Espaces Hm sur les variétés

S ÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (S TRASBOURG )
C ATHERINE D OLÉANS
Espaces H m sur les variétés
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 2 (1968), p. 43-74
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1968__2__43_0>
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-
43-
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUE
STRASBOURG
Séminaire de Probabilités
1966/67
Hm
ESPACES
SUR LES
VARIETES,
ET APPLICATIONS AUX EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
SUR UNE VARIETE COMPACTE.
(par
DOLÉANS)
Catherine
reprend ici les méthodes données par Shmuel Agmon (Lectures on
Elliptic Boundary value Problems , Princeton, Van Nostrand 1965), pour
l’étude dans les espaces Hm des équations elliptiques. Pour simplifier, on
se place ici sur une variété compacte sans bord, et on ne considère
que des
équations elliptiques d’ordre 2.
On
0.1 . NOTATIONS
a)
x
est
un
point
la distance euclidienne
~
=
de
IRn
de coordonnées
i
1
,.,,,
(al ’ ’ ’ ’ ’ ~n~ ’
,
n".
.
et
i x - yi
est
sur
,
est
des multi-indices de la relation d’ordre :
=
x , , , , ,,x ,
Et l’on pose:
-~ 1 +...
a
l
an
x =
xl ... Xn
D03B1 = D03B1 . D03B1n
un
multi-indice ;
"
on
munit l’ensemble
si et seulement si
P.,
,
44 -
-
(Di
différentiel associant à
l’opérateur
est
direction
fonction
une
sa
dérivée dans la
x i).
03B11! ... 03B1n!
.
tions â valeurs
réelles,
différentiables
Cmloc (03A9)
de
c) La
(03A9) (resp.
Cioc
(03A9))
Cloc
est
m-fois continument différentiables
03A9(1).
sur
°°
m
n
est un ouvert de IR.
b) 03A9
Cm (03A9) res . C (03A9))
est
l’espace
(resp,
l’espace
des fonc-
indéfiniment
des fonctions
C~locloc (03A9) â support compact dans 03A9
(resp.
.
sont des ouverts de
notation 01 cc ~ 2 signifie: 01 et 02
tRn , ~ 1
est
compact et 1 ~ 03A92.
0. 2 . REGULARISEES D’UNE FONCTION INTEGRABLE.
o
est
un
ouvert de
Rn ,
u
,
une
fonction
intégrable
sur
tout ouvert
borné
de
a
~;
on
de
(Rn ,
j (x) -
désigne
j(x)
par
une
fonction de C
j(x)
satisfaisant
-=- ’ (-,--x
1. -
) . On
J u= j *
(
u
est
2. -
Si
u
3. -
Si
u
L2
Cm
loc (~)
est
notation
Cm
Ioc (03A9)
priété
plus
locale.
1 ,
unité
facilement les résultats suivants:
par zéro hors de
support compact K ,
(~)
u
E
(1)
=
j E (x-y) u(y)
=
prolongée
est â
E
u
a
dx
( iRn) nulle hors de la boule
et
pe.r j E (x) les fonctions
c
.~
dans
C~loc ( CRn)
~j,
support dans
est â
J u
LZ
est dans
dy
K +
supp(j).
(~~) .
o
habituellement noté
pour montrer que
Cm (~) ,
.
Nous
l’appartenance
préférons employer
â cet espace est
une
la
pro-
45 -
-
0. 3 .PARTITION DE L’UNITE SUBORDONNEE A UN RECOUVREMENT LOCALEMENT
FINI.
( (~.). ~ ~EI
Soit
1Rn ;
on
un
ouvert, localement fini, d’un ouvert 0 de
recouvrement
chaque ouvert ~ .i est relativement compact
partition de l ’untté de classe C subordonnée au
suppose que
Q.
dans
n
Il existe alors
ment
(
une
c’est à dire,
;
1)
0 ~ a. ~
2)
03A3
1
l,
a.
1
telles que
famille de fonctions
une
EC
C
recouvre-
( ~i~
1
ai (x) =1 x~03A9
Si les
Remarque:
ne
sont pas relativement
seulement affirmer que les supports des
On trouvera
une
1 . ESPACES
Rn ;1
on
montre que
Cloc
faible. Le
de la
(03A9)
Hm‘
Hm
Hm
et
Q
résultat dans L. Schwartz,
(03A9) .
Hm (03A9)
ET
Hm
désigne toujours
dans
(03A9) ) dont
est un ouvert
on
est
d’ordre
on ne
étudie la
ouvert de
démontre qu’une
technique
des solutions de certaines
(03A9)
un
(03A9) , où 03A9
puis
On termine par le théorème de Rellich
paragraphe (1.4)
régularité
Hmloc
est dense
tielles.
1 . 1 . ESPACES
i.
.
plus
vira dans
peut
Hm (~j .
régularité des fonctions de
(compacité de l’injection de
variante
ce
sont dans
on
T. I, pages 22 et 23.
On définit ici les espaces
de
a. (dans 03A9)
démonstration de
Théorie des distributions,
compacts dans 0 ,
et nous
équations
ser-
différen-
-
46 -
Définitions . -
a) Une fonction
si, pour
tout
Q’
les dérivées
m ,
,
sont elles-mêmes des fonctions de
b) Une fonction
pour toute fonction
telles que
Du
de
est
un
[N)
au sens
u
si et seulement
des distributions
H. (0)
à
si et seulement si
évid emm ent l’ensemble des fonctions
pour tout
H (Q)
1. -
Hm(03A9)(m~
L (Q) .
appartient
(Q) .
est aussi
(QJ
Théorème
u
cp de
Remarque : H. (Q)
à
appartient
u
Q ~~03A9.
espace vectoriel
et le
R ,
sur
produit
hilbertien
’"’~~H~~~~
fait de
H (~
un
est
suites de
Hm(03A9)
Nous montrerons seulement que
Démonstration
si
espace de Hilbert.
une
suite de
Cauchy
dans
Cauchy
Hm(03A9),
dans
L (Q)
m) ;
est
les suites
soient
complet :
(D u.)
sont des
leurs limites dans
u
L (Q) .
La relation
dx=(-1)|03B1|
fQ uk D03B103C6
03A9 03C6D03B1uk
passe alors à la limite
u -
Du,
u
est dans
quand
H (Q)
k
et
tend
vers
u. -~
u
dans
,
qui
(~).
ce
H
(Q)
dx ~03C6~C~c
montre que :
Notations : On notera
~-~~’~ y
|u| m,03A9
et
Théorème 2. -
G~loc
(0) D
=
(03A3
est
|D03B1u|2 dx)1/2
dense dans
Hm(03A9).
47-
-
Démonstration
de 03A9
Considérons
par des ouverts
construire
Un
un
recouvrement
relativement compacts dans 0 .
