des côtés est [OK] : il y a un parallélogramme, mais ses
côtés ne sont pas intéressants)
 utiliser le théorème de Pythagore
(il faut un triangle rectangle : il n’y en a pas !)
 droite des milieux
(il faut un triangle dont on connaît les milieux de deux côtés : dans le triangle BCD, K est le
milieu de [BC] et on aura démontré que O est le milieu de [BD]
Rédaction :
• On sait que O est le centre du parallélogramme ABCD.
Comme les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, on en déduit que O est
le milieu de [BD].
•
Dans le triangle BCD, on sait que K est le milieu de [BC] et O est le milieu de [BD]
Or : « Dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au
troisième côté. »
Donc : (OK) // (CD)
•
Dans le triangle BCD, on sait que K est le milieu de [BC] et O est le milieu de [BD]
Or : « Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du
troisième côté. »
Donc : OK =
II
cm.
Milieu et parallèle
La propriété suivante sert à prouver qu’un point est le milieu d’un segment.
Propriété: Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un
second côté coupe le troisième côté en son milieu.
Autrement dit :
Soit un triangle ABC.
Si : I est le milieu de [AB]
d est une droite parallèle à (AC) et I ∈ d,
Alors : d coupe [BC] en son milieu.
Exemple : Sur cette figure :
• I est le milieu de [OA]
• T est le milieu de [IA]
• (IB) // (TC) // (AR)
Prouver que :
• B est le milieu de [OR]
• D est le milieu de [IR]
• C est le milieu de [BR]
Recherche :
Il faut dans chaque cas trouver le triangle dans lequel appliquer la propriété.
• Pour prouver que B est le milieu de [OR], il faut trouver un triangle dont [OR] est un côté : il
y en a deux (ORA et ORI).
Il faut aussi trouver une droite passant par le point B et par le milieu d’un segment, cette
droite étant parallèle à une autre droite : B ∈ (BI), I étant le milieu du côté [OA] et (BI) étant
parallèle à (RA). On travaille donc dans le triangle ORA.
• Pour prouver que D est le milieu de [IR], il faut trouver un triangle dont [IR] est un côté : il y
en a trois (IRA et IRO et IRB).
Il faut aussi trouver une droite passant par le point D et par le milieu d’un segment, cette
droite étant parallèle à une autre droite : D ∈ (TC), T étant le milieu du côté [IA] et (TC)
étant parallèle à (RA). On travaille donc dans le triangle IRA.
• Pour prouver que C est le milieu de [BR], il faut trouver un triangle dont [BR] est un côté : il
n’y en a qu’un seul : BRI.
La droite (TC) passe par C et D, elle est parallèle à (BI) et on aura démontré que D est le
milieu de [IR]. On pourra donc travailler dans le triangle BRI.
Rédaction :
• Dans le triangle ORA, on sait que I est le milieu de [OA] et que (BI) // (AR), I ∈(BI).
Or : « Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un
second côté coupe le troisième côté en son milieu. »
Donc : (BI) coupe [OR] en son milieu.
Comme (BI) coupe [OR] en B, on peut conclure que B est le milieu de [OR].
• Dans le triangle IRA, on sait que T est le milieu de [IA] et que (TC) // (AR), T ∈(TC).
Or : « Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un
second côté coupe le troisième côté en son milieu. »
Donc : (TC) coupe [IR] en son milieu
Comme (TC) coupe [IR] en D, on peut conclure que D est le milieu de [IR].
• Dans le triangle BRI, on sait que D est le milieu de [RI] et que (TC) // (BI), D ∈(TC).
Or : « Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un
second côté coupe le troisième côté en son milieu. »
Donc : (TC) coupe [BR] en son milieu.
Comme (TC) coupe [BR] en C, on peut conclure que C est le milieu de [BR].
III
Théorème de Thalès (simplifié)
Le théorème de Thalès permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle dans certaines
configurations où deux triangles sont emboîtés.
Propriété : Dans un triangle ABC, si M est un point de [AB], N est un point de [AC] et si (MN) //
(BC) alors les côtés des triangles ABC et AMN sont proportionnels.
