Fonctions : généralités

Chapitre 9 - FONCTIONS : GÉNÉRALITÉS 1
Préambule
Au collège, seules les notions de fonctions affines sont abordées, les fonctions linéaires constituant un cas
particulier traduisant les situations de proportionnalité.
Volontairement, les premières situations abordées ne rentrent pas dans ce cadre car les fonctions affines ne
doivent apparaître que comme quelques cas parmi d’autres et seront reprises au chapitre 11.
La maitrise du vocabulaire et la notion de fonction elle-même sont à consolider tout au long de l’année de
seconde. La progression adoptée tient compte de cet aspect : le chapitre 7 et le chapitre 8 tout particulière-
ment permettent déjà de travailler la notion « écrire en fonction de ».
Ce chapitre est au cœur du programme de seconde et permet de lier les cadres numériques, algébriques et
graphiques ; il permet donc le réinvestissement du calcul sous toutes ses formes.
Les notions de variation et de signe d’une fonction sont abordées en prilivégiant volontairement dans ce cha-
pitre le cadre graphique ; le cadre algébrique de ces deux notions sera traité dans les chapitres 10 et 11.
Les différentes approches (physique, économique, géométrique …) sont variées, et l’utilisation des calcula-
trices graphiques (tableurs et traceurs de courbes) ou de logiciels de géométrie dynamique est à privilégier.
Activités
Marées dans le port du Havre
Objectif : faire apparaître la notion de relation fonctionnelle à partir d’un tableau, du graphique qui lui est
lié ; introduire le vocabulaire image, antécédent, croissant, décroissant en lien avec une situation réelle.
•1•
A
Fonctions :
généralités
9
Chapitre
heure durée hauteur marnage
pleine mer 02 h 37 7 h 24 7,41 m 5,73 m
basse mer 10 h 01 5 h 52 1,68 m 5,49 m
pleine mer 15 h 53 6 h 29 7,17 m 4,9 m
basse mer 22 h 22 2,18 m

•2• L’objectif est de faire sentir l’utilité de « lisser » la courbe passant par les différents points, puis de
répondre aux questions suivantes à l’aide d’une lecture graphique.
•3• a) La hauteur d’eau à 8 h 30 est environ 2 m. On a f(8 h 30) = 2.
L’image de 5 h 30 par fest 6, qui se note f(5 h 30) = 6
f(11 h 30) = 3.
b) La hauteur d’eau était de 5 m à 6 h 15, 12 h 15, 18 h 30
6 h 15, 12 h 15 et 18 h 30 sont les antécédents de 5 par f.
Les antécédents de 3 par fsont 7 h 30, 11 h 30, 20 h 30 et 23 h 30.
•4• Voir graphique ci-dessus.
•5• La mer monte sur les intervalles [ 0 ; 2 h 37] puis sur [10 h 01 ; 15 h 53] et sur [22 h 22 ; 24 h]
f est croissante sur ces intervalles.
f est décroissante sur [ 2 h 37 ; 10 h 01] et sur [ 15 h 53 ; 22 h 22]
À partir de la géométrie
L’objectif de cette activité est de modéliser une situation géométrique faisant apparaître une fonction affine
(déjà rencontrée en Troisième) et une fonction du second degré, afin de présenter l’ensemble de définition
d’une fonction, les tableaux de valeurs, la représentation graphique d’une fonction affine et celle d’une fonc-
tion qui n’a pas un segment comme représentation graphique, ainsi qu’une approche géométrique puis gra-
phique des variations des fonctions.
Cas particuliers
•1• y= 6 cm et a= 12 cm2
•2• y= 3 cm et a= 15 cm2
•3• Le demi-périmètre vaut 8 cm, donc xpeut varier de 0 à 8 cm.
•4• ysemble décroître lorsque xcroît.
Cas général
y= 8 – x=f(x) et a=x(8 – x) = g(x)
Tableaux de valeurs
On pourra utiliser les tableurs des calculatrices ou un logiciel sur ordinateur pour tous ces tableaux de valeurs.
B
2
0
2
1,68
4
6
8
7,41
4681012 14 16 18 20 22 24
heure
durée
marnage
hauteur
2Chapitre 9 - FONCTIONS : GÉNÉRALITÉS
COMMENTAIRES ET CORRIGÉS
x012345678
f(x)876543210
g(x)0 7 1215161512 7 0

