Composantes de dimension maximale d'un analogue du lieu de Noether-Lefschetz Anna Otwinowska 16 septembre 1999 1 Introduction Soit X une variete projective complexe de dimension trois et Z un 1-cycle de X homologue a 0. L'application d'Abel-Jacobi 3 AJX : Z1 (X )hom ! 2 3 H (X 3) F H (X ) + H (X ) (ou Z1 (X )hom designe le groupe des 1-cycles homologues a 0) s'annule sur les cycles rationnellement equivalents a 0 dans X . Reciproquement, on a C Z Conjecture 1 Si la variete X satisfait H 2 (X OX ) = 0, la condition AJX (Z ) = 0 entra^ne que Z est rationnellement equivalent a 0. Cette conjecture est une consequence de la conjecture de Nori (No]), qui predit que sous l'hypothese H 2 (X OX ) = 0, un multiple Z de Z est algebriquement equivalent a 0. En eet, si Z est algebriquement equivalent a 0 et est dans le noyau de l'application d'Abel-Jacobi, un multiple Z de Z est dans l'image de CH0 (C )hom par une correspondance ; homologue a 0 entre une courbe C et X . Cela signie que Z est dans F 2 CH1 (X ), ou F CH denote la ltration de Bloch-Beilinson (c.f. S]). Or la condition H 2(X OX ) entra^ne conjecturalement que F 2 CH2(X ) = 0. Donc Z et par consequent Z devraient ^etre de torsion dans CH1 (X ). Comme le noyau de l'application d'Abel-Jacobi est sans torsion sur les cycles de codimension 2 (c.f. Mu]), cela implique que Z devrait ^etre rationnellement equivalent a 0. Pour tester ces conjectures, il est naturel d'etudier les paires (X Z ) formees d'une variete X et d'un cycle Z homologue a 0 et telles que AJX (Z ) = 0. On se propose ici d'eectuer une telle etude dans le cas ou X est une hypersurface lisse de 4 , et ou Z est a support dans une surface S qui est une section hyperplane lisse de X . La classe de Z dans H 2 (S ) est primitive, et on peut supposer qu'elle est non nulle (sans quoi Z serait rationnellement equivalent a 0 dans S , et la conjecture serait trivialement vraie). 0 0 00 0 00 P Q 00 Z 1 P P PP P P Soit maintenant Gl(5) le sous-groupe de Gl(5) laissant globalement invariant un hyperplan H 4 , et soit B d H0 ( 4 O(d))= Gl(5) la variete parametrant les classes d'isomorphisme de couples d'hypersurfaces lisses (X S ) tels que S = X \ H . Pour tout (X S ) 2 B d , on pose U : = X ; S , et on note j : S ,! X l'immersion fermee. On note Pic(S )o le groupe de Picard primitif, c'est-a-dire le sous-groupe de Pic(S ) constitue des cycles Z de degre 0. On denit N d comme l'ensemble des couples (X S ) 2 B d tels qu'il existe un cycle Z 2 Pic(S )o , tel que AJX (j Z ) = 0. On verra que N d peut-^etre vu du point de vue de la theorie de Hodge mixte des ouverts U = X ; S comme un analogue du lieu de NoetherLefschetz classique d'une famille de surfaces. En eet, le lieu de NoetherLefschetz classique est l'ensemble des surfaces S possedant une classe entiere primitive 2 F 1 H 2 (S ) semblablement, on montrera dans la seconde partie que N d est l'ensemble des couples (X S ) tels qu'il existe une classe entiere non nulle dans F 2 H 3 (U ). On montre facilement que N d est une reunion denombrable de fermes analytiques. En eet, N d est contenu dans le lieu de Noether-Lefschetz NL(B d ) relativement a la famille de surfaces parametree par B d , et on sait que ce dernier est reunion denombrable de varietes algebriques. Il suft donc de montrer que N d NL(B d ) est un sous-ensemble analytique ferme (i.e. que son intersection avec chaque composante de de NL(B d ) est un sous-ensemble analytique ferme). Introduisons l'ensemble Nfd des triples (X S Z ), ou (X S ) 2 B d et Z 2 Pic(S )o est non nul, veriant AJX (j Z ) = 0. L'application naturelle d'oubli 0 0 Nfd ! N d (X S Z ) 7! (X S) ^ est par denition surjective et est localement une immersion. D'autre part Nfd est contenu dans l'ensemble NL(B d ) qui parametre les paires (S Z ) formees d'une surface S et d'un cycle Z 2 Pic(S )o . Ce dernier ensemble est aussi une union denombrable d'ensembles algebriques, et sur chacune de ses composantes connexes NL (B d ) (essentiellement indicee par la classe 2 H 2 (S ) qui est algebrique sur S , cette classe etant localement constante et par construction globalement univaluee sur NL(B d )), l'application d'oubli NL(B d ) ! NL(B d ) est propre et