Théorème de Thalès (simplifié):
Dans un triangle ABC,
si : - M ∈[AB] et N ∈ [AC]
- (MN) // (BC)
AM AN MN
=
=
alors :
AB AC BC
M
B
A
N
C
Exemple : RST est un triangle rectangle en S tel que RS = 8 cm et ST = 6 cm.
F est le point de [RS] tel que RF = 5 cm.
La droite perpendiculaire à (RS) passant par F coupe [RT] en L.
Calculer LF.
Recherche :
• Il y a des triangles rectangles, on peut penser à utiliser le théorème de Pythagore mais il
manque des mesures.
• On pense alors au théorème de Thalès : il faut avoir des triangles emboîtés et des côtés
parallèles. On remarque que les triangles RLF et RST sont emboîtés et on peut prouver que
(LF) // (ST) en remarquant que (LF) et (ST) sont perpendiculaires à (RS)…
Rédaction :
• On sait que : (LF) ⊥ (RS) par construction
(ST) ⊥ (RS) puisque RST est rectangle en S
Or : «Lorsque 2 droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont
parallèles»
Donc : (LF) // (ST)
• On sait maintenant que : RST et RLF sont 2 triangles emboîtés (F ∈ [RS] ; L ∈[RT])
(LF) // (ST)
RL RF LF
RL 5 LF
=
=
= =
d’où
On peut appliquer le théorème de Thales :
RT RS TS
RT 8
6
5 LF
5×6
On utilise : =
d’où LF =
=3,75
8
8
6
Conclusion : LF = 3,75 cm.
4e – G3
I
COSINUS D’UN ANGLE AIGU
Définitions
A
Côtés d’un triangle rectangle
A
On considère un triangle ABC rectangle en B.
 a pour côtés [AB) et [AC).
L’angle BAC
•
•
Le côté [AC] est l’hypoténuse du triangle ABC.

Le côté [AB] est appelé côté adjacent à l’angle BAC
B
C
.
De même, on dira que le côté [CB] est le côté adjacent à l’angle BCA
B
Cosinus
Définition 1: Le cosinus d’un angle aigu est le coefficient de proportionnalité qui relie la longueur
de l’hypoténuse d’un triangle rectangle au côté adjacent à l’angle aigu de ce triangle.
Définition 2 : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient :
longueur du côté adjacent à l 'angle aigu
longueur de l 'hypoténuse
A
=
cos A
Hypoténuse
Côté adjacent
AB
AC
à
B
Côté adjacent
C
 = CB
cosC
CA
à
Remarque 1 : Le cosinus d’un angle aigu est un nombre (sans unité) qui est toujours compris entre
0 et 1.
Remarque 2 : Sur la calculatrice, il faut se mettre en mode DEGRE
II
Applications
Le « cosinus » s’utilise obligatoirement dans un triangle rectangle et permet de calculer :
- la mesure d’un angle aigu de ce triangle, si on connaît les deux côtés de cet angle ;
- la longueur d’un côté d’un angle aigu de ce triangle, si on connaît l’angle aigu et l’autre côté de
cet angle aigu.
A
Calcul d’angles
Pour calculer la mesure d’un angle, on utilisera la touche cos -1 de la calculatrice.
Exemple : On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm et BC = 4 cm.
 (à 0,1 près).
Calculer la mesure de ABC
 au dixième près.
En déduire une valeur approchée de la mesure de ACB
C
4 cm
A
•
3 cm
B

Calcul de ABC
 et BC est l’hypoténuse.
Dans le triangle ABC rectangle en A, [BA] est le côté adjacent à B
On a donc :
BA 3
= = 0,75
BC 4
 = cos -1 (0,75) ≈ 41,4096°
d’où ABC
 =
cos ABC
 ≈ 41,4°
Conclusion : ABC
•

Calcul de ACB
« La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180°. »
 ≈ 180° - (90° + 41,4°) ≈ 180° - 131,4° ≈ 48,6°
On a donc : ACB
 ≈ 48,6°
Conclusion : ACB
B
Calcul de longueurs
Pour calculer la longueur d’un segment, on utilisera la touche cos de la calculatrice.
 = 75°.