COMMENTAIRES ET CORRIGÉS
Représentations graphiques
Variations
•1•
•2• L’objectif de cette question, tout en introduisant la notion de maximum, est de reprendre le travail réa-
lisé dans le chapitre 8.
On sait que g(x) = x(8 – x). Pour montrer que g(x) = 16 – (x– 4)2on va partir du deuxième membre de
l’égalité : 16 – (x– 4)2= 16 – (x2– 8x+ 16) = 16 – x2+ 8x– 16 = – x2+ 8x=x(8 – x) = g(x)
On soustrait à 16 un nombre positif ou nul (pour x= 4), donc gprésente un maximum, 16, obtenu pour x= 4.
Balades en scooter
L’objectif de cette activité est de faire ressortir la caractérisation du graphique d’une fonction en faisant
apparaître les impossibilités physiques du « remonter le temps » ou du « don d’ubiquité » : les courbes 2 et 4
ne peuvent donc pas représenter un trajet « en fonction» du temps.
C
0
2
4
6
8
1 2 3 4 5 6 7 8
y
x0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4 5 6 7 8
y
Chapitre 9 - FONCTIONS : GÉNÉRALITÉS 3
Problèmes guidés
Lectures graphiques
Lecture d’images
L’objectif est de sensibiliser les élèves à traduire « image » par « ordonnée d’un point de la courbe dont l’abs-
cisse est »
a) L’image par fde – 6 est 2,5 ; celle de 4 est – 4 et celle de 0 est 4.
b) f( – 10) = – 2 et f(3) = – 2.
1
x08
f(x)8
0
x048
f(x)0
16
0

Lecture d’antécédents
L’objectif est de sensibiliser les élèves à traduire « antécédent » par « abscisse d’un point de la courbe dont
l’ordonnée est »
a) On cherche les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 4 : 4 a deux antécédents par fqui sont – 4,5
et 0
b) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = – 2 c’est trouver les antécédents de – 2 c’est à dire les abs-
cisses des points de la courbe d’ordonnée – 2. On obtient comme ensemble des solutions
S = {–10 ; 3 ; 5,2}
c) S = {– 8 ; 2 ; 6}
Lecture des variations
a) Le maximum de fest 6 obtenu pour x= – 2.
b) Le minimum de fest – 4 obtenu pour x= 4.
c)
La fonction fest croissante sur [–10 ; – 2] et sur [4 ; 8].
La fonction fest décroissante sur [–2 ; 4].
Résolution graphique d’inéquations
L’objectif est de résoudre ces inéquations en comparant les positions relatives de la courbe de f avec des
droites, et de retravailler les écritures des intervalles.
a) x[– 10 ; – 4,5] [0 ; 8]
b) x]– 4,5 ; 0[
c) S = [– 10 ; – 8[ ]2 ; 6[
d) S = [– 8 ; – 4,5] [0 ; 2] [6 ; 8]
Lecture du signe d’une fonction
L’objectif est de relier étude de signe et inéquation de second membre nul.
S = ]– 8 ; 2[ ]6 ; 8] (f est strictement positive sur cette réunion d’intervalles).
fest négative sur [– 10 ; – 8] et sur [2 ; 6] (cela revient à résoudre f(x) ⭐0)
Tableau de signes
Graphiques, inéquations et signes
Problème 1
a) f4et f5
b) f1
c) f3
d) f2
2
4Chapitre 9 - FONCTIONS : GÉNÉRALITÉS
COMMENTAIRES ET CORRIGÉS
x-10 -2 4 8
f(x)-2
6
-4
2
valeurs de x-10 -8 2 6 8
signes de f(x)–000
+–+

Problème 2
Deux exemples possibles pour fpuis g:
Fonctions affines par morceaux
Problème 1
a) 30 km à 60 km/h, donc il met une demi-heure. 80 km à 120 km/h, il met donc 40 minutes.
tvarie donc entre 0 et 1 h 10 min (ou d’heure)
Sur [0 ; 0,5], la distance parcourue est donnée par 60 ⫻t
Sur [0,5 ; ], la distance parcourue est donnée par 30 + 120(t– 0,5) ou 120t– 30
b) et c)
t
y
y = f(t)
y = g(t)
00,2
20
40
60
0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8
80
100
7
6
7
6
3
x
y
01–1
–2
2
4
6
–4
–6
–2–3–4–5 2 3 4 5
x
y
01–1
–5
–10
–15
–20
–2–3–4 2 3 4 5
Chapitre 9 - FONCTIONS : GÉNÉRALITÉS 5
COMMENTAIRES ET CORRIGÉS