Complément mathématique II: Opérateurs 1 Fonctions de carré

Compl´ ement math´ ematique II: Op´ erateurs
1 Fonctions de carr´ e sommable
En quantique, on consid` ere principalement des fonctions de carr´ e sommable, de variables x, y, z...., (celles-ci
sp´ ecifient les coordonn´ ees de particules constituant un corps donn´ e).
D´ efinition
Une fonction f(x, ..)(de valeur complexe) est dite de carr´ e sommable, si
ZdV f∗(x, ..)f(x, ..)<∞(1)
Pour un syst` eme donn´ e, ces fonctions forment un espace vectoriel, appell´ e espace de Hilbert, que l’on
d´ esignera H.
2 Op´ erateurs sur H
Une transformation de fonctions dans Hd´ efinit un op´ erateur
ˆ
O:f7−→ g g(x, ..) = ˆ Of(x, ...)(2)
On distingue
2.1 Op´ erateur lin´ eaire
Un op´ erateur ˆ Oest dit lin´ eaire s’il satisfait
ˆ
O[λ1f1+λ2f2] = [λ1ˆ Of1+λ2ˆ Of2],∀λ1, λ2∈C, ∀f1, f2∈ H (3)
Exemples
1. ˆ O=∂/∂x est lin´ eaire ∂
∂x[λ1f1+λ2f2] = [λ1
∂
∂xf1+λ2
∂
∂xf2]
2. ˆpx=−i¯hd/dx = (¯h/i)d/dx (op´ erateur ”impulsion”) est lin´ eaire
3. ˆx(op´ erateur ”position”) d´ efini par
ˆxf (x0, ...) = x0f(x0, ...)
est lin´ eaire
ˆx[λ1f1(x0..) + λ2f2(x0, ..)] = x0[λ1f1(x0, ..) + λ2f2(x0, ..)][λ1ˆxf1+λ2ˆxf2]
4. ˆ O=√d´ efini par
ˆ
Of =pf
est non-lin´ eaire.
5. ˆ Of := |f|est non-lin´ eaire.
1

3 Somme de 2 op´ erateurs:
On d´ efinit la somme de 2 op´ erateurs ˆ O1et ˆ O2par
[ˆ O1+ˆ O2]f:= ˆ O1f+ˆ O2f, ∀f∈ H (4)
La somme de deux op´ erateurs lin´ eaires est un op´ erateur lin´ eaire.
Exemples:
1. ˆx+iˆpx
[ˆx+iˆpx]f(x) = ˆxf (x) + iˆpxf(x) = xf (x) + i(−i)¯hdf (x)
dx =xf(x)+¯hdf(x) dx
2. ~e1ˆpx+~e2ˆpy+~e3ˆpz:
[~e1ˆpx+~e2ˆpy+~e3ˆpz]f(x, y, z) = −i¯h~ ∇f(x, y, z)
4 Produits de 2 op´ erateurs:
Le produit de 2 op´ erateurs ˆ A, ˆ Best d´ efinit par
(ˆ Aˆ B)f:= ˆ A(ˆ Bf ),∀f∈ H.(5)
En g´ en´ eral
ˆ
Aˆ B6=ˆ Bˆ A(6)
(ˆ Aet ˆ Bne commutent pas entre eux, leur produit et non-commutatif)
Commutateur:
[ˆ A, ˆ B] := ˆ Aˆ B−ˆ Bˆ A(7)
Exemples Vis ` a vis d’une fonction f(x)(une seule variable, pour simplifier):
1. ˆ Kx=ˆp2
x
2m, (op´
erateur ”´ energie cin´ etique”):
ˆp2
x= ˆpxˆpx
ˆp2
xf= ˆpx(ˆpxf) = −i¯hd
dx −i¯hdf dx=−¯h2d2f dx2
2. ˆxˆpx
ˆxˆpxf=x−i¯hdf
dx=−i¯hx df dx
2