Exemple : On considère un triangle DEF rectangle en E tel que DE = 4 cm et EDF
Calculer DF (à 0,1 cm près)
En déduire EF (à 0,1 cm près)
F
•
E
Calcul de DF
75°
4 cm
D
 et DF est l’hypoténuse.
Dans le triangle EFD rectangle en E, [DE] est le côté adjacent à D
On a donc :
=
cos D

côté adjacent à D
4
 = DE
; cos D
; cos (75°) =
hypoténuse
DF
DF
d’où : DF =
4
≈ 15,45
cos 75°
Conclusion : DF ≈ 15,5 cm
•
Calcul de EF
Dans le triangle EFD rectangle en E, DF est l’hypoténuse, ED = 4 cm et EF ≈ 15,5 cm.
D’après le théorème de Pythagore on a alors :
FD 2 = ED 2 + EF 2
15, 5 2  4 2 + EF 2
EF 2  15, 5 2 − 4 2
EF 2  240, 25 − 16
EF 2  224, 25
d 'où : EF  224, 25  14, 97
Conclusion : EF ≈ 15 cm
4e – G4
I
TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE
Cercle circonscrit à un triangle rectangle
A
Propriété
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le
milieu de son hypoténuse.
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son
hypoténuse.
Si : ABC est un triangle rectangle en A,
alors :
- le centre de son cercle circonscrit est le milieu de
son hypoténuse ;
- ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC]
B
B
//
A
//
A
C
B
O
×
C
Conséquences
Conséquence 1 : Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est
égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
Si : ABC est un triangle rectangle en A,
B
alors : AO =
BC
(O étant le milieu de BC)
2
B
//
//
A
C
A
O
×
//
C
ABC est un angle droit, alors le point B appartient au cercle de diamètre [AC].
Conséquence 2 : Si 
A
A
//
B
II
C
B
×
//
C
Triangle inscrit dans un cercle
A
Propriété
Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce
triangle est rectangle
Propriété : Si un M est un point du cercle de diamètre [AB] (M étant distinct de A et de B) alors le
triangle AMB est rectangle en M
B
B
//
M
×
A
//
M
A
B Conséquences
Conséquence 1 : Dans un triangle, si la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la
moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse
ce côté.
Conséquence 2 : Dans un triangle, si le milieu d’un côté est équidistant de ses trois sommets alors
ce triangle est rectangle.
B
B
//
//
A
×
//
C
A
C
4e – G5
I
DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE
Définition et propriété
A
Définition
On appelle distance du point A à la droite (d) la plus petite de toutes les longueurs possibles entre
le point A et un point quelconque de la droite (d)
Dans le cas particulier où A est un point de la droite (d), la distance du point A à la droite (d) est
égale à zéro.
B
Propriété
Propriété : La distance d’un point A à une droite (d) est la distance entre le point A et le point H,
intersection de la droite (d) avec la perpendiculaire à (d) passant par A.
Pour tout point M de (d), on a alors MA > AH.
M1A < AH ;
M2A < AH ;
M3A < AH ;
…
II
Tangente à un cercle en l’un de ses points
A
Définition
On considère un cercle (C) et un point A de ce cercle.
La tangente au cercle (C) en A est la droite dont le seul point commun avec le cercle (C) est le
point A.
La tangente au cercle (C) en A « touche » le cercle (C) au point A.
B
Propriété
Propriété : Soit (C) un cercle de centre O et A un point de ce cercle.
Dire que la droite (d) est tangente à (C) en A, c’est dire que (d) est perpendiculaire à
(OA).
Remarque : La distance du centre d’un cercle à une tangente à ce cercle est égale au rayon du
cercle
Exemple : Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm. Soit d la tangente à C en A.
On peut affirmer que :
- d ⊥ (OA)
- OA = 4 cm
- La distance entre O et d est 4 cm.
C
Construction
Méthode : Soit C un cercle de centre O et A un point de C.
Pour construire la tangente en A au cercle C :
- on trace le rayon [OA] ;
- on trace la perpendiculaire à (OA) passant par A.
III
Bissectrices
Définition : La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents
de même mesure.
Propriété 1 : La bissectrice d’un angle est son axe de symétrie.
