144 Racines d`un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires

144 Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques
élémentaires. Exemples et applications.
Maximilien Dreveton
May 30, 2016
Références
Szpirglas, Gourdon, Perrin, (RWM)
Développements
• Kronecker
• Gersgorin
• Corps rupture/décomposition
Rapport jury (2015) Il s’agit d’une leçon au spectre assez vaste. On peut y traiter de
méthodes de résolutions, de théorie des corps (voire théorie de Galois si affinités), de
topologie (continuité des racines) ou même de formes quadratiques. Il peut être pertinent
d’introduire la notion de polynôme scindé, de citer le théorème de d’Alembert-Gauss et
des applications des racines (valeurs propres, etc.). On pourra parler des applications
de la réduction au calcul d’approximations de racines. Notons le lien solide entre la
recherche des racines d’un polynôme et la réduction des matrices. Les valeurs propres
de la matrice compagnon d’un polynôme permet d’entretenir ce lien. Les problèmes
de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin, sont tout à fait
appropriés à ce contexte.
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Motivation / speech à l’oral
1
1.1
Racines d’un polynôme
Définitions, premières propriétés
Copié collé Gourdon.
Définition 1. a racine si P(a)=0
Proposition 1.1. a racine ssi X-a divise P
1
Définition 2. Racine d’ordre h
Csq : P degré n a au plus n racines. Faux si pas sur un corps commutatif.
Proposition 1.2. K corps infini, tel que ∀x ∈ K
fini.
P (x) = 0. Alors P=0. faux si K
Définition 3. Polynômes scindés, irréductible
1.2
Dérivation et racines
Copié collé Szpirglas Lien racine multiple et polynômé dérivé; pgcd(P,P’) divise P.
Proposition 1.3. P ∈ Q[X] irréductible. Alors P n’a que des racines simple dans C.
Proof. P et P’ sont premiers entre eux dans Q donc dans C aussi (prendre une relation
de Bezout).
1.3
Adjonction de racines
[Perrin ou RWM]
Définition 4. Corps de rupture
Théorème 1.4. Existence et unicité à isomorphisme près du corps de rupture.
Définition 5. Corps de décomposition
Théorème 1.5. Existence et unicité à isomorphisme près du corps de décomposition.
Mettre des exemples.
Définition 6. Corps algébriquement clos.
Théorème 1.6. C est algébriquement clos
Corollaire 1.7. Polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes X-a. Ceux de R[X]
sont les X-a et les polynômes de degré 2 avec discriminant scrictement négatif.
2
Utilisation des racines
2.1 Relation coefficients racines
[Szp p.559 copié collé]
Def polynômes symétriques, relations coeff racines, thm de structure.
2.2 Elimination
Résultant. Copié collé Szp page 564.
Recasage développement Kronecker.
2
2.3
Algèbre linéaire
Polynôme minimal, caractéristique. Gersgorin
2.4
Interpolation de Lagrange
Eventuellement, s’il reste de la place.
Application : calcul de l’exponentielle matricielle.
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