(V )
recouvrement ouvert
un
n
une
u
de l’unité
partition
E
u
n
dans
V n
= au
de classe
les fonctions
de
,
~
n
+supp(jE
fini
On peut alors
et
V c c Un ,
n
n
posons si
(V ) ;
Hm (IRn)
dans
sont
n
V
tel que
Q ,
a
C , subordonnée à
u
peut alors choisir des
on
,
;
n
(a )
dénombrable, localement
et à
support
tels que
En
)ccU n
n
et
*
Il m, ~ -
donc
D03B1(j~
n
(en
effet
de
(0.2)
La fonction
~v-u~m,
est dans
u
03A9~
=
v
Un
est
,
est
alors dans
~
0
L2
C~loc (03A9) ~ Hm(03A9)
u
est à
et la
proprié-
).
et on
a
support compact dans 0 , la fonction
(~) .
c
fermeture
sa
l’ordre
m
sur
restrictions â ~
Nous
C~c
Mais
(03A9)
a une
v
frontière de classe
C c ( ~n)
maintenant deux
sont
Co
on
peut
n’est
pas dense
ses
dérir-
montrer que les
denses dans
conséquences
cons-
com-
l’espace des fonctions nulles ainsi que
de 03A9 (si l’ouver t 03A9 est assez régulier),
des fonctions de
énonçons
(03A9) .
à support
est
le bord
iî
Hm (~)
Toute fonction de
donc limite de fonctions de
2) Si l’ouvert
rème
o)
.
pact dans [2
jusqu’à
E ~
u ) = j~* D03B1un
*
D03B1un
truite ci-dessus est dans
vées
(
donne
Remarques :
1 ) Si la fonction
dans Hm(03A9),
= 2n
°
immédiates du théo-
2.
Théorème 3.
-
(Règle
de Leibniz) . Si
u
E
et si
v
F
(03A9)
(c, a. d, v
48 -
-
Cmloc (G),
est dans
Q) ,
et ses
dérivées
l’ordre
jusqu’à
m
sont
bornées dans
alors :
l)uv6
H~(0)
D03B1-03B2 v.
v)= 03A3 (03B103B2) D03B2u
2) D03B1 (u
OE
Ce résultat est immédiat si
monstration
Théorème 4 ::
désignent
utilisant
en
(Q)
le théorème
(invariance
on
et on
achève la dé-
2.
H
des espaces
IRn,
deux ouverts de
H (Q)
suppose
difféomorphismes). 03A91 et
qu’il existe un difféomorphisme
par
Q-
cp
co
de
Q.
1)
f~H~~
2)
si
Q’ c:c:Q
dépendant que de (QB, ~)
alors
0~ ,
sur
(~)
et
Q~
Il est immédiat
!!f))
il existe
Q’ ) ,
,
une
constante
c
ne
achève la démonstration
en
pour tout
~~, z
qu’il
c
on
(
telle que
c
Démonstration
p
=
existe
t; f tf
une
constante
c
pour tout
m, 03A9’2
utilisant le théorème
telle que
f~Cmloc (0’,) ,
2.
Hmloc
REGULARITE DES FONCTIONS DE
I. 2. 20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014ioc
(Q).
Théorème 5 :
majoré
par
Supposons
m--~2014,
m>
alors
2014 ,
,
H.~~
et
soit j
(~)
est
=
m
-
contenu
[-T-]
dans
-1
le
C~
plus grand
(Q) .
en-
-
Q
Hm
(IRn)
est un ouvert de
donc dans
CR
Cjloc
loc
et si
(Rn)
est
u
(CR )
et û
a
et
normes
n
En
effet, soit
bution
tempérée,
Du
fonctions
donc
-
-m /
une
u~Cjloc
caractérisation de
loc
H (CR ) :
u
appartient
JQ~ (1 +
(1
(Q).
elles
+ |03BE|2)m |u(03BE)|2
d03BE
sont
équivalentes,
de L" (Rn) , u est en particulier une distridérivées Du
ont pour transformées de Fourier les
03BE03B1 û.
La relation
f( 1+
est
(Vcf, |03B1| ~ m) ,
à
et les deux normes
c’est à dire
D03B1u
considérées sont évidemment
équivalentes
~-n~
Considérons maintenant
=
m
-
une
fonction
[~-] -1~3; la fonction
~
"
est
.
et donc
(CR ).
H
soit j
c
( Q) ,
cpu est dans
fonction
et ses
=
équivalente
m) ;
(vQ~,
sur
une
u
Hmloc (03A9),
transformée de Fourier; la fonction
sa
si et seulement sion
à
dans
pour tout
Nous commençons par donner
Soit
est contenu dans
Il suffit de montrer que
Démonstration
si
49 -
dans
L
1
pour tout cy,
|03B1| ~ j
et
û
u
(5) ~
appartenant à
H~~ (R~)
et
20142014~201420142014r(l+t~t~)~
(1 + 1 si) 2
la transformation de Fourier inverse
donne pour Du :
D03B1u(x)=(203C0)-n eix,03BE> 03BE03B1 û (03BE) d 03BE, |03B1| ~ j ;
u
1. 3.
est
donc dans
Cjloc (Rn)
c.q.f.d.
THEOREMES DE RELLICH
Le théorème de Rellich proprement dit est le théorème suivant relatif
à
l’injection
de
H~ (0)
dans
-
Théorème 6
Soit Q
-
.
Alors
l’injection
Nous
Hm-1(03A9)
dans
compacte (on suppose
est
contenterons d’une variante
nous
é .
ouvert borné dont la frontière est de classe
un
Hm (Q)
de
50 -
faible et
plus
.
m à 1
).
beaucoup plus
facile à démontrer:
Théorème 7.
Soit Q
-
dans Hm(03A9) ;
de
l’injection
Démonstration:
-
un ouvert
Hm-1o
l’ouvert Q dans
Plongeons
-"----------
H5 (Q)
borné, et
(Q) dans
la fermeture de
(Q)
compacte (m > 1) .
est
que l’on supposera
cube Q
un
C~c (")
m
d’arête unité
être
~
fonction de
dique
en
de
Cc
(QCCQ), Toute fonction u de C C (Q) se prolonge en une
(Q) (en prenant u o sur Q’Q) puis en une fonction pério-
Période
=
1 Si
on03BEa~ :
série de Fourier,
| D03B1 l 2
u
03BE >
x,
bç
dx
Q
est
= jQ 1 D03B1 |2 dx
u
=
le
développement
2
03C0)2|03B1|1
zg
de
u
1 bç l 2 03BE203B1
et
~u~2m,03A9 =
Les
03A3
~u~m,03A9
normes
(203C0)2|03B1|1
~u~ #m
et
( |b03BE|2 03BE203B1 (u~C~c
1
=
l bo , , o|2
(03A9)).
l
+
§
l §l 2m]
1/2
m
sont donc
équivalentes
sur
C
Prenons maintenant
c
(Q) .
.
suite bornée
une
que l’on peut extraire de cette suite
(Q) .
cas
où les
C~C
uj
(Q) étant
dense dans
une
H§ÉÎ
(u.)
J
sous-suite
(Q) ,
on
dans
(Q) ,
,
et montrons
convergente dans
peut toujours
se ramener au
ç~
sont dans
de Fourier associée à
C
u. ,
C
(Q) .