Remarque : On peut construire la bissectrice d’un angle avec la règle et le compas :
Propriété 2 : Si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors ce point est à équidistance des
deux côtés de cet angle.
Autrement dit :
 et d sa bissectrice.
Soit un angle BMC
Si A ∈ d, alors la distance entre A et (MB) est la même que la distance entre A et (MC)
Illustration :
Si
alors
Propriété 3 : Si un point est à équidistance des deux côtés d’un angle alors ce point appartient à la
bissectrice de cet angle.
Autrement dit :
 et d sa bissectrice.
Soit un angle BMC
Si la distance entre A et (MB) est la même que la distance entre A et (MC), alors A ∈ d .
Illustration :
Si
alors
IV
Cercle inscrit dans un triangle
Propriété 1 : Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes en un point appelé
centre du cercle inscrit au triangle.
Propriété 2 : Le cercle inscrit à un triangle est tangent à chacun des trois côtés du triangle.
Méthode : Pour construire le cercle inscrit dans un triangle donné :
- Construire deux bissectrices de ce triangle : leur point d’intersection est le centre I du
cercle inscrit ;
- Tracer la perpendiculaire à un côté, passant par I;
- Le cercle inscrit est le cercle de centre I, tangent à ce côté.
4e – G6
I
PYRAMIDES ET CONES DE REVOLUTION
Pyramides
A
Généralités et définitions
Une pyramide est un solide obtenu en joignant chacun des sommets d’un polygone à un point
situé en dehors du plan contenant ce polygone.
Une pyramide est un solide dont :
- une face est un polygone, appelé base de la pyramide
- toutes les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles ayant un sommet en commun :
le sommet de la pyramide.
Remarque : Il y a autant de faces latérales (et d’arêtes latérales) que de côtés (ou sommets) de la
base.
La hauteur d’une pyramide de sommet S est le segment [SH] où H est le point du plan de base tel
que (SH) est perpendiculaire à ce plan de base. (Toutes les droites de la base passant par H sont
perpendiculaires à (SH).)
Remarque : La longueur SH est aussi appelée hauteur de la pyramide.
B
Cas particulier : les pyramides régulières
Une pyramide est dite régulière lorsque :
- le polygone de base est un polygone régulier (c’est un polygone dont tous les angles ont la même
mesure et tous les côtés ont la même longueur, il est de plus inscriptible dans un cercle)
- la hauteur de la pyramide passe par le centre du polygone de base.
Exemples :
Base :
Base :
Base :
Triangle
Carré
Hexagone
équilatéral
régulier
Remarque 1 : Toutes les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles isocèles
identiques de sommet principal le sommet de la pyramide.
Remarque 2 : Une pyramide formée de quatre triangles équilatéraux est appelée tétraèdre régulier.
II
Patrons de pyramides
Un patron de pyramide est constitué d’un polygone (qui représente la base) et de triangles (qui
représentent les faces latérales)
Remarque : Il y a plusieurs patrons possibles pour une même pyramide.
Perspective
cavalière
Patron 1
Patron 2
Patron 3
Pour construire le patron d’une pyramide, on commence généralement par construire sa base.
Toutes les autres faces sont des triangles dont on aura préalablement précisé la nature et/ou les
dimensions.
Il est souvent préférable de faire un schéma avant de construire le patron en vraie grandeur.
Exemple : Soit SABC une pyramide de hauteur [SA] et de base le triangle ABC rectangle en A tel
que : AS = 7,2 cm ; AB = 4,8 cm et AC = 3,6 cm

Le triangle ABC est rectangle en A.

La hauteur d’une pyramide étant toujours perpendiculaire à la base, on a alors :
[SA] ⊥ [AB] et [SA] ⊥ [AC] car [AB] et [AC] sont des côtés de la base passant par A.
Les triangles ABS et ACS sont donc aussi rectangles en A.

Après avoir construit les trois triangles rectangles précédents, le triangle SBC s’obtient en
reportant les longueurs BS à partir du triangle ABS et CS à partir du triangle ACS.
III
Cône de révolution
Un cône de révolution est un solide engendré par un triangle rectangle effectuant un tour complet
autour d’un des côtés de l’angle droit. La base d’un cône est un cercle.
