144 Racines d`un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires

144 Racines d’un polynˆome. Fonctions sym´etriques
´el´ementaires. Exemples et applications.
Maximilien Dreveton
May 30, 2016
R´ef´erences Szpirglas, Gourdon, Perrin, (RWM)
D´eveloppements
•Kronecker
•Gersgorin
•Corps rupture/d´ecomposition
Rapport jury (2015) Il s’agit d’une le¸con au spectre assez vaste. On peut y traiter de
m´ethodes de r´esolutions, de th´eorie des corps (voire th´eorie de Galois si affinit´es), de
topologie (continuit´e des racines) ou mˆeme de formes quadratiques. Il peut ˆetre pertinent
d’introduire la notion de polynˆome scind´e, de citer le th´eor`eme de d’Alembert-Gauss et
des applications des racines (valeurs propres, etc.). On pourra parler des applications
de la r´eduction au calcul d’approximations de racines. Notons le lien solide entre la
recherche des racines d’un polynˆome et la r´eduction des matrices. Les valeurs propres
de la matrice compagnon d’un polynˆome permet d’entretenir ce lien. Les probl`emes
de localisation des valeurs propres, comme les disques de Gershgorin, sont tout `a fait
appropri´es `a ce contexte.
’
Motivation / speech `a l’oral
1 Racines d’un polynˆome
1.1 D´efinitions, premi`eres propri´et´es
Copi´e coll´e Gourdon.
D´efinition 1. a racine si P(a)=0
Proposition 1.1. a racine ssi X-a divise P
1

D´efinition 2. Racine d’ordre h
Csq : P degr´e n a au plus n racines. Faux si pas sur un corps commutatif.
Proposition 1.2. K corps infini, tel que ∀x∈K P (x)=0. Alors P=0. faux si K
fini.
D´efinition 3. Polynˆomes scind´es, irr´eductible
1.2 D´erivation et racines
Copi´e coll´e Szpirglas Lien racine multiple et polynˆom´e d´eriv´e; pgcd(P,P’) divise P.
Proposition 1.3. P∈Q[X]irr´eductible. Alors P n’a que des racines simple dans C.
Proof. P et P’ sont premiers entre eux dans Q donc dans C aussi (prendre une relation
de Bezout).
1.3 Adjonction de racines
[Perrin ou RWM]
D´efinition 4. Corps de rupture
Th´eor`eme 1.4. Existence et unicit´e `a isomorphisme pr`es du corps de rupture.
D´efinition 5. Corps de d´ecomposition
Th´eor`eme 1.5. Existence et unicit´e `a isomorphisme pr`es du corps de d´ecomposition.
Mettre des exemples.
D´efinition 6. Corps alg´ebriquement clos.
Th´eor`eme 1.6. C est alg´ebriquement clos
Corollaire 1.7. Polynˆomes irr´eductibles de C[X]sont les polynˆomes X-a. Ceux de R[X]
sont les X-a et les polynˆomes de degr´e 2 avec discriminant scrictement n´egatif.
2 Utilisation des racines
2.1 Relation coefficients racines
[Szp p.559 copi´e coll´e]
Def polynˆomes sym´etriques, relations coeff racines, thm de structure.
2.2 Elimination
R´esultant. Copi´e coll´e Szp page 564.
Recasage d´eveloppement Kronecker.
2

2.3 Alg`ebre lin´eaire
Polynˆome minimal, caract´eristique. Gersgorin
2.4 Interpolation de Lagrange
Eventuellement, s’il reste de la place.
Application : calcul de l’exponentielle matricielle.
3