D = V1*T1 + V2*T2 Les savoir-faire mathématiques nécessaires en

Les savoir-faire mathématiques nécessaires
en Physique-Chimie au Collège
Un peu de vocabulaire
I)
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•
•
•
Dans une expression mathématique on a deux membres, celui de droite et celui de
gauche (par rapport au « = »)
Dans chaque membre on peut avoir différents termes, ils sont séparés par des « + » ou
des « - ».
Un même terme peut être constitué de plusieurs facteurs. Ceux-ci intervenant sous
forme de multiplication ou de division.
Exemple :
Considérons une moto qui fait deux trajets, l’un à vitesse V1 pendant une durée T1 et
l’autre à vitesse V2 pendant une durée T2. On s’intéresse à la distance totale D,
parcourue par la moto, qui est donnée par :
D = V1*T1 + V2*T2
Membre de gauche, 1 seul terme Membre de droite, 2 termes. Pour chaque terme on a deux facteurs, V et T. Car on sait que « distance = vitesse * temps »
Savoir manipuler une expression :
II)
En physique, on nous demande souvent de faire des calculs pour obtenir des valeurs
numériques à partir d’expressions mathématiques. Mais les expressions mathématiques ne
donnent pas toujours accès directement à la bonne grandeur, il faut parfois manipuler ces
expressions.
• Pour faire passer un terme d’un membre à l’autre il suffit de changer son signe
(un « + » devient un « - » et un « - » devient un « + »).
Si on à égalité entre deux termes (et donc un terme par membre), pour faire passer un facteur
d’un membre à l’autre, c’est facile :
•
•
S’il était au numérateur du membre de gauche, il passe au dénominateur du membre de
droite.
S’il était au dénominateur du membre de gauche, il passe au numérateur du membre de
droite.
Exemple 1 : Une moto réalise deux trajets dont on connait la distance totale D et la distance du
premier trajet D1.On veut connaitre D2 la distance parcourue lors du deuxième trajet. Mais on sait
D = D1 + D2
que :
Mais nous voulons exprimer D2, c'est-à-dire écrire : « D2 = ….. », et on écrit donc :
D ‐ D1 = D2 que l’on peut réécrire : D2 = D ‐ D1
Exemple 2 : Il existe un modèle permettant de décrire les gaz, appelé modèle du gaz parfait,
caractérisé par une relation mathématique reliant la pression du gaz ( P ), sa température ( T ), le
volume qu’il occupe ( V ), le nombre de molécules qu’il contient ( N ) et un nombre ( k ). Cette
relation est la suivante :
Exprimons la pression seule :
Exos : Exprimer le volume seul, puis la température seule.
Exemple 3 : on rappel que « distance = vitesse * temps », en notant D la distance, V la vitesse et
T le temps que dure le déplacement à vitesse V, écrire cette relation sous forme mathématique
de trois manière différentes en isolant d’abord D, puis V puis T.
III) Quelles mathématiques pour quelles questions ?
Quand on aborde un exercice de physique, il arrive souvent qu’il faille traduire sous forme
mathématique le raisonnement qui permet d’arriver à la réponse. Il est donc primordial de tirer
toutes les informations contenues dans l’énoncé pour ensuite utiliser, pour chaque question, les
informations pertinentes. Nous allons distinguer deux types de questions :
• Les questions ne faisant pas appel à des connaissances de cours.
Elles feront appel à la « logique physique ». Par exemple (1) « Donner la longueur d’un
train en connaissant la longueur d’un wagon et le nombre de wagons » ou (2) «Donner le
nombre de wagons connaissant la longueur du train et la longueur d’un wagon ». Ces deux
questions se ressemblent mais font pourtant intervenir des raisonnements différents, l’un
fait appel à la multiplication, l’autre à la division. Je m’explique :
Analyse de la première question :
Informations : Le nombre de wagon, la longueur d’un wagon.
Question : La longueur du train.
La logique : « Un train, ce sont des wagons mis bout à bout. »
Rappel : Faire une multiplication c’est ajouter un certain nombre de fois une quantité
pour obtenir la quantité totale.
Ici on « met » les wagons bout à bout pour reconstituer le train. On ajoute donc la
longueur d’un wagon un nombre de fois égal au nombre de wagons. On est dans le cas où
il faut faire une multiplication :
Analyse de la deuxième question :
Informations : La longueur du train, la longueur d’un wagon.
Question : le nombre de wagons.
La logique : « Un train, ce sont des wagons mis bout à bout. »
Rappel : Faire une division c’est soustraire une quantité plusieurs fois de la quantité
totale. Le résultat est le nombre maximal de soustractions que l’on peut réaliser.