Pour
’
soient
Zn
(bj ç) lasEsuite
chaque § ,
les coefficients de la série
(b.
est
bornée
c
51 -
-
(car
# ~A
sup
extraire
une
+
sous-suite notée
converge. On
(b. c)
et on
,
~ui - uj~#2m-1
peut par
encore
un
(b )
o-bi,o|2 +03A3 |bj 03BE - bi 03BE|2|03BE|~2m-2
où le
premier terme tend vers
terme est majoré par
1 r2
o
lorsque
[ ~uj~#2m
(u.)
diagonalisation
r
|bj03BE-bi03BE|2 |03BE|2m-2
+03A3
Et la suite
de
telle que pout tout § la suite
alors pout tout
a
procédé
est une suite de
i
et j tendent
Cauchy
et le second
.
(0) ,
dans
o ,
2 A2 r2
]
+ ~ui~#2m
vers
donc
euite
une
conver-
gente.
c.
q. f. d.
1.4. INEGALITES RELATIVES AUX DIFFERENCES FINIES~ CONSEQUENCES.
(Méthode
de
Niremberg)
Ce
qui
tions différentielles
Soit
e
un
pose
03B4 =
Si
e.
prépare l’étude de la régulatrité
(voir le paragraphe (3.4. ) ).
suit
vecteur
unitaire,
u(x+he)-u(x) h
est le vecteur unitaire
dirigé
03B41h u = 03B4
Lemme 1 :: Soient
h
et
un
pour tout
des solutions des
nombre réel. Si u~L
x
tel
que
dans la direction des
d(x,
i
ii)
2
>
équa(Q)
on
h .
x. ,, on note
u
ei,h
et
Q’
un
ouvert
on a
alors pour
-
tout
52 -
hd(H’, C~)
J
~03B4ih u ~m-1,03A9~ ~u~m,03A9 i=1,..., n
Démonstration :
II suffit de montrer cette
pour les fonctions
inégalité
.
1) Commençons par les fonctions d~une seule variable :
soit
f ~ C1 (]a, b+h[ ),
on a
pour
f(x+h) - f(x)
) f(x+h)
- f(x)
x6]a,b[
f’(~) d ~
=
)~ ~ h
)~ d ~
et
ba|f(x+h) - f(x) |2 dx ~ h ba dx x+hx|f’(03BE)|2 d 03BE =
ha+ha
03BE03BE-h dx+hb+h
ba+h d03BE|f’(03BE) |2
dx+h
d 03BE |f’(03BE)|2 03BEa
b d03BE|f’(03BE)|2b
03BE-hdx
= h2 b+ha |f’(03BE)|2 d 03BE.
2) Plaçons
;0’
nous
maintenant dans
(JR.
~
on a
03A9’ b’
|D03B103B4ih u|2 dx =
pour tout o~
tD.D" u|2
(2
j~~
nn-1 ::
dx
et donc
c.
Lemme 2 :: Soit 0
Si
de
H (0) ,
dans
2
L
(~
,
u
un
est
u
dans
[R
et
une
valeur d’adhérence faible de
et pour tout
des
ment vers
ouvert de
(y ,
|03B1| ~
désigne
~~.~
L~ (Q) ).
m ,
D03B1u
une sous
q. f. d.
suite bornée de fonctions
(u.)
dans
est limite
suite de
L~(~
u
est
faible dans
convergent faible-
53 -
-
Soit
Démonstration :
o"
est bornée dans L (Q)
et
immédiat que
u
est alors
à
multi-indice satisfaisant
un
admet donc
=
D~
une
qui
ce
u,
m , la suite
valeur d’adhérence faible
achève la démonstration du
lemme.
Théorème 8. - Soit 0
un
Si
ouvert de
telle que pour tout Q’ , 03A9’~~03A9
tante
C
petit
et i
,
1,
=
...
alors
,n
u6H~~
(0)
~C
~03B4ih ~m. 03A9’
C
ait
on
s’il existe
et
pour h
u
u)~ ~ ~
et
une cons-
i
1 ,
=
assez
...
n .
,
et
Démonstration. - Le lemme 2 assure l’existence d’une suite h~ (h~ o)
dans L~(Q’) i=l,
de fonctions u. ~H~(~) telles que 6~
u ~ ~ faiblement
...
,n.
k-~+0153
On
a
dx
2 .
u
u
u))
plus
m
est dans
ESPACES
f 03B4ihk
= lim
la fonction
et
cp dx
u
Q= it
H~~
Hmloc
étudie,
comme
H.
(M)
= - lim
(Q’)
est donc dans
03A9’ ~
C
f
cp dx
u
Q’cicn ;
dans le
et
la
H.
sur une
on a
~Di u~m
donc
a
de
C
,03A9 ~
d’un ouvert Q
cas
compacité
de
variété compacte M ,
la
de
l’injection
de
et des fonctions de
classe
C’
sur une
aussi le théorème d’existence de
régularité
des fonctions
(M) dans
H. "
variété à
partitions
sans
et
(M) .
on
supposera
touj
ours
C
bord de classe
l’appendice
dans
lequel
on
de l’unité subordonnée à
recouvrement ouvert ; dans la suite toutes les notations
l’appendice
et on
C~
On renvoie pour la définition des variétés
celles de
D’i cp dx
SUR UNE VARIETE COMPACTE
2 . 1. VARIETE DE CLASSE
vera
u
Q’, Q’cidn . On
pour tout ouvert
pour tout
= -
(0).
On définit les espaces
de
(Q’) .
alors pour toute fonction q)6
employées
que la variété
M
trou-
un
seront
est
compacte.
54 -
-
2. 2.
L2loc (M).
ESPACE
Définitions :
(M)
L2loc
à valeurs
1 )i
M
sur
et
l’espace vectoriel
réelles, telles que
E
(x (U) ) pour toute
u
U-
~03C6
est
(r,~j
On munit
2)
o X
u
C~c
et cp parcourt
On
1)
Pour que
soit satisfaite pour
recouvrent
>
en
topologie définie
(U, x)
par les semi-normes
parcourt l’ensemble des
utilisant le théorème 4 de
u E L2 (M) ,
une
cartes locales
(1. 1)
il suffit que la relation
m
avec
L2loc
u o
=
o :
(X(U) )
famille de cartes locales dont les ouverts de définition
M.
Pour définir la
2)
Xj
locale
carte
définies
u
(U) .
facilement
a
de la
des fonctions
topologie
de
L2loc (Mj
il suffit de considérer les
~~~~~~°~~~~
semi-normes
Il
pour
une
famille
(U,X,cp)
cpEC
telle que les ensembles 0 =
C1
(X(U)j
[cp o x 7~ o)
recouvrent
M.
