TD - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1
UFR Mathématiques
Feuille de TD n◦ 4
Licence 1ère année
module A04
Année -
Exercice n◦ 1
Soit n et p deux entiers relatifs. Montrer que np est pair ou n2 − p2 est multiple de 4.
Exercice n◦ 2
Soit x un réel. Montrer les implications suivantes :
x3 − 3x + 6
<6
x2 − 16
2) x3 = 2 =⇒ x < 2.
1) |x − 2| < 1 =⇒
Exercice n◦ 3
Résoudre sur R l’équation x =
√
2 − x.
Exercice n◦ 4
Soit A, B et C des sous-ensembles d’un ensemble E. (Les questions sont indépendantes)
1) Montrer que A ⊂ B =⇒ B c ⊂ Ac
2) Montrer que (A ∩ B ⊂ A ∩ C et A ∪ B ⊂ A ∪ C) =⇒ B ⊂ C.
3) Montrer que A ∩ B c = A ∩ C =⇒ A ⊂ B c ∪ C c .
4) Montrer que A ⊂ B ⇐⇒ A ∩ B = A
5) Montrer que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
6) Montrer que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Exercice n◦ 5
Soit E un ensemble et A, B et C trois sous-ensembles de E.
1) On suppose que A ∪ B ∪ C = (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A).
Montrer, en utilisant un raisonnement par l’absurde, que A ∩ B ∩ C = ∅.
2) Montrer l’équivalence
A ∪ B ∪ C = (A \ B) ∪ (B \ C) ∪ (C \ A) ⇐⇒ A ∩ B ∩ C = ∅.
Exercice n◦ 6
Dans le plan muni d’un repère, déterminer et représenter l’ensemble des points M (x, y) dont
les coordonnées vérifient |x| + |y − 1| = 2.
Exercice n◦ 7
1) Résoudre dans R l’inéquation
2) Résoudre dans R l’inéquation
√
√
x − 1 ≥ x − 4.
x2 − 5x + 6 ≤ 2x − 3.
Exercice n◦ 8
Les implications suivantes sont-elles vraies ?
1) ∀x ∈ R,
2) ∀x ∈ R,
x < 1 =⇒ x ≤ 1
x < 1 =⇒ x < 3
3) ∀x ∈ R,
x < 1 =⇒ 2x + 3 < 4
5) ∀x ∈ R,
x < π =⇒ cos x + sin x < 2
4) ∀x ∈ R,
x2 < 4 =⇒ x ≤ 3
6) ∀(x, y) ∈ R2 ,
7) ∀(x, y) ∈ R2 ,
8) ∀(x, y) ∈ R2 ,
(x < 2 et y < 3) =⇒ 2x + 5y < 21
1
1
(xy 6= 0 et x ≤ y) =⇒ ≥
x
y
1
1
(xy > 0 et x < y) =⇒ >
x
y
Exercice n◦ 9
Soit E un ensemble. La proposition suivante est-elle vraie ?
∀(A, B) ∈ P(E) × P(E),
A 6⊂ B =⇒ B ⊂ A.
Exercice n◦ 10
Montrer que, ∀n ∈ N, n ≥ 4 =⇒ 2n < n! .
Exercice n◦ 11
On considère la suite (un ) définie par u1 = 1 et un+1 =
√
2 + un .
1) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , 0 < un < un+1 < 2. En déduire que (un )n est
convergente.
2 − un
2-a) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, 2 − un+1 = √
.
un + 2 + 2
n
1
1
. Quelle est
b) En déduire que 0 < 2 − un+1 < (2 − un ), puis que 0 < 2 − un+1 ≤
2
2
la limite de (un )n ?
Exercice n◦ 12
1) Soit n ≥ 1 un entier naturel. Calculer S1 =
généralement S4 =
n
X
i=1
Calculer S5 =
n
X
i=1
n
X
i=1
1, S2 =
n
X
i=1
i, S3 =
n
X
n et plus
i=1
(a + li) où a ∈ R et l ∈ R.
aq i où a ∈ R et q ∈ R.