immersive. (Le second point resulte du fait que Pic(S )o est toujours discret, et le premier du fait que la monodromie agit de facon nie sur le groupe de Picard.) Il sut donc de montrer que l'inclusion naturelle Nfd NL (B d ) est celle d'un sous-ensemble analytique ferme. Or si (S Z ) 2 NL (B d ), c'est-aj dire que la classe est la classe du cycle Z sur S , et S ,! X , on dispose du Z ^ ^ ^ ^ ^ 2 ^ ^ point AJXb (jb (Z ) 2 JX , ou JX designe la jacobienne intermediaire de X .. Ceci denit sur NL (B d ) une fonction normale , qui est une section holomorphe de la famille de jacobiennes intermediaires (JXb )b NL(Bd ) . Par denition, Nfd NL (B d ) est le lieu d'annulation de . P 2 Soit (X S ) 2 B d tel que S contient une droite et qu'il existe un plan P 4 veriant P \ X = d (autrement dit, P est osculateur a X a l'ordre d le long de ). Alors Z : = d ; hX est un cycle primitif dans Pic(S ) et on constate facilement que son image dans CH1 (X ) est nulle. Cela implique que AJ(Z ) = 0, et donc (X S ) 2 N d . Un calcul facile montre que le sous ensemble ainsi construit de N d est de codimension egale a (d+1)(2 d+2) ; 7 dans B d . Reciproquement, on montre ici: (d+1)( 5, chaque composante irreductible de N d est de d+2) ; 7, et la composante de codimension micodimension au moins 2 nimale est constituee par les couples (X S ) tels qu'il existe une droite S et un plan P 3 osculateur a X a l'ordre d le long de . De plus, a un multiple pres, d ; h est au point generique de cette composante l'unique element non nul de Pic0 (Sb ) \ Ker(AJ Xb j ). Theoreme 1 Pour d P P Par le theoreme de Lefschetz sur les sections hyperplanes, une hypersurface lisse de 4 verie toujours la condition H 2 (X OX ) = 0. Le theoreme 1 montre qu' en degre 5 la composante de codimension minimale de N d est constituee de cycles rationnellement equivalents a 0. Il contribue donc dans une certaine mesure a la conjecture 1. P Remarque. Pour d = 2, l'enonce du theoreme 1 est vide. Pour d = 3 et d = 4, l'enonce du theoreme 1 est faux, mais on sait deja que pour les cubiques et les quartiques dans 4 l'application d'Abel-Jacobi est injective. Comme dans V 1] et G 1], on ramene la preuve du theoreme 1 a l'enonce purement algebrique suivant. C Theoreme 2 Soit S : = X0 X4 ] l'anneau gradue des polyn^omes a 5 variables, I S un ideal homogene et d > 1 un entier. On suppose que: 1. I contient des polyn^omes homogenes F0 F4 de degres respectifs d ; 1 d ; 1 d en intersection complete 2. I 3d 5 6= S 3d 5 3. dim(S d =I d ) (d+1)(2 d+2) ; 7: ; ; Alors on a dim(S d =I d ) = (d+1)(2 d+2) ; 7, et il existe une intersection complete de multidegre (1 1 d ; 1 d ; 1 d) coincidant avec I en degre d. 3 Le theoreme 2 est un cas particulier assez general d'une conjecture suggeree dans E-G-H]. La demonstration du theoreme 2 pour d assez grand est l'objet de la troisieme partie. La quatrieme partie, nettement plus technique, complete la preuve pour les petites valeurs de d. Je remercie ma directrice de these Claire Voisin de m'avoir propose ce sujet et de son aide dans la redaction de la deuxieme partie. 2 Traduction en termes d'algebre commutative On se donne b 2 B d . On note (Xb Sb ) le couple d'hypersurfaces correspondant. L'observation suivante permet de decrire N d comme un analogue du lieu de Noether-Lefschetz. C Lemme 1 (cf V3] par exemple.) On a un isomorphisme Z Pic(Sb )o \ Ker(AJXb j ) ' F 2 H3 (Ub ) \ H3 (Ub ): C Z En particulier, b 2 N d si et seulement si Z F 2 H3(Ub ) \ H3 (Ub ) 6= 0: Z C On remarque d'abord que l'application classe c1 : Pic(Sb )hom ! F 1 H2 (Sb )\ H2 (Sb )o est bijective. En eet, H2 (Sb )o est sans torsion par le theoreme de Lefschetz sur les classes (1 1), l'application classe est surjective, et par le theoreme de Lefschetz sur les sections hyperplanes, on a H1 (S ) = 0, et donc l'application classe est injective. Donc b 2 N d si et seulement s'il existe b 2 F 1 H2 (Sb ) \ H2 (Sb )o ; f0g, avec b = c1 (Zb ) et AJXb (j Zb ) = 0. Maintenant, comme H1 (Sb ) = 0, la suite exacte de Gysin s'ecrit: C ZC ZZ Z Z Z Res 2 0 ;! H3 (Xb ) ;! H3 (Ub ) ;! H (Sb )o ;! 