devoir surveille de physique n°4

PC*1 / PC*2 / PC 2014 / 2015 Devoir surveillé de physique n°4 22 novembre 2014
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PC*1 / PC*2 / PC DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°4
22 novembre 2014
Etude documentaire : Félix… et Alan s’envoient en l’air
Merci Archimède
Le 14 octobre 2012, dans le cadre du projet
Stratos, Felix Baumgartner s’est élevé en
ballon jusqu’à une altitude de 39
kilomètres, pour effectuer un saut en chute
libre, devenant le premier homme à
dépasser la vitesse du son en chute libre.
L’ascension s’est effectuée à l’aide d’un
ballon gonflé à l’hélium, comme pour les
sondes météorologiques, qui a emmené les
1500 kg du passager, de son scaphandre et
de sa capsule.
Pour que la poussée d’Archimède
compense le poids de cet équipage, le
ballon devait déplacer une masse d’air au
moins aussi importante. Au niveau de la mer, l’air a une masse volumique de 1,2 kg.m-3 ; il fallait donc au
minimum une sphère de 13 m de diamètre. A 39 km d’altitude, la masse volumique de l’air est de 4,4 g.m-3.
Il a fallu donc concevoir un ballon gigantesque faisant 100 m de hauteur et 130 m de diamètre lors de son
extension maximale.
Au décollage, le ballon est rempli partiellement d’hélium, en s’assurant que la pression interne est, et reste
la même que celle de l’air extérieur. Ainsi, quand le ballon s’élève, la poussée d’Archimède reste constante.
La longue chute
Au bout d’environ deux heures et demi d’ascension, c’est le moment pour Félix d’ouvrir la porte de sa capsule
et de sauter. Muni de sa combinaison, il pèse 120 kg. Au bout de 30 s, sa vitesse est déjà de 300 m.s-1, et plus
de 4 km ont été parcourus.
La vitesse atteint ensuite un maximum de 373 m.s-1, au bout de 50 s de chute. Félix se trouve alors encore à
plus de 30 km d’altitude, où la pression est 100 fois plus faible qu’au niveau du sol.
Ensuite, la force de trainée prend le dessus, et le sauteur se met à décélérer fortement. Il faut attendre environ
2 min et 30 secondes, vers 10 kilomètres d’altitude, pour que le sauteur atteigne sa vitesse limite de chute,
comme tout parachutiste ordinaire !
Le mur du son était mou !
Pour promouvoir cet exploit, on mentionne souvent que Félix Baumgartner aurait franchi le mur du son : c’est
tout à fait exact, mais aussi un peu trompeur ; le passage du mur du son s’accompagne du fameux « bang »,
provoqué par une onde de surpression de l’air. A l’altitude où le passage du mur du son a été franchi, il est peu
probable que cela ait créé une onde de choc notable, donc qu’il y ait eu une signature sonique importante.
Il est par ailleurs mentionné que ce saut pourra alimenter la réflexion sur les procédures de survie des
astronautes lors d’un retour sur terre : au lieu d’attendre la destruction de leur vaisseau spatial dans les
hautes couches de l’atmosphère, ne peuvent-ils pas sauter et revenir sur Terre comme Félix Baumgartner ?
Du point de vue technique, le scaphandre et le parachute sont au point, mais il reste une grande différence :
Félix Baumgartner sautait sans vitesse initiale, alors que des astronautes auraient la vitesse de leur vaisseau, de
l’ordre de sept kilomètres par seconde pour une navette en orbite basse, vitesse à laquelle les forces de trainée
compliqueraient considérablement l’éjection et exerceraient des contraintes très fortes sur les scaphandres.

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Données :
Rayon terrestre : km viscosité de l’air  =1,85.10-5 Pl constante des gaz parfaits : R = 8,32 SI
La vitesse du son c dans l’air est donnée par la formule
avec pour l’air, R = 8,32 SI, T la température et la masse volumique de l’air
Doc 1 Profil thermique de l’atmosphère
Questionnaire
I Etude de l’atmosphère
1) Montrer que, concernant l’exploit de Felix Baumgartner, le champ de pesanteur g peut être considéré
homogène. On en donnera en particulier la valeur de g à l’altitude où a lieu le saut. valeur de la pesanteur
au moment du saut ?
2) En exploitant les données fournies, faites une hypothèse simple sur le modèle d’atmosphère, et déterminer
la valeur de la pression à 30 km d’altitude. Vérifier que « la pression est 100 fois plus faible qu’au niveau
du sol ».
3) Quelle est alors l’expression de la masse volumique avec l’altitude ? Déterminer la valeur de la masse
volumique à 39 kilomètres d’altitude et la comparer à celle donnée par le texte.
4) Pourquoi Felix a-t-il sauté d’un ballon et pas d’un avion ?
II) Etude de l’ascension
5) Déterminer la taille minimale du ballon au sol et la comparer à celle donnée par le texte.
6) Lors de l’ascension, que peut on dire de l’évolution de la masse volumique de l’hélium et de l’air
environnant ? Justifier que la poussée d’Archimède reste constante lors de l’ascension.
III) Etude de la chute
7) Pourquoi d’autres parachutistes, sautant d’une altitude de plusieurs kilomètres n’ont jamais franchi la
vitesse du son ?
8) Quelle hypothèse peut on faire sur la force de trainée dans la première phase du saut ? Justifier la distance
parcourue par Félix après 30 s de chute.
RT=6400
c=gRT
M
g =1,4
Mair
0 1 2 3 4 5
A
B
doc 2
z en km
- 50
T en °C
25
70
20
40

