PCSI1-PCSI2 DNS n˚11 - Pour le mardi 12 mai 2015

PCSI1-PCSI2 DNS n˚11 - Pour le mardi 12 mai 2015 2014-2015
Exercice 1
I - un résultat préliminaire
Soit 𝑣, un endomorphisme d’un ℝ-espace vectoriel 𝐸de dimension 3. On suppose que 𝑣est de
rang 2avec 𝑣2∕= 0 et ker(𝑣2)∕=ker(𝑣).
1. Quelle relation existe-t-il entre ker(𝑣)et ker(𝑣2)?
2. Déterminer la dimension de ker(𝑣2).
3. Soit ⃗𝑥, un vecteur de ker(𝑣2)qui n’appartient pas à ker(𝑣). Montrer que la famille (⃗𝑥, 𝑣(⃗𝑥)) est
une base de ker(𝑣2).
II - étude d’un endomorphisme
Soit 𝑓, l’endomorphisme de ℝ3défini par
𝑓:ℝ3−→ ℝ3
(𝑥, 𝑦, 𝑧)7−→ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4𝑥+𝑦−𝑧, 𝑥 + 2𝑦−𝑧, 2𝑥+𝑦+𝑧).
On note Id pour l’application identité de ℝ3,𝐼3pour la matrice unité de ℳ3(ℝ)et 𝒞= (⃗𝑒1, ⃗𝑒2, ⃗𝑒3)
pour la base canonique de ℝ3.
1. (a) Ecrire 𝐴=Mat𝒞(𝑓), la matrice de 𝑓relativement à la base 𝒞.
(b) On pose, pour tout 𝑥∈ℝ:𝜒𝐴(𝑥) = det(𝑥𝐼3−𝐴). Vérifier que 𝜒𝐴est un polynôme de
degré 3possédant une racine double réelle que l’on notera 𝛼. Déterminer la valeur de 𝛽,
l’autre racine de 𝜒𝐴.
(c) L’application 𝑓est-elle un automorphisme de ℝ3?
(d) Sans les calculer, que peut-on dire sur les rangs des matrices 𝐴−𝛼𝐼3et 𝐴−𝛽𝐼3?
2. (a) Justifier que les sous-espaces ker(𝑓−𝛼Id)et ker(𝑓−𝛽Id)sont en somme directe.
(b) Calculer les rangs des matrices 𝐴−𝛼𝐼3et 𝐴−𝛽𝐼3.
Les sous-espaces ker(𝑓−𝛼Id)et ker(𝑓−𝛽Id)sont-ils supplémentaires dans ℝ3?
3. (a) Justifier que les sous-espaces ker (𝑓−𝛼Id)2et ker(𝑓−𝛽Id)sont en somme directe.
(b) Déterminer la matrice (𝐴−𝛼𝐼3)2et calculer son rang.
(c) En déduire : ker((𝑓−𝛼Id)2)⊕ker(𝑓−𝛽Id) = ℝ3.
4. (a) Déterminer un vecteur de ker(𝑓−𝛽Id)de la forme ⃗ 𝑏= (1,∗,∗).
De même, déterminer un vecteur de ker((𝑓−𝛼Id)2)de la forme ⃗𝑎 = (1,1,∗).
(b) A l’aide du résultat préliminaire établi en partie I, justifier, sans calcul, que la famille de
vecteurs ℬ= (𝑓(⃗𝑎)−𝛼⃗𝑎, ⃗𝑎,⃗ 𝑏)est une base de ℝ3.
(c) Déterminer 𝑇=Matℬ(𝑓), ainsi que 𝑄=Pass
𝒞→ℬ , la matrice de passage de la base 𝒞vers la
base ℬ. Quelle relation existe-t-il entre 𝐴,𝑇et 𝑄?
III - pour le plaisir, calcul des puissances de 𝐴
1. Vérifier qu’on peut écrire 𝑇=𝐷+𝑁où 𝐷est une matrice diagonale, et 𝑁une matrice
nilpotente.
2. En déduire une expression de 𝑇𝑛pour tout entier 𝑛≥0.
Si 𝑇est inversible : cette formule est-elle encore valable si 𝑛=−1?