Comme la variété
uox
de
E L2(X (U) ;
plus
où g
sur
L2loc
est
M
une
M
est
supposée compacte,
pour toute fonction
(M)
on a en
et toute carte
fait
locale
topologiquement identique l’espace de Hilbert
métrique Riemannienne quelconque et T la mesure de
est
associée ( mais il n’y
à
g
a
pas de
norme
hilbertienne
privilégiée
(U, ~),
L2(M,
T ))
Radon
sur
-
55 -
(M)
2. 3. ESPACES
Définitions :
H~ (M)
1) On désigne par
2) On munit
u"
(U,x)
telles que, pour toute carte locale
u~L2loc (M)
j!cpuox tt m, /TTB
Hm(M)
où
de la
topologie
(U,x) parcourt
(sur CR)
vectoriel
l’espace
ait
on
u
des fonctions
oX
).
définie par les semi-normes
l’ensemble des cartes locales et ~
parcourt C~ (U) .
1)
Le théorème 4 de
(1 . 1)
Tour que
(M)
soit valable pour
recouvrent
famille de cartes locales dont les ouverts de définition
M .
les semi-normes
On
Pour
u o
telle que les ensembles
(U~X~)
une
donne immédiatement :
il suffit que la relation
De même pour définir la
2)
rer
une
nous
a convenu
telle variété
de
on a
X !!’m, x
0
M
,> 03C6~
C~C (U)
il suffit de considépour
recouvrent
considérer que les variétés
ne
u o-1~ ~Hm(~(U))
M
par des ouverts
partition
de l’unité de classe
gie
de
(M)
Hmloc
est
M .
compactes.
k
(U.).....
de définition de
locales
cartes
C
définie par l’une
(U, x)
est
co
une
famille
une
pour toute carte locale
part si
°
vrement fini de
H, (M)
de
o)
=
(M) .
et toute
topologie
~
subordonnée à
quelconque
(U.).
des
1,. .
normes
un
(cp.)._i
JJF~...~
la topoloéquivalentes
et
,
,
u~(03A3 ~(03C6j u) o xj ~2m,xj(Uj)))1/2
u-.(~))u.~!!~~~,)’~
Dans la suite
on
emploiera,
selon lessituations, l’une
ou
l’autre de
ces normes.
56 -
-
(M)
Théorème 9. -
hilbertisable et
est un espace
C (M)
est dense dans
Hmlog (M).
Démonstration :
1) Pour tout
,k
des ouverts de définition de cartes locales
on
peut définir
un
de
par
produit préhilbertier
(u, v)m,M = 03A3 (u o xj, v o xj)m, xj (Uj)
compatible
Hmloc
dans
et
H. (M) .
la
topologie de
(M) , chaque suite
avec
converge donc
(u
o
n
vers un
X.)
j
~-1. n
==
X. o
j i
o
o*x.)
(u
élément u.6
u
o
Si
est
u
est de
un
H (x.(U.) )
(presque sûrement
sur
j..L
X.(U.
i
i
Ft
U.)
j
définis sent bien
élément de
(M)
Hmloc
..k
(uj)j
=
la limite de la suite
Un dans H. (M). Toutefois H. (M) n’est pas
est
espace de Hilbert
un
il
car
ne
possède
2) Soient
pas de
produit hilbertien intrinsèque,
et
(((p.) dans
est
partition de l’unité subordonnée aux (U.)) ; u.
X.(U.) et donc approchable par des fonctions
J
Cauchy
La relation
passe à la limite et les
qui
dans
Cauchy
Hm(~j(Uj) ).
X.
i
suite de
une
à
est
support compact
~ C
v.
~
J’ ~
J
une
(X. ( Il . ) )
J
J
sur
M
~
(
j!u. - v. !t
~C~(U4)
c
v’.
2014_ . ) o) ; v. n
et la
~~ ~’~° ~~~~~
suite
v
n
=
S
v’.
se
transporte
tend
~~~~
vers
~~~~
~
u
en une
Hm
dans
~~~~
c.
Théorème
si
m
10. - Si M
est un entier
>
est une
n 2
Ce théorème
pour
un
ouvert
Q
de
et
se
variété compacte de classe
si j
=
m
-
[n 2] -
1,
on a
C ,
Hmloc
déduit immédiatement du théorème
fonction
(M).
°
q,f, d.
de dimension n,
(M) ~
Cjloc.
analogue
(M) .
démon.tré
-
Théorème 11. -
Démonstration :
-
.w
~
_
-
-
-
~
_
.r
.r
~.
Soit
B
un
Hm (M)
dans
ensemble borné de
-
1 , ... , k
=
de
L’injection
57 -
(2. 3)). Chaque
(les triplets (Uj,
ensemble
Xj,
03C6j )
Hm-1loc
(M)
Hm
(M)
ioc
sont
est
compacte.
et B={(03C6,u)oX-1
choisis
J
J
dans
comme
Ho
sous-ensemble borné de
(X.(U.)
~
J J
m_1
est donc relativement compact dans H
(Xj (Uj)) Les ensembles
B.
J
est
un
.
’
J
)
et
.
o
B’. =
uE
u,
B)
sont alors
.
relativement compact dans
Hmloc (M)
J
ainsi
que
c.q.f.d.
3 . EQUATION DIFFERENTIELLE ELLIPTIQUE D’ORDRE 2 SUR UNE VARIETE
COMPAC TE.
On définit
d’ordre 2
sur une
une
d’opérateurs différentiels linéaires elliptiques
(opérateurs de type (A) ) et on étudie l’équation dif-
classe
variété
férentielle
Pu = f
où P
u
une
est
un
opérateur
de
fonction inconnue de
type (A) ,
H2loc
f
une
fonction donnée de
L2loc
oc
(M)
et
(M) .
3. 1.OPERATEURS DIFFERENTIELS LINEAIRES SUR UNE VARIETE.
Définitions :
1 ) Un opérateur différentiel linéaire d’ordre A
de
tRn
est
un
(x, D)
= E
££
et
aa (x)
bornées.
ouvert
Q
opérateur
P
où les
sur un
a03B1 (x)
sont des fonctions à valeurs
D03B1
réelles définies sur 03A9, mesurables
58 -
-
2) On appellera
variété M
u~e
opérateur
application linéaire
carte locale ( U, x) de
une
que pour toute
d’ordre l
ici
P~sur
de
H.
oc
(M)
il existe
M
L.
dans
un
oc
opérateur
(M) ,
sur
telle
différentiel
tel que
U
Pu
différentiel linéaire d’ordre l
(x)
P~ (u
=
o~)
(x(x) )
U
sur
3.2. PARTIE PRINCIPALE D’UN OPERATEUR D’ORDRE l; OPERATEURS
ELLIPTIQUES
Nous introduisons la
intrinsèque
la notion de terme
Théorème 12. - Si P
il existe
soit
0~
un
champ de ~ - tenseurs
(M) et
que,
-
e’~
~~ P(u
polynôme
e~ ~)
(x) -
degré ~-1 .
