Polycopié de thermodynamique

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LE GAZ PARFAIT
A. MODELE DU GAZ PARFAIT ( d’apr ` es Agr ´ egation externe option chimie 1998 )
I. Pression cin´ etique
Dans le cadre de la th ´ eorie cin ´ etique des gaz, le mod ` ele du gaz parfait est le sui-
vant : un ensemble de particules ponctuelles, sans interaction entre elles et dont les
vitesses ob ´ eissent ` a une loi statistique de distribution homog ` ene et isotrope. On note
< vx>la valeur moyenne de la composante vxde la vitesse et u=< v2>1/2 la
vitesse quadratique moyenne.
1 - Une particule de masse mheurte une paroi immobile.
Soient ~ vsa vitesse avant le choc et ~ v0sa
vitesse apr ` es le choc. L’axe Ox est perpendicu-
laire ` a la paroi, orient ´ e vers l’ext ´ erieur du fluide.
Le choc est ´ elastique et sans frottement.
Quelles relations lient les composantes de ~ vet
de ~ v0? D ´ eterminez la variation de la quantit ´ e
de mouvement de la particule lors du choc.
2 - On consid ` ere un mod ` ele semi-macroscopique de r ´ epartition des particules ;
soit n1le nombre par unit ´ e de volume de particules dont la vitesse admet sur
l’axe des x la composante vx.
Donnez le nombre de particules de ce type qui heurtent un ´ el ´ ement de sur-
face dS de la paroi pendant l’intervalle de temps dt ; exprimez la quantit ´ e de
mouvement c ´ ed ´ ee par ces particules ` a la paroi, en fonction de n1,vx,dS,dt
et de la masse md’une particule.
Soit nle nombre total de particules par unit ´ e de volume du r ´ ecipient ; on admet
la relation :
< n1v2
x>=1
6n u2
Expliquez qualitativement l’origine du facteur 6.
3 - D ´ efinissez la pression Pdu fluide dans le cadre du mod ` ele pr ´ ec ´ edent ; exprimez
cette pression en fonction de n,met u.
4 - En utilisant l’ ´ equation d’ ´ etat du gaz parfait pour une mole de masse M, calcu-
lez la vitesse quadratique moyenne udes particules en fonction de la temp ´ e-
rature.
Application num ´ erique : quelle est la vitesse quadratique de l’h ´ elium consid ´ er ´ e
comme un gaz parfait, ` a la temp ´ erature T=273 K ?
Vous prendrez R=8, 314 J.K−1.mol−1.

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II. Energie interne
1 - Dans le cas d’un gaz parfait monoatomique, exprimez l’ ´ energie interne d’une
mole de gaz en fonction de la temp ´ erature T. Cette expression s’applique-t-
elle ` a un gaz parfait diatomique ? D ´ eterminez la capacit ´ e thermique molaire
d’un gaz parfait monoatomique ` a volume constant.
2 - Dans le cas d’un syst ` eme ferm ´ e, c’est ` a dire sans ´ echange de mati ` ere avec le
milieu ext ´ erieur, ´ enoncez le premier principe de la thermodynamique dans le
rep ` ere barycentrique du syst ` eme. Quelle est sa signification physique ?
3 - La d ´ etente de Joule - Gay-Lussac est une d ´ etente adiabatique brutale dans le
vide. D ´ ecrivez un dispositif exp ´ erimental permettant de r ´ ealiser cette d ´ etente.
Quel est le comportement d’un gaz parfait lors de cette d ´ etente ?
III. Entropie
1 - Enoncez le second principe de la thermodynamique pour un syst ` eme ferm ´ e.
Quelle est sa signification physique ? Pr ´ ecisez la d ´ efinition d’une transformation
r´ eversible et d’une transformation adiabatique.
2 - D ´ efinissez la capacit ´ e thermique molaire ` a volume constant CVpour un fluide
quelconque. Cette capacit ´ e thermique est-elle constante ? Peut-elle d ´ epen-
dre de la temp ´ erature Tet du volume Vdu fluide ?
3 - On consid ` ere une mole de gaz parfait. Sa capacit ´ e thermique ` a volume con-
stant d ´ epend-elle de la temp ´ erature Tet du volume Vde la mole de gaz par-
fait ?
4 - Soit une mole de gaz parfait, qui lors d’une transformation infinit ´ esimale r ´ eversi-
ble rec¸ oit une quantit ´ e de chaleur δQ.
Donnez l’expression de δQ en choisissant le couple de variables ( temp ´ erature
T, volume V).
Le gaz parfait passe de l’ ´ etat (T1, V1)` a l’ ´ etat (T2, V2). Ecrivez, dans le cas
le plus g ´ en ´ eral, la variation d’entropie d’une mole de gaz parfait dans cette
transformation. Que devient cette expression dans le cas particulier o`u la ca-
pacit ´ e thermique molaire CVest constante ?
5 - Soit CPla capacit ´ e thermique molaire ` a pression constante. On consid ` ere une
mole de gaz parfait, dans un domaine d’ ´ etude tel que CPet CVsoient constan-
tes. On rappelle la relation de Mayer entre les capacit ´ es thermiques molaires :
CP−CV=R.
Qu’appelle-t-on transformation isentropique ? Quelles pr ´ ecautions exp ´ erimen-
tales doit-on prendre pour la r ´ ealiser ?
Retrouvez la loi de Laplace pour une transformation isentropique :
P . Vγ=constante
avec γ=CP
CV

