feuille - Université Nice Sophia Antipolis

UNIVERSIT´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS 2016/2017
Facult´e des Sciences Pr´eparation `a l’agr´egation
D´epartement de Math´ematiques Anneaux
Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux sont suppos´es commutatifs unitaires et tous les
homomorphismes d’anneaux sont homomorphismes d’anneaux unitaires.
Exercice 1.
a) Quels sont les ´el´ements inversibles de Z,Z/nZ,R[X] ?
b) Montrer que Zet R[X] n’ont pas de diviseurs de z´ero.
c) Montrer qu’un ´el´ement non-nul de Z/nZest soit inversible soit un diviseur de z´ero.
d) Montrer qu’un anneau int`egre avec un nombre fini d’´el´ements est un corps.
Exercice 2. Un ´el´ement xd’un anneau unitaire est dit nilpotent s’il existe un entier naturel nnon
nul tel que xn= 0.
a) Quels sont les ´el´ements nilpotents de Z,Z/6Z,Z/8Zet de Z/nZen g´en´eral ?
b) Montrer que si x∈Aest nilpotent alors 1 + xest inversible. En d´eduire que la somme d’un
´el´ement nilpotent et d’un inversible est inversible.
c) L’ensemble des ´el´ements nilpotents d’un anneau As’appelle le nilradical de A, on le note N(A)
ou nil(A). Montrer que le nilradical d’un anneau est un id´eal.
Exercice 3.
a) Montrer que les id´eaux de Zsont de la forme nZ,n∈Z. Quels sont les id´eaux premiers,
maximaux ?
b) Consid´erons les id´eaux de A=R[X].
(a) Pour x∈Rd´efinissons Ix={P∈R[X]; P(x) = 0}. Montrer que Ixest un id´eal de R[X].
Est-il premier ? maximal ? principal ?
(b) Mˆeme question pour I={P∈R[X]; P(−1) = P(1) = 0}.
c) Dans l’anneau C[X, Y ], l’id´eal engendr´e par Xet Yest l’ensemble des polynˆomes dont le terme
constant est nul. Est-il principal ? Est-il maximal ?
Exercice 4.
a) Soit Xun ensemble non-vide et soit Aun anneau. Montrer que l’ensemble des applications
X→A, not´e AX, est muni d’une structure d’anneau par les op´erations suivantes :
– la somme f+gest d´efinie comme l’application f+g:X→Aqui `a xassocie f(x) + g(x) ;
– le produit f·gest d´efini comme l’application qui `a xassocie f(x)g(x) ;
– l’application qui `a tout x∈Xassocie l’´el´ement neutre 1 de Aest ´el´ement neutre pour cette
multiplication.
b) Montrer que l’ensemble des parties de X, not´e 2X, muni du produit X1, X2→X1∩X2et de la
somme X1, X2→X1÷X2= (X1\X2)∪(X2\X1) est un anneau. (indice : utiliser la question
pr´ecedente).
c) Montrer que 2Xmuni du produit X1, X2→X1∩X2et de la somme X1, X2→X1∪X2n’est
pas un anneau.
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Exercice 5. (Produit d’anneaux)
a) Montrer que ϕ:Z/6Z→Z/2Z×Z/3Z, d´efinie par
ϕ(a) = (amod 2, a mod 3)
est un isomorphisme d’anneaux. Notons par (1,1) l’´el´ement neutre (l’unit´e) de Z/2Z×Z/3Z.
Calculer ϕ−1(1,1), ϕ−1(1,0), ϕ−1(0,1) ?
b) Soit A, B deux anneaux. Sous quelle condition A×Best un anneau int`egre ? (Indice : calculer
le produit (1,0) ·(0,1).)
c) Soit A, B deux anneaux. Montrer que les applications de projection pA:A×B→Aet pB:
A×B→Bsont des ´epimorphismes d’anneaux. Montrer que l’application A→A×Btelle que
a→(a, 0) n’est pas un homomorphisme d’anneaux (si Best non nul).
d) (Propri´et´e universelle du produit d’anneaux) Soit A, B deux anneaux. Montrer que pour tout
anneau Cet tout couple d’homomorphismes d’anneaux α:C→A,β:C→B, il existe un
unique homomorphisme d’anneaux ϕ:C→A×Btel que pA◦ϕ=αet pB◦ϕ=β.
Supposons qu’un anneau Det des homomorphismes d’anneaux hA:D→Aet hB:D→B
satisfont la mˆeme propri´et´e : Pour tout anneau Cet tout couple d’homomorphismes d’anneaux
α:C→A,β:C→B, il existe un unique homomorphisme d’anneaux ϕ:C→Dtel que
hA◦ϕ=αet hB◦ϕ=β. Montrer que l’unique homomorphisme d’anneau f:D→A×Btel
que pA◦f=hAet pB◦f=hB, est un isomorphisme. (On dit que la propri´et´e universelle d´efinit
le produit d’anneaux `a unique isomorphisme pr`es.)
Exercice 6. Consid´erons l’anneau A=Z[X].
a) Montrer que f:Z[X]→Z,f(P) = P(0), est un homomorphisme d’anneau.
b) Montrer que le noyau de fest un id´eal premier de Aqui n’est pas maximal. Est-il principal ?
c) Montrer que f−1(2Z) est un id´eal premier de Aqui n’est pas principal. Est-il maximal ?
Exercice 7. Soit Aun anneau int`egre et noeth´erien. On suppose que tout id´eal maximal de Aest
principal.
a) Montrer que Aest factoriel.
b) Montrer que Aest principal.
Exercice 8. Soit Aun anneau factoriel v´erifiant le th´eor`eme de Bezout (i.e. pour tout a, b dans A,
(a, b) est principal). Montrer que Aest principal.
