MathEnPoche4 : nombres relatifs Série 1

MathEnPoche4 : nombres relatifs
Série 1 : Prendre un bon départ
Exercice 1 : Additions et soustractions (assistées)
10 q On donne à l’élève des Additions/soustractions (tables de 1 à 9), et il doit :
1). Indiquer le cas correspondant
2) Donner le signe du résultat
3) Donner la valeur du résultat
Exemple : pour chaque calcul l’élève doit sélectionner si « les deux nombres sont de même
signe » ou « si les deux nombres sont de signe contraire et compléter suivant les cas :
a) (–3) + (–5)
Signe de (–3) + (–5) :
a) (+2) + (–5)
Signe de (+2) + (–5) :
Distance à zéro de (–3) + (–5) :
Donc (–3) + (–5) =
Distance à zéro de (+2) + (–5) :
Donc (+2) + (–5) =
b) (+2) + (+4)
Signe de (+2) + (+4) :
b) (+7) + (–1)
Signe de (+7) + (–1) :
Distance à zéro de (+2) + (+4) :
Donc (+2) + (+4) =
Distance à zéro de (+7) + (–1) :
Donc (+7) + (–1) =
Mettre au moins deux questions avec deux nombres opposés…
Exercice 2 : Additions et soustractions
10q Calculs élémentaires avec des nombres encore (fourchette à définir) mais cette fois
l’énoncé est sous la forme « -6 + 9 = » et on attend de l’élève un résultat simplifié. La réponse
« +3 » n’est pas comptée fausse mais alerte qui bloque l’élève tant qu’il a pas simplifié.
Dans cet exercice tous les nombres sont des entiers entre 1 et 49, ou bien des décimaux entre
0,1 et 9,9, ce serait pas mal.
Exercice 3 : Calculs à trous
5q Calculs à trous du genre «  - 7 = -2 » ou « -7  = -2 ». Les nombres seront choisis
entre -19 et +19. (2 champs pour les réponses, l’un pour le signe l’autre pour le nombre. Bien
entendu, il arrivera que certaines cases doivent rester vides, mais un « + » ne devra pas être
interprété comme une erreur (idem exo2).
5q Calculs à trous où il ne reste que les signes à compléter (2 signes à trouver, 1 signe donné)
genre « 7- 2 =9 » ou« 7 2 = -9 » 
ou 2« =-79 ».Les nombres aléatoires
peuvent être cette fois très grands (c’est peut-être même une bonne chose) puisqu’il n’y a
aucun calcul à faire.
Exercice 4 : Calculs à trous (bis)
10q Même exercice, mais cette fois il y a les 3 signes à déterminer… et donc à chaque fois de
réponses possibles (en effet « 3 5 = 2 » peut devenir « -3 + 5 = 2 » mais aussi 3 – 5 = 2 »)
Exercice 5 : Successions d’additions et de soustractions
10q pour les 5 premières on demande et on évalue l’étape intermédiaire qui correspond au
regroupement positif/négatif pour les 5 dernières on laisse la place pour le calcul
intermédiaire mais c pas évalué.
Exercice 6 : Calculs synthèse
Idem niveau5 s4e6 et rajouter 5q où on demande juste le résultat, le calcul intermédiaire est à
faire au brouillon.
Série 2 : Multiplication
Exercice 1 - Découverte
2q
On donne une multiplication de deux positifs « 6 × 4 », histoire de faire réviser les tables. A
la fin de chaque question, il faudrait qu’une « conclusion » apparaisse, attirant l’attention sur
le fait que le produit de deux positifs est un positif.
2q
Découverte de la multiplication d’un positif par un négatif : L’énoncé donne un calcul
comme par exemple « 3 × (-4) = », dans un premier temps l’élève écrit « -4 – 4 – 4 » puis
enfin « -12 ». Là aussi, une conclusion en fin d’exercice « le produit d’un négatif par un
positif est négatif ».
2q
1ère étape : On donne a l’élève une série de calculs comme par exemple :
-4 × 5 = 
-4 × 4 = 
-4 × 3 = 
-4 × 2 = 
-4 × 1 = 
-4 × 0 = 
2ème étape : On laisse les résultats affichés…
-4 × 5 = -20
-4 × 4 = -16
-4 × 3 = -12
-4 × 2 = -8
-4 × 1 = -4
-4 × 0 = 0
en rajoutant les lignes…
-4 × (-1) = 
-4 × (-2) = 
L’élève complètera par « suite logique ».
2q on laisse les 3 règles affichés et on demande de trouver les signes de 3 produits.
