L`Hélium au froid absolu

Les paragraphes I,II, et III sont très largement indépendants.
I INTERACTION ÉLECTRIQUE DE DEUX ATOMES D’HÉLIUM
Lorsque un atome est soumis à un champ électrique, les fonctions d’ondes
électroniques se déforment, donc la position moyenne de l’électron se déplace.
On modélise cela pour l’atome d’Hélium, en s’inspirant du modèle de Thomson
de l’atome, de la manière suivante : le noyau contenant deux charges positives
et un des électrons sont modélisés par une sphère de rayon Rrayon de l’atome
contenant la densité volumique de charge uniforme ρ, telle que la charge totale
soit q= +e= +1,6 10−19 C. Le deuxième électron de masse m, de charge −e,
se promène librement en étant soumis au champ électrique de la sphère chargée
en volume.
1- Calculer le champ électrique produit par la boule pleine chargée avec ρà
la distance rdu centre de la boule pour r≤R.
2- Calculer le potentiel électrostatique créé par cette boule (ρ, R), V(r), pour
toutes les valeurs de rde 0à+∞en prenant comme convention que le potentiel
est nul à l’infini. On exprimera V(r)en fonction de la charge totale q > 0de la
boule.
3- Calculer l’énergie de première ionisation Ide l’atome d’hélium.
Application numérique : on donne ε0= 8,85 10−12 F.m−1. On rappelle que
1eV = 1,6 10−19 J. On donne R= 0,103 10−9mètres = 0,103 nm. Calculer
numériquement l’énergie de première ionisation de l’atome d’Hélium. En réalité,
elle vaut 24,6eV . Conclusion sur le modèle ?
4- Lorsque l’atome est soumis à un champ électrique extérieur Ee, l’électron
se place à la distance rdu centre de la boule. L’atome prend alors un moment di-
polaire P=α Eeproportionnel au champ électrique extérieur appliqué. Calculer
la polarisabilité αen fonction de R. On ne fera pas l’application numérique.
5- Lorsque l’atome est seul, l’électron peut effectuer des oscillations harmo-
niques autour de centre de l’atome. Calculer, en prenant comme référence une
énergie potentielle nulle au centre, l’énergie potentielle électrostatique de l’élec-
tron à la distance rdu centre de la boule, en fonction de ε0,R,q.
6- On considère deux atomes d’hélium. Le premier est en O1, le deuxième est
en O2à la distance ddu premier. On prend comme axe des zla droite orientée
1. helium
1
Pierre BOUTELOUP

O1O2. La distance dest supposée très grande devant les élongations r1et r2
des électrons respectifs des deux atomes, respectivement par rapport à O1et
O2. On complète avec des axes xet yde façon à avoir un repère orthonormé
direct (−→ ex,−→ ey,−→ ez). Les déplacements ~r1et ~r2sont repérés respectivement avec
les coordonnées (x1, y1, z1)d’origine O1et x2, y2, z2d’origine O2.
En plus des deux énergie potentielles électrostatiques propres dont la formule
a été calculée à la question 5, les deux électrons ont une énergie potentielle
d’interaction électrostatique due à l’interaction des deux dipôles électrostatiques
créés lorsque r1et r2ne sont pas nuls, dipôles qui sont sur l’axe des zà la distance
dl’un de l’autre. On donne, pour le champ électrique créé par le dipôle numéro 1
au niveau du dipôle numéro 2:
−→
E1=1
4πε0d3h3−→
P1•−→ ez−→ ez−−→ P1i
Calculer en fonction de x1, y1, z1et x2, y2, z2l’énergie potentielle électrosta-
tique totale des deux atomes. On mettra q2
4πε0
en facteur.
7- On fait les changements de variables :
x+=1
√2(x1+x2)
y+=1
√2(y1+y2)
z+=1
√2(z1+z2)
x−=1
√2(x1−x2)
y−=1
√2(y1−y2)
z−=1
√2(z1−z2)
ν0étant la fréquence d’oscillation de l’électron d’un atome seul, montrer qu’on
arrive à 6 oscillateurs découplés de fréquences :
νx±=νy±=ν0r1±R3
d3≃ν01±R3 2d3−1 8
R6
d6
νz±=ν0r1±2R3
d3≃ν01±R3 d3−1 2
R6
d6
8- Un oscillateur harmonique de fréquence νpossède l’énergie minimale hν
2.
En déduire que deux atomes d’hélium présentent l’énergie potentielle mutuelle
d’attraction :
EP=−3
4
Iα2
(4πε0)2d6
en identifiant hν0à l’énergie de première ionisation de l’atome et αétant la
polarisabilité calculée à la question 4.
2

