devoir surveille de physique n°4

1
PC*1 / PC*2 / PC
DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°4
22 novembre 2014
Etude documentaire : Félix… et Alan s’envoient en l’air
Merci Archimède
Le 14 octobre 2012, dans le cadre du projet
Stratos, Felix Baumgartner s’est élevé en
ballon jusqu’à une altitude de 39
kilomètres, pour effectuer un saut en chute
libre, devenant le premier homme à
dépasser la vitesse du son en chute libre.
L’ascension s’est effectuée à l’aide d’un
ballon gonflé à l’hélium, comme pour les
sondes météorologiques, qui a emmené les
1500 kg du passager, de son scaphandre et
de sa capsule.
Pour que la poussée d’Archimède
compense le poids de cet équipage, le
ballon devait déplacer une masse d’air au
moins aussi importante. Au niveau de la mer, l’air a une masse volumique de 1,2 kg.m -3 ; il fallait donc au
minimum une sphère de 13 m de diamètre. A 39 km d’altitude, la masse volumique de l’air est de 4,4 g.m-3.
Il a fallu donc concevoir un ballon gigantesque faisant 100 m de hauteur et 130 m de diamètre lors de son
extension maximale.
Au décollage, le ballon est rempli partiellement d’hélium, en s’assurant que la pression interne est, et reste
la même que celle de l’air extérieur. Ainsi, quand le ballon s’élève, la poussée d’Archimède reste constante.
La longue chute
Au bout d’environ deux heures et demi d’ascension, c’est le moment pour Félix d’ouvrir la porte de sa capsule
et de sauter. Muni de sa combinaison, il pèse 120 kg. Au bout de 30 s, sa vitesse est déjà de 300 m.s-1, et plus
de 4 km ont été parcourus.
La vitesse atteint ensuite un maximum de 373 m.s-1, au bout de 50 s de chute. Félix se trouve alors encore à
plus de 30 km d’altitude, où la pression est 100 fois plus faible qu’au niveau du sol.
Ensuite, la force de trainée prend le dessus, et le sauteur se met à décélérer fortement. Il faut attendre environ
2 min et 30 secondes, vers 10 kilomètres d’altitude, pour que le sauteur atteigne sa vitesse limite de chute,
comme tout parachutiste ordinaire !
Le mur du son était mou !
Pour promouvoir cet exploit, on mentionne souvent que Félix Baumgartner aurait franchi le mur du son : c’est
tout à fait exact, mais aussi un peu trompeur ; le passage du mur du son s’accompagne du fameux « bang »,
provoqué par une onde de surpression de l’air. A l’altitude où le passage du mur du son a été franchi, il est peu
probable que cela ait créé une onde de choc notable, donc qu’il y ait eu une signature sonique importante.
Il est par ailleurs mentionné que ce saut pourra alimenter la réflexion sur les procédures de survie des
astronautes lors d’un retour sur terre : au lieu d’attendre la destruction de leur vaisseau spatial dans les
hautes couches de l’atmosphère, ne peuvent-ils pas sauter et revenir sur Terre comme Félix Baumgartner ?
Du point de vue technique, le scaphandre et le parachute sont au point, mais il reste une grande différence :
Félix Baumgartner sautait sans vitesse initiale, alors que des astronautes auraient la vitesse de leur vaisseau, de
l’ordre de sept kilomètres par seconde pour une navette en orbite basse, vitesse à laquelle les forces de trainée
compliqueraient considérablement l’éjection et exerceraient des contraintes très fortes sur les scaphandres.
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
2
Données :
Rayon terrestre : RT = 6400km viscosité de l’air  =1,85.10-5 Pl constante des gaz parfaits : R = 8,32 SI
gRT
M
avec g = 1,4 pour l’air, R = 8,32 SI, T la température et M air la masse volumique de l’air
La vitesse du son c dans l’air est donnée par la formule c =
z en km
70
doc 2
A
40
B
25
T en °C
- 50
20
0
1
2
3
4
5
Doc 1 Profil thermique de l’atmosphère
Questionnaire
I Etude de l’atmosphère
1) Montrer que, concernant l’exploit de Felix Baumgartner, le champ de pesanteur g peut être considéré
homogène. On en donnera en particulier la valeur de g à l’altitude où a lieu le saut. valeur de la pesanteur
au moment du saut ?
