Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009
Molsheim
BREVET BLANC
DE MATHEMATIQUES
N°2
( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 )
PRESENTATION 4 pts
Rappel : Présenter les 3 parties de l'épreuve
sur 3 feuilles doubles distinctes.
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ACTIVITES NUMÉRIQUES (12 pts)
Exercice 1
On donne les nombres :
A=3
7−2 7×21 8
;
B=3×102×1,8×10−3
6×104
;
C= 12−5 752 147
.
1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible (écrire toutes les étapes du calcul).
A=3
7−2 7×21 8

A=3
7−1 7×21 4
A=3
7−21 28
A=12
28 −21 28
A=−9
28
2) Donner l'écriture décimale de B puis son écriture scientifique.
B=3×102×1,8×10−3
6×104
B=1,8
2×102×10−3
104
B=0,9×10−1
104
B=0,9×10−5
B=0,000 009
B=9×10−6
3) Écrire C sous la forme
a 3
, où
a
est un nombre entier.
C= 12−5 752 147
C= 4×3−5 25×32 49×3
C= 4× 3−5 25× 32 49× 3
C=2× 3−5×5× 32×7× 3
C=2× 3−25× 314× 3
C=−9 3
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Exercice 2

On pose :
D=12 x32x−7−2x−72
1) Développer et réduire D.
D=12 x32x−7−2x−72
D=12 x×2x12 x×−73×2x3×−7−[ 2x272−2×2x×7]
D=24 x2−84 x6x−21−[4x249−28 x]
D=24 x2−78 x−21−4x2−4928 x
D=20 x2−50 x−70.
2) Factoriser D.
D=12 x32x−7−2x−72
D=2x−7[12 x3−2x−7]
D=2x−7[12 x3−2x7]
D= 2x−710 x10
D=102x−7 x1.
3) Calculer D pour x = 2.
D=102x−7 x1
D=102×2−721
D=10×−3×3.
D=−90
4) Résoudre l'équation
2x−7 x1=0
or, « Si un produit de facteurs est nul alors au moins l'un des facteurs est nul. »
donc
2x−7=0
ou
x1=0
soit
2x=7
ou
x=−1
soit
x=7
2
ou
x=−1
Les deux solutions de l'équation sont donc 3,5 et -1.
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Exercice 3
Soit f la fonction définie par
fx= 2−x
3
.
1) Justifier que f est une fonction affine.
fx= 2−x
3=2 3−x 3=−1 3x2 3
; c'est donc bien une fonction de la forme
fx=a xb
avec a =
−1
3
et b =
2
3
.
2) Calculer f(0). Interpréter ce résultat en écrivant une phrase utilisant le mot image.
fx= 2−x
3
alors
f0= 2−0
3=2 3
donc l'image de 0 par f est
2
3
.
3) Déterminer l'image de -3.
f−3= 2−−3
3=5 3
donc l'image de (-3) par f est
5
3
.
4) Un élève affirme que 5 a un seul antécédent qui est un entier strictement négatif. A-t-il raison? Justifier.
Pour répondre on cherche les nombres x tels que
fx=5
c'est à dire
2−x
3=5
ou
2−x=15
ou
x=2−15
soit
x=−13
donc le seul antécédent de 5 est (-13) ; cet élève a raison.
5) Compléter tableau suivant :
x
-1 6
−4
fx
1
−4
3
2
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ACTIVITES GÉOMETRIQUES (12 pts)
Sur les figures de ces deux exercices, les longueurs ne sont pas respectées.
Exercice 1
L'unité est le cm. On ne demande pas de reproduire la figure.
On sait que les points Y,S,B et E sont alignés dans cet ordre
et que les points X,S,A et D sont alignés dans cet ordre.
On sait également que: (YX) // (AB) ; SA= 3; SB = 5 ; SX = 5 et AB = 4.
1) Calculer YX en justifiant ; donner la valeur exacte, puis l'arrondi au mm.
On sait que les droites (YB) et (AX) sont sécantes en S et que (YX) est parallèle à (AB).
On peut donc utiliser le théorème de Thalès :
SA
SX =SB SY =AB YX
soit
3
5=5 SY =4 YX
donc YX =
5×4
3=20 3
soit
YX ≈6,7 cm
.
2) On sait de plus que : SD = 4,5 et SE = 7,5.
Démontrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
D'une part :
SA
SD=3 4,5 =6 9=2 3
et d'autre part :
SB
SE =5 7,5 =10 15 =2 3
donc
SA
SD=SB SE
.
De plus, les points S,A, D et S, B, E sont alignés dans cet ordre donc d'après la réciproque du théorème de Thalès,
les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
3) Sans aucun calcul, montrer que les droites (XY) et (ED) sont parallèles.
On sait que (XY) // (AB) et (ED) // (AB),
or si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles,
donc (XY) // (ED).