09. Parallélogramme

PARALLÉLOGRAMMES
1. Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles 2 à 2.
On peut écrire cette définition sous la forme de deux théorèmes :
A) Théorème 1
SI un quadrilatère a ses côtés parallèles 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
B) Théorème 2
Si un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont parallèles 2 à 2.
Application : Construire le point D afin que ABCD soit un parallélogramme
• B
A •
• C
2. Diagonales d’un parallélogramme
A) Théorème 3 ( admis )
Traçons un parallélogramme ABCD et ses deux diagonales.
A
Nous remarquons que :
O est le milieu de [AC]
O est le milieu de [BD]
O
/
//
B
//
/
C
D
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses diagonales se coupent en leur milieu.
B) Théorème 4 ( réciproque du théorème 3 )
SI un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu O ALORS
c’est un parallélogramme.
Démonstration :
Traçons ci-contre deux segments [AC] et [BD] qui se coupent en leur milieu O.
Réfléchissons :
O
//
/
A
B
//
/
Le symétrique du point A par rapport à O est le point C
Le symétrique du point B par rapport à O est le point D
Par suite, le symétrique du segment [AB] par rapport à O est [CD]
Rappel : deux segments symétriques sont parallèles.
Donc [AB] // [CD]
Le symétrique du point A par rapport à O est le point C
Le symétrique du point D par rapport à O est le point B
Par suite le symétrique du segment [AD] par rapport à O est [CB]
Donc [AD] // [CB]
D
Selon le théorème 2 , ABCD est un parallélogramme. Et le point O est son centre de symétrie.
Application : Finir le parallélogramme ABCD, sans équerre.
• B
A •
• C
C
3. Longueur des côtés
Traçons un parallélogramme et son centre de symétrie.
O
//
/
A
//
/
Réfléchissons :
Le symétrique de [AB] par rapport à O est [DC]
Le symétrique de [AD] par rapport à O est [BC]
Rappel : Deux segments symétriques sont de même longueur.
AB = DC
et
AD = BC
B
D
A) Théorème 5
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS ses côtés sont égaux 2 à 2.
B) Théorème 6 ( réciproque du théorème 5 )
On admettra ce nouveau théorème
SI un quadrilatère a ses côtés égaux 2 à 2 ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Construire au compas, le point D afin que ABCD soit un parallélogramme
• B
A •
• C
C) Théorème 7 ( On admettra aussi ce théorème )
SI un quadrilatère a deux côtés égaux ET parallèles ALORS c’est un parallélogramme.
Application : Tracé d’un parallélogramme avec le quadrillage.
C
4. Angles d’un parallélogramme
A) Théorème 8 ( Angles opposés )
B
A
Réfléchissons :




O
Le symétrique de l’angle BAD par rapport à O est l’angle DCA
Le symétrique de l’angle ABC par rapport à O est l’angle CDA
D
Rappel : Deux angles symétriques sont égaux.


BAD = DCA
et
C
 
ABC = CDA
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS les angles opposés sont égaux.
B) Théorème 9 ( Angles consécutifs )
Voici à nouveau un parallélogramme ABCD et son centre O.

B
On a prolongé le côté [AB] pour obtenir l’angle B 1 .



ABC + B 1 = 180° ( égalité 1 )
Donc

O

Les angles ABC et B 1 sont supplémentaires.
1
C
A
D

Les angles B 1 et BAD sont correspondants et les droites (AD) et (BC) sont parallèles.


B 1 = BAD
Donc :
L’égalité 1 devient :


ABC + BAD = 180°
SI un quadrilatère est un parallélogramme ALORS deux angles consécutifs sont supplémentaires.