MA435 Introduction aux corps finis Alena Pirutka École Polytechnique & Courant Institute, NYU Paris Tech Shanghai, 21 Septembre 2015 Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Cours 2 : Anneaux Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Un principe : Z naturellement muni de la loi l’addition et de multiplication. Ces deux lois satisfont certaines propriétés de compatibilité. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Un principe : Z naturellement muni de la loi l’addition et de multiplication. Ces deux lois satisfont certaines propriétés de compatibilité. Définition Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition interne +, ∗ telles que (i) (A, +) est un groupe abélien; (ii) la loi ∗ est associative, munie d’un élément neutre; (iii) la loi ∗ est distributive par rapport à la loi +, c’est-à-dire, a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c et (b + c) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a pour tous a, b, c ∈ A. Si la loi ∗ est commutative, on dit que A est un anneau commutatif. Dans la suite on se limitera à l’étude des anneaux commutatifs (et on dira donc «anneau» pour «anneau commutatif»). Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse pour la loi de multiplication ×. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse pour la loi de multiplication ×. Définition. Soit A un anneau. On dit que A est intègre si la condition ab = 0 avec a, b ∈ A implique que a = 0 ou b = 0. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse pour la loi de multiplication ×. Définition. Soit A un anneau. On dit que A est intègre si la condition ab = 0 avec a, b ∈ A implique que a = 0 ou b = 0. Si A est un anneau intègre, on appelle corps des fractions Frac A de A le plus petit corps contenant A. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un morphisme (ou un homomorphisme d’anneaux) est une application f : A → B telle que • f (1) = 1; • f (x + y ) = f (x) + f (y ); • f (xy ) = f (x)f (y ); Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un morphisme (ou un homomorphisme d’anneaux) est une application f : A → B telle que • f (1) = 1; • f (x + y ) = f (x) + f (y ); • f (xy ) = f (x)f (y ); Définition. Une partie B ⊂ A d’un anneau A est un sous-anneau si la restriction de la structure d’anneau sur A définit une structure d’anneau sur B, autrement dit, si • 1 ∈ B; • (B, +) est un sous-groupe de (A, +); • B est stable par la multiplication interne. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Une partie I ⊂ A est un idéal de A si I est un sous-groupe de A pour l’addition et si, pour tout x ∈ I et tout a ∈ A, on a ax ∈ I . Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Une partie I ⊂ A est un idéal de A si I est un sous-groupe de A pour l’addition et si, pour tout x ∈ I et tout a ∈ A, on a ax ∈ I . Si I ⊂ A est un idéal, on peut munir le groupe quotient A/I de la loi multiplicative : ā · b̄ = ab. On vérifie que cette opération est bien définie, i.e. ne dépend pas de choix de représentants a et b : si a1 = a + i, b1 = b + j avec i, j ∈ I , on a a1 b1 = ab + ib + ja + ij avec ib + ja + ij ∈ I et on a donc bien l’égalité de classes. On voit donc que l’ensemble A/I forme un anneau, appelé l’anneau quotient A/I . Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Proposition. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Alors il existe un unique morphisme d’anneaux f¯ : A/ker (f ) → B tel que f = f¯ ◦ π où π est la surjection canonique A → A/ker (f ). De plus, f¯ induit un isomorphisme d’anneaux entre A/ker (f ) et Im(f ). Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un idéal I est premier si A/I est un anneau intègre. Un idéal I est maximal si A/I est un corps. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un idéal I est premier si A/I est un anneau intègre. Un idéal I est maximal si A/I est un corps. Proposition. Un idéal I est maximal si I 6= A et si pour tout idéal J contenant I on a soit I = J soit J = A. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU Définition. Un idéal I est premier si A/I est un anneau intègre. Un idéal I est maximal si A/I est un corps. Proposition. Un idéal I est maximal si I 6= A et si pour tout idéal J contenant I on a soit I = J soit J = A. Théorème de Krull. Tout idéal I 6= A d’un anneau A est inclus dans un idéal maximal. Alena Pirutka MA435 Introduction aux corps finis École Polytechnique & Courant Institute, NYU