1q on demande de compléter « le produit de deux nombres de même signe est … et le produit
de deux nombres de signes contraires est … »
1q où on demande les signes de 3 produits mais les règles sont plus affichées…
Exercice 2 : Produits et nombres négatifs
Démonstration produit faisant intervenir négatifs basée sur la distributivité :
Pour rappel, la formule : ka + kb = k(a + b) apparaîtra en permanence à l’écran dans cette
partie.
q 1  4 × 3 + 4 × (-3) =  × (  +  )
q 2  4 × 3 + 4 × (-3) = 4 × ( 3 + (-3) ) =  × 
q 3  4 × 3 + 4 × (-3) = 4 × ( 3 + (-3) ) = 4 × 0 = 
q 4  4 × 3 + 4 × (-3) = 4 × ( 3 + (-3) ) = 4 × 0 = 0
Donc le nombre 4 × 3 et le nombre 4 × (-3) sont ….
q 5  4 × 3 + 4 × (-3) = 4 × ( 3 + (-3) ) = 4 × 0 = 0
Donc le nombre 4 × 3 et le nombre 4 × (-3) sont opposés.
On sait que 4 × 3 =  donc 4 × (-3) = 
Et on remarque que le produit des deux nombres de signes contraires est un nombre
……………
q 6  4 × (-3) + (-4) × (-3) =  × (  +  )
q 7  4 × (-3) + (-4) × (-3) = -3 × ( 4 + (-4) ) =  × 
q 8  4 × (-3) + (-4) × (-3) = -3 × ( 4 + (-4) ) = -3 × 0 = 
q 9  4 × (-3) + (-4) × (-3) = -3 × ( 4 + (-4) ) = -3 × 0 = 0
Donc le nombre 4 × (-3) et le nombre (-4) × (-3) sont ….
q 10  4 × (-3) + (-4) × (-3) = -3 × ( 4 + (-4) ) = -3 × 0 = 0
Donc le nombre 4 × (-3) et le nombre (-4) × (-3) sont opposés.
On sait que 4 × (-3) = … donc (-4) × (-3) = 
Et on remarque que le produit des deux nombres négatifs est un nombre ……………
Exercice 3 : Multiplications (assistées)
10q idem que pour somme
1. Indiquer le cas correspondant dans la règle des signes
2. Donner la valeur du résultat
Exemple : pour chaque calcul l’élève doit sélectionner si « les deux nombres sont de même
signe » ou « si les deux nombres sont de signe contraire » et compléter suivant les cas :
a) (–3) × (–5)
Signe de (–3) × (–5) :
a) (+2) × (–5)
Signe de (+2) × (–5) :
Distance à zéro de (–3) × (–5) :
Donc (–3) × (–5) =
Distance à zéro de (+2) × (–5) :
Donc (+2) × (–5) =
b) (+2) × (+4)
Signe de (+2) × (+4) :
b) (+7) × (–1)
Signe de (+7) × (–1) :
Distance à zéro de (+2) × (+4) :
Donc (+2) × (+4) =
Distance à zéro de (+7) × (–1) :
Donc (+7) × (–1) =
Mettre au moins deux questions avec deux nombres opposés…
Exercice 4 : Multiplications
10q Multiplications de 2 facteurs, choisis entre -10 et 10 (au moins 1 ou 2 cas par série où
l’un des facteurs est nul) mais avec une AIDE INTELLIGENTE : par exemple si au calcul « 7
× (-5) = » l’élève répond « 2 » ou « -2 », l’aide rappellera qu’il s’agit d’une multiplication et
pas d’une addition/soustraction. Si l’élève répond « +35 » (il pense que « le nombre le plus
fort donne le signe »), l’aide rappellera qu’il faut appliquer la règle des signes.
D’ailleurs, un tableau récapitulant la règle des signes sera accessible à l’élève tout au long de
l’exercice (un peu comme c’est le cas avec la calculatrice ou les combinaisons de touches
pour les signes ( [ ) ] sur quelques exercices de MEP6 et MEP5).
Exercice 5 : Multiplications (bis)
10q Multiplications avec des nombres un peu plus compliqués, mais qui permettent de s’en
sortir sans utiliser la calculatrice. C’est l’occasion de réinvestir les multiplications par 10, 100,
1000, 0,001… vues en 6ème. Un petit rappel à ce sujet dans l’aide serait utile.
Faire deux exemples de carrés dans cet exercice, mais on les calculera en 2 étapes :
(-4)2 =  ×  = 
Exercice 6 : Signe d’un produit de plusieurs facteurs
10q On donne des multiplications complexes genre « (-3) × 7 × (-9) × 5 × (-3) × (-12) », et
il s’agit juste pour l’élève de dire si le résultat est positif ou négatif, en appliquant la règle des
signes généralisée (nombre de facteurs négatifs). On prendra soin de rencontre 1 ou 2 fois un
facteur nul dans des calculs. Dans ce/ces cas, les deux réponses (positif et négatif) seront
acceptées, mais on rappellera à l’élève que 0 est à la fois positif et négatif.