9- Application numérique : calculer le coefficient numérique multiplicatif de
1
d6de façon à connaître complètement l’énergie potentielle d’interaction en fonc-
tion de d. On prend I= 24,6eV .αest donné par l’expérience et pris ici égal
à : α= 2,581 10−41 SI. L’énergie est mesurée en Joules
II ÉTUDE DE L’ÉNERGIE INTERNE DE L’HÉLIUM À 0 K
Ici, r,R,m, et dn’ont pas la même signification que dans la partie I.m
est ici la masse d’un atome d’hélium. Une bonne unité au niveau atomique est
l’ ◦ Angström de symbole : ◦ Aqui vaut 10−10 m. Pour faire intervenir la répulsion
à très petite distance de deux atomes, il faut ajouter un terme répulsif dans
l’énergie. Des ajustements avec la déviation à un gaz parfait permettent de
trouver ce terme d’une manière phénoménologique. On arrive, pour l’énergie
potentielle d’interaction entre deux atomes d’hélium, à :
EP=447
r12 −1,59 r610−19 J
la distance rdes deux atomes étant mesurée en ◦ Angström.
10- L’hélium solide cristallise dans un réseau hexagonal compact, mais les
calculs sont équivalents et plus simples avec le réseau cubique à faces centrées
où il y a 4 atomes dans la maille cubique de volume a3. La distance de deux
atomes vaut r=a
√2. Un atome a 12 voisins, mais une liaison comptant pour
deux atomes, il lui correspond 6liaisons.
Nétant le nombre total d’atomes dans le volume considéré, on en déduit :
r=1
√2
3
r4V
N
En déduire l’énergie pour une liaison, en fonction du volume V.
On demande ensuite l’énergie potentielle Esolide molaire en fonction de V.
Nest donc ici égal au nombre d’Avogadro :N= 6,022 1023. L’énergie sera
exprimée en Joules, et le volume en cm3. On demande la valeur numérique
précise, avec ces unités, des coefficients de 1
V4et de 1 V2.
11- L’analyse de la diffraction des rayons Xmontre que l’hélium liquide,
à un instant donné, a la même structure que ci-dessus, mais un site sur deux
uniquement est occupé. C’est ce qui fait que les atomes peuvent facilement sauter
d’un site à l’autre, donc que l’hélium soit liquide. On obtient cette fois-ci :
r=1
√2
3
r2V
N
3

Un atome n’a plus que 6voisins. On a encore r=a
√2. Calculer avec les mêmes
consignes qu’à la question précédente l’énergie molaire du liquide : Eliquide.
12- Dans la suite, l’atome d’hélium est assimilé à une sphère dure de diamètre
d. À cause de l’inégalité de Heisenberg spatiale, même au froid absolu, les
atomes sont animés d’une agitation incessante, donc l’hélium possède une énergie
cinétique interne.
On s’intéresse d’abord au cas le plus compact de l’hélium solide.
On a r≃d, c’est à dire r−d≪d. On a donc une particule piégée dans une
sphère creuse de rayon Rsc =r−d. On donne l’équation de Schrödinger à
trois dimensions pour des états stationnaires d’énergie E:
−~2
2m∇2ψ=Eψ
On rappelle le Laplacien ∇2en coordonnées sphériques pour une fonction qui
ne dépend que de la distance à l’origine ρ:
∇2=∂2
∂ρ2+2 ρ
∂
∂ρ
On cherchera une solution de la forme ψ(ρ) = C
ρsin kρ où Cest une constante,
et on déterminera l’énergie correspondante. On rappelle que ~=h
2π. On pose
R=3
qV
N. En tenant compte du lien entre ret V Nde la question 10, exprimer
l’énergie cinétique d’un atome en fonction de h,d,m,R.
13- On s’intéresse maintenant au cas du gaz très dilué. Les atomes sont animés
d’une vitesse très faible, donc la longueur d’onde de de Broglie associée est
très grande devant la distance rde deux atomes λ≫r, et r≫d.
On s’intéresse à la fonction d’onde ψ0(~ρ)d’un atome. Au voisinage d’un autre
atome dont le centre est pris momentanément pour origine, l’onde se diffuse
partiellement en une onde sphérique, de telle sorte que :
ψ(~ρ) = ψ0+ψ1=ψ01 + Beikρ
ρpour ρ≪λ
avec k=2π
λ. En effet, sur une telle distance, ψ0est pratiquement constante.
Lors d’un choc, le centre de l’atome d’hélium incident reste à l’extérieur de
la sphère efficace de rayon dde centre l’atome d’hélium cible. En déduire que
B=−d.
14- La formule de Stokes permet d’écrire s’il y a un atome cible :
4

ZZZV ese ∇2ψ dV =−ZZSed
∂ψ
∂ρ dS
V ese signifie : volume extérieur à la sphère efficace. Sed signifie : sphère
efficace de rayon d.
On néglige le volume intérieur aux sphères efficaces. En déduire, Nétant le
nombre d’atomes dans le volume Vque :
ZZZV∇2ψ dV =−4πd Nψ0
On suppose que le volume Vsur lequel on intègre est petit devant la longueur
d’onde λmais grand devant ret d.
15- Avec l’approximation :
∇2ψ0≃1
VZZZV∇2ψ dV
en déduire l’énergie d’un atome du gaz dilué au froid absolu en fonction de h,
d,m,R:
On n’a pas de théorie pour les états intermédiaires, on utilise donc une formule
d’interpolation qui redonne les deux cas limites précédents :
Ecinétique, un atome =h2d
2πm R−2−1
6d2"R+d 27
3
π−2−1
6!#
En multipliant par le nombre d’Avogadro, on aurait l’énergie cinétique
molaire, mais on ne demande pas de faire ce calcul.
Disposant ainsi de l’énergie interne totale du liquide et du solide à 0K, on va
pouvoir étudier dans la suite dans quel état l’hélium est spontanément le plus
stable.
III ÉTUDE DE l’ÉTAT DE L’HÉLIUM À 0 K
Sur la première image, nous avons tracé, en fonction du volume exprimé en
cm3, au froid absolu, l’énergie potentielle du solide : Esolide, l’énergie potentielle
du liquide : Eliquide, et l’énergie cinétique due aux mouvements associés à l’inéga-
lité de Heisenberg spatiale. Sur la deuxième image, en ajoutant cette énergie
cinétique aux énergie potentielles, nous avons tracé l’énergie interne du solide et
l’énergie interne du liquide au froid absolu, en fonction du volume exprimé en
cm3. L’énergie est mesurée en Joules.
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