Complément mathématique II: Opérateurs 1 Fonctions de carré

Complément mathématique II: Opérateurs
1
Fonctions de carré sommable
En quantique, on considère principalement des fonctions de carré sommable, de variables x, y, z...., (celles-ci
spécifient les coordonnées de particules constituant un corps donné).
Définition
Une fonction f (x, ..) (de valeur complexe) est dite de carré sommable, si
Z
(1)
dV f ∗ (x, ..)f (x, ..) < ∞
Pour un système donné, ces fonctions forment un espace vectoriel, appellé espace de Hilbert, que l’on
désignera H.
Opérateurs sur H
2
Une transformation de fonctions dans H définit un opérateur
Ô : f 7−→ g
g(x, ..) = Ôf (x, ...)
(2)
On distingue
2.1
Opérateur linéaire
Un opérateur Ô est dit linéaire s’il satisfait
Ô[λ1 f1 + λ2 f2 ] = [λ1 Ôf1 + λ2 Ôf2 ],
∀λ1 , λ2 ∈ C, ∀f1 , f2 ∈ H
Exemples
1. Ô = ∂/∂x est linéaire
∂
∂
∂
[λ1 f1 + λ2 f2 ] = [λ1 f1 + λ2 f2 ]
∂x
∂x
∂x
2. p̂x = −ih̄d/dx = (h̄/i)d/dx (opérateur ”impulsion”) est linéaire
3. x̂ (opérateur ”position”) défini par
x̂f (x0 , ...) = x0 f (x0 , ...)
est linéaire
x̂[λ1 f1 (x0 ..) + λ2 f2 (x0 , ..)] = x0 [λ1 f1 (x0 , ..) + λ2 f2 (x0 , ..)][λ1 x̂f1 + λ2 x̂f2 ]
4. Ô =
√
défini par
Ôf =
est non-linéaire.
5. Ôf := |f | est non-linéaire.
1
p
f
(3)
3
Somme de 2 opérateurs:
On définit la somme de 2 opérateurs Ô1 et Ô2 par
[Ô1 + Ô2 ]f := Ô1 f + Ô2 f,
∀f ∈ H
(4)
La somme de deux opérateurs linéaires est un opérateur linéaire.
Exemples:
1. x̂ + ip̂x
[x̂ + ip̂x ]f (x) = x̂f (x) + ip̂x f (x) = xf (x) + i(−i)h̄
df (x)
df (x)
= xf (x) + h̄
dx
dx
2. ~e1 p̂x + ~e2 p̂y + ~e3 p̂z :
~ (x, y, z)
[~e1 p̂x + ~e2 p̂y + ~e3 p̂z ]f (x, y, z) = −ih̄∇f
4
Produits de 2 opérateurs:
Le produit de 2 opérateurs Â, B̂ est définit par
(ÂB̂)f := Â(B̂f ),
∀f ∈ H.
(5)
En général
ÂB̂ 6= B̂ Â
(6)
(Â et B̂ ne commutent pas entre eux, leur produit et non-commutatif)
Commutateur:
[Â, B̂] := ÂB̂ − B̂ Â
Exemples Vis à vis d’une fonction f (x) (une seule variable, pour simplifier):
1. K̂x =
p̂2x
2m ,
(opérateur ”énergie cinétique”):
p̂2x = p̂x p̂x
d
df
d2 f
p̂2x f = p̂x (p̂x f ) = −ih̄
−ih̄
= −h̄2 2
dx
dx
dx
2. x̂p̂x
df
df
= −ih̄x
x̂p̂x f = x −ih̄
dx
dx
2
(7)
3. p̂x x̂
p̂x x̂f =
d(xf )
−ih̄
dx
df
= −ih̄ x
+f
dx
On note que
p̂x x̂ 6= x̂p̂x
En fait:
[p̂x , x̂]f = −ih̄f,
∀f
On peut donc écrire:
[p̂x , x̂] = −ih̄ =
h̄
i
(8)
4. Par contre, vis à vis d’une fonction de x et y:
∀f ⇐⇒ [x̂, p̂y ] = 0
x̂p̂y f = p̂y x̂f,
5. Opérateur L̂z (composante z du vecteur moment cinétique:
L̂z := x̂p̂y − ŷ p̂x
h̄
∂f
∂f
L̂z f (x, y, z) =
x
−y
i
∂y
∂x
5
Opérateur adjoint et HERMITICITÉ
5.1
Opérateur adjoint
∀Â, ∃†
|
Z
dV g ∗ Âf =
Z
dV († g)∗ f
(9)
† = opérateur adjoint (conjugué hermitique) à Â.
