PCSI1-PCSI2 DNS n˚11 - Pour le mardi 12 mai 2015

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DNS n˚11 - Pour le mardi 12 mai 2015
2014-2015
Exercice 1
I - un résultat préliminaire
Soit 𝑣, un endomorphisme d’un ℝ-espace vectoriel 𝐸 de dimension 3. On suppose que 𝑣 est de
rang 2 avec 𝑣 2 ∕= 0 et ker(𝑣 2 ) ∕= ker(𝑣).
1. Quelle relation existe-t-il entre ker(𝑣) et ker(𝑣 2 ) ?
2. Déterminer la dimension de ker(𝑣 2 ).
3. Soit ⃗𝑥, un vecteur de ker(𝑣 2 ) qui n’appartient pas à ker(𝑣). Montrer que la famille (⃗𝑥, 𝑣(⃗𝑥)) est
une base de ker(𝑣 2 ).
II - étude d’un endomorphisme
Soit 𝑓 , l’endomorphisme de ℝ3 défini par
ℝ3 −→ ℝ3
.
𝑓 :
(𝑥, 𝑦, 𝑧) 7−→ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧, 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
On note Id pour l’application identité de ℝ3 , 𝐼3 pour la matrice unité de ℳ3 (ℝ) et 𝒞 = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , ⃗𝑒3 )
pour la base canonique de ℝ3 .
1. (a) Ecrire 𝐴 = Mat𝒞 (𝑓 ), la matrice de 𝑓 relativement à la base 𝒞.
(b) On pose, pour tout 𝑥 ∈ ℝ : 𝜒𝐴 (𝑥) = det(𝑥𝐼3 − 𝐴). Vérifier que 𝜒𝐴 est un polynôme de
degré 3 possédant une racine double réelle que l’on notera 𝛼. Déterminer la valeur de 𝛽,
l’autre racine de 𝜒𝐴 .
(c) L’application 𝑓 est-elle un automorphisme de ℝ3 ?
(d) Sans les calculer, que peut-on dire sur les rangs des matrices 𝐴 − 𝛼𝐼3 et 𝐴 − 𝛽𝐼3 ?
2. (a) Justifier que les sous-espaces ker(𝑓 − 𝛼Id) et ker(𝑓 − 𝛽Id) sont en somme directe.
(b) Calculer les rangs des matrices 𝐴 − 𝛼𝐼3 et 𝐴 − 𝛽𝐼3 .
Les sous-espaces ker(𝑓 − 𝛼Id) et ker(𝑓 − 𝛽Id) sont-ils supplémentaires dans ℝ3 ?
(
)
3. (a) Justifier que les sous-espaces ker (𝑓 − 𝛼Id)2 et ker(𝑓 − 𝛽Id) sont en somme directe.
(b) Déterminer la matrice (𝐴 − 𝛼𝐼3 )2 et calculer son rang.
(c) En déduire : ker((𝑓 − 𝛼Id)2 ) ⊕ ker(𝑓 − 𝛽Id) = ℝ3 .
4. (a) Déterminer un vecteur de ker(𝑓 − 𝛽Id) de la forme ⃗𝑏 = (1, ∗, ∗).
De même, déterminer un vecteur de ker((𝑓 − 𝛼Id)2 ) de la forme ⃗𝑎 = (1, 1, ∗).
(b) A l’aide du résultat préliminaire établi en partie I, justifier, sans calcul, que la famille de
vecteurs ℬ = (𝑓 (⃗𝑎) − 𝛼⃗𝑎, ⃗𝑎, ⃗𝑏) est une base de ℝ3 .
(c) Déterminer 𝑇 = Matℬ (𝑓 ), ainsi que 𝑄 = Pass, la matrice de passage de la base 𝒞 vers la
𝒞→ℬ
base ℬ. Quelle relation existe-t-il entre 𝐴, 𝑇 et 𝑄 ?
III - pour le plaisir, calcul des puissances de 𝐴
1. Vérifier qu’on peut écrire 𝑇 = 𝐷 + 𝑁 où 𝐷 est une matrice diagonale, et 𝑁 une matrice
nilpotente.
2. En déduire une expression de 𝑇 𝑛 pour tout entier 𝑛 ≥ 0.
Si 𝑇 est inversible : cette formule est-elle encore valable si 𝑛 = −1 ?
