Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC

Collège Henri Meck
lundi 4 mai 2009
Molsheim
BREVET BLANC
DE MATHEMATIQUES
N°2
( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 )
PRESENTATION 4 pts
Rappel : Présenter les 3 parties de l'épreuve
sur 3 feuilles doubles distinctes.
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ACTIVITES NUMÉRIQUES (12 pts)
Exercice 1
On donne les nombres :
3 2 21
3×10 2×1,8×10−3
A= − ×
; B=
; C= 12−5  752  147 .
7 7 8
6×10 4
1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible (écrire toutes les étapes du calcul).
3 2 21
A= − ×
7 7 8
3 1 21
A= − ×
7 7 4
3 21
A= −
7 28
A=
12 21
−
28 28
A=
−9
28
2) Donner l'écriture décimale de B puis son écriture scientifique.
B=
3×10 2×1,8×10−3
6×10 4
B=
1,8 102×10−3
×
2
104
B=0,9×
10−1
104
−5
B=0,9×10
B=0,000 009
B=9×10−6
3) Écrire C sous la forme a  3 , où a est un nombre entier.
C= 12−5  752  147
C=  4×3−5  25×32  49×3
C=  4×  3−5  25×  32  49× 3
C=2×  3−5×5× 32×7× 3
C=2×  3−25× 314×  3
C=−9  3
---------------------------------------Exercice 2
On pose :
D=12 x32 x−7−2 x−72
1) Développer et réduire D.
D=12 x32 x−7−2 x−7
2
D=12 x×2 x12 x×−73×2 x3×−7−[ 2 x 27 2−2×2 x×7]
D=24 x 2−84 x6 x−21−[4 x 249−28 x ]
D=24 x 2−78 x−21−4 x2 −4928 x
D=20 x 2−50 x−70.
2) Factoriser D.
D=12 x32 x−7−2 x−72
D= 2 x−7[12 x3− 2 x−7]
D= 2 x−7[12 x3−2 x7 ]
D= 2 x−710 x10
D=102 x−7 x1 .
3) Calculer D pour x = 2.
D=102 x−7 x1
D=102×2−7 21
D=10×−3×3.
D=−90
4) Résoudre l'équation 2 x−7 x1=0
or, « Si un produit de facteurs est nul alors au moins l'un des facteurs est nul. »
donc 2 x−7=0 ou x1=0
soit 2 x=7 ou x=−1
soit x=
7
ou x=−1
2
Les deux solutions de l'équation sont donc 3,5 et -1.
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Exercice 3
Soit f la fonction définie par f  x=
2− x
.
3
1) Justifier que f est une fonction affine.
f  x=
2− x 2 x −1
2
−1
= − =
x ; c'est donc bien une fonction de la forme f  x=a xb avec a =
et b =
3
3 3 3
3
3
2
.
3
2) Calculer f(0). Interpréter ce résultat en écrivant une phrase utilisant le mot image.
f  x=
2− x
2−0 2
2
= donc l'image de 0 par f est
alors f  0=
.
3
3
3
3
3) Déterminer l'image de -3.
f −3=
2−−3 5
5
= donc l'image de (-3) par f est
.
3
3
3
4) Un élève affirme que 5 a un seul antécédent qui est un entier strictement négatif. A-t-il raison? Justifier.
Pour répondre on cherche les nombres x tels que f  x=5 c'est à dire
2− x
=5 ou 2− x=15 ou x=2−15 soit x=−13
3
donc le seul antécédent de 5 est (-13) ; cet élève a raison.
5) Compléter tableau suivant :
x
-1
6
−4
f  x
1
−4
3
2
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ACTIVITES GÉOMETRIQUES (12 pts)
Sur les figures de ces deux exercices, les longueurs ne sont pas respectées.
Exercice 1
L'unité est le cm. On ne demande pas de reproduire la figure.
On sait que les points Y,S,B et E sont alignés dans cet ordre
et que les points X,S,A et D sont alignés dans cet ordre.
On sait également que: (YX) // (AB) ; SA= 3; SB = 5 ; SX = 5 et AB = 4.
1) Calculer YX en justifiant ; donner la valeur exacte, puis l'arrondi au mm.
On sait que les droites (YB) et (AX) sont sécantes en S et que (YX) est parallèle à (AB).
On peut donc utiliser le théorème de Thalès :
SA SB AB
3
5
4
=
=
=
soit =
donc YX =
5 SY YX
SX SY YX
5×4 20
=
soit YX ≈6,7 cm .
3
3
2) On sait de plus que : SD = 4,5 et SE = 7,5.
Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
D'une part :
SA 3 6 2
=
= =
et d'autre part :
SD 4,5 9 3
SA SB
SB 5 10 2
=
= = donc
=
.
SE 7,5 15 3
SD SE
De plus, les points S,A, D et S, B, E sont alignés dans cet ordre donc d'après la réciproque du théorème de Thalès,
les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
3) Sans aucun calcul, montrer que les droites (XY) et (ED) sont parallèles.
On sait que (XY) // (AB) et (ED) // (AB),
or si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles,
donc (XY) // (ED).
---------------------------------------Exercice 2
L'unité est le cm.
On considère le triangle SAB tracé ci-contre.
Ce triangle vérifie que AB = 13 ; SA = 5 et SB = 12.
On note I le milieu du segment [AB].
1) Démontrer que le triangle SAB est rectangle en S.
D'une part: AB² = 13² = 169 et d'autre part : SA² + SB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169,
donc AB² = SA² + SB².
Donc d 'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SAB est rectangle en S.
2) Déterminer la mesure de 
SAB (arrondir au degré).
SAB=
Le triangle SAB étant rectangle en S, on a : cos 
SA 5
=
donc 
SAB≈67 ° .
AB 13
(Remarque : ici, on peut utiliser aussi le sinus ou la tangente à la place du cosinus)
3) a) Faire la figure en vraie grandeur
et placer le point R image de S dans la symétrie de centre I.
S
12 cm
B
I
13
cm
5 cm
A
b) Démontrer que le quadrilatère SARB est un rectangle.
On sait que dans le quadrilatère SBRA, I est le milieu de [AB] et de [RS].
Or « si dans un quadrilatère, les diagonales se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme ».
Donc SBRA est un parallélogramme.
R
On sait que SBRA est un parallélogramme et que S est un angle droit (car le triangle SAN est rectangle en S).
Or « si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle ».
Donc SBRA est un rectangle.
---------------------------------------PROBLÈME (12 pts)
Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit.
Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre.
Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles.
Le triangle HIE est rectangle en I.
Le quadrilatère IEAB est un rectangle.
La hauteur du sol au sommet est HB.
On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5.
Première partie
On suppose dans cette partie que AE = 2.
1. Justifier que HI = 3.
Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur, alors IB=EA
et puisque H, l et B sont alignés,
HI = HB− IB=5−2=3 m .
2. Démontrer que HE = 3,75.
Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur, alors IE =BA . Le triangle HIE est rectangle en I alors
d'après la propriété de Pythagore : HE 2=HI 2 IE 2 =3 22,25 2=95,0625=14,0625 donc HE = 14,0625=3,75 m .
3. Calculer au degré près, la mesure de l'angle

