L`Hélium au froid absolu

Pierre BOUTELOUP
Les paragraphes I, II, et III sont très largement indépendants.
I INTERACTION ÉLECTRIQUE DE DEUX ATOMES D’HÉLIUM
Lorsque un atome est soumis à un champ électrique, les fonctions d’ondes
électroniques se déforment, donc la position moyenne de l’électron se déplace.
On modélise cela pour l’atome d’Hélium, en s’inspirant du modèle de Thomson
de l’atome, de la manière suivante : le noyau contenant deux charges positives
et un des électrons sont modélisés par une sphère de rayon R rayon de l’atome
contenant la densité volumique de charge uniforme ρ, telle que la charge totale
soit q = +e = +1, 6 10−19 C. Le deuxième électron de masse m, de charge −e,
se promène librement en étant soumis au champ électrique de la sphère chargée
en volume.
1- Calculer le champ électrique produit par la boule pleine chargée avec ρ à
la distance r du centre de la boule pour r ≤ R.
2- Calculer le potentiel électrostatique créé par cette boule (ρ, R), V (r), pour
toutes les valeurs de r de 0 à +∞ en prenant comme convention que le potentiel
est nul à l’infini. On exprimera V (r) en fonction de la charge totale q > 0 de la
boule.
3- Calculer l’énergie de première ionisation I de l’atome d’hélium.
Application numérique : on donne ε0 = 8, 85 10−12 F.m−1. On rappelle que
1 eV = 1, 6 10−19 J. On donne R = 0, 103 10−9 mètres = 0, 103 nm. Calculer
numériquement l’énergie de première ionisation de l’atome d’Hélium. En réalité,
elle vaut 24, 6 eV . Conclusion sur le modèle ?
4- Lorsque l’atome est soumis à un champ électrique extérieur Ee, l’électron
se place à la distance r du centre de la boule. L’atome prend alors un moment dipolaire P = α Ee proportionnel au champ électrique extérieur appliqué. Calculer
la polarisabilité α en fonction de R. On ne fera pas l’application numérique.
5- Lorsque l’atome est seul, l’électron peut effectuer des oscillations harmoniques autour de centre de l’atome. Calculer, en prenant comme référence une
énergie potentielle nulle au centre, l’énergie potentielle électrostatique de l’électron à la distance r du centre de la boule, en fonction de ε0, R, q.
6- On considère deux atomes d’hélium. Le premier est en O1 , le deuxième est
en O2 à la distance d du premier. On prend comme axe des z la droite orientée
1. helium
1
O1 O2 . La distance d est supposée très grande devant les élongations r1 et r2
des électrons respectifs des deux atomes, respectivement par rapport à O1 et
O2 . On complète avec des axes x et y de façon à avoir un repère orthonormé
→
→
→
direct (−
ex , −
ey , −
ez ). Les déplacements ~r1 et ~r2 sont repérés respectivement avec
les coordonnées (x1, y1, z1) d’origine O1 et x2, y2 , z2 d’origine O2 .
En plus des deux énergie potentielles électrostatiques propres dont la formule
a été calculée à la question 5, les deux électrons ont une énergie potentielle
d’interaction électrostatique due à l’interaction des deux dipôles électrostatiques
créés lorsque r1 et r2 ne sont pas nuls, dipôles qui sont sur l’axe des z à la distance
d l’un de l’autre. On donne, pour le champ électrique créé par le dipôle numéro 1
au niveau du dipôle numéro 2 :
h −
−
→
→ −
−
→i
1
→
→
−
E1 =
3 P1 • ez ez − P1
4πε0 d3
Calculer en fonction de x1, y1, z1 et x2, y2 , z2 l’énergie potentielle électrostaq2
tique totale des deux atomes. On mettra
en facteur.
4πε0
7- On fait les changements de variables :


1
√
(x
+
x
)
x
=


1
2
 x− =
 +
2
y+ = √12 (y1 + y2 )
y− =


z =
 z = √1 (z + z )
1
2
+
−
2
√1 (x1
2
√1 (y1
2
√1 (z1
2
− x2 )
− y2 )
− z2 )
ν0 étant la fréquence d’oscillation de l’électron d’un atome seul, montrer qu’on
arrive à 6 oscillateurs découplés de fréquences :
r
R3
1 R6
R3
±
±
νx = νy = ν0 1 ± 3 ≃ ν0 1 ± 3 −
d
2d
8 d6
r
2R3
R3 1 R6
±
νz = ν0 1 ± 3 ≃ ν0 1 ± 3 −
d
d
2 d6
hν
8- Un oscillateur harmonique de fréquence ν possède l’énergie minimale
.
