TD - Université de Rennes 1

Universit´e de Rennes 1 Licence 1`ere ann´ee
UFR Math´ematiques module A04
Feuille de TD n◦4Ann´ee -
Exercice n◦1
Soit net pdeux entiers relatifs. Montrer que np est pair ou n2−p2est multiple de 4.
Exercice n◦2
Soit xun r´eel. Montrer les implications suivantes :
1) |x−2|<1 =⇒x3−3x+ 6
x2−16 <6
2) x3= 2 =⇒x < 2.
Exercice n◦3
R´esoudre sur Rl’´equation x=√2−x.
Exercice n◦4
Soit A,Bet Cdes sous-ensembles d’un ensemble E. (Les questions sont ind´ependantes)
1) Montrer que A⊂B=⇒Bc⊂Ac
2) Montrer que (A∩B⊂A∩C et A ∪B⊂A∪C) =⇒B⊂C.
3) Montrer que A∩Bc=A∩C=⇒A⊂Bc∪Cc.
4) Montrer que A⊂B⇐⇒ A∩B=A
5) Montrer que A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
6) Montrer que A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Exercice n◦5
Soit Eun ensemble et A, B et Ctrois sous-ensembles de E.
1) On suppose que A∪B∪C= (A\B)∪(B\C)∪(C\A).
Montrer, en utilisant un raisonnement par l’absurde, que A∩B∩C=∅.
2) Montrer l’´equivalence
A∪B∪C= (A\B)∪(B\C)∪(C\A)⇐⇒ A∩B∩C=∅.
Exercice n◦6
Dans le plan muni d’un rep`ere, d´eterminer et repr´esenter l’ensemble des points M(x, y) dont
les coordonn´ees v´erifient |x|+|y−1|= 2.
Exercice n◦7
1) R´esoudre dans Rl’in´equation √x−1≥x−4.
2) R´esoudre dans Rl’in´equation √x2−5x+ 6 ≤2x−3.

Exercice n◦8
Les implications suivantes sont-elles vraies ?
1) ∀x∈R, x < 1 =⇒x≤1
2) ∀x∈R, x < 1 =⇒x < 3
3) ∀x∈R, x < 1 =⇒2x+ 3 <4
4) ∀x∈R, x2<4 =⇒x≤3
5) ∀x∈R, x < π =⇒cos x+ sin x < 2
6) ∀(x, y)∈R2,(x < 2 et y < 3) =⇒2x+ 5y < 21
7) ∀(x, y)∈R2,(xy 6= 0 et x≤y) =⇒1
x≥1 y
8) ∀(x, y)∈R2,(xy > 0 et x < y) =⇒1
x>1 y
Exercice n◦9
Soit Eun ensemble. La proposition suivante est-elle vraie ?
∀(A, B)∈ P(E)× P(E), A 6⊂ B=⇒B⊂A.
Exercice n◦10
Montrer que, ∀n∈N,n≥4 =⇒2n< n!.
Exercice n◦11
On consid`ere la suite (un) d´efinie par u1= 1 et un+1 =√2 + un.
1) Montrer que, pour tout n∈N∗, 0 < un< un+1 <2. En d´eduire que (un)nest
convergente.
2-a) Montrer que, pour tout entier n≥1, 2 −un+1 =2−un
√un+ 2 + 2.
b) En d´eduire que 0 <2−un+1 <1
2(2 −un), puis que 0 <2−un+1 ≤1 2n
.Quelle est
la limite de (un)n?
Exercice n◦12
1) Soit n≥1 un entier naturel. Calculer S1=
n
X
i=1
1, S2=
n
X
i=1
i, S3=
n
X
i=1
net plus
g´en´eralement S4=
n
X
i=1
(a+li) o`u a∈Ret l∈R.
Calculer S5=
n
X
i=1
aqio`u a∈Ret q∈R.
2) Trouver deux r´eels aet btels que, pour tout entier naturel k,
1
k(k+ 1) =a k+b k+ 1·En d´eduire Sp=
p
X
k=1
1
k(k+ 1) pour tout entier naturel p≥1.