3. ˆpxˆx
ˆpxˆxf =−i¯hd(xf )
dx =−i¯hxdf dx +f
On note que
ˆpxˆx6= ˆxˆpx
En fait:
[ˆpx,ˆx]f=−i¯hf, ∀f
On peut donc ´ ecrire:
[ˆpx,ˆx] = −i¯h=¯h
i(8)
4. Par contre, vis ` a vis d’une fonction de xet y:
ˆxˆpyf= ˆpyˆxf, ∀f⇐⇒ [ˆx, ˆpy] = 0
5. Op´ erateur ˆ Lz(composante zdu vecteur moment cin´ etique:
ˆ
Lz:= ˆxˆpy−ˆyˆpx
ˆ
Lzf(x, y, z) = ¯h
ix∂f ∂y −y∂f ∂x 
5 Op´ erateur adjoint et HERMITICIT´ E
5.1 Op´ erateur adjoint
∀ˆ A, ∃ˆ A†|ZdV g∗ˆ Af =ZdV (ˆ A†g)∗f(9)
ˆ
A†=op´ erateur adjoint (conjugu´ e hermitique) ` aˆ A.
Exemples:
1. ˆ A=d/dx ⇐⇒ ˆ A†=−d/dx =−ˆ A, vis-` a vis de fonctions de carr´ e sommable.
D´ emo:
Z+∞
−∞
dxg∗df
dx = [g∗f(+∞)−g∗f(−∞)] −Z+∞
−∞
dxdg∗
dx f
= 0 −Z+∞
−∞
dxdg∗
dx f
pour toutes paires de fonctions f, g de carr´ e sommable (celles-ci doivent forc´ ement s’annuller en x=
±∞). Donc
Z+∞
−∞
dxg∗df
dx =Z+∞
−∞
dx −dg
dx∗
f(10)
CQFD.
3

2. ˆp†
x= ˆpxvis-`
a vis de fonctions de carr´ e sommable.
3. ˆx†= ˆx
4. Si ˆ A= ˆx+icˆpx, avec c∗=c, alors ˆ A†= ˆx−icˆpx
5.2 Op´ erateur hermitien (ou hermitique):
Un op´ erateur est dit hermitien s’il est auto-adjoint.
ˆ
A†=ˆ A(11)
Par exemple, ˆx, ˆpxsont hermitiens dans H.
5.3 Th´ eor` emes sur l’hermiticit´ e:
1.
(ˆ A+ˆ B)†=ˆ A†+ˆ B†(12)
donc
la somme de 2 op´ erateurs hermitiens est un op´ erateur hermitien.
(λˆ A)†=λ∗ˆ A†(13)
le produit d’un op´ erateur hermitien avec un nombre λn’est hermitien que si λest r´ eel.
2.
(ˆ Aˆ B)†=ˆ B†ˆ A†(14)
En g´ en´ eral. En particulier, si ˆ Aet ˆ Bsont hermitiens, alors
(ˆ Aˆ B)†=ˆ Bˆ A6=ˆ Aˆ B(15)
Le produit de 2 op´ erateurs hermitiens n’est donc pas hermitien, en g´ en´ eral. Il le serait si les 2 op´ erateurs
commutent entre eux.
On note que, si ˆ A, ˆ Bsont hermitiens, alors i[ˆ A, ˆ B]est hermitien.
6 Fonctions propres et valeurs propres d’un op´ erateur:
Une fonction fωqui satisfait ˆ
Ofω=ωfω(16)
est appel´ ee fonction propre de ˆ Oavec valeur propre ω.
Th´ eor` emes sur les fonctions propres et valeurs propres d’op´ erateurs hermitiens:
4

1. les valeurs propres d’un op´ erateur hermitien sont r´ eelles:
ZdV f∗
ωk
ˆ
Ofωl=ZdV (ˆ Ofωk)∗fωl
ωlZdV f∗
ωkfωl=ω∗ kZdV f∗ ωkfωl
(ωl−ω∗
k)ZdV f∗ ωkfωl= 0 (17)
Consid´ erons en particulier k=l: comme
ZdV f∗
ωlfωl>0(6= 0)
on a
ωl=ω∗
l(18)
2. les fonctions propres fωk, fωlassoci´ ees ` a des valeurs propres diff´ erentes (ωl6=ωk) sont orthogonales:
ZdV f∗
ωkfωl= 0 (19)
3. En fait les fonctions propres d’un op´ erateur hermitien forment une base orthonormale compl` ete:
ZdV f∗
ωkfωl=δkl =0, k 6=l
1, k =l(20)
Toute fonction d´ ependante des mˆ emes variables que fωkpeut se d´ evelopper exactement sur la base des
fonctions propres de ˆ O:
ψ(x, ...) = X
k
ckfωk(x, ...), ck=ZdV f∗
ωkψ
5