3. Préciser une méthode de calcul de 𝐴𝑛 .
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Exercice 2 Extrait d’un sujet de concours
Définition : soit 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (ℝ). Une matrice 𝐴′ ∈ ℳ𝑛 (ℝ) est un pseudo-inverse de 𝐴 lorsque les trois
propriétés suivantes sont satisfaites :
(1) 𝐴𝐴′ = 𝐴′ 𝐴
(2) 𝐴 = 𝐴𝐴′ 𝐴
(3) 𝐴′ = 𝐴′ 𝐴𝐴′
Quelques exemples
1. Si 𝐴 est une matrice inversible de 𝑀𝑛 (ℝ), déterminer ses pseudo-inverses.
2. Déterminer les pseudo-inverses de 𝑂𝑛 , la matrice nulle de 𝑀𝑛 (ℝ).
Etude de l’existence de pseudo-inverses
Soit 𝐴, une matrice de ℳ𝑛 (ℝ) et 𝑎, l’endomorphisme de ℝ𝑛 canoniquement associé.
1. Montrer que l’existence d’un pseudo-inverse implique que
rang(𝑎) = rang(𝑎2 ).
Inversement, on suppose maintenant que rang(𝑎) = rang(𝑎2 ). On note 𝑟 cet entier.
2. Montrer que le noyau et l’image de 𝑎 sont en somme directe :
ℝ𝑛 = Im(𝑎) ⊕ Ker(𝑎).
3. Montrer qu’il existe 𝐵 ∈ ℳ𝑟 (ℝ), 𝐵 inversible(et 𝑊 ∈ )
ℳ𝑛 (ℝ), 𝑊 inversible, telles que
𝐵 0
𝐴=𝑊
𝑊 −1 .
0 0
4. Montrer que 𝐴 admet au moins un pseudo-inverse.
Considérons un pseudo-inverse quelconque 𝐴′ de 𝐴 et 𝑎′ l’endomorphisme canoniquement associé à 𝐴′ .
5. Montrer que Ker(𝑎) et Im(𝑎) sont stables par (
𝑎′ et montrer
qu’il existe 𝐷 ∈ ℳ𝑟 (ℝ) telle que
)
𝐷
0
𝐴′ = 𝑊
𝑊 −1 .
0 0
6. Montrer que 𝑎𝑎′ est un projecteur dont on précisera le noyau et l’image en fonction de ceux de
𝑎 et préciser ce que vaut 𝑊 −1 (𝐴𝐴′ )𝑊 .
7. Montrer que 𝐴 admet au plus un pseudo-inverse.
PROBLEME
⎛
⎞
⎛
⎞
1 0 0
1 1 1
Dans ℳ3 (ℝ) on note 𝐼3 = ⎝ 0 1 0 ⎠ et 𝐽 = ⎝ 1 1 1 ⎠
0 0 1
1 1 1
1. On considère le sous ensemble 𝐸 de ℳ3 (ℝ) formé des matrices 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗 )1≤𝑖≤3, 1≤𝑗≤3 pour
lesquelles les six nombres réels
3
∑
𝑎𝑖,𝑗 pour 1 ≤ 𝑖 ≤ 3
et
𝑗=1
3
∑
𝑎𝑖,𝑗 pour 1 ≤ 𝑗 ≤ 3
𝑖=1
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sont égaux. En d’autres termes, la somme des coefficients d’une ligne ou d’une colonne est
constante.
⎛
⎞
1 2 3
Par exemple : ⎝ 4 1 1 ⎠ ∈ 𝐸.
1 3 2
On note, si 𝐴 ∈ 𝐸, 𝑑(𝐴) cette valeur commune (dans notre exemple cette valeur est 6).
(a) Prouver que 𝐸 est un sous espace vectoriel de ℳ3 (ℝ) et que l’application 𝑑 : 𝑀 7→ 𝑑(𝑀)
est une forme linéaire sur 𝐸.
(b) Soit 𝐴 ∈ ℳ3 (ℝ) : montrer l’équivalence
(𝐴 ∈ 𝐸) ⇐⇒ (∃𝜆 ∈ ℝ, 𝐴𝐽 = 𝐽𝐴 = 𝜆𝐽)
En déduire que pour tout (𝐴, 𝐵) ∈ 𝐸 2 , le produit 𝐴𝐵 est aussi dans 𝐸. Que vaut alors
𝑑(𝐴𝐵) ?
(c) Soit 𝐴 une matrice inversible de 𝐸 : montrer que 𝑑(𝐴) ∕= 0, puis que 𝐴−1 ∈ 𝐸.
Comparer 𝑑(𝐴) et 𝑑(𝐴−1 ).
(d) Soit 𝐴 ∈ 𝐸 : on pose
𝑑(𝐴)
𝐵=
𝐽 et 𝐶 = 𝐴 − 𝐵
3
Calculer 𝐵𝐶 et 𝐶𝐵,.
En déduire, si 𝑝 ∈ ℕ∗ , la valeur de 𝐴𝑝 en fonction de 𝐵 𝑝 et de 𝐶 𝑝 .
