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Nombreuses sont les id´ees de ce travail dues `a J.-M. Fontaine, W. Messing et K. Kato.
L’article de K. Kato [Ka2] a ´et´e crucial pour mener `a bien ce travail. L. Illusie n’a pas compt´e
son temps pour m’expliquer la th´eorie des log-structures et m’a signal´e plusieurs prolonge-
ments possibles `a la d´efinition “utile” des morphismes log-syntomiques qu’on propose ici :
je lui exprime ma sinc`ere reconnaissance. C’est W. Messing qui m’a initi´e `a la construc-
tion “syntomique” de la cohomologie cristalline, qui est `a la base de son article avec J.-M.
Fontaine ([FM]) : je l’en remercie vivement. Je remercie ´egalement B. Le Stum, qui a eu
la patience de d´echiffrer une toute premi`ere version de cet article, et M. Gros, pour toutes
les discussions que nous avons eues ensemble. Enfin, j’ai eu la chance de toujours b´en´eficier
de conversations stimulantes avec J.-M. Fontaine : l’id´ee (centrale) de prendre des racines
pni`emes sur le faisceau de mono¨ıdes Pet d’utiliser µpn(Pgp/Z) pour construire un op´erateur
de monodromie en toute g´en´eralit´e (section 6) lui est due. Qu’il trouve ici l’expression de
ma plus profonde gratitude.
2. Site log-syntomique
On introduit des morphismes log-syntomiques et on montre leur stabilit´e par changement
de base et composition.
2.1. Morphismes log-syntomiques. Si Aest un anneau (commutatif), on dit, comme
dans (E.G.A.0,15.1.7), qu’une suite (a1, ..., as) d’´el´ements de Aest r´eguli`ere si ain’est pas
un diviseur de 0 dans A/(a1, ..., ai−1).
D´
efinition 2.1.1.On dit qu’un morphisme de sch´emas f:Y→Xest syntomique si pour
tout y∈Yil existe des ouverts ´etales affines V=Spec B de y et U=Spec A de x=f(y) tels que
f(V)⊂Uet tels que B=A[X1, ..., Xr]/(f1, ..., fs)o`u (f1, ..., fs)est une suite r´eguli`ere dans
A[X1, ..., Xr]et o`u A[X1, ..., Xr]/(f1, ..., fi)est une A-alg`ebre plate pour tout i (on dit aussi
que la suite (f1, ..., fr)est transversalement r´eguli`ere relativement `a A, c.f. E.G.A.IV,19.2).
On dit qu’une A-alg`ebre C est syntomique si le morphisme Spec C→Spec A est syntomique.
Remarque : Cette d´efinition n’est pas tout `a fait celle de [FM] (o`u on d´ecrivait les
morphismes Zariski-localement). Mais en utilisant (S.G.A.6,VIII.1.4) et ([Il1],III.3.2.6), on
montre facilement que les deux d´efinitions co¨ıncident. Nous utilisons la topologie ´etale car
les structures logarithmiques se d´ecrivent bien ´etale-localement seulement.
On peut montrer que cette classe de morphismes est stable par changement de base et par
composition (la composition est ´el´ementaire, pour le changement de base, cf. E.G.A.0,15.1.15).
Tous les mono¨ıdes consid´er´es sont commutatifs avec un ´el´ement neutre et not´es multi-
plicativement. Si Qest un tel mono¨ıde, Qgp d´esigne le groupe associ´e. Avant de d´efinir un
analogue des morphismes syntomiques dans le cadre des log-sch´emas, nous allons traduire
en termes de mono¨ıdes les notions de platitude et de suite r´eguli`ere. Un mono¨ıde Qest dit
int`egre si quels que soient p, p0, q de Q, si pq =p0qalors p=p0(il est ´equivalent de demander
que l’homomorphisme naturel de Qdans Qgp soit injectif). Si P→Qet P→P0sont deux
morphismes de mono¨ıdes, on notera Q⊕PP0la limite inductive du diagramme :
P−→ P0
↓
Q