0: Lorsqu'on tensorise par , on obtient une suite exacte de structures de Hodge mixtes, ou la ltration de Hodge sur H3 (U ) est obtenue a l'aide des isomorphismes H (Ub ) ' (Xb (log Sb )) et est induite par la ltration b^ete sur le complexe (log Sb )) (c.f. D]). Elle verie les relations de compatibilite: C C H C C F H3 (Ub ) \ H3(Xb ) = F H3 (Xb ) et C Res(F H3 (Ub )) = F 4 ; 1 H2 (S b C )o : Z C Soient maintenant bF un relevement de b dans F 2 H3 (Ub ), et bZ un relevement de b dans H3 (Ub ). Alors AJXb (j Zb ) s'identie a la classe C C Z C Z Z fg N Z H UC ! C C Z N N 2 H C H3 (Xb ) F 2 H3 (Xb ) + H3(Xb ) qui ne depend pas des choix de bF et bZ. On a donc AJXb (j Zb ) = 0 si et seulement si b admet un relevement b dans F 2 H3 (Ub ) \ H3 (Ub ). Or un tel relevement est necessairement unique car on a bF ; bZ 2 F 2 H3 (Xb ) \ H3 (Xb ) = 0 d'ou le lemme 1. On peut maintenant decrire localement d de la facon suivante. Soit b 2 B d . Soit 0 6= b 2 H3 (Ub ). Soit : B d la famille d 3 universelle des ouverts U au-dessus de B et soit (U ) : = R3 ( ) OBd le bre vectoriel plat sur Bd de bre H3(U ). La classe b se prolonge de maniere unique sur un voisinage simplement connexe Vb de b dans B d en une section plate du systeme local H3Z : = R3 ( ). Le lemme 1 montre que denit alors une composante ( fd ) de fd au dessus de N d \ Vb par la condition : b 0 2 Nfd , b 0 U U F 2 3 (U ): Inversement, Nfd est par le m^eme lemme (et toujours au dessus de Vb ) la reunion des ensembles denis de cette maniere. Notons que Nfd peut ^etre vu localement par l'application immersive (X S ) 7! (X S ) comme un sous-ensemble de B d . On le notera alors Nd . On suppose dorenavant que le point b 2 N d est xe, et on etudie localement Nd au voisinage de b. Soit r la connection de Gauss-Manin sur H3(U ). Elle induit par transversalite de Griths un morphisme Cr C C : F 2 =F 3 H3 (Ub ) ! Hom(Tb B d F 1 =F 2 H3 (Ub )): Exactement comme dans CGGH], qui enonce le resultat pour le lieu usuel de Noether-Lefschetz, on a le resultat suivant: Proposition 1 Soit b 2 Nd , et soit b la projection de b 2 F 2H3 (Ub) dans F 2=F 3 H3 (Ub ). Alors l'espace tangent de Zariski a Nd en b, Tb Nd TBd b est decrit par: TbN d = Ker(r( b )): Le resultat suivant est d^u a Griths (voir Gr], Ca-G]) dans le cas pur ou l'on considere la variation de structure de Hodge d'une hypersurface, et 5 est montre dans V 2] en dimension 2 dans le cas mixte, ou l'on considere la variation de structure de Hodge mixte des ouverts complementaires d'une section hyperplane d'une hypersurface : P C de coordonnees (X0 X4 ), et on suppose que Xb est deni par X4 = 0. dFSoit dFJ dF XdF0 XdF4] l'ideal pseudojacobien de F deni par J : = ( dX dX dX dX X4 dX ), et soit R : = S=J . On a les identites: TbB ' Rd F 2 =F 3 H3 (Ub ) ' R2d 4 F 1 =F 2 H3 (Ub )) ' R3d 4 et l'application induite par r: R2d 4 ! Hom(Rd R3d 4 ) Theoreme 3 On munit Sb 4 C 0 1 2 3 ; ; C 4 ; ; est a un coecient pres induie par la multiplication dans l'anneau R. Le theoreme 3 permet maintenant de montrer comment le theoreme 2 entra^ne le theoreme 1. Soit ! Rd le sous-espace vectoriel image de T d b et Qb 2 R2d 4 ; f0g le polyn^ome image de b par les isomorphismes du theoreme 3. On note Qb la multiplication par Qb . On a N ; ! = Ker(Qb : Rd ! R3d 4 ) ; et donc: Qb 2 Ker(R2d 4 ; ! Hom(! R3d 4 )) (1) ; ou la "eche est donnee par la multiplication. Par M] on sait que R3d 5 est naturellement dual de R2d 4 . Soit #b (R3d 5 ) l'image de Qb par cette dualite. Comme la multiplication est sa propre transposee, (1) devient: ; ; ; Im(! R2d 2 ! R3d 5) Ker(#b) (2) ou la "eche est la multiplication. Comme #b = 6 0, l'application ! R2d 5 ! 3d 5 5 ; ; ; R n'est pas surjective, et donc par le theoreme 2, on a codim(! Rd ) (d + 1)(2 d + 2) ; 7: Cela montre la premiere partie du theoreme 1 puisque ; codim Nd codim T d b = codim !: N 6 Pour conclure la preuve du theoreme 1, on suppose dorenavant que codim Nd = (d+1)(2 d+2) ; 7, de sorte qu'on a: codim(! Rd ) = (d + 1)(2 d + 2) ; 7: Le theoreme 2 montre alors qu'il existe un ideal gradue I X0 X4 ] intersection complete de multidegre (1 1 d ; 1 d ; 1 d) contenant J et tel que ! = I d . Soit Pb le plan deni par I1 . On a dim(I dPb 1 ) 2, et comme J I , on dF dF a dim(J dPb 1 ) 2 et donc dim Vect dX dX4 P 3. Or on a: 0 C ; j PP ; j j b