MA435 Introduction aux corps finis

MA435 Introduction aux corps finis
Alena Pirutka
École Polytechnique &Courant Institute, NYU
Paris Tech Shanghai, 21 Septembre 2015
Alena Pirutka École Polytechnique &Courant Institute, NYU
MA435 Introduction aux corps finis

Cours 2 :
Anneaux
Alena Pirutka École Polytechnique &Courant Institute, NYU
MA435 Introduction aux corps finis

Un principe :Znaturellement muni de la loi l’addition et de
multiplication. Ces deux lois satisfont certaines propriétés de
compatibilité.
Définition Un anneau est un ensemble Amuni de deux lois de
composition interne +,∗telles que
(i) (A,+) est un groupe abélien;
(ii) la loi ∗est associative, munie d’un élément neutre;
(iii) la loi ∗est distributive par rapport à la loi +, c’est-à-dire,
a∗(b+c) = a∗b+a∗cet
(b+c)∗a=b∗a+c∗a
pour tous a,b,c∈A.
Si la loi ∗est commutative, on dit que Aest un anneau commutatif.
Dans la suite on se limitera à l’étude des anneaux commutatifs (et
on dira donc «anneau» pour «anneau commutatif»).
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Un principe :Znaturellement muni de la loi l’addition et de
multiplication. Ces deux lois satisfont certaines propriétés de
compatibilité.
Définition Un anneau est un ensemble Amuni de deux lois de
composition interne +,∗telles que
(i) (A,+) est un groupe abélien;
(ii) la loi ∗est associative, munie d’un élément neutre;
(iii) la loi ∗est distributive par rapport à la loi +, c’est-à-dire,
a∗(b+c) = a∗b+a∗cet
(b+c)∗a=b∗a+c∗a
pour tous a,b,c∈A.
Si la loi ∗est commutative, on dit que Aest un anneau commutatif.
Dans la suite on se limitera à l’étude des anneaux commutatifs (et
on dira donc «anneau» pour «anneau commutatif»).
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Définition.
Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul
admet un inverse pour la loi de multiplication ×.
Définition. Soit Aun anneau. On dit que Aest intègre si la
condition ab =0 avec a,b∈Aimplique que a=0 ou b=0.
Si Aest un anneau intègre, on appelle corps des fractions Frac Ade
Ale plus petit corps contenant A.
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