2) En exploitant les données fournies, faites une hypothèse simple sur le modèle d’atmosphère, et déterminer
la valeur de la pression à 30 km d’altitude. Vérifier que « la pression est 100 fois plus faible qu’au niveau
du sol ».
3) Quelle est alors l’expression de la masse volumique avec l’altitude ? Déterminer la valeur de la masse
volumique à 39 kilomètres d’altitude et la comparer à celle donnée par le texte.
4) Pourquoi Felix a-t-il sauté d’un ballon et pas d’un avion ?
II) Etude de l’ascension
5) Déterminer la taille minimale du ballon au sol et la comparer à celle donnée par le texte.
6) Lors de l’ascension, que peut on dire de l’évolution de la masse volumique de l’hélium et de l’air
environnant ? Justifier que la poussée d’Archimède reste constante lors de l’ascension.
III) Etude de la chute
7) Pourquoi d’autres parachutistes, sautant d’une altitude de plusieurs kilomètres n’ont jamais franchi la
vitesse du son ?
8) Quelle hypothèse peut on faire sur la force de trainée dans la première phase du saut ? Justifier la distance
parcourue par Félix après 30 s de chute.
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
3
9) Justifiez qualitativement pourquoi le sauteur atteint un maximum de vitesse, puis décélère ensuite.
10) On donne en document annexe (doc 2) l’expression du coefficient Cx en fonction du nombre de
Reynolds Re en coordonnées logarithmiques, pour un écoulement d’air autour d’un solide.
Ce graphe fait apparaître plusieurs domaines, où les forces de trainées prennent des expressions
différentes. En particulier, le domaine (A) où F = b Rev et (B) où F = arv2
avec  la masse volumique de l’air, v la vitesse de l’écoulement, et  = 0,65 et  = 3,5.10-4 des
coefficients constants.
Déterminer la vitesse maximale atteinte par Felix et commenter.
11) Etablir une relation (assez) simple entre la vitesse maximale et la vitesse limite finale, et les masses
volumiques de l’air aux altitudes correspondantes. En utilisant un modèle simpliste de loi barométrique
pour la basse atmosphère, en déduire une estimation de la vitesse limite atteinte, et comparer à la valeur
proposée par le texte.
12) Vérifier que Félix a effectivement franchi le mur du son. Pourquoi est-il « peu probable que cela ait créé
une onde de choc notable » ?
IV Invité mystère
13) Qui est Alan Eustace ?
Problème 1 : Quelques aspects de microfluidique
Les circuits intégrés ont révolutionné la conception des ordinateurs en réduisant considérablement l’espace
occupé et le temps de calcul. De la même façon, la miniaturisation de systèmes permettant le contrôle
d’écoulements de fluides devrait conduire à une automatisation parallèle et rapide d’une grande variété de
réactions chimiques ou de manipulations biologiques. Mais la microfluidique, qui met en jeu le mouvement
et la manipulation de très petits volumes de fluide peut faire apparaître des phénomènes physiques peu
courants à une échelle macroscopique.
Le but de ce problème est d’étudier quelques aspects de ces phénomènes.
Données numériques :
Masse volumique de l’eau :
Coefficient de viscosité de l’eau :
r = 1,0.103 kg.m-3
he = 1,0.10-3 Pa.s
Coefficient de viscosité de l’huile :
hh = 1,0.10-1 Pa.s
Pression atmosphérique :
P0 = 1,0.105 Pa
I. INTRODUCTION A LA MICROFLUIDIQUE
La microfluidique concerne des écoulements dont l’une au moins des dimensions caractéristiques est comprise
entre 1μm et 1mm . La première expérience démontrant l’intérêt de cette technologie pour la recherche
fondamentale a été effectuée en 1994 par Steven Chu, prix Nobel de Physique 1997.
1) Citer des exemples de systèmes microfluidiques dans différents domaines : monde végétal, animal, dans la
biologie, la technologie...
l*
avec  une échelle spatiale caractéristique de
L
l’écoulement (largeur, hauteur d’un microcanal, par exemple), et l * le libre parcours moyen des particules
de fluide.
a) Pour quel domaine de valeurs du nombre de Knudsen se considère-t-on en milieu continu ?