(M)
~
n
u(x)
Nous
ne
démontrons
un
ce
est une carte
les coefficients de P
(relativement
et
n
~
(dx
la
v ,
M . Si
symétrie"
n
dx
,
+
(x )
=
a~
X
et
un
v)
partie principale
de
soit d’ordre
cas
l’opérateur
~-1 .
particulier
différentiel linéaire P d’ordre 2
locale de
à
(U, x) )
M,
nous
sous
écrirons
tou-
la forme "avec ré-
03A n i=1
ai~ ~u ~~i
+
(M) x~U
au u ~ H2loc
où
a~~.
M ,
sur
posant
en
Pu=03Ani,j=1ai~2u~ij
...
théorème que dans le
opérateur
rend
la fonction
s’appelle
(U,x)
pétition
symétriques
soit nulle, il faut et il suffit que P
2 . Considérons donc
la va,riété
jours
de
TT
Démonstration :
sur
différentiel d’ordre l ~ 1
contravariants
un
P . Pour que
=
opérateur
un
~u~C, ~
s eul tel
(~}
est
partie principale d’un opérateur, qui
de plus haut degré.
(x)
=
-~2
P
[
(X’ - X’
(x))
(X~
(x) )] (x)
59 -
-
a’
(x)=P
[(x’-X’(x)j(x)
l~i1 ~n.
a(x=)=Pl(x)
On vérifie facilement que, si
de M, et si
ë a~~
-L2L. (x)-~20142014
5x~
(x)
i,j=l
Donc
n 03A3
si 03B1
sont les
P
et
aij(x)
est une autre carte
locale
on a
a~(x)=
X
(U , x )
03B1i
’
éléments de
sont deux
03B2j (où 03B1i
’
~
P
et
T (M) (x~U) ,
la
quantité
(~)x
03B2j = 03B2, (~)x
ÔX >~ , ~
= 03B1,
composantes de 03B1
(x)
relativement à la carte locale
indépendante de la carte locale (U,X) au voisinage de x .
un champ de 2 - tenseurs contravariants symétriques n sur
les composantes par rapport à la carte locale (U,X) sont les
est
>
(U, X) )
Il existe donc
M
dont
coefficients
a~
.
~
(d
Tï
(x)
xx
Une
tout
x=U.
,
~
simple vérification montre que TT satisfait à la
champ rr satisfaisant à (~) satisfait aussi à :
u(x)
(dx
03C0x
v,
...
dx
,
v)
=
lim - 03BB
-2
relation
e-i 03BB
(~) ,
v(x) P(uei03BB
et que
v)
(x)
.
03BB ~ +~
03BB>o
D’où l’unicité de TT Il
.
d’ordre
est
enfin clair que
n
==
o
si et seulement si P
est
1.
D éfinit ions:
1)
elliptique
si
Un
sa
opérateur du second ordre
partie principale n vérifie
n
x
(o),a))>o
P
sur
la variété
Vju6T*(M),
x
M
est dit
-
2)
donné
sous
On
de type
C1,
(A)
(1)
L2l
et
se
(M)
opérateur
tout
un
existe-t-il
u ~
>+ c u
C1,
fonction mesurable bornée
la forme de Ô
opérateur
une
U
problème
(A) ,
de type
fonction
A
PU
en
g
propose d’étudier le
Soit P
oc
(A)(1),
de type
Riemannienne de classe
une
c
,X
elliptique (voir
est
On
= 0394g u + du
métrique
est une
de classe
opérateur
P
la forme
Pu
où g
ici
appellera
60 -
+
u
H2l
E
champ
de vecteur
opérateur
(4, 12) appendice).
>.4 . Tout
suivant
f
et
C U ’
un
sur
une
(M) telle
oc
dU, X >+
g
X
H2loc
fonction donnée de
que
f
et cette solution est- elle
Nous allons poser
3 . 3.
ce
unique?
problème d’une
_F£R_ME_ BILINEAIRE ASSOCIEE
manière différente:
A L ’OP
ERA TEUR
P
Considérons pour u ~ H2loc (M) et v~C loc
a(u, v)
= - jfiÀ Pu.
=
H)
oc
(M)
H)
oc
(h4) .
T
= -
~
M g(gradg
Sous cette dernière forme
X
vd
a
U>
gradg
(u, v)
Et pour
f
X4
se
une
v>
d
(M) l’expres ion
(il
+ du, À> + cu)
u
~
’g - M(du,
prolonge
fonction
u
É
en une
H§
x>
d
T
~
CU>
vd
g
forme bilinéaire
(h/Ii
’
oc
+
.J
sur
les relations
(1)
(A)
Parce que de tels
le
produit M
u
opérateurs
v d
g, P*u
admettent
=
0394
g
un
opérateur adjoint
u - du,X> + (c -
div
g X)
pour
u
°
61 -
-
"Pu
le
=
f
E
et
problème
(Z)
u
"
"a(u, v) _ (f, v) b~v E
(M)
Hloc
Si
équivalentes.
sont
a(u, v)
telle que
L2loclocE (M) existe-t-il
fonction f ~
une
=
1
~v
(f, v)
nous
montrons que toute solution
u
de
est en
H2l
voici maintenant
(U, X)
une
qui
remarque
C1
Riemannienne de classe
’
M
et q ue
est
fonction
en
puisque
g
com p acte
(3.4)
et
est une
une
’
réalité dans
équivalents.
sont
servira
nous
locale de M , il existe,
est une carte
une
(M) .
Hloc
(2)
(M), nous saurons que les problèmes (1) et 2)
oc
ce que nous ferons au paragraphe
(3.4) .
Si
Considérons
suivant:
Etant donné
1
HIloc (M)"
C’est
(3. 5) :
métrique
constante
KU
> o
telle que l’on ait
n
g
Et si
(grad
(U.),_1
J J-
g
~...,
u,
grad g u) z
,E
KU 1=1
~u 2
(------)
a
p, p,
X~
est le recouvrement ouvert de
k
M
sur
U,
considéré
en
u
E
2
Hloc (M)
(2. 6)
on a :
M g(gradg g
où K
3 . 4 ,
u,
grad g u)
d
T
~
K
g
(03A3
i=1
1, X. (U.) )
J
J
est u1e constante> o .
REGULARITE DES SOLUTIGNâ DU PROBLEME
Théorème 12. - Soit
associée
~H1loc
a
(u, vj
(3. 3)
â
la forme bilinéaire
opérateur
(Mj vérifie l’équation
comme en
a(uo, v) = (f, vj
alors
|u o ~1jJ | 2
u est dans
un
~v~
H2loc (M),
Hll oc (M)
de type
(f
(2)
sur
(~) .
M) H1loc ( M )
H1loc (fonction
X
Si
une
est une fonction donnée de
L2loc ( M ) )
-
Démonstration :
Pour montrer que
d’étudier les restrictions de
u appartient
aux
u
62 il suffit
de définition des cartes
U
ouverts
(M) ,
à
locales et de montrer que
=u~.X~H~(X(U)) .