Sur les dernières questions le produit sera énoncé de manière abstraite « le produit 23 facteurs
dont 13 des facteurs sont négatifs »…
Exercice 7 : Produit de plusieurs facteurs
5q même genre de calculs que dans l’exo précédent, mais avec des nombres sympas qui
permettent de s’en sortir avec des astuces de calcul mental genre « (-2) × 5 × 100 × (-10) × (1) × 7 » où l’on regroupe des « 2 » et les « 5 ». Cette fois, on attend de la part de l’élève le
bon résultat avec le bon signe.
Exercice 8 : Multiplications à trous
10q Multiplications à trous, il s’agira juste pour l’élève de compléter une égalité du type « 
× (-3) = 6 » ou « 5 ×  = -10 ». 1 seul champ de saisie par réponse.
Pour les cinq premières question on lui demande juste le signe du facteur manquant, pour les
cinq dernières il doit indiquer la valeur du facteur manquant…
On pourra éventuellement, sur le dernières questions, marquer le nombre manquant par une
lettre plutôt que de laisser une case vide…
Série 3 : Division
Exercice 1 : Signe d’un quotient
Découverte de la règle pour la division:
Q1 donne le signe du nombre manquant dans  × 3 = 3 ×  = 7
Q2 on laisse affiché :
On rappelle que pour tous nombres a et b (b non nul) le quotient de a par b est le nombre qui
multiplié par b vaut a, autrement dit a÷b est le nombre manquant dans :  × b = b ×  = a.
Le nombre manquant dans  × 3 = 3 ×  = 7 est 7÷3 et c’est un nombre positif, on remarque
donc que le quotient d’un nombre positif par un nombre strictement positif est un nombre … .
Q3-4 idem -/+
Q5-6 idem +/Q7-8 idem -/A la validation des question 2, 4, 6 et 8 on fait remarquer que le signe du quotient de deux
nombres est le même que le signe de leur produit
Q9 on demande le signe de 4 quotients en ligne et q10 le signe de 4 quotients en notation
fractionnaire.
Exercice 2 : Divisions (assistées)
Idem multiplications assistées
Exercice 3 : Divisions
Des divisions en vrac, qui n’utilisent que les tables de 1 à 9, l’élève donne le résultat : « -35
÷ (-7) =  » ; « 63 ÷ (-9) =  » ; « -16 ÷ 2 =  »…
Exercice 4 : Divisions (bis)
10q Idem exo précédent mais calcul un peu moins évident notamment placer des 0,1 ;
00,1…
Exercice 5 : Ecriture fractionnaire
-6
6
6
-6
« =  » ; « - =  » ; « - =  » ; « - =  »…
2
2
-2
2
Exercice 6 : Dénominateur positif
10 où on demande d’écrire des écritures fractionnaires avec dénominateur positif
Exercice 7 : Signes de produits ou de quotients
10q où on donne des expression plus complexes mêlant quotients et produits et où on
-6 -6 -5×(-1)
-7
demande que le signe du résultat en q10 du genre. ×
×
×(- )
2 -11 2×(-7)
3
Exercice 8 : Quotients à trous
10q Divisions à trous, en ligne ou sous forme fractionnaire mettant en jeu des questions de
signe mais avec calcul mental simple.
Série 4 : Calculs
Exercice 1 : Sommes et produits
10q On donne à l’élève un calcul élémentaire, il doit répondre à trois questions
1. Dire de quelle opération il s’agit.
2. Donner le signe du résultat.
3. Donner la distance à zéro du résultat
le but est de détecter les confusions entre sommes et produits tant au niveau des signes que
des valeurs… Un effort tout particulier devra être fait sur l’interprétation des résultats de
l’élève au niveau du message d’alerte en cas de mauvaise réponse : s’est-il trompé
d’opération, de règle… ? (voir types dans exo suivant)
Exercice 2 : Sommes et produits (bis)
10q Idem exo précédent mais on demande d’effectuer le calcul. Opérations simples
(nombres entre 1 et 9)
-4 + 5 = 
Les erreurs « attendues » de l’élève sont :
 9 ou -9  Attention, les deux nombres sont de signes différents, on n’ajoute pas les
distances à zéro !
 -1  Attention au signe, il ne s’agit pas d’un produit, tu dois examiner le signe de (4)+(+5) !
 20 ou –20  Attention, il ne s’agit pas d’une multiplication !
-4 * 5 = 
Les erreurs « attendues » de l’élève sont :
 9 ou -9 ou 1 ou -1  Attention, il ne s’agit pas d’une somme ou d’une différence !