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9) Justifiez qualitativement pourquoi le sauteur atteint un maximum de vitesse, puis décélère ensuite.
10) On donne en document annexe (doc 2) l’expression du coefficient en fonction du nombre de
Reynolds en coordonnées logarithmiques, pour un écoulement d’air autour d’un solide.
Ce graphe fait apparaître plusieurs domaines, où les forces de trainées prennent des expressions
différentes. En particulier, le domaine (A) où et (B) où
avec  la masse volumique de l’air, v la vitesse de l’écoulement, et  = 0,65 et  = 3,5.10-4 des
coefficients constants.
Déterminer la vitesse maximale atteinte par Felix et commenter.
11) Etablir une relation (assez) simple entre la vitesse maximale et la vitesse limite finale, et les masses
volumiques de l’air aux altitudes correspondantes. En utilisant un modèle simpliste de loi barométrique
pour la basse atmosphère, en déduire une estimation de la vitesse limite atteinte, et comparer à la valeur
proposée par le texte.
12) Vérifier que Félix a effectivement franchi le mur du son. Pourquoi est-il « peu probable que cela ait créé
une onde de choc notable » ?
IV Invité mystère
13) Qui est Alan Eustace ?
Problème 1 : Quelques aspects de microfluidique
Les circuits intégrés ont révolutionné la conception des ordinateurs en réduisant considérablement l’espace
occupé et le temps de calcul. De la même façon, la miniaturisation de systèmes permettant le contrôle
d’écoulements de fluides devrait conduire à une automatisation parallèle et rapide d’une grande variété de
réactions chimiques ou de manipulations biologiques. Mais la microfluidique, qui met en jeu le mouvement
et la manipulation de très petits volumes de fluide peut faire apparaître des phénomènes physiques peu
courants à une échelle macroscopique.
Le but de ce problème est d’étudier quelques aspects de ces phénomènes.
Données numériques :
Masse volumique de l’eau :
r
= 1,0.103 kg.m-3
Coefficient de viscosité de l’eau :
he
= 1,0.10-3 Pa.s
Coefficient de viscosité de l’huile :
hh
= 1,0.10-1 Pa.s
Pression atmosphérique :
P0
= 1,0.105 Pa
I. INTRODUCTION A LA MICROFLUIDIQUE
La microfluidique concerne des écoulements dont l’une au moins des dimensions caractéristiques est comprise
entre 1μm et 1mm . La première expérience démontrant l’intérêt de cette technologie pour la recherche
fondamentale a été effectuée en 1994 par Steven Chu, prix Nobel de Physique 1997.
1) Citer des exemples de systèmes microfluidiques dans différents domaines : monde végétal, animal, dans la
biologie, la technologie...
2) On rappelle la définition du nombre de Knudsen :
Kn=l*
L
avec  une échelle spatiale caractéristique de
l’écoulement (largeur, hauteur d’un microcanal, par exemple), et
l*
le libre parcours moyen des particules
de fluide.
a) Pour quel domaine de valeurs du nombre de Knudsen se considère-t-on en milieu continu ?
Cx
Re
F=bRev
F=arv2