~
°
Posons
0
=
X
(U)
°
et
considérons
H (Q) H (Q)
g~(x)/y~))>
i,j 03A9
~zi
B(u’,v’)=I: J
(les fonctions
a
pour B les
g~
et
g
inégalités
ont le sens
donné
~
u’
o
une
soit dans
Théorème 13.-
t!v’!j
X d
,
B/
v’ ~
c, f,
U
et
o, Q
de
o
ï+ J (c+f)
C~C
~uo~1,
résulte alors du théorème suivant
Soit ~
un
ouvert de
forme bilinéaire
sur
H
(Q)
x
H (0) .
E
et
B
v’o x d
.
M; le fait que
et
-~- -~Lb xJ
il existe des constantes
E
R~
u
(0)
H2l
(03A9)
On
gra.d g v’ . X ) d Tg )Î
dépendant
0
1)
l’appendice).
constante
oc
dz
~
Vu’ 6
:
D
B(u,v)=ij=l~ f a~
une
-L-~zJ
suivantes
=t f
est
4. 8 de
n"
au
K~j tu’)~ ~
j B (u’~, v’) jÎ = jÎ J g(grad g u~,
g~
-
où D
~
B(uBu’) ~
~
la forme bilinéaire
x
sur
dx
On suppose
B(E ~ o)
telles que
(Inégalité
de
Garding)
T )>
-
2)
Alors, si
a~
Les coefficients
une
pour tout v6
fonction
(0) (D
C~c
c
sont de classe
H1(03A9)
~
u
63 -
C
|B(uo,v)| ~
satisfait à
constante) elle
est une
dans Q .
~v~o, 03A9
(0).
H2loc
loc
D
est dans
Démonstration :
1) Considérons
deux ouverts
et une fonction
égale
veut montrer que
théorème 7
(l
=
1,
...
,
de
n)
sont
0
1
dans 0’
ou encore
que
Q
tels que Q’
et à
zéro hors de Q" ;
cp
~ H2 (Pt .
u
h
h
H1(03A9)
petit dans
assez
uniformément bornées
d(n’,CQ) uh =
et que les
ne
Pour tout v ~ C
c
(Q)
aij
~ v ~zi (03C6~ uo ~zj
d’ordre h de
0" ;;
"
fixe,
et on
ste"
et
désignera
qui pourra
intégrations
choisissons
dz
+
03B4lh (~03C6 ~ zj uo)]
+ 03A3 n i,j=1 03A9 03B4lh (~03C6 ~ zj
~v ~zi 03B4~h(aij03C6~uo ~ zj) dz
03A3 n i,j=1 03A9 ~v zi03C6(z+hei)~uo zj( +
Toutes les
03B4lh (03C6uo)
on a
= 03A3 n i, j=1 03A9
= 03A3 n i,j=1 03A9
le
quantités
sera
L’expression
de 0,Q’, cp, aij,
a~-~2014 5~h ( ~?~))
~
J
03A9
~zi
~zj
i,j=1
B(v,,u,)=
-
que
on
°
03B4lh (03C6 uo).
quelconque
dépendant
ligne à l’autre.
constante
varier d’une
D’après
il suffit de montrer que les fonctions
Dans la suite de cette démonstration l’indice l
posera, pour
une
(1.4) ,
sont pour
’’h ~ ~~’ ~
2)
(Q)
u
à
Q’ et 03A9" de
h ei)
ont
un
03B4lh(aij)
en
réalité lieu dans
ho
> o
tel que
03A9"2h ~ 03A9,
un
dz
uo) aij ~v ~zi
dz
voisinage
0"
l’on
o
dz
a :
-
~v ~zi 03B4lh (aij 03C6~ uo ~zj
03A9
) dz = -03A9 03B4l-h(~v ~zi)aij03C6~uo ~zj
aij ~ uo ~ zj
= 03A903B4l-h (v) ~03C6 ~zi
Comme les fonctions
aij (z)
hho
03B4hl
,
ce
aij
dz
dz
~ ~zi ( 03C603B4l-hv) aij ~ uo ~ zj
- 03A9
sont dans
C1(03A9),
uniformément bornées
sont
les
qui entraine
inégalités
les fonctions
en
et en
z
aij
h pour
~v~
~ este
~
~
1,03A9
dz
(z) ,
et
z~03A9"ho
et
,
suivantes :
03A9 03B4lh (~ 03C6 ~ zjuo) aij ~v ~zi dz |~cste
1) |
64 -
°
03B4lh (~03C6 ~zj uo)~o,03A9"h
v~1 ,03A9 ~uo~1 ,03A9 (d’après le lemme 2
de
(1.4)).
~
tf(
3)
’n
’"
~ z1
"
~ zJ
’
°
’
t)
et finalement
!
on
(v~u~j ~
B
H (0)
6~ u~) !~
v.
La fonction
de fonctions de
(l. l) ), l’inégalité
l ’on
E
!t
’
~~
obtient:
~(D+
3)
’’
() u~
+ este
t!u~!!~ ~) .
u. nulle hors
C~ (0) (voir la
ci-dessus est donc
.
d’un compact de Q
est limite
dans
remarque suivant le théorème
encore
valable pour
v
=
u, .
.
2
Et
a::
u~t)~
-~
este
(D
+
t!uj!~~)
°
de
-
65 -
ou encore:
!)u~!~ ~
E
este
(D+
t!u~~~)
(car
et
donc
c. q. f. d.
3.5. EXISTENCE DES SOLUTIONS
POUR LE PROBLEME
Nous commençons par
Théorème 14. -
a(u, v)
et
une
(Théorème
de Lax
un
opérateur
Démonstration :
v)
que
(03B1
A’u,
M
de H
v-~ ;
~
sur
==
u, v~>
u
-*
(H).
Soit A
H
unique
V
il existe
u,
de
espace de Hilbert
>
de
H
telle que
M
norme
(o~
v
un
o)
sur
H
tel que
6 H
élément A’
unique tel que
A’u est linéaire et de norme plus petite
tjuji.jjvjj). Elle est de plus injective
)a(u,v)j ~M
|a(u,u)| ~ M JtA’ufj . jjujj) .
A’
sur
Soit H
Il u ~
> o~
~ H ,
l’application u
Pour tout
=
~u~2
Milgram)
continu A
a(Au, v)
=
théorème élémentaire.
forme bilinéaire continue
j a(u,u) j1
Il existe alors
un
(2)
l’application
un
A’1 est donc
une
inverse de A’
u
bijection continue
sur A’(H) . On a
66 -
-
si
w ~A’(H)
et
[
c~
A
est
norme ~ ~
donc continue de
continue de
A’(H)
!A’v,
Q"
1
)(Aw,u>j[
=
sur
et se
H . Mais H
=
jjwj! jju))
=w,u:>
prolonge
en
une
.
application
/r’(H) (car A’u, v>=
o
~u~H
~
o)
=
c.
Considérons
Théorème
14. -
différentiel
elliptique
P
sur une
de type
q. f. d.
variété M compacte
un
opérateur
(A)
S
On suppose
qu’il existe
une
B
constante
Alors pour toute fonction
l’équation
~oc
2014
telle que
> o
Pu
=
f
div X-c>B
seule
a une et une
(M) .
