MA435 Introduction aux corps finis

MA435 Introduction aux corps finis
Alena Pirutka
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Paris Tech Shanghai, 21 Septembre 2015
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Cours 2 :
Anneaux
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Un principe : Z naturellement muni de la loi l’addition et de
multiplication. Ces deux lois satisfont certaines propriétés de
compatibilité.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Un principe : Z naturellement muni de la loi l’addition et de
multiplication. Ces deux lois satisfont certaines propriétés de
compatibilité.
Définition Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de
composition interne +, ∗ telles que
(i) (A, +) est un groupe abélien;
(ii) la loi ∗ est associative, munie d’un élément neutre;
(iii) la loi ∗ est distributive par rapport à la loi +, c’est-à-dire,
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c et
(b + c) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a
pour tous a, b, c ∈ A.
Si la loi ∗ est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.
Dans la suite on se limitera à l’étude des anneaux commutatifs (et
on dira donc «anneau» pour «anneau commutatif»).
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition.
Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul
admet un inverse pour la loi de multiplication ×.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition.
Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul
admet un inverse pour la loi de multiplication ×.
Définition. Soit A un anneau. On dit que A est intègre si la
condition ab = 0 avec a, b ∈ A implique que a = 0 ou b = 0.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition.
Un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul
admet un inverse pour la loi de multiplication ×.
Définition. Soit A un anneau. On dit que A est intègre si la
condition ab = 0 avec a, b ∈ A implique que a = 0 ou b = 0.
Si A est un anneau intègre, on appelle corps des fractions Frac A de
A le plus petit corps contenant A.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition. Un morphisme (ou un homomorphisme d’anneaux) est
une application f : A → B telle que
• f (1) = 1;
• f (x + y ) = f (x) + f (y );
• f (xy ) = f (x)f (y );
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition. Un morphisme (ou un homomorphisme d’anneaux) est
une application f : A → B telle que
• f (1) = 1;
• f (x + y ) = f (x) + f (y );
• f (xy ) = f (x)f (y );
Définition. Une partie B ⊂ A d’un anneau A est un sous-anneau si
la restriction de la structure d’anneau sur A définit une structure
d’anneau sur B, autrement dit, si
• 1 ∈ B;
• (B, +) est un sous-groupe de (A, +);
• B est stable par la multiplication interne.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition. Une partie I ⊂ A est un idéal de A si I est un
sous-groupe de A pour l’addition et si, pour tout x ∈ I et tout
a ∈ A, on a ax ∈ I .
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition. Une partie I ⊂ A est un idéal de A si I est un
sous-groupe de A pour l’addition et si, pour tout x ∈ I et tout
a ∈ A, on a ax ∈ I .
Si I ⊂ A est un idéal, on peut munir le groupe quotient A/I de la
loi multiplicative :
ā · b̄ = ab.
On vérifie que cette opération est bien définie, i.e. ne dépend pas
de choix de représentants a et b : si a1 = a + i, b1 = b + j avec
i, j ∈ I , on a a1 b1 = ab + ib + ja + ij avec ib + ja + ij ∈ I et on a
donc bien l’égalité de classes.
On voit donc que l’ensemble A/I forme un anneau, appelé l’anneau
quotient A/I .
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Proposition. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Alors il
existe un unique morphisme d’anneaux f¯ : A/ker (f ) → B tel que
f = f¯ ◦ π où π est la surjection canonique A → A/ker (f ). De plus,
f¯ induit un isomorphisme d’anneaux entre A/ker (f ) et Im(f ).
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition. Un idéal I est premier si A/I est un anneau intègre.
Un idéal I est maximal si A/I est un corps.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition. Un idéal I est premier si A/I est un anneau intègre.
Un idéal I est maximal si A/I est un corps.
Proposition. Un idéal I est maximal si I 6= A et si pour tout idéal
J contenant I on a soit I = J soit J = A.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU
Définition. Un idéal I est premier si A/I est un anneau intègre.
Un idéal I est maximal si A/I est un corps.
Proposition. Un idéal I est maximal si I 6= A et si pour tout idéal
J contenant I on a soit I = J soit J = A.
Théorème de Krull. Tout idéal I 6= A d’un anneau A est inclus
dans un idéal maximal.
Alena Pirutka
MA435 Introduction aux corps finis
École Polytechnique & Courant Institute, NYU