Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE LYON
C OLIN F LETCHER
Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1975, tome 12, fascicule 1
p. 1-3
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Publications
du
Département de
Mathématiques
LYON 1 9 7 5 . 1 . 1 2 - 1
REMARQUE SUR LES ANNEAUX DE FRACTIONS ET LA FACTORISATION
par Colin FLETCHER
Dans cette note, nous démontrons un résultat concernant la localisation
dans les anneaux à factorisation unique [4] ou UFR, répondant à une question
de [2] .
La terminologie et les notations employées sont celles de [l] et [3] •
THEOREME• -
Soit S
une partie multiplicative ne contenant pas zéro d'un
anneau A à factorisation unique. Alors
f
sation unique et l image
S
canonique de A
1
A
est un anneau à factori-
dans S ' A est intégralement
fermée.
DEMONSTRATION. A~Aj
$ .
6
a) D'après [3] , on a un isomorphisme canonique
A ^ , où A^ est un anneau factoriel ou un anneau principal
spécial ; il existe dans chaque A^ une partie multiplicative
(1)
s"
1
A ^ * S ^ A , © ... G
s"
1
A
et
1
telle que
Remarque sur les anneaux d e fractions et la factorisation
1'isomorphisme
canonique ci-dessus est défini par
(a., • ••, a )
—
a.
2-
I
>
(-
(Sj,...,s )
On ne conserve, dans la somme directe
A. e . . .
1 1
1
.....7 ).
Sj
n
6 S~*A
m m
1
a
n
(1) que les anneaux non nuls :
(2)
S ' ^ S "
avec n u n.
Si
est factoriel, il en est de même de
A ^ ; si A ^ est principal
spécial, comme on suppose S ^ A ^ non nul, on a S^* A ^ — A ^ .
d'après
conséquent
[3] , l anneau S * A est un anneau à factorisation unique.
f
b) Soient <f> : A
A l'homomorphisme canonique et - é S
s
>S
un élément entier sur <f)(A) avec a
<J>^ : A ^ — » S^* A ^
soit
Par
38
(aj,...,a ) et s = (sj,.••,s )G S
;
n
f
l homomorphisme canonique
A
; on a :
n
(3)
<J>(A)—
• <f>i-1
>
e
t
il
e
s
t
facile de voir que pour tout
1
a
i
s
l,...,n
l'élément
i
—
s.
-1
€ S. A .
, est entier sur < J > . ( A . )
.
1
Si A ^
a
est factoriel, A ^ < | K ( A ^ )
i
donc —
€ (^(A^).
s.
est intégralement fermé dans sT
-1
Si A ^ est principal spécial, alors S. A .
1
A^
est nul ou
1
1
a.
isomorphe à A . . Donc dans tous les cas, on a — £ < J > . ( A . )
s.
le résultat.
1
— € $ ( A ) , d'où
et
S
1
La deuxième assertion du théorème répond à une question de [ 2 ]
2
.
,
Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation
BIBLIOGRAPHIE.
~IJ
N. BOURBAKI, Algèb~e commutative~
[2 J
A. BOUVIER, Re1TlaPques s~ ra factonsation dans les an.neauz
Publ. Dept. Math. Lyon, 8 (1971), 3-4, p. 1-18.
corrmutatif8~
C.R. FLETCHER, The st~ct~e of unique facto~i2ation
Cambridge Philos. Cos. , 67 (1970), p. 535-540.
Proc.
Herman, Paris.
C.R. FLETCHER, Equivalent conditions fo~ unique
Dept. Math. Lyon, 8 (1971), fasc. l, p. 13-22.
~ing8~
factori2ation~
Publ.
COlm FLETCHER
Department of Pure mathematics
University College of Wales
Manuscrit remis en décembre 1974.
Penglais
AbelYStwyth Catdiganshire
Wales
3