P Proposition 2 Soit V d H0( 4 O(d)) la variete des hypersurfaces lisses 4 veriant ! dF dF dim Vect dX dX 3 0 4 P d'equation F telles qu'il existe un plan projectif PF j F Soit Vid une composante irreductible de V d . Alors { soit codim Vid = (d+1)(2 d+2) ; 7 et pour F 2 Vid generique, PF est osculateur a l'ordre d a l'hypersurface d'equation F = 0 { soit codim Vid d(d + 1) ; 11. La preuve de la proposition 2 est directement inspiree par V 1] et G 1]. Comme pour PF Vid generique il existe un seul plan PF veriant l'hypothese de la proposition 2, il existe un morphisme rationnel : Vid ! Gr(3 5) PP ; F 7! PF : Comme Vid est invariant sous Gl5 , est surjectif. d : = 1 (P ). On a On xe maintenant P 4 . Soit ViP ; d d ; 6: codim Vid = codim ViP dim(Gr(2 4)) = codim ViP d un point generique, de sorte que V d est lisse en P . On peut Soit F 2 ViP iP supposer que P est deni par les equations X0 = 0 et X1 = 0. On denit les polyn^omes F0 , F1 et F par: F = F (X2 X3 X4 ) + X0 F0 (X2 X3 X4 ) + X1 F1 (X2 X3 X4 ) + R ou R est de degre 2 en X0 et X1 . En identiant les polyn^omes sur 4 avec leurs restrictions a P , on a, sur P , les identites F = F et: 1 1 1 P dF = F dF = F dF = dF dF = dF dF = dF : dX0 0 dX1 1 dX2 dX2 dX3 dX3 dX4 dX4 1 7 1 1 dF dF On pose l : = dim Vect dF dX2 dX3 dX4 . Si l 1, on a F = Y d , ou Y est une combinaison lineaire de X2 , X3 et X4 , et la premiere alternative est vraie. Si l = 2, d'une part il existe une combinaison lineaire non nulle Y de X2 , X3 et X4 telle que dFdY = 0 d'autre part, quitte a faire un changement de coordonn dF eesdFgenedFrique preservant le plan P , on peut supposer que F0 2 Vect F1 dX2 dX3 dX4 . Ces contraines imposent localement respecd la seconde alternative tivement d(d2+1) ; 2 et d(d2+1) ; 3 conditions sur ViP est donc vraie. dF dF et F1 2 Vect dF dF dF , Si l = 3, les contraintes F0 2 Vect dF dX2 dX3 dX4 dX2 dX3 dX4 d ( d +1) d imposent a chaque fois 2 ; 3 conditions sur ViP la seconde alternative est encore vraie. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Pour d 5, on a d(d + 1) ; 12 > (d+1)(2 d+2) ; 7, et donc la proposition 2 montre a l'ordre d a Xb . En particulier, on a dFque Pb dFest osculateur dim Vect dX0 dX4 P = 1. Or, comme J I et que I est interb dF est en intersection complete section complete, la restriction a Pb de X4 dX 4 dF et dF . On en deduit facilement que F = X d . avec dX Pb 4 dX3 2 j j La proposition 2 montre que si d 5 et codim(Nd B d ) = (d+1)(2 d+2) ; 7, l'image de Nd dans B d s'identie a l'ensemble des paires (S X ) satisfaisant les conclusions du theoreme 1. Pour conclure, il sut de montrer que la classe non nulle 2 F 2 H 3 (Ub \ H 3 (Ub ) est unique a un multiple pres (et donc est en fait la classe correspondant a Z d ; h 2 Pic(S )o \ Ker(AJX j ) par le lemme 1), au point b generique dans l'image de Nd dans B d . Cela resulte du fait que I etant deni comme ci-dessus, on a codim(I 3d 5 S 3d 5 ) = 1. On en deduit que ; codim(Im (! R2d 5 ; ! R3d ; 5 ) R3d 5 ) = 1: ; ; R Or d'apres l'identite (2), #b doit ^etre orthogonal a Im (! R2d 5 ! R3d 5 ). Cela implique que #b et, par suite, Qb est unique a un scalaire complexe pres. Or il est facile de voir, en utilisant le fait que H3 (Ub ) \ F 3 H3 (Ub ) = f0g, que l'on a une inclusion Z C ; (H3 (Ub ) \ F 2 H3 (Ub )) ,! F 2 =F 3 H3 (Ub ): Donc la classe est egalement unique a un coecient entier pres. 8 ; 1 1 3 Preuve du theoreme 2 pour d assez grand. On remarque que le theoreme 2 est facile si l'on suppose que I est une intersection complete. n dira par abus qu'un ideal est Gorenstein si son quotient est une S algebre graduee Gorenstein de dimension 0. Ainsi, un ideal J est Gorenstein de degre n s'il est homogene et s'il existe une forme lineaire # 2 (S n ) telle que pour tout k 2 on a: J k = fP 2 S k j8Q 2 S n k #(PQ) = 0g: Un ideal Gorenstein verie en particulier J k ' (J n k ) (la dualite etant induite par la forme #) et sa resolution par sysygies est symetrique. Si J et J sont deux ideaux Gorenstein associes aux formes lineaires # 2 (S n ) et # 2 (S n ) , tels que J J (si bien que n n ), l'image de # dans (S n ) s'identie via l'isomorphisme induit par # a un polyn^ome F 2 S n n =I n n . Pour tout polyn^ome