09. Parallélogramme

PARALLÉLOGRAMMES
1. Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles 2 à 2.
On peut écrire cette définition sous la forme de deux théorèmes :
A) Théorème 1
SI un quadrilatère a ses côtés parallèles 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
B) Théorème 2
Si un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont parallèles 2 à 2.
Application : Construire le point D afin que ABCD soit un parallélogramme
A •
• C
• B

2. Diagonales d’un parallélogramme
A) Théorème 3 ( admis )
Traçons un parallélogramme ABCD et ses deux diagonales.
Nous remarquons que :
O est le milieu de [AC]
O est le milieu de [BD]
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses diagonales se coupent en leur milieu.
B) Théorème 4 ( réciproque du théorème 3 )
SI un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu O ALORS
c’est un parallélogramme.
Démonstration :
Traçons ci-contre deux segments [AC] et [BD] qui se coupent en leur milieu O.
Réfléchissons :
Le symétrique du point A par rapport à O est le point C
Le symétrique du point B par rapport à O est le point D
Par suite, le symétrique du segment [AB] par rapport à O est [CD]
Rappel : deux segments symétriques sont parallèles. Donc [AB] // [CD]
Le symétrique du point A par rapport à O est le point C
Le symétrique du point D par rapport à O est le point B
Par suite le symétrique du segment [AD] par rapport à O est [CB] Donc [AD] // [CB]
Selon le théorème 2 , ABCD est un parallélogramme. Et le point O est son centre de symétrie.
Application : Finir le parallélogramme ABCD, sans équerre.
A •
• C
• B
A
C
OB
D
//
//
/
/
A
C
B
D
O
// //
/
/

3. Longueur des côtés
Traçons un parallélogramme et son centre de symétrie.
Réfléchissons :
Le symétrique de [AB] par rapport à O est [DC]
Le symétrique de [AD] par rapport à O est [BC]
Rappel : Deux segments symétriques sont de même longueur.
AB = DC et AD = BC
A) Théorème 5
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont égaux 2 à 2.
B) Théorème 6 ( réciproque du théorème 5 )
On admettra ce nouveau théorème
SI un quadrilatère a ses côtés égaux 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Construire au compas, le point D afin que ABCD soit un parallélogramme
A •
• C
• B
C) Théorème 7 ( On admettra aussi ce théorème )
SI un quadrilatère a deux côtés égaux ET parallèles ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Tracé d’un parallélogramme avec le quadrillage.
A
C
B
D
O
// //
/
/

4. Angles d’un parallélogramme
A) Théorème 8 ( Angles opposés )
Réfléchissons :
Le symétrique de l’angle
BAD
par rapport à O est l’angle
DCA
Le symétrique de l’angle
ABC
par rapport à O est l’angle
CDA
Rappel : Deux angles symétriques sont égaux.
BAD
=
DCA
et
ABC
=
CDA
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS les angles opposés sont égaux.
B) Théorème 9 ( Angles consécutifs )
Voici à nouveau un parallélogramme ABCD et son centre O.
On a prolongé le côté [AB] pour obtenir l’angle
B1
.
Les angles
ABC
et
B1
sont supplémentaires.
Donc
ABC
+
B1
= 180° ( égalité 1 )
Les angles
B1
et
BAD
sont correspondants et les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Donc :
B1
=
BAD
L’égalité 1 devient :
ABC
+
BAD
= 180°
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS deux angles consécutifs sont supplémentaires.
1
A
C
O
B
D
A
C
O
B
D