3. Préciser une méthode de calcul de 𝐴𝑛.
–1/4– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1-PCSI2 DNS n˚11 - Pour le mardi 12 mai 2015 2014-2015
Exercice 2 Extrait d’un sujet de concours
Définition : soit 𝐴∈ ℳ𝑛(ℝ). Une matrice 𝐴′∈ ℳ𝑛(ℝ)est un pseudo-inverse de 𝐴lorsque les trois
propriétés suivantes sont satisfaites :
(1) 𝐴𝐴′=𝐴′𝐴
(2) 𝐴=𝐴𝐴′𝐴
(3) 𝐴′=𝐴′𝐴𝐴′
Quelques exemples
1. Si 𝐴est une matrice inversible de 𝑀𝑛(ℝ), déterminer ses pseudo-inverses.
2. Déterminer les pseudo-inverses de 𝑂𝑛, la matrice nulle de 𝑀𝑛(ℝ).
Etude de l’existence de pseudo-inverses
Soit 𝐴, une matrice de ℳ𝑛(ℝ)et 𝑎, l’endomorphisme de ℝ𝑛canoniquement associé.
1. Montrer que l’existence d’un pseudo-inverse implique que
rang(𝑎) = rang(𝑎2).
Inversement, on suppose maintenant que rang(𝑎) = rang(𝑎2). On note 𝑟cet entier.
2. Montrer que le noyau et l’image de 𝑎sont en somme directe :
ℝ𝑛=Im(𝑎)⊕Ker(𝑎).
3. Montrer qu’il existe 𝐵∈ ℳ𝑟(ℝ),𝐵inversible et 𝑊∈ ℳ𝑛(ℝ),𝑊inversible, telles que
𝐴=𝑊𝐵0
0 0 𝑊−1.
4. Montrer que 𝐴admet au moins un pseudo-inverse.
Considérons un pseudo-inverse quelconque 𝐴′de 𝐴et 𝑎′l’endomorphisme canoniquement as-
socié à 𝐴′.
5. Montrer que Ker(𝑎)et Im(𝑎)sont stables par 𝑎′et montrer qu’il existe 𝐷∈ ℳ𝑟(ℝ)telle que
𝐴′=𝑊𝐷0
0 0 𝑊−1.
6. Montrer que 𝑎𝑎′est un projecteur dont on précisera le noyau et l’image en fonction de ceux de
𝑎et préciser ce que vaut 𝑊−1(𝐴𝐴′)𝑊.
7. Montrer que 𝐴admet au plus un pseudo-inverse.
PROBLEME
Dans ℳ3(ℝ)on note 𝐼3=
100
010
001
et 𝐽=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1. On considère le sous ensemble 𝐸de ℳ3(ℝ)formé des matrices 𝐴= (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤3,1≤𝑗≤3pour
lesquelles les six nombres réels
3
𝑗=1
𝑎𝑖,𝑗 pour 1≤𝑖≤3et
3
𝑖=1
𝑎𝑖,𝑗 pour 1≤𝑗≤3
–2/4– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1-PCSI2 DNS n˚11 - Pour le mardi 12 mai 2015 2014-2015
sont égaux. En d’autres termes, la somme des coefficients d’une ligne ou d’une colonne est
constante.
Par exemple : 
123
411
132
∈𝐸.
On note, si 𝐴∈𝐸,𝑑(𝐴)cette valeur commune (dans notre exemple cette valeur est 6).
(a) Prouver que 𝐸est un sous espace vectoriel de ℳ3(ℝ)et que l’application 𝑑:𝑀7→ 𝑑(𝑀)
est une forme linéaire sur 𝐸.
(b) Soit 𝐴∈ ℳ3(ℝ): montrer l’équivalence
(𝐴∈𝐸)⇐⇒ (∃𝜆∈ℝ, 𝐴𝐽 =𝐽𝐴 =𝜆𝐽)
En déduire que pour tout (𝐴, 𝐵)∈𝐸2, le produit 𝐴𝐵 est aussi dans 𝐸. Que vaut alors
𝑑(𝐴𝐵)?
(c) Soit 𝐴une matrice inversible de 𝐸: montrer que 𝑑(𝐴)∕= 0, puis que 𝐴−1∈𝐸.
Comparer 𝑑(𝐴)et 𝑑(𝐴−1).
(d) Soit 𝐴∈𝐸: on pose
𝐵=𝑑(𝐴)
3𝐽et 𝐶=𝐴−𝐵
Calculer 𝐵𝐶 et 𝐶𝐵,.