Exercice n◦13
Pour tout entier naturel n, on pose Sn=
n
X
k=0
(−1)k(2k+ 1) et An= (−1)nSn.
1) Calculer A0,A1,A2et A3.
2) Proposer une valeur pour Anet prouver votre affirmation par r´ecurrence.
Exercice n◦14
Montrer que tout ensemble de n´el´ements a 2nsous-ensembles.
Plus ludique...
Exercice n◦15
Soit al’ˆage du capitaine McInfo en 2004 et p, q et rles trois propositions :
p: (a= 40 ans) q: (a= 50 ans) r: (a= 60 ans).
On note P1, P2et P3les propositions suivantes :
P1: (p=⇒q)
P2: (qou r) et (non p)
P3: (non r) =⇒(non q)
Peut-on avoir P1et P2et P3? Montrer qu’il n’y a qu’une solution possible. Quel est l’ˆage
du capitaine dans ce cas ? Donner une justification d´etaill´ee.
Exercice n◦16
Fernand est un ´etudiant de A04 qui doit se rendre journellement `a l’universit´e.
On consid`ere les propositions suivantes :
(P1) Si Fernand a une voiture, soit il n’aime pas prendre l’autobus, soit il habite loin d’une
ligne de bus.
(P2) S’il n’a pas de bicyclette, alors il a n´ecessairement une voiture.
(P3) S’il craint la marche `a pied et s’il habite loin d’une ligne de bus, alors il a une bicyclette.
(P4) S’il n’a pas de bicyclette, alors il craint la marche `a pied.
(P5) S’il n’aime pas prendre l’autobus, alors il habite loin d’une ligne de bus.
1) Formaliser la proposition P2, puis les propositions P1, (non P2), P3,P4et P5en utilisant
les notations suivantes :
V : “ Fernand a une voiture. ”
B : “ Fernand a une bicyclette. ”
A : “ Fernand aime prendre l’autobus. ”
P : “ Fernand craint la marche `a pied. ”
L : “ Fernand habite loin d’une ligne de bus. ”
On suppose que les propositions (non P2), P3,P4et P5sont vraies.
2) Que peut-on en d´eduire pour la proposition P1? Fernand a-t-il une voiture ?
3) Montrer que Fernand n’habite pas loin d’une ligne de bus.
4) Fernand aime-t-il prendre l’autobus ?
5) Donner alors les valeurs de v´erit´e des propositions V, B, A, P et Let v´erifier que les
propositions (non P2), P3, P4et P5sont vraies.

Exercice n◦17
Soit x, y et ztrois r´eels parmi lesquels il y a z´ero et deux r´eels non nuls de signe contraire.
On suppose que les trois implications suivantes sont vraies :
P1:x= 0 ⇒y > 0
P2:x > 0⇒y < 0
P3:y6= 0 ⇒z > 0.
Comparer x, y et z.
Exercice n◦18
Extraits des revues “Sciences et avenir” et “Tangente”.
But du jeu : attribuer `a chacune des cases un nombre entier naturel.
R`egle du jeu : respecter les informations figurant dans la grille.
D´efinition : deux cases sont voisines si elles ont un cˆot´e commun.
Grille 1
Lorsqu’une
case ne vaut
pas 0,
elle vaut 1
Cette case
n’a pas la
plus petite
valeur
Plus de la
moiti´e des
cases ont
une valeur
nulle
Grille 2
Cette case
n’est pas la
seule `a avoir
la plus grande
valeur
A chaque fois
que l’on prend
deux cases au
hasard, l’une
d’elles vaut 1
Cette case
ne vaut
pas 1
Grille 3
Cette case
n’est pas la
seule `a avoir
la plus grande
valeur
Cette case
est la seule
`a valoir 5
Cette case
est la seule
`a valoir
ce qu’elle vaut
Lorsqu’une
case
ne vaut pas 10,
c’est qu’elle
vaut 5 ou 15
Grille 4
Alors qu’au
moins une
case vaut 5,
au moins
deux valent 7
Cette case
vaut
autant que
l’une de ses
voisines
Cette case
ne vaut
aucune
de ses
voisines
Cette case
vaut autant
qu’une autre