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b) La microfluidique relève elle de la mécanique des milieux continus ? On donne
lgaz*
 0,1µm
c) Pour des écoulements de dimensions inférieures, on parle de nanofluidique. Cette notion de milieu
continu a-t-elle un sens ?
3) Pouvez vous citer des phénomènes négligeables dans l’hydrodynamique à grande échelle, et qui peuvent
devenir critiques à l’échelle microfluidique ?
II. ECOULEMENT DE FLUIDE EN MICRO-CANAL
II.1 Écoulement sous un gradient de pression constant
Un canal horizontal de section rectangulaire à grand rapport de forme (hauteur h  largeur w) et de
longueur L (L  w) est rempli d’un fluide newtonien incompressible. Un gradient de pression dans la
direction x est généré à l’aide d’un dispositif de vases communicants imposant la différence de pression
DP=P(O)-P(L)
entre les extrémités O et x = L du canal (figure 1) .
Figure 1 : (gauche) vue en coupe du canal microfluidique avec le système de vases communicants ; (droite) vue en
perspective du canal.
4) Rappeler l’équation de Navier-Stokes.
5) Donner la définition générale et le sens physique du nombre de Reynolds Re. Préciser, en justifiant votre
réponse, les longueurs caractéristiques qui interviennent ici.
On donne : h = 10 µm, w = 100 µm, L = 1 mm. Estimer Re pour un écoulement d’eau à la vitesse
caractéristique
V0
= 100 µm.s-1. Qu’en concluez-vous ?
6) On considère un écoulement laminaire selon Ox entre deux plaques parallèles distantes de h. Comme
w>> h
, on considère que le champ de vitesse ne dépend pas de y. Par ailleurs, on se limite au régime
stationnaire. Justifier que
v= vx(z)ex
.
7) Montrer que la pression P ne dépend que de x, et exprimer
dP
dx
en fonction de P et L.
Ecrire l’équation différentielle qui donne
vx( z)
.
8) En faisant l’hypothèse de non-glissement aux parois, déterminer le champ de vitesse.
Exprimer la vitesse maximale Vmax au centre de l’écoulement et la vitesse moyenne V0 en fonction de P.
9) Montrer que le débit volumique Q dans la section du canal est directement relié à P par :
Q= h3w
12hDP L
(relation de Hagen-Poiseuille).
10) Calculer numériquement P et la différence de niveaux d’eau H à ajuster dans le dispositif de vases
communicants pour obtenir un écoulement d’eau avec un débit Q de 1.10-12 m3.s-1 dans un canal de
dimensions h = 10 µm, w = 100 µm, L = 1 mm. Qu’en est-il si h = 100 µm (en supposant que la relation
de Hagen-Poiseuille reste valable) ? Commenter.

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II.2. Ecoulement biphasique
Deux fluides 1 et 2 de viscosités
h1
et
h2
sont mis en écoulement avec des débits
Q1
et
Q2
dans un canal microfluidique ayant
la forme d’une jonction Y (figure 2).
Figure 2 : Vue en perspective du canal en
forme de jonction Y. On s’intéresse
à l’écoulement dans le canal
central, entre les deux zones
grisées.
L’origine des axes du repère
cartésien est prise au centre de
la section de raccordement.
On suppose qu’un écoulement stationnaire est établi dans le bras central du canal. L’interface entre les deux
fluides est supposée plane et localisée dans le plan d’équation
y=aw
2
(avec
-1
  1).
On note P le gradient de pression longitudinal constant appliqué sur la longueur L du canal principal.
Comme h  w, on admet que l’écoulement dans chaque fluide satisfait l’équation différentielle obtenue à
la question 7). On néglige donc les effets de bord aux parois et à l’interface entre les deux fluides.
On note
v1
et
v2
les champs de vitesse dans les fluides 1 et 2.
11) Calculer la position  de l’interface en fonction de
h1
,
h2
,
Q1
et
Q2
.
12) Le fluide 1 est de l’eau, le fluide 2 est de l’huile. Calculer numériquement  pour
Q1=50Q2
.
III. Analogie électrique des canaux microfluidiques
On considère le micro-canal de la figure 1, empli d’un fluide incompressible. Sa circulation dans le canal
présente des analogies avec la circulation du courant électrique dans un conducteur. En particulier la viscosité
oppose une résistance à l’écoulement qui est analogue à la résistance d’un conducteur ohmique.
III.1. Analogues hydrauliques du courant et de la tension électrique
13) On choisit comme analogue de l’intensité du courant électrique le flux volumique
Q=v×dS
òò =V0A
où
V0
est la vitesse moyenne de l’écoulement et A la section du canal. Justifier l’analogie.
14) Exprimer la puissance mécanique
Pm
reçue par le fluide en fonction de Q et de la différence de pression
appliquée entre l’entrée et la sortie du canal
DP
. En déduire que l’analogue hydrodynamique de la
différence de potentiel électrique est la différence de pression
DP
.
II.2. Résistance hydraulique. Application au tri de gouttelettes
15) En utilisant la loi de Hagen-Poiseuille (question 10), donner l’expression de la résistance hydraulique
hd
R
pour un canal rectangulaire de section
A=hw
(h  w) en fonction des paramètres du canal et de ceux du
fluide.
Dans un canal de longueur L et de section
hw
, le fluide en écoulement est formé de gouttelettes d’huile
dispersées dans l’eau avec une fréquence d’émission régulière. On admet que les gouttelettes d’huile (viscosité
hh
) et l’eau (viscosité
he
) se déplacent dans le canal principal avec la même vitesse moyenne, dans un
écoulement laminaire et stationnaire de débit volumique total
Q0
. Les gouttes d’huile confinées dans le canal
sont assimilables à des parallélépipèdes rectangles de section
hw
et de longueur
Lg
(on néglige les effets de