(e) On note 𝐹 = Ker(𝑑) et 𝐺 = Vect(𝐽) : montrer que 𝐸 = 𝐹 ⊕ 𝐺.
(f) On note
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
1 −1 0
1 0 −1
1 −1 0
1 0 −1
0 0 ⎠ , 𝐴33 = ⎝ 0 0 0 ⎠
𝐴22 = ⎝ −1 1 0 ⎠ , 𝐴23 = ⎝ −1 0 1 ⎠ , 𝐴32 = ⎝ 0
0
0 0
0 0 0
−1 1 0
−1 0 1
Montrer que ces quatres matrices forment une base de 𝐹 .
Quelle est la dimension de 𝐸 ?
2. On considère le sous espace vectoriel 𝐻 de 𝐸 formé des matrices (𝑎𝑖,𝑗 )1≤𝑖≤3, 1≤𝑗≤3 telles que les
huit réels
3
∑
𝑗=1
𝑎𝑖,𝑗 pour 1 ≤ 𝑖 ≤ 3,
3
∑
𝑎𝑖,𝑗 pour 1 ≤ 𝑗 ≤ 3,
𝑖=1
Tr(𝐴) =
3
∑
𝑖=1
𝑎𝑖,𝑖
et
3
∑
𝑎𝑖,4−𝑖
𝑖=1
soient égaux (i.e) la somme des coefficients sur les lignes, les colonnes et les deux diagonales
est la même.
⎞
⎛
1 2 3
Une telle matrice est dite magique. Par exemple : ⎝ 4 2 0 ⎠.
1 2 3
Pour le plaisir voici un carré magique
⎛ d’ordre 6 faisant intervenir
⎞ les 36 premiers entiers :
27 29 2 4 13 36
⎜ 9 11 20 22 31 18 ⎟
⎜
⎟
⎜ 32 25 7 3 21 23 ⎟
⎜
⎟
⎜ 14 16 34 30 12 5 ⎟.
⎜
⎟
⎝ 28 6 15 17 26 19 ⎠
1 24 33 35 8 10
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Un autre exemple d’ordre 4, visible sur un des murs de la Sagrada Familia (Barcelone) :
(a) Soit 𝒜 le sous espace vectoriel de 𝐻 constitué par les matrices magiques antisymétriques.
Quelle est la valeur commune des huits sommes pour un élément de 𝒜 ? Déterminer une
base de 𝒜.
(b) Soit 𝒮 le sous espace vectoriel de 𝐻 constitué des matrices magiques symétriques : en
déterminer une base.
(c) Déterminer une base et la dimension de 𝐻.
(d) Question facultative : montrer que les matrices magiques de ℳ3 (ℝ) à coefficients dans
ℕ sont exactement de la forme
⎛
⎞
𝑥+𝑧
−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 −𝑦 + 𝑧
⎝ −𝑥 − 𝑦 + 𝑧
𝑧
𝑥+𝑦+𝑧 ⎠
𝑦+𝑧
𝑥−𝑦+𝑧
−𝑥 + 𝑧
avec 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ tels que 𝑧 ≥ ∣𝑥∣ + ∣𝑦∣.
3. Dans cette question, on va exhiber une autre base de 𝐻, et l’utiliser pour construire en cascade
des matrices magiques.
⎛
⎞
−1 2 −1
0
0 ⎠ : montrer que (𝐽, 𝐷, 𝑡𝐷) est une base de 𝐻.
(a) Soit 𝐷 = ⎝ 0
1 −2 1
2
Calculer 𝐷 , (𝑡𝐷)2 , 𝐷𝐽, 𝐽𝐷, 𝑡𝐷𝐽, 𝐽, 𝑡𝐷.
Montrer que 𝑡 𝐷𝐷 + 𝐷 𝑡 𝐷 est une combinaison linéaire de 𝐼3 et de 𝐽.
′
(b) Soit 𝐴 ∈ 𝐻 de coordonnées (𝑎, 𝑏, 𝑐) dans la base (𝐽, 𝐷,𝑡 𝐷) et 𝐴 ∈ 𝐻 de coordonnées
′
′
′
(𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) dans la base (𝐽, 𝐷,𝑡 𝐷).
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les coordonnées pour que
′
𝐴𝐴 ∈ 𝐻.
(c) Montrer que le produit d’une matrice magique et d’une combinaison linéaire de 𝐼3 et de
𝐽 est magique.
(d) Montrer que les puissances paires d’une matrice magique ne sont magiques que dans un
cas à préciser, et que les puissances impaires d’une matrice magique sont toutes magiques.
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