IE2_2012

PEIP Polytech Paris-Sud
2011-2012
Interrogation écrite de Mécanique n°2
Jeudi 29 Mars 2012. Durée 1h30
Les documents sont interdits. Les calculatrices sont autorisées.
Les exercices sont indépendants.
Question de cours (2pts).
1- Rappeler le théorème de l’énergie cinétique.
2- Rappeler le théorème du moment cinétique.
Exercice 1 :Pendule dans un champ électrique (8pts).
On considère un pendule de longueur  et de masse négligeable, attaché en O, au bout duquel se trouve
au point M, une masse ponctuelle chargée de masse m et de charge électrique q>0. L’angle entre la
verticale et le fil sera noté θ. On considérera que le pendule oscille dans le plan Oxy avec
défini
vers le haut et
un vecteur unitaire horizontal. On peut alors définir un repère Oxyz, muni des trois
vecteurs de base
. Dans cet exercice, il est préférable d’utiliser les coordonnées
cylindriques en utilisant le repère
.
A. Force électrique nulle (
):
1- Donner l’expression du vecteur
en fonction de l et θ en utilisant les coordonnées polaires.
2- En l’absence de force électrique, quelles sont les forces qui s’appliquent sur la masse ? On ne
cherchera pas forcément à calculer de manière explicite leurs composantes selon les vecteurs
de base.
3- Déterminer le moment par rapport à O de chacune des forces en présence.
4- Montrer que le moment cinétique de la masse par rapport au point O en fonction de m, l, θ et
des vecteurs de base s’écrit :
.
5- En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l’équation du mouvement du
pendule simple.
B. Force électrique constante (
):
1- Exprimer le vecteur
en fonction des vecteurs de base
.. Déterminer l’expression du
moment par rapport à O de la force électrique s’appliquant sur la masse en fonction de q, E0, l,
θ et des vecteurs de base.
2- En utilisant le théorème du moment cinétique, montrez que la nouvelle équation du
mouvement s’écrit :
3- En déduire la valeur de l’angle d’inclinaison du pendule, θm, à l’équilibre (lorsque est donc
indépendant du temps).
4- En supposant que le pendule est écarté d’un angle θ0 petit par rapport à θm qui est lui-même
petit, sachant que
,
et
, montrer que le mouvement est
périodique de période T autour de θm.
5- Déterminer numériquement T et θm pour g=10m.s-2, l=10 cm, q=10-3 C, m=100g et E=102V/m.
Exercice 2 : Parcours de minigolf (14pts)
Un enfant suit un parcours de minigolf. Pour gagner, il faut qu’il fasse les deux derniers trous, chacun
en 1 coup. Le but est donc de calculer l’énergie initiale nécessaire (et donc la vitesse initiale) pour
introduire la balle de masse m=50g dans le trou en 1 fois. Mais attention, si elle arrive avec une vitesse
trop grande (supérieure à vC Max=2m/s) elle ne tombera pas dedans, elle rebondira dessus. La surface de
jeu, en gazon artificiel, a un coefficient de frottement dynamique avec la balle ded=0.12.
I–Avant-dernier trou (pentes inclinées):
ciel
A: Départ
3/2 h
C: Trou
½h

sol
3
B

A – Pour le trajet AB :
1- Reprendre le schéma en indiquant toutes les forces qui agissent sur la balle en un point M du
parcours AB.
2- Donner les expressions des forces en fonction de m, g, d et R, norme de la réaction du
support, dans le repère défini par : M, la direction Ox définie par AB, où est un vecteur
unitaire dans cette direction, et un vecteur normal à cette direction dans le plan du dessin.
Spécifier quelles forces travaillent et quelles forces sont à circulation conservative.
3- Donner l’énergie potentielle de pesanteur au point A, en fonction de m, g et h. On prendra
l’origine de l’énergie potentielle en B.
4- En utilisant la deuxième loi de Newton, montrer que R=mg cos . Calculer le travail de toutes
les forces entre A et B en fonction de m, g, d, h et .
5- De manière analogue, déterminer le travail de chacune des forces sur le trajet BC. On
commencera par vérifier que l’angle entre BC et l’horizontale est toujours .
B- Pour le trajet total AC :
1- Déterminer le travail total des forces entre le départ et le trou en fonction de m, g, d, h et .
2- En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, déterminer la différence entre l’énergie
cinétique du départ et celle d’arrivée au trou, en fonction de m, g, d, h et .
3- Déterminer l’énergie cinétique minimale (EcA min) au point A pour que la balle arrive jusqu’au
trou. Exprimer le résultat en fonction de m, g, d, h et . Vérifiez que cette quantité est positive
si 4d > h.
4- Déterminer l’énergie cinétique maximale (EcA Max) au point A pour que la balle qui arrive au
trou le fasse avec une vitesse pas trop grande (vC<vC Max). Exprimer le résultat en fonction de
m, g, d, h,  et vC Max.
5- Effectuer l’application numérique pour déterminer la gamme des énergies à transmettre à la
balle au départ en Joules pour =1m, h =0.4m et g=10m/s2 et réussir le trou en 1 coup. Donner
aussi les valeurs de la gamme de vitesse au départ en m/s.
II - Dernier trou (la boucle infernale):
L’enfant, après avoir réussi l’avant-dernier trou (avec votre aide), se dirige vers le dernier trou du
parcours. Le trajet est horizontal mais avec une boucle circulaire au milieu, le chemin parcouru est
donc ADBDC selon le schéma ci-dessous. La surface de la boucle est métallique, ce qui rend
négligeables les frottements de la balle sur cette surface. Par contre, le reste du parcours (les deux
trajets horizontaux AD et DC) sont toujours en gazon artificiel avec d=0.12. Attention, pour que la
balle rentre dans le trou il faut aussi que sa vitesse soit inférieure à vC Max=2m/s.
ciel
B
R
g
A: Départ
sol

C: Trou
D

A- La boucle :
1- Faire un schéma avec les forces qui agissent sur la balle quand elle se trouve au point B.
2- Donner l’expression de la vitesse et de l’accélération de la balle au point B en coordonnées
polaires (origine, O, au centre de la boucle), en fonction du rayon de la boucle, R, de =dθ/dt
et d2θ/dt2.
3- A partir de l’expression de la vitesse, déterminer  en fonction de R et de l’énergie cinétique
au point B (Ec(B)).
4- En utilisant la deuxième loi de Newton au point B, déterminer la réaction de la surface sur la
balle en fonction de m, g, R et . En déduire la condition sur g, R et  pour que la balle ne
tombe pas de la boucle en B.
5- En déduire que l’énergie cinétique minimale au point B pour que la balle ne tombe pas de la
boucle, est Ec(B) min = ½ mg R.
B- Plage d’énergie :
1- On admettra que l’énergie cinétique au point B s’écrit Ec(B) = Ec(A) -2mgR-dmgl. Donner
l’énergie cinétique minimale au point A pour que la balle ne tombe pas de la boucle au point
B, en fonction de m, g, d,  et R.
2- Sachant que l’énergie cinétique au point C s’écrit Ec(C) = Ec(A) - 2dmg, donner les énergies
cinétiques minimale et maximale au point A pour que la balle arrive au point C et que sa
vitesse soit inférieure à vC Max. Exprimer les résultats en fonction de m, g, d,  et vC Max.
3- En effectuant l’application numérique, donner la plage d’énergie cinétique au point A pour
réussir le trou (en Joules) et donc gagner la partie. On prendra R=10 cm, =1m et g=10m/s2.