Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation

PUBLICATIONS DU DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE LYON
COLIN FLETCHER
Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1975, tome 12, fascicule 1
p. 1-3
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Publications du
Département de
Mathématiques
LYON 1975.1.12-1
REMARQUE SUR LES ANNEAUX DE FRACTIONS ET LA FACTORISATION
par Colin FLETCHER
Dans cette note, nous démontrons un résultat concernant la localisation
dans les anneaux à factorisation unique [4] ou UFR, répondant à une question
de [2] .
La terminologie et les notations employées sont celles de [l] et [3] •
THEOREME• - Soit S une partie multiplicative ne contenant pas zéro d'un
anneau A à factorisation unique. Alors S 1 A est un anneau à factori-
sation unique et lfimage canonique de A dans S ' A est intégralement
fermée.
DEMONSTRATION. - a) D'après [3] , on a un isomorphisme canonique
A~Aj $ .6 A^ , où A^ est un anneau factoriel ou un anneau principal
spécial ; il existe dans chaque A^ une partie multiplicative telle que
(1) s"1 A^* S^A, © ... G s"1 A et
1

Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation
1'isomorphisme canonique ci-dessus est défini par
(a., • ••, a ) a. a
— 2- I > (- .....71).
(Sj,...,sn) Sj n
On ne conserve, dans la somme directe (1) que les anneaux non nuls :
(2) S'^S"1 A. e ... 6 S~*A avec nu n.
11 mm
Si est factoriel, il en est de même de A^ ; si A^ est principal
spécial, comme on suppose S ^A^ non nul, on a S^* A^—A^. Par conséquent
d'après [3] , lfanneau S *A est un anneau à factorisation unique.
b) Soient <f> : A >S A l'homomorphisme canonique et - é S A
s
un élément entier sur <f)(A) avec a 38 (aj,...,an) et s = (sj,.••,s )G S ;
soit <J>^ : A^—» S^* A^ lf homomorphisme canonique ; on a :
n
(3) <J>(A)— • <f>- > et il est facile de voir que pour tout
i-1 1
ai -1
i s l,...,n l'élément — € S. A. , est entier sur <J>.(A.) .
s.
1
Si A^ est factoriel, A^<|K(A^) est intégralement fermé dans sT1 A^ ,
ai -1
donc — € (^(A^). Si A^ est principal spécial, alors S. A. est nul ou
s. 1
1 a.
isomorphe à A.. Donc dans tous les cas, on a —£<J>.(A.) et — € $(A), d'où
s. 1 S
le résultat. 1
La deuxième assertion du théorème répond à une question de [2] .
2

Remarque sur les anneaux de fractions et la factorisation
BIBLIOGRAPHIE.
~IJ N. BOURBAKI, Algèb~e commutative~ Herman, Paris.
[2 J
A. BOUVIER, Re1TlaPques s~ ra factonsation dans les an.neauz corrmutatif8~
Publ. Dept. Math. Lyon, 8 (1971), 3-4, p. 1-18.
C.R. FLETCHER, The st~ct~e of unique facto~i2ation ~ing8~ Proc.
Cambridge Philos. Cos. , 67 (1970), p. 535-540.
C.R. FLETCHER, Equivalent conditions fo~ unique factori2ation~ Publ.
Dept. Math. Lyon, 8 (1971), fasc. l, p. 13-22.
Manuscrit remis en décembre 1974.
COlm FLETCHER
3
Department of Pure mathematics
University College of Wales
Penglais
AbelYStwyth Catdiganshire
Wales