2) On rappelle la définition du nombre de Knudsen : Kn =
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
4
b) La microfluidique relève elle de la mécanique des milieux continus ? On donne l gaz *  0,1µm
c) Pour des écoulements de dimensions inférieures, on parle de nanofluidique. Cette notion de milieu
continu a-t-elle un sens ?
3) Pouvez vous citer des phénomènes négligeables dans l’hydrodynamique à grande échelle, et qui peuvent
devenir critiques à l’échelle microfluidique ?
II. ECOULEMENT DE FLUIDE EN MICRO-CANAL
II.1 Écoulement sous un gradient de pression constant
Un canal horizontal de section rectangulaire à grand rapport de forme (hauteur h  largeur w) et de
longueur L (L  w) est rempli d’un fluide newtonien incompressible. Un gradient de pression dans la
direction x est généré à l’aide d’un dispositif de vases communicants imposant la différence de pression
DP = P( O ) - P( L ) entre les extrémités O et x = L du canal (figure 1) .
Figure 1 : (gauche) vue en coupe du canal microfluidique avec le système de vases communicants ; (droite) vue en
perspective du canal.
4) Rappeler l’équation de Navier-Stokes.
5) Donner la définition générale et le sens physique du nombre de Reynolds Re. Préciser, en justifiant votre
réponse, les longueurs caractéristiques qui interviennent ici.
On donne : h = 10 µm, w = 100 µm, L = 1 mm. Estimer Re pour un écoulement d’eau à la vitesse
caractéristique V0 = 100 µm.s-1. Qu’en concluez-vous ?
6) On considère un écoulement laminaire selon Ox entre deux plaques parallèles distantes de h. Comme
w >> h , on considère que le champ de vitesse ne dépend pas de y. Par ailleurs, on se limite au régime
stationnaire. Justifier que v = vx ( z)ex .
7) Montrer que la pression P ne dépend que de x, et exprimer
dP
en fonction de P et L.
dx
Ecrire l’équation différentielle qui donne vx ( z) .
8) En faisant l’hypothèse de non-glissement aux parois, déterminer le champ de vitesse.
Exprimer la vitesse maximale Vmax au centre de l’écoulement et la vitesse moyenne V0 en fonction de P.
9) Montrer que le débit volumique Q dans la section du canal est directement relié à P par : Q=
h3w DP
12h L
(relation de Hagen-Poiseuille).
10) Calculer numériquement P et la différence de niveaux d’eau H à ajuster dans le dispositif de vases
communicants pour obtenir un écoulement d’eau avec un débit Q de 1.10-12 m3.s-1 dans un canal de
dimensions h = 10 µm, w = 100 µm, L = 1 mm. Qu’en est-il si h = 100 µm (en supposant que la relation
de Hagen-Poiseuille reste valable) ? Commenter.
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
5
II.2. Ecoulement biphasique
Deux fluides 1 et 2 de viscosités h1 et h2
sont mis en écoulement avec des débits Q1
et Q2 dans un canal microfluidique ayant
la forme d’une jonction Y (figure 2).
Figure 2 : Vue en perspective du canal en
forme de jonction Y. On s’intéresse
à l’écoulement dans le canal
central, entre les deux zones
grisées.
L’origine des axes du repère
cartésien est prise au centre de
la section de raccordement.
On suppose qu’un écoulement stationnaire est établi dans le bras central du canal. L’interface entre les deux
aw
fluides est supposée plane et localisée dans le plan d’équation y =
(avec -1   1).
2
On note P le gradient de pression longitudinal constant appliqué sur la longueur L du canal principal.
Comme h  w, on admet que l’écoulement dans chaque fluide satisfait l’équation différentielle obtenue à
la question 7). On néglige donc les effets de bord aux parois et à l’interface entre les deux fluides.
On note v1 et v2 les champs de vitesse dans les fluides 1 et 2.
11) Calculer la position  de l’interface en fonction de h1 , h2 , Q1 et Q2 .
12) Le fluide 1 est de l’eau, le fluide 2 est de l’huile. Calculer numériquement  pour Q1 = 50Q2 .
III. Analogie électrique des canaux microfluidiques
On considère le micro-canal de la figure 1, empli d’un fluide incompressible. Sa circulation dans le canal
présente des analogies avec la circulation du courant électrique dans un conducteur. En particulier la viscosité
oppose une résistance à l’écoulement qui est analogue à la résistance d’un conducteur ohmique.