Q 2 S n , on a # (Q) = #(QF ), ou F 2 S n n est un releve de F . En particulier, on a donc J = fQ 2 S j QF 2 J g. N _ ; ; _ 0 _ 0 0 0 _ 0 0 _ ; ; 0 ; 0 0 0 0 0 Lemme 2 Il sut de montrer le theoreme 2 pour un ideal I Gorenstein de degre 3d ; 5. En eet par hypothese 2, il existe une forme lineaire # 2 (S 3d 5 ) telle que I 3d 5 Ker #. L'ideal associe a # contient I et verie les hypotheses du theoreme 2. ; _ ; On se donne desormais un ideal I Gorenstein de degre 3d ; 5 veriant les proprietes 1 et 3 du theoreme. Soit G0 G4 une suite de polyn^omes de degres croissants l0 l4 tels que pour tout i 2 f0 4g, Gi est un polyn^ome de plus petit degre tel que Gi 2 I et que Gi est en intersection complete avec G0 Gi 1 . Par l'hypothese 1 du theoreme 2, I d 1 a un lieu-base vide ou de dimension 0 et I d est sans points base. On en deduit: l0 d ; 1 l1 d ; 1 l2 d ; 1 l3 d ; 1 l4 d: (3) Comme I est Gorenstein de degre 3d ; 5, on a de plus (4) l0 + l1 + l2 + l3 + l4 3d: On peut ameliorer l'inegalite ci-dessus: Lemme 3 On a: { soit dim(S d =I d ) = (d+1)(2 d+2) ; 7 et I est une intersection complete de multidegre (1 1 d ; 1 d ; 1 d), ; ; 9 { soit l0 + l2 + l3 + l4 3d. En eet, soit s : = l0 + l1 + l2 + l3 + l4 ; 3d et soit J : = (G0 G4 ). J est intersection complete donc Gorenstein, de degre 3d ; 5 + s. Si s = 0, alors I = J est une intersection complete. L'hypothese 3 du theoreme 2 implique que I est de multidegre (1 1 d ; 1 d ; 1 d). Si s > 0, J est strictement inclus dans I et il existe un polyn^ome F 2 S s tel que pour tout k 2 , on ait I k = fQ 2 S k jQF 2 J k+s g. On en deduit la suite exacte N F d+s d+s 0 ;! S d =I d ;! S =J ;! S d+s =(J + F )d+s ;! 0 et donc dim(S d =I d ) = dim(S d+s =J d+s ) ; dim(S d+s =(J + F )d+s ): On doit montrer que s l1 . Supposons par l'absurde s < l1 . Si F n'est pas premier a G0 , soit A = pgcd(F G0 ) 2 S >0 , et soient B et C les polyn^omes denis par AB = F et AC = G0. On a CF = BG0 2 J , donc C 2 I , contredisant la minimalite de G0 . Si F est premier a G0 , il existe i 1 tel que J : = (F G0 G^i G4 ) est intersection complete. Si J = J + F , cela veut dire que Gi 2 (F G0 Gi 1 ). Quitte a modier Gi par une combinaison lineaire de G0 Gi 1 , on peut supposer qu'il existe D 2 S li s tel que Gi = FD. Mais alors D 2 I , contredisant la minimalite de Gi . Donc J + F contient strictement J , et on a 0 0 ; ; ; 0 dim(S d =I d ) > dim(S d+s =J d+s ) ; dim(S d+s =J d+s ): 0 Dans cette inegalite, le terme de droite est egal a la dimension en degre d de l'anneau d'une intersection complete de multidegre (l0 li ; s l4 ). Cela implique dim(S d =I d ) > (d+1)(2 d+2) ; 7, contradiction. Soit H 2 S 1 un hyperplan generique. On note SH : = S=(H ) la restriction de S a H et IH : = (I + H )=(H ) SH la restriction de I a H (on identieera abusivement l'hyperplan H et la forme lineaire associee). Lemme 4 On a dim(SHk =IHk ) = 0 pour k 2d ; 3 et dim(SH2d 4 =IH2d 4 ) 1. ; ; En eet, la d-decomposition de (d+1)(2 d+2) ; 7 est: (d + 1)(d + 2) ; 7 = d + 1 + : : : + 5 + 3 + 2 + 1 : 2 d 4 3 2 1 Ceci entra^ne (d + 1)(d + 2) ; 7 d 4 = d ; 3: = + : : : + 2 d 4 <d> 10 La fonction k 7! k<d> etant decroissante, par le theoreme 1 de G 2] cela implique dim(SHd =IHd ) d ; 3. Comme I d est sans points base, par le theoreme de Gotzmann (Go]), cela implique que dim(SHd+i =IHd+i ) maxf0 d ; 3 ; ig pour tout i 0. Lemme 5 On a: { soit dim(S d =I d ) = (d+1)(2 d+2) ; 7 et I est une intersection complete de multidegre (1 1 d ; 1 d ; 1 d) P { soit on a, pour l d, dim(S l =I l ) = lk=0 dim(SHk =IHk ): En eet, on a la suite exacte, ou H designe la multiplication par H : H k k S k 1=I k 1 ;! S =I ;! SHk =IHk ;! 