IHE
Dans le triangle rectangle HIE, cos 
IHE =
du toit avec la maison.
Longueur du côté adjacent à 
IHE IH
3
donc 
=
=
IHE ≈37 ° .
Hypoténuse
HE 3,75
(Remarque : ici, on peut utiliser aussi le sinus ou la tangente à la place du cosinus)
Deuxième partie
Dans cette partie, on suppose que

IHE
= 45° et on désire déterminer AE.
1. Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas ? Justifier.
Dans le triangle HIE rectangle en I, 
HEI =90−
IHE=90−45=45°
donc ce triangle est isocèle rectangle en I.
2. En déduire HI puis AE.
Puisque le triangle HIE est isocèle en I, alors HI = IE=BA=2,25 m et AE=IB=HB− HI =5−2,25=2,75 m .
Troisième partie
Dans cette partie, on suppose que

IHE
= 60° et on désire déterminer AE.
1. Déterminer la valeur arrondie au cm de HI.
IHE=
Dans le triangle HIE rectangle en I, tan 
d'où HI =
Longueur du côté opposé à 
IHE
IE
=
Longueur du côté adjacent à 
IHE HI
IE
≈1,30 m .
tan 
IHE
(Remarque : ici, on peut utiliser aussi le sinus à la place de la tangente)
2. En déduire la valeur arrondie au cm de AE.
Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur, alors AE =IB=BH −IH ≈5−1,30≈ 3,70 m .
Quatrième partie
La courbe ci-dessous représente la hauteur AE en fonction de la mesure de
l'angle

IHE
. M. Durand souhaite que la hauteur AE soit comprise entre 3 m et
3,5 m. En utilisant le graphique, donner une mesure possible de l'angle

IHE
.
Si 3 AE3,5 alors 48 ° 
IHE56 ° .