Exemples:
1.  = d/dx ⇐⇒ † = −d/dx = −Â, vis-à vis de fonctions de carré sommable.
Démo:
Z
+∞
−∞
dxg ∗
df
dx
= [g ∗ f (+∞) − g ∗ f (−∞)] −
Z
+∞
−∞
= 0−
Z
+∞
dg ∗
f
dx
∗
dx
−∞
dx
dg
f
dx
pour toutes paires de fonctions f, g de carré sommable (celles-ci doivent forcément s’annuller en x =
±∞). Donc
∗
Z +∞
Z +∞ dg
∗ df
dxg
=
dx −
f
(10)
dx
dx
−∞
−∞
CQFD.
3
2. p̂†x = p̂x vis-à vis de fonctions de carré sommable.
3. x̂† = x̂
4. Si  = x̂ + icp̂x , avec c∗ = c, alors † = x̂ − icp̂x
5.2
Opérateur hermitien (ou hermitique):
Un opérateur est dit hermitien s’il est auto-adjoint.
† = Â
(11)
Par exemple, x̂, p̂x sont hermitiens dans H.
5.3
Théorèmes sur l’hermiticité:
1.
( + B̂)† = † + B̂ †
(12)
donc
la somme de 2 opérateurs hermitiens est un opérateur hermitien.
(λÂ)† = λ∗ †
(13)
le produit d’un opérateur hermitien avec un nombre λ n’est hermitien que si λ est réel.
2.
(ÂB̂)† = B̂ † †
(14)
En général. En particulier, si  et B̂ sont hermitiens, alors
(ÂB̂)† = B̂ Â 6= ÂB̂
(15)
Le produit de 2 opérateurs hermitiens n’est donc pas hermitien, en général. Il le serait si les 2 opérateurs
commutent entre eux.
On note que, si Â, B̂ sont hermitiens, alors i[Â, B̂] est hermitien.
6
Fonctions propres et valeurs propres d’un opérateur:
Une fonction fω qui satisfait
Ôfω = ωfω
est appelée fonction propre de Ô avec valeur propre ω.
Théorèmes sur les fonctions propres et valeurs propres d’opérateurs hermitiens:
4
(16)
1. les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles:
Z
Z
∗
dV fωk Ôfωl =
dV (Ôfωk )∗ fωl
Z
Z
ωl dV fω∗k fωl = ωk∗ dV fω∗k fωl
Z
(ωl − ωk∗ ) dV fω∗k fωl = 0
Considérons en particulier k = l: comme
Z
(17)
dV fω∗l fωl > 0(6= 0)
on a
ωl = ωl∗
(18)
2. les fonctions propres fωk , fωl associées à des valeurs propres différentes (ωl 6= ωk ) sont orthogonales:
Z
dV fω∗k fωl = 0
(19)
3. En fait les fonctions propres d’un opérateur hermitien forment une base orthonormale complète:
Z
0, k 6= l
∗
dV fωk fωl = δkl =
(20)
1, k = l
Toute fonction dépendante des mêmes variables que fωk peut se développer exactement sur la base des
fonctions propres de Ô:
Z
X
ψ(x, ...) =
ck fωk (x, ...), ck = dV fω∗k ψ
k
5