0: Par le lemme 4, pour k 2d ; 3, H est surjective, et, pour k = 2d ; 4 ; ; de conoyau au plus de dimension 1. Par dualite, cela implique que, pour k d ; 1, H : S k 1=I k 1 ! S k =I k est injective, et pour k = d de noyau au plus de dimension 1 (la multiplication par H etant sa propre transposee). Si H : S d 1 =I d 1 ! S d =I d n'est pas injective, on a dim(SH2d 4 =IH2d 4 ) = 1. Par le theoreme de Gotzmann (Go]), cela implique que dim(SHd+i =IHd+i ) = d ; 3 ; i pour tout i 2 f0 d ; 3g. Soit I l'ideal Gorenstein de degre 2d ; 4 contenant IH . Par dualite on a pour tout i 2 f0 d ; 3g ; ; ; ; ; ; 0 dim(SHi =I i ) = dim(SH2d 0 4 i =I 2d 4 i ) ; ; 0 ; ; i + 1: En particulier, I contient l'ideal d'une droite la restriction de I a cette droite est un anneau Gorenstein a 2 variables. La resolution par syzygies montre qu'un tel ideal est forcement intersection complete. Soient a et b les degres de ses generateurs. Comme I est de degre 2d ; 4, on a a + b = 2d ; 2. Or IH et donc I est sans point base en degre d ; 1, donc a = b = d ; 1 et I = IH . Par suite dim(S 1 =I 1 ) = dim(SH0 =IH0 ) + dim(SH1 =IH1 ) = 3. Donc I contient l'ideal d'un plan, et l0 = l1 = 1. Par (3) et (4) cela implique l2 = d ; 1, l3 = d ; 1, l4 = d, et I est intersection complete la premiere alternative est vraie. Si H : S k 1 =I k 1 ! S k =I k est injective pour k d, on a pour l d 0 0 0 0 0 ; ; dim(S l =I l ) = l X k=0 dim(SHk =IHk ) et la seconde alternative est vraie. On deduit immediatement du lemme 5 que pour k 2 f1 dg on a dim(S k =I k ) dim(S d =I d ): 11 (5) Le lemme suivant sera l'outil essentiel de la suite de la demonstration. Lemme 6 Soit W S k un sous-espace vectoriel dont le lieu-base reduit est de dimension l et de degre p. On a k + l + 1 k ; p + l + 1 k dim(S =W ) l + 1 ; : l+1 Soit Z le lieu de W et IZ l'ideal associe. On a W IZk , donc S k =IZk est un quotient de S k =W , et par suite dim(S k =W ) dim(S k =IZk ). On raisonne par recurrence sur k et l. Pour k = 0 l'enonce est clair. Pour l = 0 et k > 0 Z est un schema de longueur p. On peut se ramener par projection sur une droite generique au cas ou Z 1 . Alors Z est le lieu des zeros d'un polyn^ome de degre p, et dim(S k =IZk ) = dim(S k ) ; dim(IZk ) = h0 (OP1 (k)) ; h0 (OP1 (k ; p)) = min(p k + 1). Supposons l'enonce vrai pour k ; 1, et pour k et l ; 1. Soit H 2 S 1 un hyperplan generique. On considere la suite exacte denissant K : P H S k =I k ;! S k =I k ;! 0: 0 ;! K ;! Z H Z H Il est clair que K contient H (S k 1 =IZk 1 ). D'autre part, par le theoreme de Bertini, pour H generique la multiplication par H : S k 1 =IZk 1 ! S k =I k est injective. Or par hypothese de recurrence, on a dim(S k 1 =IZk 1 ) kl ++1l ; k ;l +p 1+ l et k + l k ; p + l k k dim(SH =IZ H ) l ; : l \ ; ; ; ; ; ; \ On obtient le resultat cherche en regroupant 2 a 2 les termes des inegalites ci-dessus. Revenons maintenant a la demonstration du theoreme 2. On suppose par l'absurde que le theoreme 2 est faux, c'est-a-dire que dim(S d =I d ) < (d + 1)(2 d + 2) ; 7: Par le lemme 3, on a alors l0 + l2 + l3 + l4 3d et par (3), cela implique l0 + l2 d + 1: Or le lemme 6 et l'inegalite (5) impliquent d'une part: l + 3 (d + 1)(d + 2) 0 ; 7: 4 < 2 12 (6) (7) D'autre part, soit Z le lieu-base de I l2 1 . On sait que Z est de dimension au moins 2. Quitte a le restreindre, on peut le supposer de dimension 2. Soit m son degre. Le lemme 6 et l'inegalite (5) impliquent donc aussi: l + 2 l + 2 ; m (d + 1)(d + 2) 2 2 ; 7: (8) ; < 3 3 2 Maintenant (7) implique que pour d assez grand on a l0 10d . Par (6) on a alors l2 > d ; 10d , et on deduit de (8) que pour d assez grand on a necessairement m = 1. Il existe donc une forme lineaire L 2 S 1 s'annulant sur Z . Mais (6) et (3) impliquent que l0 > 1, donc L 2= I . On conclut par le lemme ci-dessous, qui pour d assez grand contredit les inegalites dim S l2 1=I l2 1 dim S d =I d (d + 1)(2 d + 2) ; 7 et l2 > d ; 10d . ; ; ; Lemme 7 On suppose qu'il existe une forme lineaire L 2 S 1 ;I 1 s'annulant sur le lieu base Z de I l2 1 . Alors on a: ; dim(S l2 1 =I l2 1 ) ; ; l + 1 l 2 + 2: 2 2 Ce lemme est une consequence du lemme 3 et du lemme 6. On pose (I : L) : = fQ 2 S jQL 2 I g. C'est un ideal Gorenstein de degre 3d ; 6 contenant I , et s'inserant dans la suite exacte L l2 1 l2 1 0 ;! S l2 2 =(I : L)l2 2 ;! S =I ;! SLl2 1 =ILl2 1 ;! 