Un cône de révolution est un solide constitué :
- d’un disque, appelé base du cône,
- d’une surface courbe appelée face latérale,
- d’un point appelé sommet du cône.
La hauteur d’un cône de révolution est le segment qui joint son sommet au centre de sa base.
Remarque 1: La longueur de ce segment est aussi appelée hauteur du cône de révolution.
Remarque 2 : La hauteur d’un cône de révolution est perpendiculaire à chaque rayon de sa base.
4e – GM1
I
VITESSE
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne sur un trajet dépend de la distance totale du trajet et de la durée mise pour
effectuer cette distance. Elle correspond à la vitesse que l’on aurait à tout instant du trajet si on se
déplaçait à vitesse constante (sans ralentir, ni accélérer).
Lorsqu’on se déplace à vitesse constante, on parle de mouvement uniforme.
Dans ce cas, la distance parcourue « d » est proportionnelle à la durée « t » du trajet.
On a alors le tableau de proportionnalité suivant :
Durée ou temps t
Distance d
×v
La vitesse moyenne « v » est le quotient de la distance « d » parcourue par la durée « t » du
parcours.
On peut écrire v =
d
.
t
Exemple :
Une voiture parcourt 120 km en 2 heures. Quelle est sa vitesse moyenne ?
On connaît : d = 120 km et t = 2 h
(On obtiendra donc la vitesse en km/h.)
d
On applique la formule v =
t
120
On obtient v =
= 60
2
La vitesse moyenne de cette voiture est 60 km/h.
II
Calcul de distances et de durées
d
permet d’obtenir deux autres formules, l’une pour calculer une distance, l’autre
t
pour calculer une durée.
La formule v =
A
Calcul d’une distance
Lorsqu’on connaît la vitesse moyenne « v » et la durée « t » du parcours, on peut calculer la
distance parcourue grâce à la formule .d = v × t.
Exemple :
Un chauffeur routier roule 8h à la vitesse moyenne de 58 km/h. Quelle distance a-t-il parcourue ?
On connaît : t = 8 h et v = 58 km/h
On applique la formule d = v × t
On obtient d =8 × 58 = 464
Ce routier a parcouru 464 km.
B
(On obtiendra donc la distance en km.)
Calcul d’une durée
Lorsqu’on connaît la vitesse moyenne « v » et la distance « d » parcourue, on peut calculer la
d
durée du parcours grâce à la formule .t = .
v
Exemple :
Un motard parcourt 280 km à la vitesse moyenne de 80 km/h. Quelle est la durée de son trajet ?
On connaît : d = 280 km et v = 80 km/h
(On obtiendra donc la durée en h.)
d
On applique la formule t =
v
280
= 3,5
On obtient t =
80
Ce motard a roulé pendant 3,5 h (ou pendant 3 h 30 min)
III
Unités de vitesse
• Les unités de vitesse dépendent des unités utilisées pour la distance et la durée.
Exemples :
- Si la distance est exprimée en kilomètres et la durée en minutes, alors la vitesse sera exprimée en
km/min.
- Si la vitesse est exprimée en m/h, alors la distance est exprimée en mètres et la durée en heure.
• Les unités de vitesse les plus courantes sont : le km/h noté aussi km.h-1 et le m/s noté aussi m.s-1
• Pour convertir une unité de vitesse, il faut d’abord convertir les unités de longueur et de durées
associées.
Pour les conversions d’unités de longueur, on utilise souvent les correspondances :
1 km = 1000 m ; 1 m = 100 cm ; 1 m = 1000 mm
Pour les conversions d’unités de durée, on utilise souvent les correspondances :
1 h = 60 min = 3600 s ; 1 min = 60 s.
Exemple 1:
Un piéton se déplace à une vitesse moyenne de 12,6 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s.
Une vitesse de 12,6 km/h correspond à une distance de 12,6 km parcourue en 1 heure.
12,6 km = 12 600 m et 1 h = 3600 s
d
12600
= 3,5.
On applique la formule v = , on obtient v =
t
3600
La vitesse du piéton est donc de 3,5 m/s.
Exemple 2:
Un lapin court à la vitesse moyenne de 6,75 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h.