En déduire, si 𝑝∈ℕ∗, la valeur de 𝐴𝑝en fonction de 𝐵𝑝et de 𝐶𝑝.
(e) On note 𝐹=Ker(𝑑)et 𝐺=Vect(𝐽): montrer que 𝐸=𝐹⊕𝐺.
(f) On note
𝐴22 =
1−1 0
−1 1 0
0 0 0
, 𝐴23 =
1 0 −1
−1 0 1
0 0 0
, 𝐴32 =
1−1 0
0 0 0
−1 1 0
, 𝐴33 =
1 0 −1
0 0 0
−1 0 1
Montrer que ces quatres matrices forment une base de 𝐹.
Quelle est la dimension de 𝐸?
2. On considère le sous espace vectoriel 𝐻de 𝐸formé des matrices (𝑎𝑖,𝑗 )1≤𝑖≤3,1≤𝑗≤3telles que les
huit réels
3
𝑗=1
𝑎𝑖,𝑗 pour 1≤𝑖≤3,
3
𝑖=1
𝑎𝑖,𝑗 pour 1≤𝑗≤3,Tr(𝐴) =
3
𝑖=1
𝑎𝑖,𝑖 et
3
𝑖=1
𝑎𝑖,4−𝑖
soient égaux (i.e) la somme des coefficients sur les lignes, les colonnes et les deux diagonales
est la même.
Une telle matrice est dite magique. Par exemple : 
123
420
123
.
Pour le plaisir voici un carré magique d’ordre 6 faisant intervenir les 36 premiers entiers :
27 29 2 4 13 36
9 11 20 22 31 18
32 25 7 3 21 23
14 16 34 30 12 5
28 6 15 17 26 19
1 24 33 35 8 10
.
–3/4– Lycée Faidherbe, Lille

PCSI1-PCSI2 DNS n˚11 - Pour le mardi 12 mai 2015 2014-2015
Un autre exemple d’ordre 4, visible sur un des murs de la Sagrada Familia (Barcelone) :
(a) Soit 𝒜le sous espace vectoriel de 𝐻constitué par les matrices magiques antisymétriques.
Quelle est la valeur commune des huits sommes pour un élément de 𝒜? Déterminer une
base de 𝒜.
(b) Soit 𝒮le sous espace vectoriel de 𝐻constitué des matrices magiques symétriques : en
déterminer une base.
(c) Déterminer une base et la dimension de 𝐻.
(d) Question facultative : montrer que les matrices magiques de ℳ3(ℝ)à coefficients dans
ℕsont exactement de la forme
𝑥+𝑧−𝑥+𝑦+𝑧−𝑦+𝑧
−𝑥−𝑦+𝑧𝑧𝑥+𝑦+𝑧
𝑦+𝑧 𝑥 −𝑦+𝑧−𝑥+𝑧
avec 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ℤtels que 𝑧≥ ∣𝑥∣+∣𝑦∣.
3. Dans cette question, on va exhiber une autre base de 𝐻, et l’utiliser pour construire en cascade
des matrices magiques.
(a) Soit 𝐷=
−1 2 −1
0 0 0
1−2 1
: montrer que (𝐽, 𝐷, 𝑡
𝐷)est une base de 𝐻.
Calculer 𝐷2,(𝑡 𝐷)2,𝐷𝐽,𝐽𝐷,𝑡 𝐷𝐽,𝐽,𝑡 𝐷.
Montrer que 𝑡𝐷𝐷 +𝐷𝑡𝐷est une combinaison linéaire de 𝐼3et de 𝐽.
(b) Soit 𝐴∈𝐻de coordonnées (𝑎, 𝑏, 𝑐)dans la base (𝐽, 𝐷,𝑡𝐷)et 𝐴′∈𝐻de coordonnées
(𝑎′, 𝑏′, 𝑐′)dans la base (𝐽, 𝐷,𝑡𝐷).
Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur les coordonnées pour que
𝐴𝐴′∈𝐻.
(c) Montrer que le produit d’une matrice magique et d’une combinaison linéaire de 𝐼3et de
𝐽est magique.
(d) Montrer que les puissances paires d’une matrice magique ne sont magiques que dans un
cas à préciser, et que les puissances impaires d’une matrice magique sont toutes magiques.
–4/4– Lycée Faidherbe, Lille