0: On en deduit: dim(S l2 1 =I l2 1 ) = dim(S l2 2 =(I : L)l2 2 ) + dim(SLl2 1 =ILl2 1 ): D'une part, le lieu-base de (I + L)l2 1 est Z , donc l + 1 l l 2 1 2 1 dim(SL =IL ) 2 2 : Il sut donc de montrer: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; dim(S l2 2 =(J ; : L)l2 2 ) l 2: (9) 2 On raisonne maintenant comme dans le lemme 3. Pour cela, on denit les entiers li , i 2 f0 4g pour (I : L) par analogie avec les entiers li denis pour I . On a les inegalites: ; ; 0 li li i 2 f0 4g et 0 13 4 X i=0 li 3d ; 1: 0 P On pose s : = 4i=0 li ; 3d ; 1. Si s = 0 alors (I : L) est une intersection complete, dim(S l2 2 =(I : L)l2 2) est majore par la dimension en degre l2 ; 2 de l'anneau d'une intersection complete de multidegre (1 1 d ; 2 d ; 1 d). Comme l2 d ; 1 cela implique (9). Si s > 0, la demonstration du lemme 3 montre que ; soit dim(Sl2 2=(I : L)l2 2) est superieur a la dimension en degre l2 ; 1 de l'anneau d'une intersection complete de multidegre (l0 li ; s l4 ) et (9) est vrai ; soit s > l1. Alors ll02 +1 l2a d, Et donc l2 l2 ; 1. Cela montre que le est de dimension 2, et donc (9) est encore lieu-base Z de (I : L) vrai. 0 0 0 ; ; 0 ; ; 0 0 0 0 0 0 0 0 ; ; 0 4 Preuve du theoreme 2 pour les petites valeurs de d. La preuve du theoreme 2 pour les petites valeurs de d s'obtient en anant la preuve exposee dans la section precedente. L'element essentiel en est le lemme 8, dont l'enonce est interessant en soi. On cherche d'abord a ameliorer l'inegalite 5. Pour cela, on utilise le: Lemme 8 Soit J un ideal Gorenstein de degre n, tel que J E( n2 ) est sans points base, et soit H 2 S 1 un hyperplan generique. On note JH : = (J + E ( n2 ) E ( n2 ) H )=(H ) SH la restriction de J a H . On a SH =JH 6= 0. n n Par l'absurde, on suppose SHE ( 2 ) =JHE ( 2 ) = 0. n n Comme n ; E ( n2 ) n E ( n2 ), on na aussi SHn E ( 2n) =JHn E ( 2n) = 0, donc l'application H : S n E ( 2 ) 1 =J n E ( 2 ) 1 !n S n E (n2 ) =J n E (n2 ) est surjective, et par suite l'application duale H : S E ( 2 ) =J E ( 2 ) ! S E ( 2 )+1 =J E ( n2 )+1 est injective. Soit J l'ideal engendre par J E ( n2 )+1 . J est sans points base pour k E ( n2 ) + 1 on a J k = J k et pour k E ( n2 ) + 1 J k engendre J k+1. On pose (J : H ) : = fP 2 S jHP 2 J g. Pour tout k 2 on a J k (J : H )k avec egalite si et seulement nsi H : S kn=J k ! S k+1 =J k+1 est injective. En particulier, on a (J : H )E ( 2 ) = J E ( 2 ) . D'autre part, pour tout k 2 , (J : H ) s'inscrit dans la suite exacte ; ; ; ; ; ; 0 ; ; N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;! S k 1=(J : H )k ; 0 0 0 On en deduit une suite exacte longue: Tor2 (SH =JH S=M)k ;! Tor1 (S=(J : H ) S=M)k 0 ;! Sk =J k ;! SHk =J kH ;! 0: 1 H ; N 1 0 14 ; ;! Tor1(S=J S=M)k 0 ou M : = S >0 designe l'ideal maximal de S . n n n n Soit maintenant k E ( n2 )+1. Comme SHE ( 2 ) =JHE ( 2 ) = 0, on a SHE ( 2 ) =J HE ( 2 ) = 0 et donc SHk 1 =J kH 1 = 0. Cela implique Tor2 (SH =JH S=M)k+1 = 0. D'autre part, comme J k engendre J k+1 , on a Tor1 (S=J S=M)k+1 = 0. De la suite exacte longue on deduit Tor1 (S=(nJ : H ) S= M)k = 0. Autrement n) E ( ) E ( 2 2 dit, (J : H ) est engendre par (J : H ) =J . Donc (J : H )k 1 = k 1 k 1 k k 1 k J et H : S =J !k S =J est injective. Ainsi pour k E( n2 ) l'application k 7! dim(S k =J ) est croissante, ce qui contredit le fait que J est sans points base. 0 ; 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 ; ; 0 0 ; 0 ; 0 0 0 Applique a I , le lemme 8 devient: dim(SHE ( 3d;5 2 ) E ( 3d2 5 ) =IH ) > 0: ; Comme IHd et IHd 1 sont sans points base, par le theoreme de Gotzmann (Go]) on en deduit: dim(SHd =IHd ) E ( d ;2 3 ) et dim(SHd 1 =IHd 1 ) E ( d ;2 1 ): Par le theoreme de Macaulay (M]), cela implique que pour k 2 f1 d ; 1g on a: dim(SHk =IHk ) minfk + 1 E ( d ;2 1 )g: Maintenant, gr^ace au lemme 5, on a pour k 2 f1 d ; 1g: ; ; dim(S k =I k ) ; d X ( d + 1)( d + 2) ; 6 ; minfi + 1 E( d ;2 1 )g: 2 i=k+1 En distinguant les cas k E ( d 2 3 ) et k E ( d 2 3 ), on obtient les inegalites ci-dessous, valables pour tout k 2 f1 d ; 1g: ; ; dim(S k =I k ) (k + 1)(2 k + 2) + (d ; E ( d 2 3 ))(d ; E ( d 2 3 ) + 1) ; 6: (10) 2 ; ; dim(S k =I k ) (d + 1)(2 d + 2) ; 6 ; (d ; k)E ( d ;2 1 ): (11) Revenons maintenant a la demonstration du theoreme 2. Comme dans le section precedente, on suppose par l'absurde que le theoreme 2 est faux. On a alors en particulier l'inegalite (6): l0 + l2 d + 1. D'une part, gr^ace a (10), on peut ameliorer l'inegalite 7: l + 3 (l + 1)(l + 2) (d ; E ( d 3 ))(d ; E ( d 3 ) + 1) 0 2 2 0 0 + ; 6: ; ; 4 2 2 15 Cela implique l0 d3 + 1 (pour d >> 0 c'est clair, et pour les petites valeurs de d on