Chapitre 2 : Dipôles électriques usuels, modélisation I. Généralités

Électrocinétique – Partie 1 PTSI
Chapitre 2
1
I. Généralités sur les dipôles
Conventions d’orientation des dipôles
Convention récepteur : Convention générateur :
i et u en sens inverse i et u dans le même sens
Remarque : si un dipôle passif se trouve en convention générateur, on doit rajouter un signe −
dans la relation entre u et i. Par exemple, on a iRu
=
pour une résistance où u et i sont
effectivement en convention récepteur et on aura iRu
−
=
pour une résistance où u et i sont
en convention générateur.
Caractéristique d’un dipôle
Pour un dipôle dont la relation entre i et u ne comporte ni dérivée, ni primitive on définit :
o la caractéristique statique tension-courant comme le graphe de la fonction
(
)
IfU
=
,
o la caractéristique statique courant-tension comme le graphe de la fonction
(
)
UgI
=
.
Un graphe de caractéristique dépend de l’orientation choisie pour u et i qu’il faut donc
préciser.
Exemple d’utilisation : recherche graphique d’un point de fonctionnement.
On cherche les valeurs de I et U pour un circuit décomposable de la façon suivante :
On superpose les caractéristiques (statiques) de chaque partie du circuit avec même définition
pour I et de U pour les deux parties. Le point d’intersection de ces deux caractéristiques est
appelé point de fonctionnement du circuit : ses coordonnées fournissent les valeurs de la
tension et de l’intensité définies précédemment.
R
U
I
Partie 1
Partie 2
U
I
convention
générateur
convention
récepteur
Dipôle
uAB
i A B Dipôle
uBA
i A B

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2
Puissance instantanée reçue par un dipôle
La puissance instantanée reçue à l’instant t par un dipôle en convention récepteur correspond
l’énergie reçue par unité de temps et s’écrit :
( ) ( ) ( )
(
)
t
tE
titutP
d
d
ABAB
=⋅= en watt (W).
Pendant un intervalle de temps dt, le dipôle reçoit une énergie ttPE d).(d
=
soit pour une
durée finie
( ) ( )
=∆=−=
tt
ttPEEtEE
00
d).(0d
Avec une telle définition (convention récepteur) :
o un dipôle a un comportement récepteur à l’instant t, si
(
)
(
)
(
)
titutP
ABAB
⋅
=
est
positive (il reçoit de l’énergie) ;
o un dipôle a un comportement générateur à l’instant t, si
(
)
(
)
(
)
titutP
ABAB
⋅
=
est
négative (il fournit de l’énergie).
Cette convention correspond à une convention plus générale en physique chimie dans laquelle
l’énergie et la puissance sont comptées positivement si elles sont reçues par le système étudié.
Définitions
Un dipôle est linéaire lorsque la tension u appliquée à ses bornes et l’intensité i qui le
traverse sont liées par une relation affine
(
)
(
)
btiatu
+
×
=
ou par une équation différentielle
linéaire à coefficients constants :
'di'.c
t
i
'b
t
i
'adu.c
t
u
b
t
u
a+++=+++
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2
2
indépendamment de la convention choisie. Exemples en conventions récepteur : conducteur
ohmique u = R×i, pile u = e − r×i, condensateur
( )
(
)
t
tu
Cti
d
d
=, bobine
dt
tdi
Ltu )( )( = . Contre-
exemple : diode, AO en régime saturé.
Un circuit ou réseau est dit linéaire s’il est constitué de composants linéaires.
Dipôle symétrique (contraire de dipôle polarisé) :
o si on change i en – i, alors u devient – u ;
o sa caractéristique statique est symétrique par rapport à l’origine.
Dipôle
u
AB
i
AB
A B
I i i
U pile résistance