III.1. Analogues hydrauliques du courant et de la tension électrique
13) On choisit comme analogue de l’intensité du courant électrique le flux volumique Q = òò v × dS = V0 A
où V0 est la vitesse moyenne de l’écoulement et A la section du canal. Justifier l’analogie.
14) Exprimer la puissance mécanique Pm reçue par le fluide en fonction de Q et de la différence de pression
appliquée entre l’entrée et la sortie du canal DP . En déduire que l’analogue hydrodynamique de la
différence de potentiel électrique est la différence de pression DP .
II.2. Résistance hydraulique. Application au tri de gouttelettes
15) En utilisant la loi de Hagen-Poiseuille (question 10), donner l’expression de la résistance hydraulique Rhd
pour un canal rectangulaire de section A = hw (h  w) en fonction des paramètres du canal et de ceux du
fluide.
Dans un canal de longueur L et de section hw , le fluide en écoulement est formé de gouttelettes d’huile
dispersées dans l’eau avec une fréquence d’émission régulière. On admet que les gouttelettes d’huile (viscosité
hh ) et l’eau (viscosité he ) se déplacent dans le canal principal avec la même vitesse moyenne, dans un
écoulement laminaire et stationnaire de débit volumique total Q0 . Les gouttes d’huile confinées dans le canal
sont assimilables à des parallélépipèdes rectangles de section hw et de longueur Lg (on néglige les effets de
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
6
bord dus à la géométrie rectangulaire du canal). Soit l - Lg la distance qu’occupe l’eau entre deux gouttes
d’huile (figure 3).
Figure 3 : Vue en coupe (horizontale) d’un canal microfluidique contenant des gouttelettes d’huile (grises)
dispersées dans de l’eau.
16) On définit le paramètre re =
12he
. Que représente physiquement re ?
h3w
17) Exprimer la chute de pression DP sur une longueur L = nl
de canal contenant n gouttes d’huile en fonction de Q0 , de re
et des paramètres des fluides.
Simplifier cette expression pour he  hh .
18) Le micro-canal précédent est terminé par une bifurcation
qui scinde le canal principal en deux bras secondaires de
même section et de longueurs respectives L1 et L2 .
On note Q0 , Q1 et Q2 les débits volumiques dans les
canaux principal et secondaires (figure 4).
Quel est l’équivalent électrique de la loi de conservation du
débit à la jonction ? Justifier.
Figure 4 : Vue en coupe (horizontale) d’un
micro-canal présentant une bifurcation du
bras principal en deux bras secondaires.
19) Au temps initial, les canaux 1 et 2 ne sont remplis que d’eau. On admet que les gouttes d’huile suivent
systématiquement les lignes de plus grand flux volumique.
Si L2  L1, vers quel bras secondaire seront orientées préférentiellement les gouttes d’huile ?
20) Expliquer qualitativement ce qui se passe lorsqu’un nombre croissant de gouttes pénètre dans un des deux
bras secondaires. Montrer qu’une condition pour qu’un tri de gouttes sans faute soit réalisé en régime
stationnaire (c’est-à-dire pour que toutes les gouttes soient toujours orientées vers un seul des deux canaux
L
h L - L1
secondaires) est : g £ e 2
.
l hh L1
II.3. Inertance hydraulique
21) A t = 0 , on applique une différence de pression DPi sur un fluide incompressible de masse volumique ,
au repos à t  0, confiné dans un micro-canal de section A = hw et de longueur L. On s’intéresse ici au
régime transitoire lié à la mise en mouvement du fluide, avant établissement du régime permanent.
On ne prend pas en compte dans cette question les effets dus à la viscosité.
a) Exprimer la quantité de mouvement du fluide en fonction de , L et du flux volumique Q( t ) .
dQ
et donner l’expression du paramètre I hd .
dt
c) Que représente physiquement I hd ? Quel est son équivalent électrique ?
b) Montrer que : DPi = I hd
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
7
22) A t = 0 , on applique une différence de pression DP = P1 - P2 à un fluide confiné dans un micro-canal de
section A = hw et de longueur L. On tient compte maintenant des effets de viscosité et on adoptera même
en régime transitoire la résistance obtenue à la question 15).
a) En raisonnant sur l’analogue électrique, écrire l’équation différentielle qui permet de décrire la
dynamique du système.
b) Déterminer l’expression du temps caractéristique d’évolution t L .
c) Calculer numériquement t L pour un écoulement d’eau, avec h = 10 m. Pour des expériences d’une
durée typique comprise entre la minute et l’heure, que peut-on en conclure des effets d’inertance ?