verie a la main). Par (6), on en deduit: (12) l2 23d : Mais d'autre part, gr^ace a (11), on peut aussi ameliorer l'inegalite (8): l + 2 l + 2 ; m (d + 1)(d + 2) 2 2 ; 6 ; (d ; l2)E( d ;2 1 ): (13) 3 ; 3 2 Un calcul direct (mais fastidieux!) montre que (12) et (13) impliquent m 2, et, si m = 2, l2 d ; 2. Ainsi Z est contenu dans une conique, et il existe une forme lineaire L 2 S 1 s'annulant sur Z . Comme l0 + l2 d + 1 et que l2 d ; 1, on a l0 2, donc L 2= I . Le lemme 7 montre que l'on a l + 1 l l 1 l 1 2 2 dim(S =I ) 2 2 + 22 : ; ; Gr^ace a (11), on obtient l'inegalite (13) avec m = 2. Cela implique que l2 d ; 2, et, comme l0 + l2 d + 1,on a en fait l0 3. Plus precisement, la preuve du lemme 7 montre que l'on a: l + 1 2 l 1 l 1 2 2 dim(S =I ) 2 + dim(S l2 2 =(I : L)l2 2 ): Pour achever la demonstration du theoreme 2, il sut de montrer que: l l ; 1 l 2 l 2 2 2 dim(S =(L : I ) ) 22 + 2 2 : (14) En eet, le cas echeant , on aurait l + 1 l l ; 1 l 1 l 1 2 2 dim(S =I ) 2 2 + 22 + 2 2 ; ; ; ; ; ; ; ; qui par (11) implique l'inegalite (13) avec m = 3, contredisant (12). Pour montrer (14), on reprend la preuve du lemme 7, en remarquant que l0 3 implique l0 2 (c'est-a dire (I : L)1 = 0): ; si s = 0 alors (I : L) est une intersection complete, et comme l0 2, dim(S l2 2 =(I : L)l2 2 ) est majore par la dimension en degre l2 ;2 de l'anneau d'une intersection complete de multidegre (2 2 d ; 4 d ; 1 d), qui verie (14). 0 0 0 ; ; 16 ;l si21 s < l1 , comme dans le lemme 7, on montre que dim(S l2 2 =(I : L) ) est superieur a la dimension en degre l2 ; 1 de l'anneau d'une intersection complete de multidegre (l0 li ; s l4 ). Si l0 2, ce dernier 0 ; 2; 0 0 0 0 verie (14). ; enn, si s > l1 le lieu-base Z de (I : L)l2 2 est de dimension 2. Si Z est de degre 2, (14) decoule du lemme 6 sinon, il existe une forme lineaire L 2 S 1 s'annulant sur Z , et, comme l0 2, L 2= (I : L)1 . Maintenant (14) resulte d'un enonce exactement analogue a celui du lemme 7, applique a l'ideal (I : L), et dont la demonstration est calquee sur celle du lemme 7. 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 References Bl] Ca-G] CGGH] D] E-G-H] Go] G 1] G 2] Gr] M] S. Bloch. Lectures on algebraic cycles. Duke University Ma- thematics series IV, Durham 1980. J. Carlson, P. Griffiths. Innitesimal variation of Hodge structure and the global Torelli problem. Geometrie algebrique, A. Beauville, Ed. Sijtho-Noordho, p.51-76, Angers (1980) P. Griffiths, J. Harris. Innitesimal variations of Hodge structure II: An innitesimal invariant of Hodge classes. Compositio mathematica Vol. 50, p.207-265, (1985) P. Deligne Theorie de Hodge II. Publ. Math. IHES 40 , p.557, (1971) D.Eisenbud, M.Green, J.Harris. Higher Castelnuovo Theory. S.M.F, Asterisque 218, p.187{202, (1993). G.Gotzmann. Eine Bedingung fur die Flachheit und das Hilbertpolynom eines graduierten Ringes. Math.Z. 158, p.61-70, (1978). M.Green. Components of maximal dimension in the NoetherLefschetz locus. J. Dierential Geometry 29, p.295-302, (1989). M.Green. Restrictions of linear series to hyperplanes, and some results of Macaulay and Gotzmann. Algebraic Curves and Projective Geometry (E. Ballico and C. Ciliberto, eds), p.77-88, Springer LNM 1389, Berlin (1989). Ph.Griffiths. On the periods of rational integrals I, II. Ann. Math. 90, p.460-541, (1989). F.S.Macaulay. Some properties of enumeration in the theory of modular systems. Proc.Lond.Math.Soc 26, p.531-555, (1927). 17 Mu] J. P. Murre. Applications of algebraic K-theory to the theory No] M. Nori. Algebraic cycles and Hodge theoretic connectivity. S] V 1] V 2] V3] of algebraic cycles. Dans Proc. Conf. Algebraic geometry, Sitjes 1983 , LNM 1124, p.216-261, Springer-Verlag, (1985). Invent. math. 111 (2), p.349-373 (1993). S. Saito. Motives and ltrations on Chow groups. Invent. math. 125, p.149-196 (1996). C.Voisin. Une precision concernant le theoreme de Noether. Math. Ann. 280, p.605-611, (1989). C.Voisin. Variations de structure de Hodge et zero-cycles sur les surfaces generales. Math. Ann., p.77-102, (1994). C. Voisin. Sur l'application d'Abel-Jacobi des varietes de Calabi-Yau de dimension 3, Ann. Scient. E c. Norm. Sup., 4eme serie, t. 27, p.209-226, (1994). 18