°
Démonstration :
La forme bilinéaire
(3. 3) satisfait évidemment
a
sur
H1loc
(NI)
en
à la condition
|a(u,v)|
On
(u, v) définie
a
~ cste ~u~1,M ~v~1,M
d’autre part
a(u,u)
= f M g(grad g u,
grad g u)
dT - °
JM g(grad
grad ° u)
d
= M g(grad g u,
grad g u)
d
=
(utiliser
la relation div
g
(u
T-°
udu, X> d
g
T
g
M
~-j~ 2 M du2, X")d J ~
u2
+ J (J- 2
div
T
d
X) = X,
M
du ~>+ u
X -
g
div
g
c)
X)
d
T
g
d
g
>o.
67-
-
et
a(u,u) ~ K 03A3 k j=1 |u~-1j |21,~j(Uj)
(K
+ 03B o k 03A3 k j=1 |u ~-1j|2o, ~j (Uj) ~ 03B1 ~u~21,
M
> 0 et
Et il suffit d’utiliser le théorème de Lax
Milgram
pour conclure.
3. 6 . INDICE D UN OPERATEUR DIFFERENTIEL DE TYPE
Définitions;
Soit
E
application linéaire
Ker A
et
de
Coker A
F
et
rateur à
un
On
opérateur
a
Théorème
à
un
à indice
et
alors pour les
indice,
rateur
( 1)
P -
i(A
+
J)
1 est
indice si
finies ; l’indice de A
est
=
i
est
alors
est
(A) .
(A)
le théorème
différentiel de type
(A)
est
nul, (en
tant
qu’application
de
On peut
démonstration,
l’injection canonique
opé-
un
A + J
un
de
suivant;
opérateur
(M)
toujours trouver une constante B telle
B 1 ~~ satisfasse aux hypothèses du théorème 14, et
On trouvera la
une
différentiels de type
dans
que
l’opé-
donc telle que
exemple dans l’exposé n° 12 du
Normale Supérieure, 16° année 1963/64.
par
Séminaire Henri Cartan, Ecole
(2)
un
deux espaces de
F
opérateur
et son indice est
Démonstration :
Il.
et
Banach, si A
opérateur compact de E dans F,
et
opérateurs
15. - Tout
!R ,
dim Ker A - dim Coker Si .
J
et
sur
F ; l’opérateur A admet
sont de dimensions
Soient E
indice,
dans
E
i(A) ~
Propriété :
deux espaces vectoriels
(A)
H
loc
(M)
dans
L
loc
(M) .
-
bijection de H2 (M)
~
étant compact on a i (P)
=o.
P - B 1
Tout
L~
soit
(NI)
L2
sur
une
opérateur
68 -
(M) . L’opérateur I
~°~
(A) injectif (resp, surjectif )
bijectif.
de type
est donc
H
de
(M)
dans
~°~
loc
Remarque :
l) Soit o03BB~ 1,
riennes
sur
M . Un
applique C2,03BB
s’il
(M)
dans
De
un
C~’
plus si M
point x ~M
opérateur
,
P
est
de
o
en un
type (A) .
point,
établit d’abord que
C~’
P
puis
Le résultat obtenu
P est
P*
est
au
(A)
un
est dit de
opérateur
(Si)
de type
C~
et
espaces
C ’
de
sur
C~’
höldé-
Co, 03BB
classe
P 1 est ~ o , et strictement
=
une
les espaces de fonctions
et de
est
nul.
négative
.
variété M connexe, compacte et P
De la relation
=
B/u,v ~
ï
et
P
’~
sont de
classe
C~
(M) sur
bijection de H2loc
une inj ection donc une bijection
(M) dans
injection de
une
est
une
C
est
aux
bijection
une
déduit facilement que si P
et
(M) .
est connexe et si
ï
on
Co,03BB
que si
3) Considérons donc
un
de type
indice par rapport
son
(M)
P
opérateur
2) On peut établir
classe
Cp,03BB
et
théorème 14
H.
est
H~ (M)
et si
L2lo
de
c
P 1 ~
o
(M) (on
dans
(M) ).
donc loin d’être satisfaisant.
en
-
4 .
69 -
APPENDICE
On
ici certaines notions fondamentales
rappelle
C
~~ . 1. VARIETES D E C LASS E
topologique séparé ; une carte locale
dimension n est un couple (U , x) où U est un ouvert de ~~
homéomorphisme de U sur un ouvert de CRn . Pour chaque x
Soit
de
un
les variétés.
sur
un
(X1(x)
note P
par
espace
X(x)
les coordonnées de
)._.
i-1, ... , n
dans
de variété
et
x
E U
on
.
co
Un atlas de variété de classe
un
(X~
de cartes locales
a) les
ca rtes locales de
ensemble
sur
C~
et de
C
dimension
n
M ,
est
tel que :
ivI
~,
recouvrent
couple (U, X) , (U, X) d’éléments de OC
sur A U
U~Û ~ Ø l ’application ~ o ~-1 de
C - difféomorphisme.
b) pour
sur
tout
tels que
fl Û)
est un
co
Deux atlas
si
C~
U
C~
est un
(3L
et
03B1’de
cla sse
atla s de classe C
C~
sur
sont dits
M
sur
C~ - équivalents
M . Un atlas de classe C
ça
co
M
est dit
complet
sur
.
s’il contient tout atla s de classe
C
qui
lui est C -
équi-
val en t.
Une variété de classe
où
est un espace
complet
de classe
topologique
C~
sur
(ou
(M)
4 . 2. ESPACES Cploc
On
des fonctions
carte locale
désigne
par Cploc
f à valeurs
(’i3, X)
de
C
et de dimension
n
est
un
à base dénombrable d’ouverts
couple ~M~ ~, )
et 03B1 un atlas
M .
encore Cp(M) )
(M) (ou Cp(M))
réelles, définies
on
ait
l’espace
sur
M
et
vectoriel
(sur CR.)
telles que pour toute
-
il)
o-1 E
f
Pour
f
qu’une fonction
relation ait lieu pour
70 -
à
appartienne
(M)
il suffit que cette
ensemble de cartes locales dont les ouverts
un
recouvrent
M.
4. 3. PARTITION DE L’’ UNIT’E SUR LA VARIETE M .
.
.
Soit
R
ouverts. Il existe
(i)
pour
recouvrement
un
localement fini de
famille (03C6U)U~
une
est
ensemble fermé de M
contenu dans
= 1
(ii) S CR
de fonctions de
R
chaque
par des ensembles
positive,
(M)
C~
et nulle en dehors d’un sous
U ,
pour tout
,
.
E
La famille
au
telles que :
appelée partition
est
de l’unité
sur
M
subordonnée
recouvrement (
Si la variété
M
est
un
espace compact la condition
(i) entraine
4 , 4 , ESPACES TANGENTS A M.