Exercice 9. Soit A=Z[√−3] ⊂Cet Kson corps de fractions. Montrer que x2−x+1 est irr´eductible
dans A[x] sans pour autant ˆetre irr´eductible dans K[X]. Explique la contradiction apparente avec un
r´esultat du cours.
Exercice 10. Soit A=C[X, Y ]/(Y2−X3). Consid´erons l’homomorphisme d’anneaux
ϕ:C[X, Y ]→C[T], F (X, Y )→F(T2, T 3).
a) Montrer que ker ϕ= (Y2−X3). En d´eduire que Aest isomorphe `a un sous-anneau de C[T].
b) L’anneau A, est-il int`egre ?
c) Montrer que l’image de ϕest isomorphe `a C[T2, T 3].
d) En consid´erant T6= (T2)3= (T3)2montrer que C[T2, T 3]'C[X, Y ]/(Y2−X3) n’est pas
factoriel.
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Exercice 11. Soit A=Z[i√5] = {m+ni√5; m, n ∈Z}. .
a) Montrer que Aest un anneau int`egre isomorphe `a Z[X]/(X2+ 5).
b) Quels sont les ´el´ements inversibles de A?
c) Montrer que 9 = 3×3 = (2+i√5)(2−i√5) admet dans Adeux d´ecompositions non-´equivalantes
en facteurs irr´eductibles.
d) Montrer que 3 et 2 + i√5 n’ont pas de ppcm dans A, et que 9 et 3(2 + i√5) n’ont pas de pgcd
dans A.
Exercice 12. Unicit´e dans l’algorithme de division.
Soit Aun anneau euclidien et soit ν:A\ {0} → Nun stathme de A.
a) Montrer que si aest un diviseur propre de balors ν(a)< ν(b). Remarquer alors que si aest un
inversible alors ν(a) = ν(1).
b) Montrer que si le stathme νsatifait ν(a+b)≤max{ν(a), ν(b)}, pour tout a, b ∈A\{0},a+b6= 0,
alors le quotient et le reste de la division euclidienne sont uniques. Montrer que la r´eciproque
est vraie aussi.
Supposons d´esormais que pour tout couple (a, b)∈A×(A\{0}) le quotient et le reste dans la division
de apar bsont uniques. On note par A×le groupe multiplicative des inversibles de A.
c. Montrer que k=A×∪ {0}est un corps.
d. Montrer que si An’est pas r´eduit `a k, alors Aest isomorphe `a k[X]. (Indice : Soit x∈Atel
que ν(x) = min{ν(y)|y∈A\k}. Montrer que k[X]3P→P(x)∈Aest un isomorphisme
d’anneaux.
Anneaux principaux
Exercice 1. (Autour de Bezout) Soit Aun anneau principal.
a) Soit a, b ∈A\ {0}et soit (a, b) = (d). Montrer que d= pgcd (a, b) et qu’il existe x, y ∈Atels
que
d=xa +yb.
b) (Lemme de Gauss) Soit a, b, c trois ´el´ements non-nuls de A. Si aet bsont premiers entre eux et
si adivise bc, alors adivise c.
c) Soit a, b ∈Aet soit (a)∩(b)=(m). Montrer que m= ppcm (a, b) et que (dans A/A×) :
ab = ppcm (a, b)×pgcd (a, b).
d) (Th´eor`eme chinois) Calculer l’inverse de l’isomorphisme ϕ:Z/35Z→Z/5Z×Z/7Z, d´efinie par
ϕ(a)=(amod 5, a mod 7).
Exercice 2.
a) Soit kun corps. Montrer que A=k[X] est principal.
b) Montrer que l’id´eal (2, X)⊂Z[X] n’est pas principal.
c) Soit Aun anneau quelconque. Montrer que A[X] est principal si et seulement si Aest un corps.
Exercice 3. (El´ements irr´eductibles) Soit Aun anneau principal.
a) (Lemme d’Euclide) Montrer que, si p∈Aest irr´eductible et pdivise ab alors p|aou p|b.
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b) Montrer que pour a∈A\ {0}les condtions suivantes sont ´equivalentes
(i) a∈Aest irr´eductible.
(ii) (a) est un id´eal premier.
(iii) (a) est un id´eal maximal.
Exercice 4. (Anneaux principaux sont noeth´eriens)
Soit Aun anneau principal. Montrer directement que toute suite croissante
I1⊂I2⊂ ··· ⊂ In⊂ ···
d’id´eaux de Aest stationnaire.
Exercice 5. (Anneau Z[√2])
On pose A=Z[√2] = {a+b√2; a, b ∈Z}.
a) Montrer que Aest un sous-anneau de Risomorphe `a Z[X]/(X2−2) (consid´erer Z[X]→R,
P(X)→P(√2)).
b) Soit Nune application de Adans Rqui `a z=a+b√2 associe N(z) = |a2−2b2|. Montrer que
pour tous zet z0de Aon a : N(zz0) = N(z)N(z0), N(z)=0⇔z= 0, N(z/z0) = N(z)/N(z0)
c) Montrer que pour tout x∈Aet tout y∈A\0 il existe q, r ∈Atels que
x=yq +ravec N(r)< N(y).
(Indice : d´eterminer q∈Atel que N(x/y −q)<1 )
Aest donc un anneau euclidien . Le couple (q, r) est-il unique ?
Exercice 6.
a) Soit Aun anneau euclidien. Alors il existe x∈A,x /∈A×, tel que la restriction `a A×∪ {0}de
la projection canonique de Asur A/(x) soit surjective.
b) Montrer que R[X, Y ]/(X2+Y2+ 1) n’est pas euclidien.
c) ∗Montrer que R[X, Y ]/(X2+Y2+ 1) est principal.
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