Une vitesse de 6,75 m/s correspond à une distance de 6,75 m parcourue en 1 seconde.
1
6,75 m = 0,00675 km et 1 s =
h
3600
d
1
= 0,00675 × 3600 = 24,3.
On applique la formule v = , on obtient v = 0,00675 :
t
3600
La vitesse moyenne du lapin est donc de 24,3 km/h.
Autre méthode :
Une vitesse de 6,75 m/s correspond à une distance de 6,75 m parcourue en 1 seconde.
En 1 h, il parcourt 3600 fois la distance parcourue en 1 s donc 6,75 × 3600 = 24 300 m.
Comme 24300 m = 24,3 km, le lapin parcourt 24,3 km en 1 h d’où une vitesse moyenne de 24,3
km/h.
4e – GM2
I
AIRES ET VOLUMES
Aires
A
Aires usuelles
Formules à connaître
Aire d’un rectangle = Longueur × largeur. On note :
Aire d’un disque = π × rayon × rayon.
On note :
Arectangle = L × l
Adisque = π × R × R ou Adisque = π R2
On peut en déduire les formules suivantes :
Aire d’un carré de côté c :
Aire d’un parallélogramme de base B et de hauteur h :
Aire d’un triangle de base B et de hauteur h :
B
Acarré = c × c ou Acarré = c2
Aparallélogramme = B × h
Aparallélogramme = (B × h) : 2
Aires d’un solide
L’aire totale d’un solide est la somme de l’aire de chacune de ses faces.
L’aire latérale d’un solide est la somme de l’aire de ses faces latérales.
Exemple : On considère un cylindre de révolution dont le rayon de la base est 3 cm et la hauteur
est 25 mm.
La surface latérale de ce cylindre peut être assimilée à un rectangle de largeur 2,5 cm (la
hauteur du cylindre) et de longueur 6π cm (le périmètre du cercle de base).
L’aire latérale de ce cône est donc 2,5 × 6π = 15π cm2 ≈ 47,1 cm2.
L’aire d’un disque de base est π × 32 = 9π cm2
Le cylindre est formé de deux bases identiques et de sa surface latérale.
L’aire totale du cylindre est donc 2 × 9π + 15π = 18π + 9π = 27 π cm2 ≈ 85 cm2.
Remarque :
Penser à utiliser au maximum les valeurs exactes dans les calculs et n’arrondir qu’à la fin.
II
Volumes
A
Prismes et cylindres
Volume d’un prisme de hauteur h :
Vprisme = Abase × h
En particulier :
Volume d’un cube de côté c :
Volume d’un parallélépipède rectangle:
Vcube = c × c × c ou Vcube = c3
Vparallélépipède = L × l × h
Volume d’un cylindre de hauteur h et dont le rayon de la base est R :
Vcylindre = Abase × h ou Vcylindre = π R2 × h
B
Pyramides et cônes
Le volume d’une pyramide de hauteur h est donné par la formule : Vpyramide = (Abase × h) : 3
Remarque : Le volume d’une pyramide est le tiers du volume d’un
prisme ayant même base et même hauteur.
Exemple : Soit SABCD une pyramide à base carrée de sommet S et de hauteur 4,5 cm telle que
AB = BC = CD = DA = 4 cm.
La base est un carré de côté 4 cm donc Abase = 4 × 4 = 16 cm2.
Le volume d’une pyramide est (Abase × h) : 3
Le volume de SABCD est donc (16 × 4,5) : 3 = 24 cm3.
Le volume d’un cône de hauteur h et dont le rayon de la base est R est donné par la formule :
Vcône = (Abase × h) : 3 ou Vcône = (π R2 × h) : 3
Remarque : Le volume d’un cône est le tiers du volume d’un cylindre
ayant même base et même hauteur.
Exemple : On considère un cône dont le rayon de la base est 2,4 cm et la hauteur est 5 cm.
Le volume d’un cône est (π R2 × h) : 3
Le volume du cône est donc (π × 2,42 × 5) : 3 = π × (2,42 × 5) : 3 = 9,6π cm3 ≈ 30 cm3.
9,6π cm3 est le volume exact du cône.
30 cm3 est une valeur approchée à l’unité du volume du cône.