 +20  Attention au signe, tu dois déterminer le signe du produit (-4)*(+5)!
-4 – 5 = 
Les erreurs « attendues » de l’élève sont :
 +9  Attention au signe, il ne s’agit pas d’un produit, tu dois examiner le signe de (-4)+(5) !
 +1 ou -1  Attention, les deux nombres sont de même signe, on ne soustrait pas les
distances à zéro !
 20 ou –20  Attention, il ne s’agit pas d’une multiplication !
Exercice 3 : Sommes et produits (chronométré)
Même exercice, mais avec un chronomètre.
Exercice 4 : les opérations prioritaires
5q : Rappels sur les priorités opératoires, avec des signes cliquables (en 2, 3 ou 4 étapes).
L’ordi se chargeant des calculs (idem exo cinquième…)
Exercice 5 : Calculs et priorités (assistés)
5q Calculs enchaînés avec 2 opérations, et éventuellement des parenthèses, qui se font donc
en 2 étapes.
Exemple :
A = 3 – 6 * (7 – 12)
« Sélectionne l’opération prioritaire »
A = 3 – 6 * (7 – 12)
A=3–6*
« Effectue le calcul prioritaire indiqué en couleur »
Ecran 3 :
A = 3 – 6 * (7 – 12)
A = 3 – 6 * (-5)
« Sélectionne l’opération prioritaire »
Ecran 4 :
A = 3 – 6 * (7 – 12)
A = 3 – 6 * (-5)
A=3 
« Effectue le calcul prioritaire indiqué en couleur »
Ecran 5 :
A = 3 – 6 * (7 – 12)
A = 3 – 6 * (-5)
A = 3 (+5)
A=
« Achève le calcul »
Exercice 6 : Calculs et priorités (niveau1)
5q calculs type exo précédent, pas trop durs, où l’élève doit noter les étapes intermédiaires et
elles sont évaluées.
Exercice 7 : Calculs et priorités (niveau2)
10q calculs plus complexes, de synthèse : on évalue le résultat (pour le saisir l’élève à une
zone de saisie dans laquelle il peut écrire comme au brouillon, s’il veut saisir une fraction il
faut qu’il se la créée au préalable…) de l’élève et il doit saisir le calcul intermédiaire comme
dans le brouillon mais il est pas évalué : il est envoyé via le réseau au prof pour correction.
Pour exemples :
H = –(–2 + 8 – 1) – (–3 + 1)
I = 1 – 7 × (–3) + 5 × (–2)
J = –2 × [(7 – 11) × (–6) – 9]
L=
K = 5 – 3 × [1 – (–6)]
1−13
−1− 2
T= 4−
E = –32 – 2×(–1)2 – (–2)×(–2)
€
16
−7
2 −10
F = 10 – 8×[(–5)2 + (6 – 11)×(–8 + 4×3)]
€
Série 5 : Pour aller plus loin
Exercice 1 : Substitutions de valeurs
10q Substitution d’une ou plusieurs valeurs dans des expressions littérales.
5q dans expression du type a + b – c ou 2a –3b ou 2(a-2b) – c…
5q dans expression du type ax2 + bx + c
Pour exemples en dernières questions ou pourra trouver :
On donne a = –8 ; b = 2 ; c = –5 et d = –3.
Calculer la valeur des nombres N = a – b + c – d ou M = ab – cd ou enfin P = –3ac – bd.
On donne A = 2x2 – 5x – 1 et B = –x2 – 5x + 2.
Calculer la valeur de A pour x = 0 ou celle de B pour x = 1.
Calculer la valeur de A pour x = –1 ou celle de B pour x = –3 (plus dur)
Exercice 2 : Enigmes
5q du genre :
La somme de 2 004 termes tous égaux à –1 est égale à… et la somme de 2 005 termes tous
égaux à –1 est égale à… mais le produit de 2004 facteurs tous égaux à –1 est égal à … alors
que le produit de 2005 facteurs tous égaux à –1 est égal à …
Le produit d’un nombre relatif par –1 est … de ce nombre relatif et le carré d’un nombre
relatif est toujours … .
A et B sont deux nombres relatifs non nuls sachant que leur produit est négatif et que A est
supérieur à B, donne le signe de A et de B
A et B sont deux nombres relatifs non nuls sachant que leur produit est positif et que leur
somme est négative, donne le signe de A et de B.
x est un nombre relatif non nul, donne le signe du nombre – x × x × x
Exercice 3 : Dominos
Faire un ptit exo dominos…
Exercice 4 : Carrés magiques
Il existe des carrés magiques de sommes de relatifs et même certains multiplicativement
magiques, rechercher dans les bouquins ou sur internet pour voir à les générer de façon
aléatoire…