2) Trouver deux réels a et b tels que, pour tout entier naturel k,
p
X
1
a
b
1
= +
· En déduire Sp =
pour tout entier naturel p ≥ 1.
k(k + 1)
k
k+1
k(k + 1)
k=1
Exercice n◦ 13
Pour tout entier naturel n, on pose Sn =
n
X
(−1)k (2k + 1) et An = (−1)n Sn .
k=0
1) Calculer A0 , A1 , A2 et A3 .
2) Proposer une valeur pour An et prouver votre affirmation par récurrence.
Exercice n◦ 14
Montrer que tout ensemble de n éléments a 2n sous-ensembles.
Plus ludique. . .
Exercice n◦ 15
Soit a l’âge du capitaine McInfo en 2004 et p, q et r les trois propositions :
p : (a = 40 ans)
q : (a = 50 ans)
r : (a = 60 ans).
On note P1 , P2 et P3 les propositions suivantes :
P1 : (p =⇒ q)
P2 : (q ou r) et (non p)
P3 : (non r) =⇒ (non q)
Peut-on avoir P1 et P2 et P3 ? Montrer qu’il n’y a qu’une solution possible. Quel est l’âge
du capitaine dans ce cas ? Donner une justification détaillée.
Exercice n◦ 16
Fernand est un étudiant de A04 qui doit se rendre journellement à l’université.
On considère les propositions suivantes :
(P1 ) Si Fernand a une voiture, soit il n’aime pas prendre l’autobus, soit il habite loin d’une
ligne de bus.
(P2 ) S’il n’a pas de bicyclette, alors il a nécessairement une voiture.
(P3 ) S’il craint la marche à pied et s’il habite loin d’une ligne de bus, alors il a une bicyclette.
(P4 ) S’il n’a pas de bicyclette, alors il craint la marche à pied.
(P5 ) S’il n’aime pas prendre l’autobus, alors il habite loin d’une ligne de bus.
1) Formaliser la proposition P2 , puis les propositions P1 , (non P2 ), P3 , P4 et P5 en utilisant
les notations suivantes :
V : “ Fernand a une voiture. ”
B : “ Fernand a une bicyclette. ”
A : “ Fernand aime prendre l’autobus. ”
P : “ Fernand craint la marche à pied. ”
L : “ Fernand habite loin d’une ligne de bus. ”
On suppose que les propositions (non P2 ), P3 , P4 et P5 sont vraies.
2) Que peut-on en déduire pour la proposition P1 ? Fernand a-t-il une voiture ?
3) Montrer que Fernand n’habite pas loin d’une ligne de bus.
4) Fernand aime-t-il prendre l’autobus ?
5) Donner alors les valeurs de vérité des propositions V, B, A, P et L et vérifier que les
propositions (non P2 ), P3 , P4 et P5 sont vraies.
Exercice n◦ 17
Soit x, y et z trois réels parmi lesquels il y a zéro et deux réels non nuls de signe contraire.
On suppose que les trois implications suivantes sont vraies :
P1 : x = 0 ⇒ y > 0
P2 : x > 0 ⇒ y < 0
P3 : y 6= 0 ⇒ z > 0.
Comparer x, y et z.
Exercice n◦ 18
Extraits des revues “Sciences et avenir” et “Tangente”.
But du jeu : attribuer à chacune des cases un nombre entier naturel.
Règle du jeu : respecter les informations figurant dans la grille.
Définition : deux cases sont voisines si elles ont un côté commun.
Grille 1
Cette case
n’a pas la
plus petite
valeur
Lorsqu’une
case ne vaut
pas 0,
elle vaut 1
Plus de la
moitié des
cases ont
une valeur
nulle
Grille 2
Cette case
n’est pas la
seule à avoir
la plus grande
valeur
A chaque fois
que l’on prend
deux cases au
hasard, l’une
d’elles vaut 1
Cette case
ne vaut
pas 1
Grille 3
Cette case
n’est pas la
seule à avoir
la plus grande
valeur
Cette case
est la seule
à valoir 5
Cette case
est la seule
à valoir
ce qu’elle vaut
Lorsqu’une
case
ne vaut pas 10,
c’est qu’elle
vaut 5 ou 15
Grille 4
Alors qu’au
moins une
case vaut 5,
au moins
deux valent 7
Cette case
vaut
autant que
l’une de ses
voisines
Cette case
ne vaut
aucune
de ses
voisines
Cette case
vaut autant
qu’une autre