On
uB
désigne,
des germes de
chaque
fonctions numériques
pour
à la variété
l’espace tangent
dual
où i
(algébrique)
de
Gx(M)
par
(M) l’espace vectoriel
Cl au voisinage de
de classe
au
engendré
Gx
point
1, , , , > n
et
f -~ a f
cartes Xi
par les formes
où
les formes linéaires
f
1
On devrait écrire
fU
o
~
~ f ~ ~i
.où
(x)
fU
.
x ;
est le sous-espace du
x
(U,x) décrit l’ensemble des
au voisinage de x (x E U) . L’espace vectoriel
(sur
R), et, pour chaque carte locale (U, X) de M
=
sur
est la
(1 ~
i ~
est de
au
locales de M
dimension
voisinage
n)
restriction de f à U
de
n
x(x E U) ,
-
constituent
Tout
base de
une
élément §
de
Tx
(M) ;
T
x
71 -
(~ ~ ~i)x,
formes sont notées
ces
(M) peut donc
être
exprimé
de
i - n .
1
façon unique
sous
le
forme
n 03A3 03BEi ~ f
f ~ 03BE f =
(1 s
n)
sont les
(x)
a X1
i=l
relativement à la carte locale
composantes
(U~ ~ ).
.L’espace vectoriel T*x (M) , dual de l’espace
l’espace cotangent en x à M ; on désigne par (dx xi)
1
(M)
Tx
est
~l~n
appelé
la base duale
de
i
4. 5. DIFFERENTIELLE .
Soit f
en
x, la forme
une
fonction dans
linéaire
dx
=
(M) ,
T x (M)
sur
f
C1
03A3 n i=1
qu’elle ’ s’étend
à
de f
suivante :
-(~ f ~~i)x
dx
On montre facilement que cette définition
choisie et
appelle différentielle
on
Xi.
ne
dépend
pas de la carte locale
Hl loc (M) .
4 . 6 . CHAMP DE VECTEUR.
champ de
chaque x E M .
Un
pour
Le
champ
vecteur
~~
de vecteur X
sur
M
est
une
où
famille
est dit de classe
CP(
o s
p ~ p)
si
XE
ses com-
posantes
Xi(x) = [dx ~i, X
x]
par rapport à toutes les cartes locales
(U, X)
cP
de classe
C~,
sont de classe
72 -
-
4 7. UN CHAMP EE
TENSEURS COVARIANT
r
.
(resp. CONTRAVARIANT)
~= ( ~ ) ~ ~A où pour chaque x E
est une
x
r
^~
forme r - linéaire sur [ T (M)] r (resp. [T*
(M)]r). Les composantes
x
x
du r-tenseurs Ô par rapport â le, carte locale
(U,X) de i~,~ sont les fonctions numériques (définies sur U)
M
sur
est une
famille
i1,...,i_ = (~ ~ ~1l,
,~ ~ ~lr)
est covariant
si
r
et
.
1l,. .,irll,...,ir
Le
de
M
r -
i
(d ~
!
est
tenseur
r)
Cp
de classe
de
les composantes
l, d ~i
sont des
si
est
contravariant.
si pour toute carte locale
(U, X)
Cp(U).
fonctions de
4 , 8. UNE METRIQUE RIEMANNIENNE
sur M
est
un
champ
de
2-tenseur covariant g
telle que, pour tout x E M, la forme bilinéaire
soit
symétrique
et
définie
Si
(U, X )
est
une
=
o ~ g
x
gX(~l,
~)
( ~, ~) ~
carte localc de .M ,
x
gij (x)
g~
(x)
(03BE, ~)
~
gx
(03BE, ~)
=
=
gij
(x) = gx
det [
g~
o
~,~
E
désigne
par
(xj )
sur
T
x
(iVlj
~~ T
x
(M)
Tx
( M)
.
on note
a
a
( (~ ~i)x , (~ ~j)x)
(x)],
1J
et on
C° ,
.positive:
gx ( ~, ~)
~~
M de classe
sur
le, matrice inverse de
(x) ) .
(g..
iJ
x~U.
-
Si g et
d partout
>
sont deux
g
C (M~ ,
o , d E
de vecteurs de
Tx
det [x
Si g
4.9.
.
de Radon
(U,x)
de
est
une
et
Les
mesures
fd
,
Soit g
f de
f - g rad
g
telle que ::
.
une
(x)
une
à
toute car te locale
contenu dans
support
on
ait
différentes
aux
métriques
équivalentes.
métrique
Riemannienne
(U, X) est une carte locale
grad g f sont données par ::
d ~i,
de
métri ue
Ni Il existe
sur
.
champs
fE
,
X
et si
grad f > = 03A3 n k=1
Cette définition s’étend facilement à
de
vecteurs,
champ
,
application
une
et
une
seule,
de vecteur de classe
les composantes de
gki ~f ~ ~k
H1loc (M)
Riemannienne de classe
C1
sur
application linéaire
M, il existe
« -’ div
et une seule de l’ensemble des
go
1
de vecteurs de clas s e C dans C (M) telle que :
une
U
F (z) ) dz
dans 1’ espace des
une
n
une mesure
,
seule, telle que pour
~
Si
Soit g
M, il existe
sur
T- S J
,
.
fonction
].
’
f ~ Co (NI)
g(grad g f, X) = df, X> .
4. Il .
une
suite ~ , ~ , ... , ~
et toute
(03BEi , 03BEj)
Riemanniennes associées
Riemanniennes sont toutes
4 . 10.
M, et
toute fonction
JM
d
Riemannienne
métrique
sur
T
il existe
ait ::
(03BEi, 03BEj) ] =
positive
M
on
métriques Riemanniennes,
telle que pour tou’c x E M
’
(M)
73 -
’
champs
X de classe
C1
C°,
-
2) j ’M divg X d
Si
(U, X)
est
div
(OÙ
,
Xi
12 ,
*
d
fE
C~
(NI),
x>
~i, X
on
supp
C2
(opérateur
(M)
dans
de
métrique
une
f
=
div
g
C°(A4) .
est continu
g~ xi> x>
Riemannienne de classe C1,
~f
*
Si
(U, x)
g)
est
une
application linéaire
est une carte locale de
NI
Ùig~ 1, É jXl à ~ x~ . (/l gé à ~ xJ ~. )
lorsqu’on
0
i, j=l
munit
Xl
0
Xl
C2(M)
pout
’M ~l ~g
égalité
toute f1~
C2(M), f2~C2(M)
~l’
~g ~ ~
se
prolonge
aux
on a sur
,
fE
fonctions
~2~ ~ ~g
f2~H2loc (M) .
de
U
C~
(resp. C°(M) ) des topologies
Se prolonge donc Par continuité
4 . 13 . FORMULE DE GREEN
et cette
pour tout
(grad g f)
P’r H2loc M> (resp. L2loc(M)). 0394g
a
C1.
on a
Beltrami de
Laplace
g
on
de classe
po se:
Ô
Ô
X
>)
g
g
M,
.
Ô
A
champ
(X) .
É à
i
=
toujours
g est
C
carte locale de
une
x
pour tout
o
g
supp.(divg X)
3)
=
T
74 -
(M)
induites
à
H2loc(M).