Problème 2 : Couche d’Ekman et upwelling
Le transport d'Ekman est le déplacement horizontal des couches d’eaux superficielles de l'océan par la seule
action de la friction du vent à la surface. Ces courants poussant l'eau de surface des océans laissent ainsi un
vide où peuvent remonter les eaux de fond : c’est le phénomène de remontée d'eau ou upwelling.
Ce phénomène est important par ses effets : les eaux profondes plus froides sont riches en phytoplancton, et
donc particulièrement poissonneuses.
Vagn Walfrid Ekman (1874-1954) océanographe suédois
On se place au voisinage d’un point O situé à la surface de la terre
à la latitude , et on utilisera le référentiel terrestre Oxyz où Oz est
(
)
x
la verticale ascendante, Ox la direction du méridien orientée vers le Nord,
et Oy celle du parallèle orienté vers l’ouest.
Le référentiel terrestre est en rotation à la vitesse angulaire constante w
avec une période de T = 1 jour par rapport au référentiel géocentrique
supposé galiléen. On s’intéresse à des courants dans l’océan Atlantique
au large des côtes de l’Afrique. Ces courants sont créés par des vents
dominants qui soufflent vers le nord, et leur dynamique est pilotée par
les forces de Coriolis et de viscosité.
z
y
O

On adopte le modèle suivant :
- L’interface atmosphère–océan est supposée horizontale, confondue avec le plan z = 0.
- L’atmosphère occupe le demi espace 0  z  + , et l’océan le demi espace -¥  z  0.
- L’atmosphère impose la pression P( x,y,z = 0 ) = P0 à l’interface atmosphère–océan.
- L’eau est assimilée à un fluide de masse volumique  et de viscosité  constantes.
- Le champ de pesanteur g = -guzest supposé uniforme avec g = 9,8 m.s-2
- L’écoulement de l’eau est supposé stationnaire et incompressible, décrit par un champ de vitesse de la
forme v( M ) = vx ( z)ux + vy ( z)uy
- Le vent exerce sur un élément d’interface atmosphère-océan de surface dS une force tdSux dirigée vers
le nord, avec  constante et positive.
1) Exprimer les composantes de la force volumique de Coriolis subies par une particule de fluide dans
l’océan.
2) Déterminer la loi de pression P( x,y,z £ 0 ) dans l’eau, en considérant l’ordre de grandeur du rapport
et en simplifiant en conséquence. Commenter le résultat.
3) Etablir le système d’équations couplées vérifiées par les composantes du champ des vitesse.
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
wv
g
8
4) On s’intéresse à un phénomène au large de l’Afrique australe, où   0. On pose v = vx + jvy .
Montrer que v est solution de l’équation différentielle
et exprimer d en fonction de ,  et .
d2 v 2 j
+ v=0
dz2 d 2
æ 1- j ö
5) Etablir que la solution physiquement admissible est : v = Aexp ç
z
è d ÷ø
6) Appliquer la loi de la quantité de mouvement à un élément de fluide de masse dmsitué à l’interface
atmosphère–océan et soumis à l’action du vent et des forces de viscosité de l’eau. On fera en particulier
(encore) attention au sens de l’évolution de la vitesse avec z.
En faisant tendre l’épaisseur de cet élément vers 0, ce qui revient à faire tendre dm vers 0, en déduire
æ ¶v ö
t
td
la relation de passage ç ÷ = , puis l’expression de A : A =
1+ j .
2h
è ¶z ø z=0 h
7) En déduire les expressions réelles des composantes du champ de vitesse.
(
)
8) Décrire le champ des vitesse obtenu : norme, orientation, signification de la grandeur , influence de la
profondeur,..
d2t
ò-¥ v( z)dz = j 2h .
En déduire la direction du courant moyenné
sur la profondeur de l’océan.
La carte ci contre représente les zones de
remontée des eaux profondes.
Justifier alors sommairement la carte pour la
zone atlantique de l’Afrique australe.
0
9) On donne :
PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014