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TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT
A. ETUDE D’UN GAZ PARFAIT ( d’apr ` es CAPES externe 1994 )
On notera P, V, T les param ` etres pression, volume et temp ´ erature d’un gaz ; on no-
tera respectivement CPet CVles capacit ´ es calorifiques molaires ` a pression et ` a vo-
lume constant, et γle rapport : γ=CP
CV. Dans ce qui suit, les syst `
emes thermodyna-
miques ´ etudi ´ es seront des gaz parfaits.
I. Quelques propri´ et´ es d’un gaz parfait.
1 - Rappelez l’ ´ equation d’ ´ etat d’un gaz parfait ; on d ´ esignera par nle nombre de
moles du gaz et par Rla constante molaire des gaz parfaits.
2 - a - Rappelez la relation qui lie les fonctions d’ ´ etat enthalpie Het ´ energie in-
terne U.
b - Montrez la relation de Mayer : CP−CV=R
c - Exprimez CVen fonction de Ret γ.
d - nmoles d’un gaz parfait ´ evoluent d’un ´ etat initial caract ´ eris ´ e par P0, V0jus-
qu’ ` a un ´ etat final caract ´ eris ´ e par P1, V1. Montrez que la variation d’ ´ energie
interne de ce gaz parfait au cours de cette transformation peut s’ ´ ecrire :
∆U =P1V1−P0V0
γ−1
II. Transformations r´ eversibles d’un gaz parfait.
Un cylindre horizontal, de volume invariable, est ferm ´ e
`
a ses deux extr ´ emit ´ es par deux parois fixes. Ce cylindre
est s ´ epar ´ e en deux compartiments A et B par un piston
Pmobile sans frottement. Les parois du cylindre et le
piston sont adiabatiques et de capacit ´ es calorifiques
n´ egligeables.
Dans l’ ´ etat initial, les deux compartiments A et B
contiennent le mˆ eme nombre de moles d’un gaz par-
fait dans le mˆ eme ´ etat P0, V0, T0.
On chauffe le compartiment A ` a l’aide d’une
r´ esistance ´ electrique jusqu’ ` a un ´ etat final o`u la pres-
sion dans le compartiment A est P1=3 P0.
On pourra consid ´ erer dans la suite les ´ etats du syst ` eme
comme une suite d’ ´ etats d’ ´ equilibre.
1 - Calculez :
a - pour l’ ´ etat final du compartiment B : la pression P2, le volume V2, la temp ´ erature
T2.
b - pour l’ ´ etat final du compartiment A : le volume V1, la temp ´ erature T1.