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Exemples : R, L, C. Contre-exemples : pile, diode, moteur sont des dipôles polarisés.
Dipôle actif (contraire de dipôle passif) :
o dipôle pouvant fournir de l’énergie électrique pendant une durée arbitrairement
longue (ou presque) en fonctionnement normal ;
o dipôle dont la caractéristique statique ne passe pas par l’origine. Un dipôle actif est
donc polarisé.
Exemple de dipôles actifs : pile, accumulateur, dynamo, photopile…
Exemple de dipôles passifs : R, C (une capa chargée peut fournir de l’énergie quand elle se
décharge, mais cela ne dure pas arbitrairement longtemps : d’où la subtilité de la définition),
L, diode, électrolyseur,…
II. Dipôles actifs
Définitions
On appelle source de tension un dispositif idéal qui impose une ddp constante u = e à ses
bornes appelée « force électromotrice » ou « f.é.m. » quelle que soit l’intensité i qui le
traverse. Schéma et caractéristique :
Remarque : si une source idéale de tension est associée en parallèle avec un dipôle (qui n’est
pas assimilable à une source de tension), l’ensemble est équivalent à la source de tension
seule :
On appelle source de courant un dispositif idéal qui impose un courant i(t) = η(t) appelé
« courant électromoteur » ou « c.é.m. » dans la branche dans lequel il se trouve quelque soit la
tension u à ses bornes. Schéma et caractéristique :
i
u
η
u
i
e
u
i
η
i
u
e
B A
e
D
e
i

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Remarques :
o Si une source idéale de courant est associée en série avec un dipôle (qui n’est pas
assimilable à une source de courant), l’ensemble est équivalent à la source de courant
seule :
o Ne pas utiliser la loi des mailles dans une maille comportant une source de courant :
la source idéale retire une équation de maille mais apporte la valeur de i pour sa propre
branche.
Modélisations de Thévenin et de Norton d’un dipôle actif
Un régime continu, la caractéristique de bon
nombre de sources réelles ou de générateurs a
l’allure ci-contre :
L’équation de cette droite est
(
)
ireiu
×
−
=
où
(
)
0
=
=
iue
est la f.é.m. et
( )
0== ui
r
e
est le courant
de court-circuit (u = 0) et r la résistance interne.
On appelle modélisation ou représentation de
Thévenin, la modélisation d’un générateur réel par une source de tension idéale de force
électromotrice e(t), en série avec une résistance interne r (en convention générateur) :
(
)
(
)
(
)
tirtetu
−
=
.
On appelle modélisation ou représentation de Norton, la modélisation d’un générateur réel
par une source de courant idéale de courant électromoteur η(t), en parallèle avec une
résistance interne r (en convention générateur) :
( ) ( )
(
)
r
tu
tti −η= .
Il y a équivalence des modélisations de Thévenin et de Norton :
i
r
e
u
−
=
⇔
r
u
r
u
r
e
i−η=−= soit )()( trte
NortonTh
η
×
=
u
i
e
r
u
i
e
/
r =
η
−
u
/
r
i
η
i
η
D
u u
e
e/r
i
u

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5
i
B
A
C
u
BC
u
AC
R
1
R
2
i
R
2
u
R
1
i
1
i
2
Utilisations successives des modèles de Thévenin et de Norton
Lors de l’étude de réseaux linéaires, il sera souvent utile de ramener une partie du circuit à un
générateur de Thévenin ou de Norton. On utilisera à cet effet le passage successif entre les
modélisations de Norton et de Thévenin des générateurs.
III. Dipôles passifs
Conducteur ohmique
En convention récepteur, un conducteur ohmique vérifie : u(t) = R×i(t) et u(t) = − R×i(t)
en convention générateur.
On définit la conductance par G = 1/R en Ω−1 ou siemens (S).
La puissance dissipée (= reçue) par une résistance est : )(.)().()(
2
tiRtitutP
AB
== .
L’énergie reçue est dttiRdttPdE )(.).(
2
== soit :
( ) ( ) ( )
00 avec d.
0
2
=== tEttiRtE
t
.
Cette énergie est entièrement dissipée sous forme de chaleur, c’est l’effet Joule.
Association de résistances en série : =
k
keq
RR , en parallèle
=
kkeq
RR
11 . Dans le cas de
deux résistances en parallèle la résistance équivalente est vérifie
somme
produit
21
21
=
+
=RR
RR
R
éq
.
Pour un conducteur homogène, cylindrique de section s et de longueur , la résistance est
donnée par
ss
R .
1
σ
=
ρ
= où ρ est la résistivité en Ω.m et ρ =σ 1la conductivité en S.m
−1
ou
Ω
−1
.m
−1
.
Association de résistances
En série : =
k
keq
RR , en parallèle
=
kkeq
RR
11 . Dans le cas de deux résistances en parallèle
la résistance équivalente est vérifie
somme
produit
21
21
=
+
=RR
RR
R
éq
.
Diviseurs de tension et de courant
ACBC
u
RR
R
u
21
2
+
=
i
RR
R
i
21
1
2
+
=