Ici, on retire les wagons du train un à un et on compte combien de fois on peut le faire.
On soustrait donc la longueur d’un wagon à la longueur du train autant de fois que possible
pour obtenir le nombre de wagons. On est dans le cas où il faut faire une division :
Les idées que nous venons de voir dans le cas de longueur (une dimension :1D), sont
applicables à l’étude des surfaces (2D)(on considèrerait par exemple un puzzle avec des
pièces identiques au lieu d’un train) et à l’étude des volumes (3D)( un sac rempli de billes
identiques)
• Les questions faisant appel à des connaissances de cours.
On peut considérer deux cas. Celui où il faut utiliser un savoir et celui où on fera appel
à une formule mathématique. Certaines questions peuvent aussi faire appel aux deux.
1) Utiliser un savoir :
Il faudra dans ces cas apporter des connaissances en plus des données du problème pour
le résoudre. On déduira des connaissances appliquées au problème une relation
mathématique pour déduire la réponse ou obtenir cette réponse directement.
Par exemple :
• Question : « L’atome d’Argon possède 18 électrons, quelle est la charge de son
noyau ? »
Savoir : L’atome est électriquement neutre.
On déduit directement que la charge du noyau devant compenser la charge totale
des électrons, celle-ci est égale à +18.
• Question : « On nous propose le schéma de montage suivant, le générateur délivre
une tension E continue aux bornes d’une lampe L1 en série de deux autres (L2 et L3)
en dérivation. Donner la relation liant U2 et U3 puis
E calculer U1 sachant que E=5V et U3=3V. »
+
Savoir : La tension aux bornes de deux dipôle en
U2 parallèle est identique, loi d’additivité des tensions.
L2 U
1 Réponses : On déduit directement que U2=U3.
L1 U3 L3 La loi d’additivité des tensions permet d’écrire la relation mathématique suivante :
é
:
5
3
2
2) Utiliser une formule mathématique :
Remarquons tout d’abord que certaines formules mathématiques sont très intuitives si
les concepts de division et de multiplication sont bien assimilés. Par exemple :
•
La masse volumique, caractérisant la lourdeur d’un matériau et définie par la
masse divisée par le volume, ce qui donne donc la masse d’une unité de volume
(de 1 cm3 par exemple).
On la not souvent et elle a donc pour expression :
•
Les relations liant temps, distance et vitesse. On a tous déjà pris la voiture et on
sait que la distance parcourue est égale au temps multiplié par la vitesse. On
exprime l’un des trois en fonction de la question posée grâce aux manipulations
des expressions mathématiques (cf. II)
•
Relation entre période ( T ) et fréquence ( f ). Pour un phénomène qui se répète
dans le temps, on parle de période pour qualifier la durée du phénomène (La
période de la rotation de la Terre autours du Soleil est de 1 an, celle de rotation
de la Lune autours de la Terre est d’environ 27 jours). A une période on associe
une fréquence qui caractérise le nombre de fois que le phénomène s’est répété
par unité de temps (donc l’unité de la fréquence est le par seconde, par minute,
par heure ou par an….). Par exemple la fréquence cardiaque est le nombre de
pulsation du cœur par minute. On a la relation :
1
Par exemple, si T est en secondes, l’unité de la fréquence sera le « par
secondes ».
Mais ce n’est pas le cas de toutes les formules. Certaines font intervenir des grandeurs
physiques qui nous sont moins familières ceci rendant les formules peu intuitives : La loi
d’Ohm en est un exemple.
ô ,
:
:
é
3) Et des fois il faut les deux, des savoir et des
connaissances….
Reprenons l’exercice précédent
d’électricité :
E +
U2 I1 L2 I2 U1 L1 U3 L3 I3 « On nous propose le schéma de montage suivant, le générateur délivre une
tension E continue aux bornes d’une lampe L1 en série de deux autres (L2 et L3) en
dérivation. Donner la relation liant U2 et U3 puis calculer U1 sachant que E=5V et
U3=3V. »
On avait : U2=U3 et U1=2V.
On rajoute:
Question : « L2 et L3 sont deux lampes identiques de résistance 10 Ω. Calculer le
courant traversant L2, celui traversant L3. En déduire le courant traversant L1 puis la
résistance de la lampe L1. »
Savoir : La loi des nœuds (ou additivité des courants)
Formule : Loi d’Ohm : U=R*I
Réponse :
3
10
3
10
0,3
0,3
La loi des nœuds permet d’écrire :
0,3
0,3
0,6
Sachant que U1= 2V, la loi d’ohm appliquée aux bornes de la lampe L1 permet
d’écrire :
2
3,333 … . Ω
0,6
:
3,33Ω