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2 - On veut d ´ eterminer la quantit ´ e de chaleur Q1fournie par la r ´ esistance chauf-
fante au compartiment A.
a - Montrez que Q1s’exprime tr ` es facilement en fonction des variations d’ ´ energie
interne des gaz des compartiments A et B ( ∆U1et ∆U2, respectivement ).
b - Donnez l’expression de Q1en fonction de P0, V0et γ.
III. D´ etente irr´ eversible d’un gaz parfait.
Un cylindre horizontal est ferm ´ e` a l’une de ses extr ´ emit ´ es par une paroi fixe F0, et
`
a l’autre extr ´ emit ´ e par un piston Pqui peut coulisser sans frottement le long du
cylindre. Le cylindre est s ´ epar ´ e en deux compartiments A et B par une paroi fixe
F. Sur la face ext ´ erieure du piston s’exerce la pression atmosph ´ erique P0, que l’on
suppose uniforme et constante.
Dans la situation initiale, le compartiment A de volume
VAcontient nmoles d’un gaz parfait. Le compartiment B
de volume VBest initialement vide.
Les parois du cylindre et le piston sont adiabatiques et
de capacit ´ es calorifiques n ´ egligeables.
1 - Pr ´ ecisez la pression et la temp ´ erature initiales dans le compartiment A.
2 - On perce un orifice dans la paroi Fet on cherche ` a d ´ ecrire les caract ´ eristiques
du nouvel ´ etat d’ ´ equilibre que l’on supposera atteint.
a - En analysant qualitativement le probl ` eme, montrez que, selon la valeur
de VBpar rapport ` a une valeur seuil VBs( qu’on ne cherchera pas ` a
d´ eterminer ` a ce stade de l’ ´ etude ), deux types de solutions existent ; pour
r´ epondre ` a cette question, on pourra s’int ´ eresser ` a l’ ´ equilibre m ´ ecanique
du piston dans l’ ´ etat final.
b - En supposant que VBest inf ´ erieur ` a la valeur seuil, d ´ eterminez les caract ´ eristiques
P1, V1, T1du gaz enferm ´ e dans le cylindre A + B quand le nouvel ´ etat d’ ´ equilibre
est atteint : on exprimera ces grandeurs en fonction de toutes ou de cer-
taines des donn ´ ees P0, γ, n, VA, VBet de R.
c - D ´ eterminez la valeur seuil VBsen fonction de VAet de γ.
d - On suppose cette fois que VBest sup ´ erieur ` aVBs. D ´ eterminez P2, V2, T2pour
le gaz enferm ´ e` a l’int ´ erieur du cylindre dans le nouvel ´ etat d’ ´ equilibre ;
on exprimera ces grandeurs en fonction de toutes ou de certaines des
donn ´ ees P0, γ, n, VA, VBet de R.
3 - a - D ´ eterminez l’entropie d’un gaz parfait ( ` a une constante pr ` es ) en fonction
de n, CP, γ, P et V.
b - D ´ eduisez-en l’expression de la variation d’entropie ∆ S1du gaz en fonction
de n, γ, VA, VBet CPdans le cas o`u l’ ´ etat final est celui du 2b. Ce r ´ esultat
est-il conforme au second principe de la thermodynamique ?
c - D ´ eterminez de la mˆ eme fac¸ on ∆ S2, l’ ´ etat final ´ etant celui du 2d ; ce
r´ esultat est-il conforme au second principe de la thermodynamique ?

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B. CYCLE DE CARNOT ( d’apr ` es CAPESA 2000 )
Un gaz parfait diatomique ( γ=1, 4 ) d ´ ecrit de fac¸ on r ´ eversible, sans changer
d’ ´ etat, un cycle de Carnot r ´ ecepteur selon les caract ´ eristiques suivantes ( les va-
leurs num ´ eriques non donn ´ ees seront ` a calculer ` a la question 2 ) ; n=0, 01
Etat 1 Etat 2 Etat 3 Etat 4
P1=1000 hPa P2=1600 hPa P3=920 hPa P4 =575 hPa
V1=0, 24 lV2V3V4
T1T2T3T4
1→2 2 →3 3 →4 4 →1
isotherme adiabatique isotherme adiabatique
1 - a - Donnez une d ´ efinition du gaz parfait ( microscopique ou macroscopique
).
b - Donnez la d ´ efinition de γet pr ´ ecisez les facteurs dont il d ´ epend.
c - Pr ´ ecisez ce qu’est un cycle r ´ ecepteur.
d - D ´ emontrez la loi de Laplace typique d’une transformation adiabatique
quasistatique dans le cas o `u γest constant.
2 - a - Calculez les valeurs des volumes et temp ´ eratures inconnus ( la constante
des gaz parfaits est R=8, 32 S.I. ).
b - Donnez l’aspect du graphe P=f(V), dit diagramme de Clapeyron du
cycle.
3 - Pour chaque transformation :
a - Calculez le travail Wmis en jeu.
b - Calculez l’ ´ energie thermique Q, ou chaleur, mise en jeu.
c - D ´ eduisez l’ensemble ´ energ ´ etique W+Q. Commentez.
4 - a - Calculez la variation d’entropie ∆S au cours de chaque transformation.
b - Calculez la variation d’entropie totale (∆St)du cycle. Commentez.
c - Donnez l’aspect du graphe T=f(S), dit diagramme entropique.
5 - On suppose que ce cycle est celui d’une thermopompe, ou pompe ` a chaleur :
a - Sch ´ ematisez les ´ echanges thermodynamiques entre les deux sources, le
syst ` eme gaz et l’ext ´ erieur.
b - Calculez l’efficacit ´ e th ´ eorique e( ou coefficient de performance ) de ce
r´ ecepteur en fonction des temp ´ eratures.
c - Expliquez comment il faut modifier les temp ´ eratures des sources pour aug-
menter l’efficacit ´ e th ´ eorique.
d - Expliquez pourquoi, au niveau thermodynamique, dans la r ´ ealit ´ e, ce co-
efficient est bien plus faible.