2
En déduire que deux atomes d’hélium présentent l’énergie potentielle mutuelle
d’attraction :
3
Iα2
EP = −
4 (4πε0)2 d 6
en identifiant hν0 à l’énergie de première ionisation de l’atome et α étant la
polarisabilité calculée à la question 4.
2
9- Application numérique : calculer le coefficient numérique multiplicatif de
1
de façon à connaître complètement l’énergie potentielle d’interaction en foncd6
tion de d. On prend I = 24, 6 eV . α est donné par l’expérience et pris ici égal
à : α = 2, 581 10−41 SI. L’énergie est mesurée en Joules
II ÉTUDE DE L’ÉNERGIE INTERNE DE L’HÉLIUM À 0 K
Ici, r, R, m, et d n’ont pas la même signification que dans la partie I. m
est ici la masse d’un atome d’hélium. Une bonne unité au niveau atomique est
◦
◦
l’Angström de symbole : A qui vaut 10−10 m. Pour faire intervenir la répulsion
à très petite distance de deux atomes, il faut ajouter un terme répulsif dans
l’énergie. Des ajustements avec la déviation à un gaz parfait permettent de
trouver ce terme d’une manière phénoménologique. On arrive, pour l’énergie
potentielle d’interaction entre deux atomes d’hélium, à :
447
1, 59
EP =
− 6
10−19 J
12
r
r
◦
la distance r des deux atomes étant mesurée en Angström.
10- L’hélium solide cristallise dans un réseau hexagonal compact, mais les
calculs sont équivalents et plus simples avec le réseau cubique à faces centrées
où il y a 4 atomes dans la maille cubique de volume a3 . La distance de deux
atomes vaut r = √a2 . Un atome a 12 voisins, mais une liaison comptant pour
deux atomes, il lui correspond 6 liaisons.
N étant le nombre total d’atomes dans le volume considéré, on en déduit :
r
1 3 4V
r = √
N
2
En déduire l’énergie pour une liaison, en fonction du volume V .
On demande ensuite l’énergie potentielle Esolide molaire en fonction de V .
N est donc ici égal au nombre d’Avogadro : N = 6, 022 1023. L’énergie sera
exprimée en Joules, et le volume en cm3 . On demande la valeur numérique
1
1
précise, avec ces unités, des coefficients de 4 et de 2 .
V
V
11- L’analyse de la diffraction des rayons X montre que l’hélium liquide,
à un instant donné, a la même structure que ci-dessus, mais un site sur deux
uniquement est occupé. C’est ce qui fait que les atomes peuvent facilement sauter
d’un site à l’autre, donc que l’hélium soit liquide. On obtient cette fois-ci :
r
1 3 2V
r = √
N
2
3
Un atome n’a plus que 6 voisins. On a encore r = √a2 . Calculer avec les mêmes
consignes qu’à la question précédente l’énergie molaire du liquide : Eliquide .
12- Dans la suite, l’atome d’hélium est assimilé à une sphère dure de diamètre
d. À cause de l’inégalité de Heisenberg spatiale, même au froid absolu, les
atomes sont animés d’une agitation incessante, donc l’hélium possède une énergie
cinétique interne.
On s’intéresse d’abord au cas le plus compact de l’hélium solide.
On a r ≃ d, c’est à dire r − d ≪ d. On a donc une particule piégée dans une
sphère creuse de rayon Rsc = r − d. On donne l’équation de Schrödinger à
trois dimensions pour des états stationnaires d’énergie E :
~2 2
∇ ψ = Eψ
−
2m
On rappelle le Laplacien ∇2 en coordonnées sphériques pour une fonction qui
ne dépend que de la distance à l’origine ρ :
∂2
2 ∂
∇ =
+
∂ρ2
ρ ∂ρ
2
C
sin kρ où C est une constante,
ρ
h
et on déterminera l’énergie correspondante. On rappelle que ~ =
. On pose
2π
q
V
V
R= 3 N
. En tenant compte du lien entre r et N
de la question 10, exprimer
l’énergie cinétique d’un atome en fonction de h, d, m, R.
On cherchera une solution de la forme ψ(ρ) =
13- On s’intéresse maintenant au cas du gaz très dilué. Les atomes sont animés
d’une vitesse très faible, donc la longueur d’onde de de Broglie associée est
très grande devant la distance r de deux atomes λ ≫ r, et r ≫ d.
On s’intéresse à la fonction d’onde ψ0 (~ρ) d’un atome. Au voisinage d’un autre
atome dont le centre est pris momentanément pour origine, l’onde se diffuse
partiellement en une onde sphérique, de telle sorte que :
eikρ
ψ(~ρ) = ψ0 + ψ1 = ψ0 1 + B
pour ρ ≪ λ
ρ
avec k = 2π
λ . En effet, sur une telle distance, ψ0 est pratiquement constante.
Lors d’un choc, le centre de l’atome d’hélium incident reste à l’extérieur de
la sphère efficace de rayon d de centre l’atome d’hélium cible. En déduire que
B = −d.
14- La formule de Stokes permet d’écrire s’il y a un atome cible :
4
ZZZ
ZZ
∂ψ
dS
∂ρ
V ese
Sed
V ese signifie : volume extérieur à la sphère efficace. Sed signifie : sphère
efficace de rayon d.
On néglige le volume intérieur aux sphères efficaces. En déduire, N étant le
nombre d’atomes dans le volume V que :
ZZZ
∇2ψ dV = −4πd N ψ0
2
∇ ψ dV = −
V
On suppose que le volume V sur lequel on intègre est petit devant la longueur
d’onde λ mais grand devant r et d.
15- Avec l’approximation :
ZZZ
1
∇2 ψ dV
∇2 ψ0 ≃
V
V
en déduire l’énergie d’un atome du gaz dilué au froid absolu en fonction de h,
d, m, R :
On n’a pas de théorie pour les états intermédiaires, on utilise donc une formule
d’interpolation qui redonne les deux cas limites précédents :
Ecinétique, un atome =
1
2πm R − 2− 6 d
2
h2 d
"
R+d
7
1
23
− 2− 6
π
!#
En multipliant par le nombre d’Avogadro, on aurait l’énergie cinétique
molaire, mais on ne demande pas de faire ce calcul.
Disposant ainsi de l’énergie interne totale du liquide et du solide à 0 K, on va
pouvoir étudier dans la suite dans quel état l’hélium est spontanément le plus
stable.
III ÉTUDE DE l’ÉTAT DE L’HÉLIUM À 0 K
Sur la première image, nous avons tracé, en fonction du volume exprimé en
cm3 , au froid absolu, l’énergie potentielle du solide : Esolide, l’énergie potentielle
du liquide : Eliquide , et l’énergie cinétique due aux mouvements associés à l’inégalité de Heisenberg spatiale. Sur la deuxième image, en ajoutant cette énergie
cinétique aux énergie potentielles, nous avons tracé l’énergie interne du solide et
l’énergie interne du liquide au froid absolu, en fonction du volume exprimé en
cm3 . L’énergie est mesurée en Joules.
5
Esolide Eliquide
Energie cinétique interne
Energie potentielle du liquide
Energie potentielle du solide
Energie interne du solide
Energie interne du liquide
16- Quel est l’état spontané de l’hélium, à faible pression, au froid absolu,
solide liquide ou gazeux ? Justifier.
17- On trace la tangente commune aux deux courbes d’énergie interne du
liquide et du solide. Montrer que la pression est la même aux deux points de
contact. Montrer que le potentiel chimique est le même aux deux points de
contact. Conclusion ?
6
◦
18- On a ajusté empiriquement le diamètre d de l’atome d’hélium à 2, 055 Angström
pour retrouver la valeur expérimentale de la pression où l’hélium devient solide.
Montrer qu’on peut retrouver graphiquement la valeur de cette pression à
partir de la deuxième image. Donner la valeur de cette pression en bar.
7